Il Teorema della media media integrale di una funzione

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1 FRONTESPIZIO Interntionl Review of Sientifi Synthesis ISSN Quderni di Mtemti 2015 Mtemti Open Soure Il Teorem dell medi medi integrle di un funzione Mrello Colozzo

2 Si f : X R ontinu in X R. Preso d ritrio [,] X, per qunto preede: f (x)dx = lim f (ξ k )(x k+1 x k ), dove δ è l mpiezz di un qulunque prtizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [,], e ξ k [x k,x k+1 ]. Ponimo per definizione: onde per = dll (1) si h: f (x)dx = f (x)dx def = f (x)dx = f (x)dx, (1) f (x)dx = 0 (2) L (2) è en post, poihè il rettngoloide di se [,] è degenere, nel senso he si ridue l segmento vertile di estremi (,0), (,f ()) se f () 0, l punto (,0) se f () = 0. Tli onsiderzioni i permettono di estendere l definizione??. Preismente: Definizione 1 x x f (x)dx, x,x X, (3) è l integrle definito dell funzione f esteso ll intervllo orientto di estremi x e x, o più sempliemente, è l integrle definito dell funzione f, d x x. I punti x e x sono gli estremi di integrzione: x estremo inferiore di integrzione x estremo superiore di integrzione è il segno di integrle, mentre f (x)dx è l integrndo. Quest ultimo riord l rgomento f (x k )(x k+1 x k ) delle somme integrli. L funzione f è l funzione integrnd. Per qunto rigurd l interpretzione geometri dell (3), supponendo f non negtiv, si h per x > x : x x f (x)dx = µ(t), essendo T il rettngoloide di se [x,x ] reltivo f. Se x < x, dll (1) segue: x x f (x)dx = x x f (x)dx = µ(t), ioè l re del rettngoloide T mit di segno. Nell (3) l vriile rele x he ompre sotto il segno di integrle, si him vriile di integrzione. È hiro he l integrle (3) non dipende d dett vriile, m eslusivmente dgli estremi di integrzione e dll funzione integrnd. Ne onsegue he l vriile di integrzione può essere denott on un qulunque simolo ptto di utilizzre un simolo differente d quello degli estremi di integrzione. Ad esempio: x x f (t)dt, x x f (ξ)dξ Supponimo di vere l integrle definito di f esteso d 0 ξ. In questo so non possimo srivere: ξ 0 f (ξ) dξ Errto! 1

3 Notzioni orrette sono: ξ 0 f (t)dt, ξ 0 f (τ)dτ Tutto iò si esprime diendo he l vriile di integrzione è un vriile mut. Conludimo, dimostrndo l seguente proposizione: Proposizione 2 Se C è un ostnte rele, omunque prendimo, R: Cdx = C( ) (4) Dimostrzione. L funzione integrnd è f (x) = C. Distinguimo i due si: 1. < 2. < Nel so 1 eseguimo un deomposizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [,]: Cdx = lim C(x k+1 x k ) = C lim (x k+1 x k ) } {{ } = = C( ) Nel so 2 eseguimo un deomposizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [,]: Per l (1): Cdx = lim C(x k+1 x k ) = C lim (x k+1 x k ) } {{ } = = C( ) Cdx = Cdx = C( ) L interpretzione geometri dell proposizione ppen dimostrt è immedit, gihè l integrle Cdx è l re del rettngolo R di dimensioni e C. Nelle figg vengono illustrti i vri si ( <, >, C > 0, et.). Teorem 3 Si f : X R ontinu e non negtiv nell intervllo X R. < = f (x)dx > = *** f (x)dx 0, [, ] [,] X (5) 2 f (x)dx 0 (6)

4 y C x Figur 1: Il rettngoloide di se [,] reltivo ll funzione f (x) = C > 0 è il rettngolo R di dimensioni e C. L su re è µ(r) = C( ) = Cdx > 0. y C x Figur 2: Il rettngoloide di se [,] reltivo ll funzione f (x) = C > 0 è il rettngolo R di dimensioni C e. L su re è µ(r) = C( ) = Cdx = Cdx > 0. 3

5 y x C Figur 3: Il rettngoloide di se [,] reltivo ll funzione f (x) = C < 0 è il rettngolo R di dimensioni C. L su re è µ(r) = C ( ) = C( ) = Cdx > 0. y x C Figur 4: Il rettngoloide di se [,] reltivo ll funzione f (x) = C < 0 è il rettngolo R di dimensioni e C. L su re è µ(r) = ( C)( ) = ( C)dx = Cdx > 0. 4

