Esercizi 5 Campo magnetico

Transcript

1 Esercizi 5 mpo mgnetico 1. Due lunghi fili rettilinei e prlleli, posti istnz, sono percorsi correnti uguli e opposte. lcolre il cmpo mgnetico nei punti equiistnti i fili. I θ I1 L sol componente che soprvvive ll somm vettorile ei ue contriuti l cmpo totle e quell lungo l sse. Quini: = = cosθ sse Per ognuno ei fili: I I 1 = = πr π 4 1 ( + ) quini cosθ= ( + 4) 1 I = π 4 ( + ). Due oine ientiche, i N spire e rggio, sono percorse ll stess corrente i. Esse sono isposte cossilmente, un istnz ugule l loro rggio.

2 z oine prllele l pino xy Mostrre che il cmpo mgnetico sull sse z, intorno l centro i simmetri el sistem, e qusi uniforme. Il cmpo totle e l risultnte ei contriuti elle ue oine. Ogni oin si puo ssimilre un spir, quini i rispettivi contriuti si scrivono, per i punti sull sse z: Ni 1= 3 Ni = 3 Quini il cmpo totle sui punti ell sse z e : 1 + z z Ni 1 1 = + = z+ + z Nell regione vicin l centro i simmetri si h: z z 1 Si puo in generle sviluppre (z) in serie i Tylor: ( ) ( ) 1... z z=! z z= z = + z+ z +

3 lcolimo le erivte nell origine, riscriveno come segue: A 1 1 ( z) = ( z 1 ) 1 ( z 1 ) A 1 1 u= z ( u) = ( u 1 ) 1 ( u 1 ) A 3 1 ( u 1 ) ( u 1 ) 3 1 ( u 1 ) ( u 1 ) = + 3 u 3 1+ ( u+ 1 ) 1+ ( u 1 ) 1 1 A 3 ( 5 4) 1 3 ( 5 4) ( 1 ) = = u z= ( 5 4) ( 5 4) ( u+ 1 ) 3 ( u+ 1 ) 5 1+ ( u+ 1 ) ( u 1 A ) + + = 5 3 u 3 1+ ( u 1 ) 3 ( u 1 ) 5 1+ ( u 1 ) ( u 1 ) A 3 ( 5 4) 15 4( 5 4) 3 ( 5 4) 15 4( 5 4) = = u z= ( 5 4) ( 5 4) Quini i primi ue coefficienti ello sviluppo in serie i Tylor sono nulli; si puo verificre che nche il III termine ello sviluppo h coefficiente nullo. L ipenenz z quini e el tipo ( ) + ( ) 4 z K K z z 1 1 che mostr come il cmpo si, nell zon centrle, piuttosto uniforme 3. lcolre l forz per unit i lunghezz fr ue fili rettilinei inefiniti, prlleli, percorsi correnti concori F F 1 i 1 i 1

4 Usimo le ue leggi elementri i Lplce: mpo generto ll elemento i corrente 1 nei punti el filo : s rˆ 1 1= i1 π s i = i = π π L irezione e quell inict nell figur, come conseguenz ell regol ell mno estr, o el cccivite, o el cvtppi Forz esercitt sull elemento i corrente : F = is 1 F= i s 1 F i i i = i = s π π Un spir rettngolre percors un corrente i, i lti e L, e immers nel cmpo mgnetico generto un filo rettilineo inefinito percorso un corrente i 1, come in figur: i 1 i Il cmpo generto l filo e quello en noto: L i = π r iretto perpenicolrmente l foglio; nel semipino in cui si trov l spir esso risult entrnte nel foglio stesso. lcolimo le forze genti sui 4 lti ell spir: sui lti orizzontli giscono forze irette, rispettivmente verso il filo (lto superiore), i intensit

5 i1 F= i L( ) = i L π in verso opposto l filo (lto inferiore), i intensit i F = i L( + ) = + i L F π < 1 ( + ) sui lti verticli giscono forze uguli e opposte L risultnte e quini un forz verticle, irett verso il filo, i intensit : i1 i1 i1i L 1 1 F= F F+ = i L i L= π π + π + ( ) Voleno comunque clcolre l forz gente su uno ei lti verticli, si puo proceere cosi : l elemento i forz e to ll solit formul i Lplce; per l forz totle gente sul singolo lto: F= i s F= i r oi1 = πr oi1 F= ir πr + oi1 oi1i r + F= i ln π = r π 5. Un cvo cossile e costituito un conuttore cilinrico interno i rggio c, in cui scorre un corrente i, circonto un conuttore cilinrico cvo, i rggi (esterno) e (interno), nel qule scorre un corrente i (ossi, ugule e oppost quell che scorre nel conuttore interno). lcolre il cmpo mgnetico in funzione ell istnz rile r. Si puo usre il teorem i Ampere, sceglieno come spir mperin un circonferenz i rggio r generico nelle vrie regioni rili: r<c

6 s = i() r πr r i() r = i = i πc c r ir π r= i = c πc c<r< s = i i π r= i = πr <r< = i i() r s ( r ) ( r ) ( ) ( ) π i() r = i = i π r r i = π r= i 1 1 πr > s = πr= = 6. Un oin pitt e costituit N = 14 spire icenti i filo sottile vvolte in ri, in moo riempire completmente con un spirle pin e comptt un coron circolre i rggio interno = 5 cm e rggio esterno = 15 cm, come inicto in figur

7 Se l oin e percors un corrente I = A, clcolre il cmpo l centro ell oin stess Densit' rile i spire: N λ = spire/cm oron circolre i spessore infinitesimo r contiene n spire: N n = λr = r ontriuto infinitesimo l cmpo l centro: I I N = = r r n r = = I N r I N = ln r ln T 1 5