Analisi Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica. Registro didattico A.A

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1 Anlisi Corso di Lure in Fisic e Astrofisic Registro didttico A.A febbrio 2012 Lezione 1-2 (4 ottobre 2011). Numeri nturli, interi, irrzionli, rzionli. Dimostrzione dell irrzionlità di 2. Numeri reli: principio degli intervlli incpsulti e ssiom di Archimede. Lezione 3-4 (5 ottobre 2011). Definizione di modulo in R e proprietà. Proprietà di monotoni dell elevmento potenz. Esempi ed esercizi. Lezione 4-5 (7 ottobre 2011). Definizione di mggiornte e minornte per un insieme E di numeri reli. Definizione di insieme limitto superiormente, limitto inferiormente, limitto. Definizione di mssimo e minimo di un insieme E di numeri reli. Definizione di estremo superiore e inferiore di un insieme E di numeri reli e Teorem di esistenz (l dim. verrà ftt dopo i limiti di successioni). Esempi ed esercizi. Enuncito del principio di induzione e ppliczioni. Lezione 7-8 (11 ottobre 2011). Nozione di funzione, grfico di un funzione. Esempi di funzioni reli di vribile rele e reltivi grfici: rett mx + q, x 2, x 3, 1/x, x, x. Operzioni elementri sui grfici: trslzioni, modulo di un funzione, prte positiv e negtiv di un funzione. Definizioni di funzione iniettiv e surgettiv. Funzioni pri e dispri, simmetrie dei reltivi grfici. Svolgimento di lcuni esercizi. Lezione 9-10 (12 ottobre 2011). Funzioni iniettive. Funzioni monotone e strettmente monotone. Esempi di funzioni strettmente monotone: rette, f(x) = x n con x I, dove I = [0, + ) o I = R second che n si pri o dispri con dimostrzione. Somm e composizione di funzioni strettmente crescenti o decrescenti. Relzione tr strett monotoni e iniettività. Composizione di funzioni. Esempi ed esercizi proposti. Lezione (14 ottobre 2011). Funzioni invertibili e funzioni inverse. Grfico di f 1 prtire dl grfico di f. Esercizi su invertibilità di funzioni e clcolo esplicito dell invers. Inverse di funzioni trigonometriche: 1

2 rcsin, rccos, rctn. Funzione esponenzile x (con > 0): costruzione nif e proprietà. Esempi ed esercizi proposti. Lezione (18 ottobre 2011) Funzione logritmo come invers dell esponenzile e proprietà. Successioni: definizione ed esempi. Limite di un successione: definizione ed esempi. Dimostrzione di lcuni teoremi: unicità del limite, limittezz di un successione convergente. Lezione (19 ottobre 2011) Successioni divergenti: definizione ed esempi. Operzioni con i limiti di successioni, forme indeterminte ed esempi. Teoremi sulle successioni: monotoni del limite, permnenz del segno, teorem dei due crbinieri, teorem di confronto (con dimostrzioni). Lezione (21 ottobre 2011) Teorem di confronto. Limiti notevoli n, n (con dimostrzioni). Continuità dell funzione esponenzile (esercizio guidto). Confronto fr infiniti: n β / n e n /n! (con > 1). Svolgimento di lcuni esercizi. Lezione (25 ottobre 2011) Limiti notevoli trigonometrici. Teorem di esistenz dell estremo superiore (inferiore) per insiemi limitti superiormente (inferiormente): dimostrzione. Successioni monotone: definizioni e Teorem di regolrità. Limite notevole ( 1 + n) 1 n e vrinti (senz dim.). Lezione (26 ottobre 2011) Clcolo del limite di n!/n n. Derivzione dei limiti notevoli (log(1 + n ))/ n e (exp( n ) 1)/ n qundo ( n ) n è un successione infinitesim. Limiti del tipo bn n. Esempi di serie termini positivi: serie geometric, serie rmonic. Clcolo delle somme dell serie geometric e serie rmonic. Definizione di sottosuccessione, limite di sottosuccessioni di un successione regolre. Lezione (28 ottobre 2011) Dimostrzione del limite notevole lim n n n = 1 e derivzione del lim n log(n)/n β = 0 per β > 0. Teorem di Bolzno Weierstrss per successioni. Definizione di successione di Cuchy e Criterio di Cuchy. Lezione (4 novembre 2011) Serie numeriche: definizioni e notzioni. Condizione necessri di convergenz. Prdosso di Zenone (Achille e l trtrug). Serie termini non negtivi: regolrità e criterio del confronto. Risultti di convergenz e non convergenz per l serie rmonic generlizzt. Serie termini non negtivi: criteri del confronto e del confronto sintotico. Esercizi proposti. Lezione (8 novembre 2011) Serie termini non negtivi: criterio dell rdice e del rpporto. Esempio sul cso critico l = 1. Svolgimento di lcuni esercizi. Serie di segno qulsisi: definizione di serie ssolutmente convergente e teorem reltivo. Serie termini di segno lterno e Criterio di Leibniz (solo enuncito). Svolgimento di lcuni esercizi sulle serie. Cenni di 2

