ENS: Esame e seconda prova in itinere del 1 Luglio 2008 Per la discussione dello scritto si contatti il docente via

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1 ENS: Esme e seond prov in itinere del Luglio 8 Per l disussione dello sritto si onttti il doente vi e-mil: ro@elet.polimi.it Eserizio (foglio ino) Esme primo ppello: punti : Filtri FIR e IIR Si onsideri un segnle mpionto f KHz; si progetti un filtro FIR rtterizzto d vere uno zero ll frequenz f 5KHz ed ltri due lle frequenze f,3 ±5KHz. Indindo on H (z) l su trsformt z, si impong nhe he H (z ). ) (7 punti) Si trovi l rispost ll impulso {h n }, le rtteristihe di mpiezz e di fse del filtro; in prtiolre, si trovi l rotzione di fse KHz on l teni vettorile. ) (7 punti) Si determinino i oeffiienti di riflessione reltivi ll sequenz {.99 n h n } e li si onfrontino on quelli dell sequenz originle {h n }. ) (+ punti) Si progetti un filtro tutti poli H (z), in modo he l funzione di trsferimento glole A (z) H (z) H (z) orrispond d un filtro he rresti un nd di lrghezz Hz ttorno ±5 KHz. Si determini l rispost ll impulso {h,n }. Eserizio (foglio gillo) Prov in itinere: punti : Periodogrmm di due sinusoidi Si onsideri il segnle disreto x(n) ottenuto mpionndo, on frequenz di mpionmento f khz ( /f ), il proesso: x n A os (πf n ) + w n s n + w n ; < n < N on f khz e potenz dell sinusoide P A / W e potenz del rumore σ w W. ) (3 punti) Si definis il periodogrmm dell sequenz x n e si determini l nd f di ogni ell. ) (5 punti) Si vluti se vi è polrizzzione e si lolino il vlore tteso e l vrinz del periodogrmm per ogni ell. ) (5 punti) Si suddividno i mpioni in L sottosequenze di mpioni l un. Si determini il numero delle elle dei periodogrmmi delle sottosequenze e l loro nd. Si onsideri il periodogrmm medio dell sequenz x n. d) (5 punti) Si lolino vlore tteso e vrinz per ogni ell del periodogrmm definito l punto (). e) ( punti) Si suppong di vere un seond sinusoide frequenz f Hz di ugule potenz P dell sinusoide frequenz f. Il nuovo segnle è x(t) A os (πf t) + A os (πf t) + w(t) s(t) + y(t) + w(t). Si loli il numero minimo di mpioni N dell relizzzione in modo he l polrizzzione del periodogrmm permett un stim rgionevolmente orrett nhe in presenz di entrme le sinusoidi. Eserizio 3 (foglio zzurro) Prov in itinere e Esme: punti : Misur di direzioni di rrivo on stim spettrle AR e periodogrmm Utilizzndo un shier di 3 sensori, si voglino misurre le mpiezze e direzioni di rrivo di due segnli he provengono d due direzioni di rrivo he formno on l sse delle sisse gli ngoli θ 5 e θ 3, on potenze pri ed W rispettivmente. L frequenz del segnle è f 5Hz, l veloità di propgzione è 33m/s. Si suppong infine he si sommto i segnli in rrivo un rumore w(n) ino di potenz.w. Si i ioè: s(n) A e ju n + A e ju n + w(n), on n,, dove u e u rppresentno le pulszioni spzili normlizzte reltive lle due direzioni d rrivo. ) ( punti) Si determini in modo opportuno l distnz tr i sensori e l disposizione dell shier ed i vlori di u, u. ) (5 punti) Si determini l mtrie di ovrinz dei segnli rievuti i sensori. ) (+5 punti) Si stimi lo spettro di potenz (spzile) on l teni AR, si on un solo polo, he on. Si trovino il vlore del modulo e dell fse del singolo polo o dei due poli, e si stimi l dispersione ngolre. d) ( punti) Si fi un stim spettrle on il periodogrmm. In he modo mi il risultto dell stim?

2 Soluzione Eserizio ) L funzione di trsferimento del filtro è Corso di Elorzione Numeri dei Segnli Esme e seond prov in itinere del luglio 8 H(z).5( + z )( z ).5( + z + z + z 3 ).5 z sin ω e.5iω z sin ω/ d ui trovo l rispost ll impulso h(n).5 δ(n) + δ(n ) + δ(n ) + δ(n 3) Ponendo ω π/, ottengo: ) L sequenz è L sequenz, res moni, è: H ( e jω) e.5iπ/ sin (π/8).65e i.78 h,n.5.99 n ; n ; ; Nel so inizile: ;.3;. ; + ( ) ; 3 ; ; ; < < per vere tutti i oeffiienti di riflessione < ; ) L funzione di trsferimento del filtro rrest nd H (z) H (z) è: d ui rivo H (z) H (z) + z + ρ z H (z) H (z).5 z z H (z) + z + ρ z H (z) + z + ρ z z z + ρ z + z dove l mpiezz ρ ε dei poli in π/ l trovo imponendo: ω ε π 5 ε π ρ π L funzione di trsferimento del filtro H (z) l posso srivere ome: H (z) ( + z )( + ρ z ) z + ρ + ρ + z + ρ z

