FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

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Marta Costanzo
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1 FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ALGEBRA LINEARE Operzioni tr mtrici Sino A = { ij } e B = {b ij } venti l stess imensione. L loro somm è l mtrice C i cui elementi sono {c ij } = { ij + b ij }. Sino A i imensioni (m n) e B i imensioni (n p). L mtrice C = A B i imensioni (m p) h elemento generico c ij to c ij = n k= ikb kj. Determinnti [Solo mtrici qurte!] Se A = ( ) llor et A =. Minore complementre i un elemento rs : M rs = eterminnte ell sottomtrice che si ottiene cncellno l rig r sim e l colonn s sim (che si incrocino in rs ). Complemento lgebrico ell elemento rs : A rs = ( ) r+s M rs. Dt A qurt, i orine n, il suo eterminnte si trov come et A = ij A ij j= con i fissto oppure et A = ij A ij i= con j fissto Mtrice invers A = eta CT ove C T = mtrice trspost ei complementi lgebrici egli elementi ij, cioè C T = {A ji }. Rnghi i mtrici Rngo i un mtrice A: orine ell più grne sottomtrice qurt invertibile estribile ll mtrice A. Le trsformzioni elementri permesse nell riuzione i mtrici sono: T : T : R i R i + R j R i R j T 3 : R i kr i.

2 Sistemi i equzioni lineri Teorem i Rouché-Cpelli: Il sistem A X = B, con n incognite e m equzioni, mmette soluzioni se l mtrice ei soli coefficienti A e l mtrice ei coefficienti e ei termini noti A c (mtrice complet) hnno lo stesso rngo r. In tl cso il sistem mmette n r soluzioni. Se n = r llor il sistem mmette un unic soluzione. Se r = n = m llor il sistem A X = B mmette soluzione X = A B. Se n = r < m llor l soluzione si trov einno opportunmente equzioni in eccesso e pplicno l regol sopr. Se r < n si consier un sottosistem con r incognite (vente mtrice ei coefficienti invertibile) e si ssegnno vlori rbitrri lle ltre n r incognite. Si risolve poi il sottosistem con l regol sopr.

3 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzioni lgebriche Funzione potenz, per p e q numeri nturli f() = p =... (p volte) f() = p = p f() = p = p, 0 se p è pri f() = p q = q p Proprietà: p q = p+q, ( p ) q = pq, p y p = (y) p Polinomi, per n numero nturle f() = P n () = n n + n n csi prticolri: rett f() = m + q, crescente se m > 0, ecrescente se m < 0 prbol f() = + b + c, convess se > 0, concv se < 0 Funzioni rzionli frtte f() = P m ()/P n () Funzioni irrzionli Sono quelle funzioni ottenute ll composizione i funzioni rzionli con ricli i qulunque orine. Funzione vlore ssoluto { se 0 = se < 0 Funzioni trscenenti Funzione esponenzile f() =, > 0, D = IR, Im = IR +. L funzione esponenzile é crescente per >, e ecrescente per 0 < <. Vle inoltre { 0 se > = + se < + = { + se > 0 se <. Proprietà: nloghe quelle ell funzione potenz.

4 Funzione logritmo f() = log, > 0, D = IR +, Im = IR L funzione logritmo é crescente per >, e ecrescente per 0 < <. Vle inoltre { se > log = 0 + se < log = + { + se > se <. Proprietà: log =, log ( ) =, log =, log = 0, log b = log log b, log (y) = log + log y, log (/y) = log log y, log p = p log, nell ipotesi che tutti i logritmi inicti esistno. Funzioni trigonometriche f() = sin, D = IR, Im = [, ] f() = cos, D = IR, Im = [, ] f() = tn = sin cos, D = IR { = (n + ) π }, Im = IR, n numero intero α sin cos tn π 6 30 o π 4 45 o π 3 60 o 3 π o 0 Proprietà: sin + cos = sin( ) = sin, cos( ) = cos, sin( + nπ) = sin, cos( + nπ) = cos cos(π ) = cos, sin(π ) = sin, sin( π ± ) = cos, cos( π ± ) = sin sin( + y) = sin cos y + cos sin y, cos( + y) = cos cos y sin sin y sin = sin cos, cos = cos sin Funzioni trigonometriche inverse f() = rcsin, D = [, ], Im = [ π, π ] f() = rccos, D = [, ], Im = [0, π] f() = rctn, D = IR, Im = ( π, π ), ± rctn = ± π.

