Cinematica in due dimensioni

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1 Cpitolo 4 Cinemtic in due dimensioni. Indipendenz dei moti perpendicolri Il psso successivo llo studio dello spostmento luno un rett, è l nlisi del moto di un punto mterile in due dimensioni, vle dire tutte quelle situzioni in cui l insieme delle posizioni vi vi occupte dll oetto si trovno su di uno stesso pino. E questo d esempio il cso di un pll che rotol sopr d un bilirdo, oppure di un frecci sclit d un rco con un qulsisi nolo inizile rispetto ll orizzonte. Lo studio cinemtico del moto in due dimensioni riesce un fcile enerlizzzione di quello rettilineo rzie l principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri scoperto d Glileo: Principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri L cinemtic di un punto mterile in un direzione è indipendente dll cinemtic dello stesso punto in un qulunque ltr direzione d ess perpendicolre Che uso possimo fre del principio di indipendenz dei moti? Oni volt che un punto mterile seue un triettori pprtenente tutt d un pino, si scelono due direzioni nel pino fr loro perpendicolri, (d esempio li ssi orizzontle e verticle se si trtt di un oetto sclito in ri). Si imminno poi due fsci luminosi, onuno prllelo d un delle direzioni scelte, così d proiettre l ombr dell prticell luno l ltr direzione. Se considerimo le posizioni delle due ombre, ciscun di esse descriverà un moto rettilineo, con un propri velocità ed un propri ccelerzione. Il principio d indipendenz dei moti perpendicolri fferm che se potessimo nnullre velocità ed ccelerzione in direzione verticle, (fissndo dunque l ltezz del punto), il moto dell ombr orizzontle non risentirebbe fftto di questo e proseuirebbe imperturbto. Lo stesso vrrebbe per il moto in verticle se nnullssimo velocità ed ccelerzione in orizzontle. In ltri termini, per il moto proiettto in orizzontle è proprio come se il

2 movimento in verticle non ci fosse: non potremo mi rllentre od ccelerre l cors dell ombr orizzontle ttrverso cmbi di velocità in direzione verticle, e nturlmente nenche il vicevers. Quli esempi si possono fre? Considerimo un uomo con in mno un pll, mentre viene trsportto d un tppeto scorrevole vente velocità costnte. Ad un dto istnte l person lnci l pll in lto, con velocità inizile esttmente verticle. Ricordimo che in questo, come in tutti li esempi del cpitolo, il contrsto ftto dll ri si consider così piccolo d essere trscurbile. Il principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri prevede che il moto verticle impresso ll pll non influenzi quello orizzontle che ess inizilmente possedev insieme l nstro scorrevole. Se quindi illuminssimo l scen dll lto con un fscio di luce verticle, vedremmo l ombr dell pll stmprsi in oni istnte sulle plme dell uomo, finché, dopo ver descritto un rco di triettori curv, li ricde esttmente nelle mni. Considerimo un secondo, fmosissimo esempio che si deve llo stesso Glileo. Un pll lscit cdere dll bocc di un cnnone in cim d un ltur, tocc terr nel medesimo istnte in cui lo f un ltr pll che contempornemente viene sprt in direzione orizzontle. Inftti, il moto orizzontle impresso dl cnnone ll pll non modific in lcun modo quello verticle, e quindi il tempo di cdut dei due rvi deve essere lo stesso.