6 Dimostrzione. Inizimo ol dimostrre he f (x)dx 0 se <. Per un qulunque deomposizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [, ] di norm δ, si h: f (x)dx = lim f (ξ k )(x k+1 x k ) f(ξ k ) 0 Inoltre, se T e T denotno i rettngoloidi reltivi f, di se rispettivmente [,] e [, ], si h: [, ] [,] = T T = µ(t ) µ(t) = L dimostrzione dell (6) è immedit: on f (x)dx 0, gihè è <. f (x)dx = f (x)dx, 0 f (x)dx f (x)dx Teorem 4 Per un qulunque funzione f : X R ontinu nell intervllo X R: f (x)dx f (x) dx,, X Dimostrzione. Per l dimostrzione i serviremo delle (??)-(??) he qui risrivimo: Cioè: d ui: f (x)dx = f (x) dx = f (x)dx = f + (x)dx+ Distinguimo i due si: 1. < 2. > Nel so 1 è Quindi l (7) si srive: M f + (x)dx+ f + (x)dx f (x)dx f (x)dx, f (x)dx f + (x)dx + f (x)dx f (x)dx f + (x)dx + f (x)dx,, X (7) < = f + (x)dx 0, f (x)dx f + (x)dx f (x) dx 0 = 5 f (x)dx 0 f (x)dx = f (x) dx = f (x) dx f (x) dx,

7 onde l sserto. Nel so 2 è f + (x)dx 0, Quindi l (7) si srive: f (x)dx f + (x)dx+ [ = f + (x)dx M onde l sserto. < = f (x)dx 0 f (x)dx = f (x) dx 0 = f (x) dx = ] f (x)dx = f (x) dx Teorem 5 Si f : X R ontinu e non negtiv nell intervllo X R. f (x)dx = 0 f (x) = 0, x [,] X f (x) dx, Dimostrzione. Implizione invers. Hp. f (x) = 0, x [,] Th. f (x)dx = 0 ( ) x [,], f (x) = 0 = D(x 0,x 1,...,x n ), σ D = f (ξ k )(x k+1 x k ) = 0, ξ k [x k,x k+1 ] = lim σ D = 0 Implizione dirett. Hp. f (x)dx = 0 Th. f (x) = 0, x [,] Proedimo per ssurdo. L negzione dell tesi è: f è non identimente null in [,], per ui essendo f non negtiv per ipotesi, si h: x 0 [,] f (x 0 ) > 0 = f è ontinu I(x 0) [,] f (x) > 0, x I(x 0 ), essendo I(x 0 ) un intorno di x 0. D iò segue: per ui f è ontinu in [, ] I(x 0 ) = m = minf, [, ] µ(r) = m( ) > 0, dove R = [, ] [0,m]. D ltr prte,se T è il rettngoloide di se [,] reltivo f: ioè: R T = µ(r) µ(t), he è un negzione dell ipotesi, onde l sserto. f (x)dx m( ) > 0, 6

8 Teorem 6 (Proprietà dditiv) Se f : X R è ontinu in nell intervllo X R, riese: f (x)dx = Dimostrzione. Distinguimo i due si: 1. (,) 2. (,) (,+ ) Il so 1 ontempl due sottosi: A. f h segno ostnte in [,] B. f non h segno ostnte in [,] f (x)dx+ f (x)dx,,, X (8) Nel sottoso A, supponendo senz perdit di generlità he f si non negtiv, si h il rettngoloide di se [,] reltivo f è tle he: T = T 1 T 2, T1 T 2 =, essendo T 1 e T 2 i rettngoloidi di se [,] e [,] rispettivmente: T 1 = { (x,y) R 2 x, 0 y f (x) } onde per l proprietà dditiv dell misur: T 2 = { (x,y) R 2 x, 0 y f (x) }, µ(t) = µ(t 1 )+µ(t 2 ), d ui l sserto. Nel sottoso B risult f (x) non identimente null, per ui: f (x) = f + (x)+f (x) M f ± hnno segno ostnte in [,] per ui verifino l (8): f ± (x)dx = D ltr prte (eq. 44 di quest dispens) f ± (x)dx+ f ± (x)dx Quindi: f (x)dx = f + (x)dx+ f (x)dx f (x)dx = f + (x)dx+ f + (x)dx+ f (x)dx+ f (x)dx = f + (x)dx+ f (x)dx+ f + (x)dx+ f (x)dx }{{}}{{} = f(x)dx = f(x)dx 7

9 Nel so 2 supponimo, senz perdit di generlità, >. In tl so, per iò he imo ppen dimostrto, si h: M per ui ioè l sserto. f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx+ f (x)dx, Lemm 7 Se f 1,f 2 : [,] R sono ontinue in [,], si h: [f 1 (x)+f 2 (x)]dx = f 1 (x)dx+ f (x)dx f (x)dx, f 2 (x)dx (9) Dimostrzione. L somm f = f 1 +f 2 è mnifestmente ontinu in [,], per ui: dove f (x)dx = lim σ D, σ D = f (ξ k )(x k+1 x k ), per un ritrri deomposizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [,] e per ogni ξ k [x k,x k+1 ]. Riese: σ D = σ (1) D +σ(2) D, essendo σ (1) D,σ(2) D somme integrli reltive f 1,f 2 : per ui n 1 σ (h) D = f h (ξ k )(x k+1 x k ), (h = 1,2), lim σ D = lim D }{{} = σ (1) f 1 (x)dx + lim D }{{} = σ (2) f 2 (x)dx ioè l sserto. Il lemm ppen dimostrto i permette di dimostrre l proprietà distriutiv espress dl seguente teorem: Teorem 8 Se f 1,f 2 : [,] R sono ontinue in [,], si h per ogni 1, 2 R: [ 1 f 1 (x)+ 2 f 2 (x)]dx = 1 f 1 (x)dx+ 2 f 2 (x)dx, 8

