Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

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Massimiliano Carbone
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1 Clcolo dierenzile per unzioni di un vribile Derivt di un unzione Siniicto eometrico dell derivt in un punto e equzione dell rett tnente Si, b: +, b rpporto incrementle tβ coe. nolre di r y + B. r A. β O + b =

2 Derivt di un unzione De. Si :,br, si deinisce derivt di nel punto,b il numero, se inito,: d dy, y,,, D, Dy d d Derivt di un unzione Siniicto eometrico dell derivt in un punto e equzione dell rett tnente m t y + A. s B. r β α O + b =

3 Derivt di un unzione Siniicto eometrico dell derivt in un punto e equzione dell rett tnente Qundo ccde ce: y rett tnente m t + Derivt di un unzione Siniicto eometrico dell derivt in un punto e equzione dell rett tnente Qundo : t t Y rett tnente t coe. nolre di t +.. A B r rett secnte O α + b X 3

4 Derivt di un unzione Siniicto eometrico dell derivt in un punto e equzione dell rett tnente Equzione dell rett tnente l rico di nel punto di t sciss : y Y rett tnente t Intti tr tutte le rette del scio proprio pssnti per A, di eq. y m A per m si ottiene l equzione di t b Derivt di un unzione Se è deinit,b llor è derivbile in,b e risult deinit l unzione :, b R dett derivt prim di è derivbile in [,b], se è derivbile,b e mmette derivt destr in = e derivt sinistr in = b si scrive si scrive b 4

5 5 Derivt destr Derivt sinistr Se è derivbile in Derivt di un unzione De, Teorem. Si :,br. Se è derivbile in, b llor è continu in. Dimostrzione Si Derivt di un unzione Continuità e derivbilità :,, b e D cui Ce è l continuità di in

6 Derivt di un unzione Continuità e derivbilità Quindi derivbilità continuità Non è vero il vicevers Es. y= è continu m non è derivbile in =. Intti y e y Se Derivt di un unzione Punti di non derivbilità e lmeno un init si dice punto noloso, in qunto le rette tnenti ll nel punto di sciss ormno un nolo. Es. = 6

7 Derivt di un unzione Y Punto noloso X Derivt di un unzione Punti di non derivbilità Se sono si dice punto cuspide; l rett tnente ll nel punto di sciss è verticle. Y X 7

8 Derivt di un unzione Punti di non derivbilità Se sono si dice puntodilessotnenteverticle; l rett tnente ll nel punto di sciss è verticle. Y X Derivt di un unzione Punti di non derivbilità Es. y 3 8

9 Derivt di un unzione Punti di non derivbilità Es. y Derivt di un unzione Derivt delle unzioni elementri n n D n Dlo lo D ln Dsin cos Dcos sin e D k Dln D e e D t t cos 9

10 rcsin D D rct rccos D Derivt di un unzione Derivt delle inverse delle unzioni trionometrice Derivt di un unzione Esercizio Utilizzndo l deinizione clcolre l derivt di =k. k k =e e e e

11 Derivt di un unzione 3 =ln. ln ln ln Derivt di un unzione 4 =cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos cos

12 Derivt di un unzione 4 =sin sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos Derivt di un unzione Alebr delle derivte Se e sono derivbili in, llor sono derivbili in nce l somm, l dierenz, il prodotto, il quoziente con il denomintore e si : b c,

13 3 Alebr delle derivte Dimostrimo l b Derivt di un unzione Alebr delle derivte Per ipotesi e sono derivbili, quindi continue in, perciò: Derivt di un unzione,

14 Derivt di un unzione Esercizio. Clcolre l derivt di sin ln Derivt di un unzione Esercizio. Scrivere l equzione dell rett tnente ll curv di eq 3 e nel punto di sciss = 4

15 Derivt di un unzione Teorem di derivzione dell unzione compost Si un unzione derivbile in, e se è un unzione derivbile nel punto, llor l unzione compost è derivbile in, e si : [ ] Derivt di un unzione Teorem di derivzione dell unzione compost Dimostrzione. Se si in qunto se llor k con k, essendo continu in. Se =, il teorem continu vlere. 5

16 Derivt di un unzione Esercizio. Clcolre l derivt di lnsin. Derivt di un unzione Esercizio. Clcolre l derivt di e 3. 6

17 Derivt di un unzione Esercizio. Clcolre l derivt di sinln. Derivt di un unzione Esercizio. Scrivere l equzione dell rett tnente ll curv di 3 equzione e nel punto di sciss = 7

18 Derivt di un unzione Teorem di derivzione dell unzione invers Si un unzione continu e strettmente monoton in [,b]. Se è derivbile in,b e se, llor nce l unzione invers - è derivbile nel punto y =, e l derivt vle: [ y ] Derivt di un unzione Teorem di derivzione dell unzione invers Dimostrzione. Si y k k y Y y +k= + y = k Se k nce in qunto - è continu + X 8

19 Derivt di un unzione Esercizio. Utilizzndo il teorem di derivzione dell unzione invers, clcolre l derivt dell unzione invers di sin. In, si y sin rcsin y y cos sin y Derivt di un unzione Perciò, per il teorem dell derivt dell unzione invers si y y rcsin y Scmbindo con y: rcsin 9

20 Derivt di un unzione Es. Clcolre l derivt dell unzione y e, vist come unzione invers di Per, si y ln ln. Perciò, per il teorem dell derivt dell unzione y y invers si y e e Quindi e e y e Derivt di un unzione Es. Utilizzndo il teorem di derivzione dell unzione invers, dimostrre ce rct. Si t, in, si y rcty t t Perciò, per il teorem dell derivt dell unzione invers si y rcty t y

21 Derivt di un unzione Mssimo e minimo ssoluti Deinizione Si :[, b] R, si dice ce M è mssimo ssoluto o loble di in [,b] e [, ] è punto di mssimo se b M, [, b] In modo nloo: Si dice ce m è un minimo ssoluto o loble di in [,b] e [, ] è punto di minimo se b m, [, b] Derivt di un unzione Mssimo e minimo reltivi o estremi locli Deinizione Si :[, b] R, si dice ce [, b] è un punto di mssimo reltivo o locle per se I, :, I, In modo nloo: Si dice ce [, b] è un punto di minimo reltivo o locle per se I, :, I,

22 M, b, punti di mssimo reltivo, 3 punti di minimo reltivo 3 punto di minimo ssoluto b punto di mssimo ssoluto m 3 è di m o min reltivo in un intorno di. l relzione vle solo in I b Teorem di Fermt Si deinit in [,b] e derivbile in, b. Se è un punto di estremo locle llor Dimostrzione Si un punto di mssimo reltivo, cioè I, :, : si : se se

23 3 e M essendo derivbile in :. Teorem di Fermt Se llor e se è un punto di mssimo reltivo si Mentre, nel cso di minimo reltivo in : In modo nloo: se è punto di mssimo reltivo con llor, se invece è un punto di minimo reltivo, llor b b b b Teorem di Fermt

24 Esercizio Clcolre i punti critici per clssiicre i punti di non derivbilità 3 Esercizio Clcolre i punti critici per clssiicre i punti di non derivbilità ln 4

25 Esercizio Clcolre l derivt di ln 5

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