3 . L cinemtic del lncio orizzontle Considerimo un prticell sclit in direzione orizzontle prtendo d un cert ltezz rispetto l terreno, proprio come l pll del cnnone nel precedente esempio. Per questo fenomeno useremo nel seuito il termine proiettile in un ccezione più mpi di quell comune, intendendo con ciò un qulunque oetto (di dimensioni tli d potersi considerre prticell in quel contesto) che, lncito in ri, si trovi in moto di cdut liber. Un proiettile è un oetto in cdut liber? Sclire un oetto in ri comport imprimerli un cert velocità inizile, quindi in quest fse esso non è sottoposto solo ll zione dell rvità m nche quell dell nostr mno. Se volimo occuprci solo dell fse di cdut liber, il nostro studio deve inizire nell istnte immeditmente successivo quello in cui il proiettile h lscito l mno, (il fucile, il cnnone), e qunto è ccduto prim (zione del brccio, detonzione di polveri ecceter) viene rissunto nel vlore di velocità inizile che li è stt impress, e nell direzione luno cui è stto sclito. Durnte l fse di permnenz in volo considereremo trscurbile il contrsto ftto dll ri, in modo che l unic zione esercitt sul proiettile si quell dovut ll rvità. Nell fse di imptto, il proiettile non è più in cdut liber in qunto speriment l zione di un soetto esterno (un muro od il terreno), frenrne l cors. L nostr nlisi pertnto dovrà terminre un istnte prim. Quindi, sebbene l velocità di un proiettile si nnulli l momento dell imptto, questo evento si colloc fuori dll nostr re di studio. Noi nlizzeremo ciò che ccde fino d un frzione di secondo prim che l imptto bbi luoo, e potremo clcolre il vlore dell velocità fino quel momento. Con tli ccorimenti, il proiettile può senz ltro essere considerto in cdut liber, vle dire che in direzione verticle l unic zione dll esterno su di esso è quell dovut ll rvit, mentre in direzione orizzontle nessun soetto esterno interisce con il proiettile. Le proiezioni luno li ssi seuono un moto uniformemente ccelerto? Imminndo due luci che illuminno il proiettile, un dll lto ed un d sinistr: le due ombre proiettte suli ssi seuono moti indipendenti, onuno overnto solo dll su velocità inizile e dll su ccelerzione. Luno le ordinte si h un moto uniformemente ccelerto in qunto bbimo un ccelerzione costnte dovut ll rvità:, e quindi l velocità verticle ument oni secondo di 9.8 m/s v verso il bsso. Luno le scisse, dove non ci sono zioni esterne d ccelerre o rllentre, e quindi è null, il moto è rettilineo uniforme. ( t) Come scrivere le lei orrie di posizione e velocità per un lncio orizzontle? Le lei orrie per le posizioni delle due proiezioni luno li ssi si scrivono sfruttndo il principio di indipendenz dei moti perpendicolri. Luno l direzione orizzontle quindi, sono solo l velocità inizile v e l ccelerzione overnre ( t) il moto, ed nlomente per l direzione verticle contno solo i vlori v ed. Scrivimo quindi due coppie di lei orrie indipendenti: 3

4 ( t) v t t v ( t) v t ( t) v t t v ( t) v t Posizionndo l sse delle scisse l suolo e quello delle ordinte cvllo dell coordint d cui prte il proiettile si h, v,, ottenimo: e così ( t) v t v ( t) v ( t) t v ( t ) t Cos si intende per triettori del moto? L triettori è l insieme delle posizioni occupte dll prticell durnte il moto. L relzione ( ) che esprime l coordint in funzione dell coordint si dice equzione dell triettori. Nel lncio orizzontle d quot l triettori è un rco rivolto verso il bsso e l su equzione viene dett prbol. Per ricvre l equzione dell triettori si deve eliminre l coordint temporle t dlle lei orrie dell posizione, e questo si f mettendole sistem. Dll lee orri luno le scisse si h t che, inserit v in quell per le ordinte produce: v e quest è l equzione dell triettori di un lncio orizzontle che prte d quot ed h velocità inizile v. Come si clcol il tempo di permnenz in volo del proiettile? Il tempo di permnenz in volo, detto nche tempo di cdut, che qui indicheremo * con t, è lo stesso che si vrebbe nel cso di cdut in verticle prtendo d fermo dll stess ltezz. Lo si ricv imponendo che l quot ( t) si null: ( t ) t t * * * vendo scrtto l soluzione netiv, priv di sinificto fisico in qunto riferit d un istnte ntecedente il momento del lncio. 4

5 Come si clcol l velocità un istnte prim di toccre terr? L velocità verticle v ( t ) nell istnte t * : * v un momento prim di toccre terr è espress dl vlore di * * v t mentre l velocità orizzontle è sempre uule l vlore inizile v, e questo vle si un istnte prim dell imptto si durnte tutto il lncio, in qunto non vi è ccelerzione in quest direzione. Cos è l ittt e come si clcol? Il termine ittt si us per indicre lo spzio complessivo percorso in orizzontle dl proiettile prim di toccre terr. Per indicre l ittt useremo il simbolo R, dll inlese Rne. Si ottiene il vlore di R inserendo il tempo di cdut nell equzione orri dell posizione luno l direzione orizzontle: * R ( t ) v Esempio Un cnnone spr orizzontlmente un proiettile d un collin lt velocità inizile di 5 m, con un 5 m/s. Si dic qule distnz dll verticle che pss per il cnnone cde il proiettile. Si scriv quindi l equzione dell triettori e si clcoli qul è l su ltezz qundo si trov 7 m d tle verticle. Scrivimo l lee orri dell posizione per il proiettile: ( t ) 5 v t t t ( t ) v t t t Imponimo che l ltezz si null per trovre i tempo do cdut * t : t t 5.53 s 4.9 * sostituimo t nell lee orri per le scisse e ricvimo qule distnz dll verticle che pss per il cnnone cde il proiettile, cioè l ittt: R (5.53) m Per ricvre l triettori mettimo sistem le due lei orrie ed eliminimo il tempo: t 5t t m m 5 m/s 7 m 38 m 5