10 Dimostrzione. Per il teorem preedente: [ 1 f 1 (x)+ 2 f 2 (x)]dx = 1 f 1 (x)dx+ 2 f 2 (x)dx Se D(x 0,x 1,...,x n ) è un qulunque deomposizione di [,], per ogni ξ k [x k,x k+1 ] si h: 1 f 1 (x)dx = lim 1 f 1 (ξ k )(x k+1 x k ) = 1 lim f 1 (ξ k )(x k+1 x k ) = 1 f 1 (x)dx Ovvimente nlogo risultto per f 2, d ui l sserto. Osservzione 9 Per qunto preede, se f è un funzione ontinu in [,] e R, si h: f (x)dx = f (x)dx In ltri termini, un qulunque fttore ostnte può essere portto fuori dl segno di integrle. Teorem 10 f,g : [,] R ontinue in [,]. Dimostrzione. Riese Per il teorem 3: Per l (9) segue l sserto. x [,], f (x) g(x) = f (x)dx g(x) f (x) 0, x [,] Teorem 11 (Teorem dell medi) [ f è ontinu in [,] = η [g(x) f (x)]dx 0 min [,] ] f,mxf [,] Dimostrzione. Eseguit un prtizione D(x 0,x 1,...,x n ) di [,]: g(x)dx (10) f (x)dx = η( ) (11) m( ) f (ξ k )(x k+1 x k ) M ( ), (12) vendo posto m = min [,] f, M = mx [,] f. Eseguendo nell (12) il limite per δ 0: o, iò he è lo stesso: m 1 1 f (x)dx M f (x)dx def = η [m,m] Tenendo onto di un not proprietà delle funzioni ontinue in un intervllo hiuso e limitto, si h il seguente orollrio: 9

11 Corollrio 12 Il numero rele f è ontinu in [,] = ξ [,] η = f (x)dx f (x)dx = f (ξ)( ) si him medi integrle dell funzione f nell intervllo [, ]. Per giustifire tle denominzione, eseguimo un equiprtizione (fr.quest dispens) D e (x 0,x 1,...,x n ) dell intervllo [,] di norm δ n =, per ui: n x k = +kδ n, (k = 0,1,...,n) Assumendo ξ k = x k+1, l reltiv somm integrle si srive: dove η n def (13) σ n = f (x k+1 ) (14) n = ( )η n, = 1 f (x k+1 ) = f (x 1)+f (x 2 )+...+f (x n ), (15) n n è l medi ritmeti dei vlori ssunti dll funzione f in n punti equidistnti dell intervllo [, ]. Con tle posizione pssimo dll suessione rele {σ n } n N {0} ll suessione rele {η n } n N {0}, i ui termini differisono d quelli di {σ n } n N {0} per il fttore moltiplitivo ( ) 1 : η n = σ n Eseguendo l operzione di pssggio l limite per n +, i.e. per δ n 0, si h: osihè lim η n = 1 n + η = lim n + η n, f (x)dx, per ui η è il limite per n + dell medi ritmeti η n. Ad esempio, nel so dell funzione f (x) = x 2, utilizzndo Mthemti possimo grfire l ndmento dell suessione {η n } n N {0}, ome riportto in fig. 5. *** Il teorem dell medi è un so prtiolre del seguente teorem: Teorem 13 Sino f,g : [,] R ontinue in [,]. g è non negtiv = ξ [,] f (x)g(x)dx = f (ξ) g(x)dx (16) 10

12 Η n Η n Figur 5: Andmento dell medi ritmeti η n = 1 n Σn 1 f (x k+1) per f (x) = x 2, onfrontto on η = 5 1 x2 sx 4. Dimostrzione. Se g è identimente null, l (16) si ridue ll identità 0 = 0. Diversmente, ponendo m = min [,] f, M = mx [,] f, si h: onde per il teorem 10 mg(x) f (x)g(x) Mg(x), Cioè f (x)g(x) Mg(x) = mg(x) f (x)g(x) = m f (x)g(x)dx M g(x)dx g(x)dx f (x)g(x)dx m f (x)g(x)dx g(x)dx = ξ [,] f (ξ) = M = η [m,m] η = f (x)g(x)dx g(x)dx f (x)g(x)dx g(x)dx Se nell (16) si pone g(x) 1, si ottiene il teorem dell medi. 11