5 LIMITI Limiti immeiti Nell somm: [f() + g()] α l ± ±, + + +, Nel prootto: f()g() α (l > 0) (± ) ±, (l < 0) (± ) (+ ) (+ ) +, (+ ) ( ), ( ) ( ) + Nel quoziente: f() α g() l ± 0, (l > 0) 0± ±, (l < 0) 0±, ± (l > 0) ± ± (l < 0), 0 ± 0, + 0± ±, 0± Forme ineterminte +, (0 ± ) (± ), ± ±, 0 ± 0 ±, ± 0, ±, 0 0 Limiti notevoli ( o sin ) 0 = cos (o ) 0 = 0 (3 o ) 0 cos = (4 o log ) + p = 0 p N 0 (5 o ) 0 p log = 0 p N 0 (6 o e ) + + p = + p N 0 ( (7 o ) p e = 0 p N 0 (8 o ) + ) = e ± (9 o ) 0 e = (0 o ) 0 log( + ) =

6 ASINTOTI f() = ± { l IR = sintoto orizzontle y = l ± = cercre eventuli sintoti obliqui f() m IR {0} = sintoto obliquo ± = ± = non esiste 0 = non esiste L sintoto obliquo è to ll rett y = m + q, ove q = ± [f() m]. Asintoti verticli = 0 quno ± f() = ± 0 DERIVATE Tbell elle erivte fonmentli ( p) = p p, ( e ) = e, ( ) = log log =, log = log e sin = cos, cos = sin, tn = cos = + tn rcsin = ( < ), rccos rctn = + = ( < ) = = = { se > 0 se < 0

7 Principli regole i erivzione c = 0, [f() ± g()] = f () ± g (), f() = f () [f()], cf() = cf () [f()g()] = f ()g() + f()g () f() g() = f ()g() f()g () [g()] f(g()) = f (g()) g () Regol i De L Hopitl per il clcolo ei iti Se f() 0 g() = 0± 0 ± o f() 0 g() = ± ±, e se llor 0 f () g () = l 0 f() g() = l

8 INTEGRALI Tbell egli integrli fonmentli α = α + α+ + C, se α = = log + C e α = α eα + C, se α 0 α = log α α + C, se α > 0 sin = cos + C cos = sin + C cos = ( + tn ) = tn + C = rctn + C + = rcsin + C = + C + = + + C Principli regole i integrzione [f() ± g()] = f() ± g() Integrzione per sostituzione: f() = f(g(t))g (t) t f(g())g () = f(t) t Integrzione per prti: sino F e G primitive rispettivmente i f e g. Allor F ()g() = F ()G() f()g()

9 Integrli efiniti Si f continu, e si F un su primitiv. Allor b f() = F (b) F () b b b [αf() + βg()] = α f() + β g() b b f() = f() = 0 f() = f() b c f() + b c f()

10 STATISTICA DESCRITTIVA Distribuzioni i frequenz Si E = {,,..., n } l insieme ei ti, e si S = {s, s,... s N } l insieme elle molitá (eventulmente clssi se si trtt i ti i tipo continuo). f j = numero i elementi i E venti vlore s j F j = k:s k s j f k p j = f j n P j = k:s k s j p j Rppresentzioni grfiche Usre grfici colonn o brre per ti i tipo iscreto, e istogrmmi per ti continui suivisi in clssi. In questo ultimo cso l ltezz ell colonn i ogni clsse é t l rpporto tr l frequenz e l mpiezz ell clsse. Grfici tort: usti per rppresentre frequenze reltive i ti iscreti (o qulittivi). L ngolo i ogni fett é proporzionle ll frequenz reltiv (α i = 360 o p i ) Per rppresentre grficmente un istribuzione i frequenz cumult (ssolut o reltiv) usre l ogiv. Inici Mei: = n i= i = n n = n N s j f j = j= N s j p j Sostituire i vlori centrli elle clssi nel cso i rggruppmenti in clssi. Mein: ˆ = elemento i posto (n+)/ se n è ispri, e mei ritmetic tr l elemento i posto n/ e l elemento i posto n/+, se n è pri. Viene iniviuto invece fceno uso ell ogiv nel cso i ti continui (come invers el vlore 0,5 nell ogiv ell frequenz cumult reltiv) Mo: = vlore, o clsse, cui corrispone l mssim frequenz ssolut. Vrinz: j= s = n = n ( i ) = n i= i = i= j= N N (s j ) f j = (s j ) p j j= N s jp j j= s = s

11 Sostituire i vlori centrli elle clssi nel cso i rggruppmenti in clssi. Inici per vribili biimensionli c y = n ( i )(y i y) = n i= r y = c y s s y i y i i= y Regressione linere (rett ei minimi qurti) É l rett i equzione y = m + q ove m = c y s q = y c y s

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