Cinematica. Le equazioni del moto di A sono: v A = v 0 a A t ; s A = d + v 0 t ½ a A t 2

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Fabio Colucci
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1 Esercitzione n FISIC SPERIMENTLE I (C.L. In. Ei.) (Prof. Gbriele F).. / Cinemtic. Due uto e B iino con l stess elocità = 7 km/h su un str pin e rettiline, istnz l un ll ltr. un certo istnte t = il uitore ell uto i test fren con ccelerzione costnte <, e l uto si rrest opo un trtto s = 5 m. Il uitore ell uto B su olt inizi l frent con un ritro τ =,4 s e l uto procee con ccelerzione costnte B. Clcolre: () l ccelerzione ; (b) il lore minimo i ffinché le uto non si urtino se B = ; (c ) l elocità i urto tr le ue uto se B =,5 e = 8,68 m. t = O B s t = τ B O B s () Le equzioni el moto i sono: = t ; s = + t ½ t e ess si rrest ll istnte t = /, in corrisponenz s = s = 5 m, per cui = 4 m/s (oppost ) e t = 5 s.

2 (b) Il moto i B per t τ è to B = ; s B = t, mentre per il tempo t τ le equzioni ientno B = B (t τ) ; s B = t ½ B (t τ). Dto che = B, ffinché non en l urto occorre che B iun con elocità minore i nel punto in cui h inizito rllentre, cioè ee essere miore ello spzio che B percorre nell interllo i tempo che t = t = τ. L conizione perciò è > τ = 8 m. (c) In questo cso risultno B = m/s e = 8,68 m. L conizione i urto si truce nell equzione s (t ) = s B (t ), esseno t l istnte ell urto stesso, cioè: + t ½ t = t ½ B (t τ) cui t =,6 s. l tempo t : = t = 9,6 m/s ; B = B (t τ) = 5,6 m/s () L elocità relti l momento ell urto le r = B = 6 m/s.

3 . Un ssso iene lncito terr con un elocità = m/s. () Clcolre per quli lori ell nolo i lncio il ssso pss per il punto R i coorinte R = 3 m, R = 7 m. (b) Determinre le componenti tnenzile e rile ell ccelerzione nel enerico punto P(,) ell triettori. o α O o o () Le equzioni el moto sono = t = t ½ t = cosα = senα Ricno t ll prim equzione e sostitueno nell secon si ottiene l equzione crtesin ell triettori: t cos che risult essere un prbol con sse erticle e concità riolt erso il bsso. Ricorno che t, sostitueno nell equzione ell cos triettori e imponeno il pssio per il punto R, si ottiene: R R t t R e con i lori ti t α 3 tα + 8 = tα =,84 tα =,89 α = 6,5 α = 4,7 3

4 (b) In enerle tnenzile e r n oe t r è l ccelerzione n è l ccelerzione normle (centripet). Nel nostro cso = = cosα ; = t = senα t, per cui sen t t t Dunque sen t sen t Per trore l ccelerzione normle occorre ricorre che, t l cur i equzione = f(), per il rio i curtur le l relzione: t r 3 Nel nostro cso si ottiene r t sen t t sen t cos cos per cui n r t sen t. 4

5 3. Un corpo si muoe con elocità costnte in moulo luno un triettori prbolic i equzione = b con b costnte positi. Determinre le componenti ell elocità e ell ccelerzione in funzione i, clcolno in prticolre l ccelerzione el corpo in =. Determinre inoltre l espressione el rio i curtur. α Con riferimento ll fiur, si h: cos ; t sen t t e to che t b rct b, cosicché il lore i α ri punto punto. Le componenti ell elocità ientno: ; 4b b 4b D queste espressioni si ricno le componenti ell ccelerzione: 4b 4b b 4b Nell oriine = = ; = ; = ; = ; = b, l che si ee che l ccelerzione è purmente centripet. Si osseri che ciò non è crtteristico ell sol oriine, m è ero ounque, esseno il moto uniforme. b Il moulo ell ccelerzione è n 4b 3, 3 cui 4b r 5 r, rio i curtur; in prticolre r () = / b. b

6 4. Un sferett iene lncit ll oriine eli ssi nello stesso istnte in cui un ltr sferett iene lscit cere l punto i coorinte (, ). () Dimostrre che, se l prim sferett iene lncit erso il punto i prtenz ell secon, le ue si incontrno con qulunque lore ell elocità i lncio ell prim. (b) Determinre le coorinte ( i, i ) el punto i incontro in funzione ell elocità i lncio. () le equzioni reltie l moto elle ue sferette sono: Pllin lncit = t = cosα t ; = o t ½ t = senα t ½ t Pllin lscit cere = ; = ½ t Inoltre si h t L conizione per l incontro è t : = ; = per lo stesso lore i t, cioè cosα t = senα t ½ t = ½ t sen t cui si ric cos t conizioni te iene sempre. t e, quini, l incontro nelle (b) Le coorinte el punto i incontro l tempo sono: i = ; i. cos t i cos sen 6