6 8. m v? il coefficiente del termine di secondo rdo nell triettori è molto piccolo rispetto li ltri numeri, il che indic che si trtt di un prbol molto llrt, come ci spettimo osservndo che in un colpo di cnnone i primi metri sono percorsi d proiettile prticmente in orizzontle. Sostituendo l posizione 7 m nell triettori trovimo l ltezz corrispondente: 5 m Esempio Un rzz ffccit d un blcone lto orizzontle per il suo innmorto che si trov ll distnz di 8. m lnci un ros in direzione 4. m dl muro dell cs. Trscurndo l resistenz dell ri, si dic con qule velocità deve lncire l ros ffinché cd nelle mni del rzzo, se questi si chin rccoliendol un istnte prim che tocchi terr. 4. m Scrivimo l lee orri dell posizione per l ros e d quest ricvimone l triettori: vt t v imponimo che ll distnz di 4. m l ltezz dell ros si zero e trovimo un equzione nell sol inconit v : v 3.m/s v 8. 6

7 3. Lo spostmento e le rndezze vettorili Le proprietà cinemtiche che nscono dl principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri, possono essere sfruttte in mnier efficce ttrverso l introduzione di lcuni strumenti mtemtici detti vettori. Si procede osservndo innnzitutto che qundo un prticell si muove su di un pino, non è più possibile descrivere l su cinemtic soltnto fornendo dei numeri positivi o netivi, come si f qundo ess si spost luno un rett dicendo che l su velocità inizile vle v, l su posizione inizile e l su ccelerzione. E inftti necessrio iunere delle informzioni che riurdno l triettori luno l qule il moto si svilupp. Come possimo rppresentre lo spostmento in più di un dimensione? Un modo semplice per esprimere lo spostmento di un prticell che si muove d un posizione inizile d un posizione finle, è utilizzre un semento orientto che bbi l cod nell posizione inizile e l punt nell posizione finle. Sebbene quest si un descrizione ssi rossoln di qunto ccde, che prescinde dll triettori effettivmente seuit dll prticell (ill in fiur), risult uno strumento molto utile perché ttrverso di esso è possibile fr emerere le proprietà lete ll indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri. Osservimo poi che suddividendo l triettori in spostmenti successivi, è possibile drne un descrizione tnto più precis qunto più l scnsione è fitt, il che suerisce che quest descrizione imprecis del moto rele poss essere rffint per pprossimzioni successive. Qund è che possimo considerre uuli due spostmenti? Per rispondere quest domnd fccimo un ulteriore strzione rispetto l descrivere lo spostmento fcendo uso di un semento orientto. Rimuovimo idelmente si il punto d cui l prticell inizi muoversi si il punto in cui iune, e mntenimo soltnto l prte essenzile dell informzione, cioè l relzione che li le. Ciò che ci interess inftti è disporre delle informzioni che dicno come il punto si trovi d un cert distnz dl punto ed in un dt direzione, prescindendo dlle posizioni effettive di e nel pino. In quest ottic i movimenti in fiur di un prticell d e quello di un ltr d 3 4, dnno entrmbi oriine llo stesso spostmento. Inftti, pur essendo diverse le posizioni di prtenz e di rrivo, l posizione di reltivmente d è uule quell del punto 4 rispetto l punto 3. In ltri termini prtendo dlle due posizioni inizili potremmo riunere le due posizioni finli vnzndo dello stesso numero di pssi e con l stess inclinzione verso Nord-Est. Con quest convenzione considereremo quindi uuli due spostmenti in cui l relzione che esprime l posizione finle reltivmente quell inizile si l stess, cioè: O 3 N S 4 E sono uuli due spostmenti individuti d sementi che sino prlleli, orientti nello stesso verso e di pri lunhezz. Sementi con tli crtteristiche si dicono equipollenti. 7

