Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3

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2 Definizione (W, F, P[.]) spzio di proilità : W R è un vriile letori r R A r ={w W : (w) r} F W w w w 3 3 R W A r r R

3 Esempio Esperimento: lncio di un monet W = {T, C} : W R (T) = (C) = r< W T C r A r = F r< W T C r A r = {C} F r W T C r A r = W F Not: si utilizz l notzione = per indicre l evento - () e, in generle, A R per indicre l evento - (A)

4 Vriili letorie Discrete (ssumono l più un infinità numerile di vlori reli) Assolutmente continue Non discrete Continue Miste

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6 Ogni v.. è crtterizzt d un legge o distriuzione che viene determint medinte l ssegnzione di:

7 F: R [;] è un funzione di riprtizione (i) (ii) lim F lim F F() è monoton non decrescente (iii) F() è continu d destr: lim F h h F Ogni funzione di riprtizione può essere ssocit d un v.. e lle proilità che ess ssum determinti vlori secondo l definizione: R P[ ]=F()

8 Not P[ < ] = F ()-F () Dim.: F () = P[ ] = P[( ) (< )]= F ()+ P[ < ]

9 f: R [;] è un funzione di mss di proilità discret esiste un insieme, l più numerile, di numeri reli,,, n, tle che: (i) f( i ) > i=,,. (ii) f() = per i i=,,. (iii) i f( i ) = Ogni funzione di mss di proilità discret corrisponde d un v.. discret che ssume i vlori,,, n, con proilità: P[= i ] = f( i )

10 Esempio Funzione di mss di proilità 3 4 v.. discret che ssume i vlori,, 3, 4 rispettivmente con proilità: P[=]=.4 P[=]=. P[=3]=. P[=4]=.3

11 Esempio Esperimento: lncio di un monet W = {T, C} P[T]=p P[C]=-p : W R (T) = (C) = p F ltrove p p f Funzione di mss di proilità ssocit Funzione di riprtizione ssocit d

12 f: R [ ; + [ è un funzione di densità di proilità (i) f () è integrile su R (ii) f d Are =

13 Definizione continu l su funzione di riprtizione è continu ssolutmente continu con densità f, P f d Proprietà ) Un v.. ssolutmente continu è nche continu. ) continu R P[=]= Dim.: P P lim P ε F lim F ε ε ε

14 Corrispondenz tr funzione densità e funzione di riprtizione Assegnt f() si può determinre F(): V.. discret V.. ssolutmente continu F j F j f t f dt Assegnt F() si può determinre f(): V.. discret V.. ssolutmente continu f F lim F h h d d f F

15 Esempio f() F

16 Esempio F Per tuttigliltrivloridi : f h lim F F f h lim F F f h lim F F f h h h

17 Esempio f 5 6 F se 6 5 5t dt se 5 5

18 Medi (vlore tteso) V.. discret V.. ssolutmente continu μ f E E μ f d j j j Not Lmedi esiste se i corrispondenti serie o integrle sono ssolutmente convergenti. Proprietà ) c R E[c] = c ) E[+Y] = E[]+ E[Y]

19 Medin Me = inf { : F ().5 } Quntile -esimo (<<) o percentile -esimo q = inf { : F () } Q = primo qurtile = q.5 Q 3 = terzo qurtile = q.75 Not Qundo F è invertiile si h: q = F - ()

20 Vrinz V.. discret V.. ssolutmente continu σ μ f Vr j j j Vr σ μ f d Not L vrinz esiste se i corrispondenti serie o integrle sono convergenti. Scrto qudrtico medio σ σ

21 Proprietà ) c R Vr[c] = ) Vr[+] = Vr[] 3) Vr[] = E[ ] m se E[ ] esiste

22 Esempio f() F E[] = = 8.8 Me=8 Q = q.5 =8 Q 3 = q.75 =9 q.5 =7 q.95 =9 Vr[] = =.646 s.8

23 Esempio f N ltrove F n n n n n n E[] n Me= Q = q.5 = Q 3 = q.75 =3 Vr[]

24 Esempio f 5 6 F E 5 d Me = F - (.5) -Me -5 =.5 Me =.49 Q = F - (.5) -Q -5 5 =.5 Q = Q 3 = F - (.75) -Q 3-5 =.75 Q 3 = Vr 5 6 d s Vr. 3

25 v. con medi m e devizione stndrd s : k kσ μ P k Esempio v. con m = e s = P P k. P P k P k

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27 ltrove f U([;]) /(-) F Vr E

28 Esempio Gicomo rriv ll fermt dell utous lle, e s che ne psserà uno in un momento distriuito uniformemente tr le e le :3. Qul è l proilità che de spettre più di minuti? Qul è l proilità che de spettre di 5 i 5 minuti? tempodi ttes ~ U ;3 f 3 3 ltrove P F 3 3 d 3 3 P5 5 F 5 F d 3 5 5

29 ep(l) f λe λ ltrove l F e λ E Vr λ λ

30 L distriuzione esponenzile serve per modellizzre fenomeni in cui, prtire d un dto istnte o posizione inizile, si ttende il verificrsi di un certo evento: h distriuzione esponenzile l v. il cui vlore rppresent l istnte, o l posizione, in cui si verific l evento tteso. L distriuzione esponenzile è crtterizzt dll mncnz di memori : l proilità che il tempo d ttes superi, spendo che h già superto (>), è ugule ll proilità che il tempo d ttes superi -. In formul: P[ ] = P[ -] Dim. P F e e e F F P P P P P l l l

31 Esempio L distnz tr le crepe rilevnti del mnto strdle di un utostrd segue un distriuzione esponenzile con medi di 5 km. ) Qul è l proilità che non vi sino crepe rilevnti in un trtto di km? ) Qul è l proilità che l prim crep rilevnte si trovi fr e 5 km dll inizio dell ispezione? c) Supposto che non vi sino crepe nei primi 5 km ispezionti, qul è l proilità che non ve ne sino nche nei successivi km ispezionti? = distnz tr le crepe ep(/5) 5 ) P F e. 353 ) P 5 F 5 F P. 353 c) P