Soluzioni A - Test d ingresso alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del 8 Maggio 2004

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1 Soluzioni A - Tet d ingreo ll Prov Sritt di Controlli Automtii A del 8 Mggio 004 ) Srivere l funzione di trferimento di un item dinmio vente i modi{ t in(4 t e t ϕ), te in(4 t ϕ) } T() ( ) 6 ( ) ) Dto un item dinmio Σ on funzione di trferimento T() tbilire: 4 ( 5) ( ) ٱx flo ٱ Σ è intotimente tbile: vero ٱflo ٱx Σ è empliemente tbile vero ٱx flo ٱ Σ è intbile: vero ٱflo ٱx Σ è fe minim: vero ٱx flo ٱ Σ è tbile ingreo-limitto uit limitt: vero 4 ) Un item dinmio Σ h il polinomio rtteritio 4 5 tbilire: ٱx flo ٱ Σ è empliemente tbile vero ٱx flo ٱ Σ è tbile ingreo-limitto uit limitt: vero Σ è fe minim: vero flo x non è poibile tbilirlo 4) Ad un item dinmio in quiete on funzione di trferimento viene pplito l ingreo 4 4t ut () = 8() t (egnle grdino). L uit orripondente h l truttur yt () = A Be per t > 0. Determinre le otnti A = e B = ) Il digrmm polre oito ll funzione di trferimento L () = preent un intoto vertile ( ) prllelo ll e immginrio. Determinre l i rele σ di tle intoto: σ = 5 6) Un item retrozionto è intotimente tbile. Il digrmm polre del gudgno di nello oito h inque interezioni on l e rele negtivo in 0, 0,5 5. Determinre il mrgine di mpiezz M A = 7) Determinre l trformt di Lple del egnle f () t = t () t : F () = 8) Un item dinmio Σ è rppreentto dll funzione di trferimento uoi poli: { poli di Σ } = {, 4}. Determinre i ( )( )( 4) 9) Dto il egnle definito d f ( t) = 0 per t < 0 e f( t) = 4 t per t 0 determinrne l derivt eond generlizzt: * () D f t = δ t δ t () 4 () () 0) Dto un item rppreentto dll eq. differenzile ( ) yt () è l uit tbilire: 0 vero x flo Se 5 vero flo x Se D D 4D 8 y = u dove ut () è l ingreo e 0 vero x flo 5 vero x flo

2 B - Tet d ingreo ll Prov Sritt di Controlli Automtii A del 8 Mggio 004 ( ) ) Dto un item dinmio Σ on funzione di trferimento T() 4 ( ) ( ) tbilire: ٱx flo ٱ Σ è intotimente tbile: vero ٱx flo ٱ Σ è empliemente tbile vero ٱ flo ٱx Σ è intbile: vero ٱ flo ٱx Σ è fe minim: vero ٱx flo ٱ Σ è tbile ingreo-limitto uit limitt: vero ) Un item dinmio Σ h il polinomio rtteritio tbilire: ٱx flo ٱ Σ è tbile ingreo-limitto uit limitt: vero ٱ flo ٱx Σ è empliemente tbile vero Σ è fe minim: vero flo non è poibile tbilirlo x ) Ad un item dinmio in quiete on funzione di trferimento viene pplito l ingreo t ut () = 4() t (egnle grdino). L uit orripondente h l truttur yt () = A Be per t > 0. Determinre le otnti A = e B =. 4) Srivere l funzione di trferimento di un item dinmio vente i modi{ t in( t e t ϕ), te in( t ϕ) } T() ( ) ) Il digrmm polre oito ll funzione di trferimento L () = preent un intoto ( ) ( ) vertile prllelo ll e immginrio. Determinre l i rele σ di tle intoto: σ = 0 6) Un item retrozionto è intotimente tbile. Il digrmm polre del gudgno di nello oito h inque interezioni on l e rele negtivo in 0, 0, 4. Determinre il mrgine di mpiezz M A = 7) Dto un item rppreentto dll eq. differenzile ( ) e yt ( ) è l uit tbilire: 0 vero x flo Se 5 vero flo x Se D D 7D y = (D ) u dove ut ( ) è l ingreo 0 vero flo x 5 vero x flo 8) Determinre l trformt di Lple del egnle 6 f () t = t () t : F () = 9) Un item dinmio Σ è rppreentto dll funzione di trferimento uoi poli: { poli di Σ } = {, 4}. Determinre i ( )( )( 4) 0) Dto il egnle definito d f ( t) = 0 per t < 0 e f( t) = 5 t per t 0 determinrne l derivt eond generlizzt: () * D f t = δ t δ t () () 5 ()