3 d ui rivo l rispost ll impulso del filtro: h (n) + ρ ( ) n u n + ρ ρ n sin ( π (n + )) sin ( ) π u n ρ ρ n sin ( π (n)) sin ( ) π u n e quindi dove h (n) n ( +ρ ( ) n + ρ n+ sin ( π (n + )) ρ n+ sin ( π n)) n > quindi un prte non si ttenu, mi. Soluzione Eserizio ) L sse delle frequenze d f è diviso in N intervlli. Il periodogrmm è X k A N Ŝ N (k) X k N ( δ k k + δ k+k + W k x(n) A os π k ) n + w(n) N Per N l nd di ogni ell del periodogrmm è Cero l ell k dove de l sinusoide: f f N Hz E ŜN (k) k f f khz k In questo so l spzitur dell sinusoide oinide on l spzitur del sin periodiizzto. Quindi il ontriuto dell sinusoide è nullo ovunque ( ssenz di polrizzzione) trnne he nelle elle orrispondenti f (k ) e f f (N k 3). ) Il vlore tteso del periodogrmmm è σw k, 3 e l vrinz è vrŝn (k) N A N + σ w A N + σ w k, 3 vr W N k ( N N σw ) σ w k, 3 N vr Wk + vrre ( A N N ( N σw ) + σw + A N σw N Wk ) A N vrre (W k ) k, 3 ) Il numero di elle dei periodogrmmi delle sottosequenze è pri N N /L e l loro nd è f f N khz. Le elle del periodogrmm orrispondenti ll frequenz f sono k, 3, quindi nhe in questo so il periodogrmm h polrizzzione null. Per definire il periodogrmm dell sequenz x n, prto dll definizione del periodogrmm per l sottosequenz l-esim on l,, L: Ŝ (l) N (k) X(l) k N 3

4 e il periodogrmm totle è somm dei periodogrmmi delle singole sottosequenze: Ŝ L,N (k) L L l Ŝ (l) N (k) l X (l) k on quindi: dove d) Il vlore tteso del periodogrmm definito l punto () è E ŜL,N (k) LE N L (k) E N (k) N E X (l) k X (l) k E ŜL,N (k) L vrinz del periodogrmm è A N vr ŜL,N (k) L L vr Ŝ (l) N (k) vr N (k) δ k k + δ k+ k + W (l) k N Nσ w σ w k, 3 A N N + σw A N + σw k, 3 l L vr L N (k) vr N (k) N ( Nσ w ) σ w k, 3 ( ) N Nσ w + A N N Nσw σw + A Nσw k, 3 e) In presenz di due sinusoidi non si h polrizzzione se N è tle he { f k N f khz f k N f Hz Per minimizzre N si devono segliere gli interi minimi k e k he soddisfno l relzione k f k f Il vlore minimo di N si ottiene segliendo k, k, N. Soluzioni on N mggiore si ottengono ome multipli di questi vlori. Soluzione Eserizio 3 ) Selgo ome distnz mssim tr i sensori per evitre equivozione spzile: λ m I tre sensori sono in, 3.3, 6.6m. I segnli d -3, 5 hnno sfsmenti per ell L u u π sin ( π/6) π sin (π/)

5 ) E onveniente usre un notzione vettorile per i segnli: y x + x + w A exp(j π) exp(j π) + A j + L mtrie di ovrinz di y risult: exp( j R Ey y E A π) exp( j π) j exp(j π) exp( j π) exp(j + E A j j + σ wi π) exp(j π) j. exp( j π) + exp(j π ) exp( j π) exp(j π) + exp( j π r r ). exp( j π) + exp(j π r ) exp(j r r r π) exp(j π) + exp( j π ). r r r ) Per il modello AR() è neessrio srivere le equzioni di Y-W: r r σ r r, e risolvere rispetto d (,, σ ):, r exp(j π) + exp( j π ) r. σ r r 3.35 r Il polo del modello AR() si h per z, ovvero per l pulszione.7π. Usndo l relzione tr frequenze spzili e direzioni d rrivo ngolri, trovo he l frequenz spzile orrisponde ll direzione d rrivo θ 5.78, quindi più viino ll direzione d rrivo on potenz mggiore. Per il modello AR(): r r r σ r r r, r r r, risolvendo:, r r r r r r, r r r r r σ r + r, + r, trovo le due direzioni d rrivo d 5 e 3. Not ene: Per semplifire i loli, si potev pensre di ruotre l shier di 7.5 in modo he le due DOA sino ±37.5. Poi posso imporre he le due pulszioni spzili reltive lle due DOA sino u, ±π/, in modo he le due DOA sino mssimmente spzite spettrlmente. A questo punto, il segnle in notzione vettorile divent: y x + x + w A exp(j π ) exp(jπ) 5 + A exp( j π ) exp( jπ) w w + w w

6 L mtrie di ovrinz di y risult: R Ey y j j j j +. 9 exp( j π ) 9 exp(j π ). 9 exp( j π ) 9 exp(j π ). j j j j +.I Un ltr possiile soluzione per semplifire nor di più i loli potree essere quell di imporre un delle due pulszioni spzili e l ltr π (u u π). In questo so l mtrie di ovrinz di y risult essere rele: y x + x + w A exp(jπ) exp(jπ) + A + w w A + A + w w R Ey y + +.I