3 topologi dell rett: definizione di insieme perto, chiuso, punto interno, punto di ccumulzione. Lezione (9 novembre 2011) Definizione di limite di un funzione in un punto. Continuità delle funzioni seno e coseno. Teorem ponte tr limiti di funzioni e di successioni. Come si dimostr che un limite non esiste: esempio di lim x 0 sin(1/x). Lezione (11 novembre 2011) Teoremi sui limiti di funzioni: unicità del limite, limite dell somm, differenz e prodotto di funzioni, teorem di permnenz del segno, limite del rpporto di funzioni, limittezz locle, monotoni del limite, criterio del confronto, teorem dei due crbinieri. Appliczione l lim x 0 sin(x)/x = 1. Definizione di limite destro e sinistro in un punto e loro relzione con il limite in un punto tout court. Limiti ll infinito. Ordini di infinito di funzioni esponenzile, potenz, logritmo. Lezione (15 novembre 2011) Esistenz del limite destro e sinistro per le funzioni monotone. Appliczione: continuità dell esponenzile. Definizione di funzione continu. Esempi di funzioni continue: x, sin(x), cos(x), e x. Teorem di permnenz del segno. Continuità dell somm, differenz, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Appliczione: continuità di tn(x) e cotn(x). Teorem degli zeri, Teorem dei vlori intermedi, Teorem di Weierstrss. Appliczione: ogni polinomio di grdo dispri h lmeno un rdice rele. Lezione (16 novembre 2011) Continuità dell invers di un funzione continu definit su un intervllo. Controesempio nel cso in cui l funzione non si definit su un intervllo. Definizione e continuità delle n funzioni x e log(x). Definizione di funzione Lipschitzin. Definizione di estensione per continuità di un funzione. Esercizi su limiti e funzioni continue. Lezione (18 novembre 2011) Definizione di derivt e significto geometrico. Clcolo esplicito dell derivt delle funzioni x, x 2, x n, x, e x, log(x), sin(x), cos(x). Regole fondmentli di derivzione: linerità, prodotto, quoziente, composizione di funzioni derivbili. Clcolo dell derivt di tn(x) e cotn(x). Lezione (22 novembre 2011) Teorem dell derivt dell funzione invers (senz dimostrzione). Esempi ed ppliczioni: clcolo dell derivt di rcsin(x), rccos(x), rctn(x). Lezione (23 novembre 2011) Mssimi e minimi reltivi: definizione, Teorem di Fermt, Teorem di Rolle, Teorem di Lgrnge e loro conseguenze. Cenni sulle funzioni convesse: definizione e criterio di convessità per funzioni derivbili due volte. 3

4 Lezione (25 novembre 2011) Teorem di de l Hôpitl (con dimostrzione przile). Esercizi proposti. Clcolo del limite del rpporto incrementle di un funzione per mezzo del Teorem di de l Hôpitl: differenz tr nozione di derivbilità e continuità dell derivt in un punto. Esempio: f(x) = x 2 sin(1/x) per x 0, f(0) = 0. Esercizi proposti. Lezione (29 novembre 2011) Appliczione dei risultti visti per lo studio di funzioni e grfici qulittivi: esercizi proposti. Simboli di Lndu. Formul di Tylor con resto di Peno (con dimostrzione). Polinomi di Tylor di lcune funzioni elementri: sin(x), cos(x), e x, log(1 + x). Lezione (30 novembre 2011) Uso dell formul di Tylor per l risoluzione dei limiti e per il clcolo pprossimto del vlore di un funzione in un punto: esercizi. Espressione del resto nell form di Lgrnge: teorem. Lezione (2 dicembre 2011) Esercizi di preprzione ll esonero. Lezione (14 dicembre 2011) L integrle di Riemnn. Cso di un funzione f positiv e limitt in un intervllo [, b]: re del sottogrfico; definizione di somme integrli per difetto S(f, P ) e per eccesso S(f, P ) reltivmente d un prtizione P dell intervllo [, b]; relzioni S(f, Q) S(f, P ), S(f, Q) S(f, P Q), S(f, P ) S(f, P Q) per P, Q prtizioni dell intervllo [, b]. Definizione: f si dice integrbile in [, b] se inf P S(f, P ) = sup S(f, Q) := Q Proposizione: f integrbile se e solo se f(x) dx. ε > 0 prtizione P ε di [, b] : S(f, P ε ) S(f, P ε ) < ε. Cso di un funzione f limitt in un intervllo [, b] e di segno qulsisi. Definizione: f si dice integrbile in [, b] se sono integrbili l su prte positiv f + e l su prte negtiv f. Il suo integrle è f(x) dx := f + (x) dx f (x) dx. (L prte positiv e negtiv di un funzione f sono le due funzioni positive così definite: f + (x) = mx{f(x), 0}, f (x) = mx{ f(x), 0}, x [, b]. 4