3 Soluzione Prte A A ) T = =.5 j ) P( j) =.9e, d ui, regime, yt ( ) 8. en(t.5). A Dll equzione dell dinmi linere poimo rivere MD yt () = Kut ( () yt ()) LDut ( () Dyt ()) d ui ottenimo L K Y() U() M L K L pulzione delle oillzioni e pri ll prte immginri dei poli, d ui l frequenz 4MK L e f = = 0.5hertz, π M per qunto rigurd l elerzione inizile, derivimo l equzione dell dinmi MD yt ( ) = KDut ( ( ) Dyt ( )) LDut ( ( ) Dyt ( )) pplindo le relzioni ulle ondizioni inizili ottenimo l equzione y = y M 0 Dy Dy L 0 u u L M = Dy Dy K L Du Du Lv Lv vito he u = u e Du Du = v, ottenimo Dy = Dy e Dy = Dy = =.78 m/, M M dove Dy = 0, vito he prim dell frent il item è regime. In lterntiv poimo fre l otituzione α = Dy, β = Du e ottenimo MD α() t = K( β() t α()) t L( Dβ() t Dα()) t, interpretndo l derivt ome derivt generlizzt ottenimo M( Α( ) ( α Dα)) = K( Β( ) Α ( )) L( Β( ) β Α ( ) α), on l derivt ordinri M( Α( ) ( α Dα )) = K( Β( ) Α ( )) L( Β( ) β Α ( ) α ), dll uguglinz dei termini di grdo 0 ottenimo M( Dα Dα ) = L( α α β β ), d ui, vito he α α = 0 (perhe il item h grdo reltivo ), β = v, β = 0, Dα = 0, i ottiene lo teo riultto di prim. Lo teo riultto i puo ottenere in modo più emplie rgionndo fiimente e lolndo direttmente l forz eeritt ul vgone l momento dell rreto.

4 B. ) L( ) ( ) ( 5) 0 = Soluzione Prte B L funzione di ripot rmoni è L( jω ) Si trtt di un item di tipo. ( ω) 0 ω L j = ω ω 5 rg L( jω ) =π rtg ω rtgω 5 = 0( jω ) ( jω) ( jω 5) Comportmento per ω 0 : Il digrmm polre prte d un punto ll infinito, eendo lim L jω = ω 0 ω 0 ( ) lim rg L j ( ω) = π. Comportmento per ω : Il digrmm termin nell origine tngente uno degli i oordinti, eendo lim L jω = 0 ω ( ) lim rg L j ω ( ω) = π Rotzione ompleiv ttorno ll origine per ω vribile d 0 : rg L( jω ) = 0 Il digrmm polre riult quindi del tipo: Nyquit Digrm w Si noti he l interezione del d.p.. on l e rele vviene olo nell origine del pino ompleo. Rel Axi

5 ) Il digrmm polre ompleto riult del tipo: 6 Nyquit Digrm Rel Axi Dll eme del digrmm polre ompleto i dedue ubito he i h tbilità intoti, poihé eo non irond né to il punto ritio -. ) Clolo dei mrgini di tbilità. Mrgine di mpiezz: M = A Mrgine di fe: M F = π ϕ ϕ rg L jω on = ( ) dove ω L ( jω ) =. 0 ω ω è dto dll oluzione dell equzione =. ω ω 5 L equzione preedente può eere riritt ome 00( ω ) =, ioè 00 4 ( ω ) ( ) ω ( ω 5) = ω 4 ω 5, l ui oluzione (per tenttivi) fornie un vlore di ω pri : ω.06 rd / e. ω ϕ =π rtg rtg ( ω) =.4rd 5 Si onlude he il mrgine di fe è: M = π ϕ = 0.7rd = 4.8 F B. D k = 0 l equzione rtteriti riult 0 ( )( ) ( ) 9 0 = 0 k k

6 L orripondente tbell di Routh è: k 0 9 k 7k k Per l tbilità intoti i deduono le ondizioni 7k 90> 0 90 k > 7 k > 0 k > 0 i onlude he il item retrozionto è intotimente tbile per k 90, 7

7 Soluzione PARTE C C) Vedi A.P. Controlli Automtii A: luidi delle lezioni, pgine C) Si interpret l eq. diff. on le derivte generlizzte: * * * 7D y 4D y y = D u u i ppli l trformt di Lple: 7 Y( ) y(0 ) Dy(0 ) D y(0 ) 4 Y( ) y(0 ) Y( ) = U( ) u(0 ) U( ) { } { } { } d ui i riv oniderndo he U( ) = 0 (l trformt di Lple dell ingreo è null): Y() Il item dinmio è in evoluzione liber. 7 y(0 ) 7 Dy(0 ) 7 D y(0 ) 4 y(0 ) u(0 ) 7 4