7 5. Un st C i lunhezz si può muoere con li estremi incolti scorrere luno li ssi e rispettimente. Se il punto si muoe con elocità costnte, clcolre: () l elocità e l ccelerzione el punto C; (b) il moto el punto B posto metà ell st. L posizione el punto C è t C = ; C t quini C t C t, C C 3 t 3 Il punto B h coorinte B = /, B = C / B + B = / 4, e quini B si muoe su un circonferenz i centro O (,) e rio /. percors in erso orrio. Clcolimo or elocità e ccelerzione i B. B B ; B B C C B B ; B B C C C E poiché () cos B e (B) sen B, erino l () si ottiene (C) sen e sostitueno in ess l (B) si h sen B cui elocità nolre non costnte, B C t quini moto rio. 7

8 6. Un pllin, lncit con elocità ll estremo i un ui circolre lisci i rio R, l bbnon ll ltro estremo C. Dti R = cm e = 5 m/s, clcolre: ) l elocità ell pllin nel punto C; b) il punto G ell sse in cui ess ce. C = cos 6 C = sen 6 () ZH = h = R cos 6 = R / ; C = + h = + R C = 5, m/s (b) Oltre il punto C = C + C t (I) con C = R sen 6 = C + C t ½ t (II) con C = R cos 6 Nel punto G i cut G = per cui l (II) ient: oe t è il tempo i olo >. = C + C t ½ t Si ric t =,5 s e in corrisponenz questo tempo ll (I) seue G = C + C t V = 3,88 m. 8

9 7. Dll quot h = 5 m si lnci orizzontlmente un pllin i omm con elocità = m/s. () Clcolre l ittt s, l elocità i rrio terr e l nolo α che quest form col terreno ll istnte ell urto. (b) Speno che nell urto le ue componenti ell elocità iminuiscono el %, clcolre l ltezz mssim riunt opo il primo rimblzo e l istnz s O el successio punto i rrio ell pllin terr. = t Le equzioni el moto sono = h ½ t Ricno t ll prim equzione e sostitueno nell secon si ottiene l equzione crtesin ell triettori: h che risult essere un prbol con sse erticle, ertice sull sse e concità riolt erso il bsso. () Quno l pllin tocc terr =, per cui l ittt si ottiene h ll equzione h s s m. 9

10 Le componenti ell elocità in tle istnte sono: m/ s ; h m/ s 3 t 4, per cui (b) Nell urto le componenti ell elocità ientno * 8m / s * m s 8 / * h Esseno t s il tempo i olo ell pllin, successimente ll urto si h: = s + * (t t ) ; = * (t t ) ½ (t t ) * = * ; = * - (t t ) In corrisponenz ll quot mssim l componente = e ciò si erific nell istnte t = t + * /, in corrisponenz le coorinte ell pllin sono: * * * s 6,4 m hmx 3, m Infine s = s + ( s ) =,8 m.

11 8. Si consieri un trinolo equiltero BC i lto l = m. ll istnte t = ue punti mterili prtono contempornemente l ertice, P luno il lto B con ccelerzione = m/s, P luno C con =,5 m/s. Dopo un tempo τ un terzo punto P 3 inizi muoersi sul lto BC, i moto rmonico con centro in H, pulszione ω, mpiezz s = ½ l. Si etermini il lore che ebbono ssumere τ e ω ffinché il terzo punto tocchi successimente li ltri ue l pssio i essi rispettimente per i punti B e C. Equzioni orrie: P s = ½ t tempo per iunere in B P s = ½ t tempo per iunere in C t t l l P 3 s 3 = s sen ω (t τ) preneno positio il erso H B. Perché si bbino le coincienze richieste l problem orà essere: s sen ω (t τ) = s (conttto con P ) s sen ω (t τ) = s (conttto con P ) ω (t τ) = π/ + n π (I) ω (t τ) = 3/ π + n π (II) Diieno membro membro si ottiene: t t 3 4n 4n cui

12 Dto che ll (I) si ottiene t 3 4n t 4n 4n n (III). n t n n. t t sostitueno in ess l (III) si h: Doeno essere ω > e esseno t > t to che < orà risultre n n = numero intero. Si rnno llor soluzioni n =,,, 3,. ; n = n, n +, n +, n +3,.. Nel cso prticolre in cui n n =, cioè n = n risult: t T = (t t ) t 3t t P 3 toccherà P e P nel corso i un semioscillzione.

13 9. Un corpo puntiforme C si muoe con elocità costnte luno un st rii B che, su olt, ruot sul pino ell fiur con elocità nolre costnte ω ttorno l suo estremo. Se ll istnte t = il punto C si tro in, eterminre le componenti ei suoi ettori posizione, elocità e ccelerzione rispetto l sistem O fisso, con oriine in e sse elle coinciente con l irezione ell st l tempo t =. B r θ = ω t O r r = t cos ωt r = t sen ωt = cos ωt ω t sen ωt = sen ωt + ω t cos ωt = - ω sen ωt ω t cos ωt = ω cos ωt - ω t sen ωt 3

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