5 Si ricord che f(x) = f + (x) f (x) per ogni x [, b].) Esercizio svolto: f(x) = x è integrbile in [, b] e x dx = (b2 2 )/2. Lezione (15 dicembre 2011) Esercizio svolto: f(x) = c è integrbile in [, b] e cdx = c(b). Esistenz di funzioni non integrbili: l funzione di Dirichlet non è integrbile in [1, 2] (con dimostrzione). Proprietà degli integrli : linerità, dditività, monotoni, modulo. Clssi di funzioni integrbili: monotone (con dimostrzione), lipschitzine (con dimostrzione), continue (senz dimostrzione). Teorem dell medi integrle. Lezione (16 dicembre 2011) Funzioni definite d integrli. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Esempio: studio di f(x) = x 0 cos(t3 ) dt. Funzioni primitive, integrli indefiniti e definiti. Tbell delle primitive elementri. Formule di integrzione per prti, esempi: log x dx, x e x dx, e x cos x dx x 13 log x dx, (log x) 3 dx Lezione (20 dicembre 2011) Integrzione delle funzioni rzionli (vedi Not per gli studenti sotto Mterile didttico). Integrzione per sostituzione, esempi: log x cos(5x) dx, x cos(x 2 ) dx, dx x 1 e x dx, tn(x) dx, cos(x) sin 3 (x) dx. 1 + e2x 0 Lezione (21 dicembre 2011) Alcune sostituzioni specili: sostituzione t = tn(x/2) per integrli del tipo F (cos x, sin x) dx. Esercizi proposti. Ulteriori esempi ed esercizi sull integrzione per prti: sin 2 (x) dx, sin 3 (x) dx, sin k (x) dx. Lezione (10 gennio 2012) Cenni sui numeri complessi: definizione di C; operzioni tr numeri complessi (somm, differenz, moltipliczione, divisione); coniugto e modulo di un numero complesso; rppresentzione polre. 5

6 Esponenzile di un numero complesso: e +ib = e (cos(b) + i sin(b)). Funzioni vlori complessi definite su un intervllo (, b): continuità, derivbilità. Clcolo dell derivt di e λ t con λ C. Lezione (11 gennio 2012) Equzioni differenzili lineri del primo ordine: formul di rppresentzione delle soluzioni. Esempi ed esercizi. Problem di Cuchy: Teorem di esistenz e unicità dell soluzione ed esercizi. Lezione (13 gennio 2012) Equzioni differenzili lineri del secondo ordine: risultti preliminri. Equzioni lineri del secondo ordine coefficienti costnti. Equzione omogene: determinzione di soluzioni linermente indipendenti dell equzione omogene, oscilltore rmonico, oscilltore rmonico smorzto. Esercizi. Equzione non omogene: espressione dell soluzione, ricerc di un soluzione prticolre trmite il metodo di somiglinz. Lezione (17 gennio 2012) Equzione non omogene: espressione dell soluzione, ricerc di un soluzione prticolre trmite il metodo di somiglinz. Esercizi. Oscilltore rmonico con forz estern periodic gente: csi risonnte e non risonnte. Lo spzio euclideo N dimensionle R N : struttur di spzio vettorile rele; norm e distnz euclidee, proprietà; intorni sferici (plle perte, chiuse); insiemi perti, insiemi chiusi, insiemmi limitti; nozione di successione convergente in R N ; definizione di sottosuccessione e Teorem di Bolzno. Lezione (18 gennio 2012) Curve in R N : curve continue, curve regolri e regolri trtti, vettore velocità, rett tngente d un curv. Esempi di curve: segmento, grfico di un funzione, cicloide. Lezione (20 gennio 2012) Curve regolri e riprmetrizzzioni. Lunghezz l(γ) di un curv continu γ: k l(γ) = sup γ(t j ) γ(t j 1 ) : = t 0 < t 1 <... < t k = b, k N. j=1 Teorem: ogni curv γ di clsse C 1 h lunghezz finit e l(γ) = γ(t) dt. Cenni sull dimostrzione. Invrinz dell lunghezz rispetto ll riprmetrizzzione. Clcolo dell lunghezz di curve: esempi ed esercizi. Lezione (24 gennio 2012) Integrli curvilinei. Lvoro di un forz lungo un curv. Esempi. 6

7 Lezione (25 gennio 2012) Funzioni di due vribili. Limiti di funzioni di due vribili; continuità; derivte przili e derivte direzionli. Lezione (27 gennio 2012) Funzioni differenzibili e grdiente di un funzione: relzione con le derivte direzionli e derivte przili; esistenz del pino tngente; differenzibilità implic continuità. Teorem del differenzile totle (dimostrzione fcolttiv). ( ) questi due rgomenti non sono stti svolti lezione m sono di fondmentle importnz e inclusi nel progrmm. 7