8 r r r QUESTI NON SONO TANTI VETTORI MA TANTI RAPPRESENTANTI DELLO STESSO VETTORE r r r 3 Come esprimere lebricmente questo tipo di semento orientto dello spostmento? Per ssocire delle informzioni numeriche l semento orientto che descrive uno spostmento introducimo un sistem di due ssi crtesini ortoonli. Dto uno spostmento d un punto d un punto, in bse qunto detto vi sono infiniti sementi equipollenti che lo rppresentno nel pino. Considerimo quello che h l cod nell oriine e misurimo le coordinte dell su punt. Indichimo quest coppi di numeri con i simboli ( r ; r ), come in fiur. L utilizzo del simbolo delt, che come sppimo è riservto ll vrizione di un rndezz è in questo cso iustificto dl ftto che stimo misurndo vrizioni dell posizione luno un triettori. Poiché qundo conoscimo questi due vlori sppimo tutto ciò che ci occorre per individure lo spostmento, quest è proprio l misur che stimo cercndo per crtterizzrlo. Chimimo vettore spostmento, l coppi di numeri ( r ; r ) ed utilizzimo il simbolo r per indicrlo. Diremo inoltre componente del vettore spostmento ciscuno dei due numeri r, r e ci riferiremo d onuno deli infiniti sementi orientti equipollenti, come d un rppresentnte del vettore r. Come si cpisce, il vettore spostmento non coincide con nessuno dei sementi orientti che lo rppresentno nel pino, m è piuttosto d intendersi come l proprietà che li ccomun tutti, proprietà che è bene espress lebricmente qundo sono dte le sue componenti. r r r r r r r r Come si ddizionno i vettori spostmento? Considerimo due spostmenti consecutivi, il primo r ( r ; r ) che port dll posizione ll, il secondo r ( r ; r ) dll ll 3. Come si vede dll fiur, lo spostmento complessivo è rppresentto d un semento orientto che h l cod nell posizione e l punt nell posizione. Quest tecnic di somm è detto metodo di punt-cod. Ci proponimo or di cpire che effetto bbi l somm eseuit con il metodo di punt cod sulle componenti dei vettori spostmento: volimo cioè ottenere le componenti del vettore somm r r r. Osservndo nell fiur lto che qundo le componenti sono positive, esse coincidono numericmente con le misure dei cteti di quei trinoli in cui i rppresentnti del vettore sono ipotenuse, è immedito vedere che: r r r r r r r r r O r V Tle risultto dice che il vettore spostmento complessivo si ottiene sommndo le componenti di ciscun vettore spostmento in modo indipendente. Quindi, rzie ll uso dello strumento mtemtico detto vettore, bbimo ritrovto e reso trsprente nel cso dello spostmento, il principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri. Inftti sommre indipendentemente le componenti ed sinific che qulsisi spostmento r può essere pensto come composto d uno spostmento in orizzontle r seuito d uno verticle O r e che i due non V possono influenzrsi vicend in lcun modo. 8

9 Che succede qundo si seuono più di due spostmenti successivi? L tecnic di punt cod si estende nel cso di più vettori, ed il risultto complessivo è quello di uno spostmento che bbi l cod nell cod del primo semento orientto, e l punt coincidente con l punt dell ultimo. Quest operzione non dipende dll ordine con il qule viene eseuit, come si verific fcilmente osservndo che i quttro vettori in fiur producono sempre lo stesso vettore somm (in rosso). Ad ulteriore conferm si riflett sul ftto che qundo si ddizionno in modo indipendente le componenti orizzontle e verticle, deve vlere l proprietà commuttiv fr numeri, e cioè non cont l ordine nel qule le componenti sono sommte. Ne seue che nemmeno l ordine con il qule si eseue il metodo di punt cod non può influire sul risultto finle. Un prov prtic può essere ftt usndo delle mtite colorte come rppresentnti dei vettori e cmbire l ordine di ddizione. Cos è quindi un vettore? In bse qunto sopr esposto si intuisce che è possibile definire un vettore nche prescindere dl vettore spostmento. Questo risult prticolrmente utile in qunto come vedremo vi sono numerose rndezze fisiche, come d esempio l velocità e l ccelerzione, che sono individute, oltre che dll loro intensità, nche d un direzione ed un verso luno di esse: Si dice vettore un insieme costituito d tutti li infiniti sementi orienttti equipollenti fr loro, e che seue l reol di ddizione con il metodo di puntcod. Un vettore pertnto non è semplicemente un rndezz ll qule è in più ssocit un direzione, m uno strumento mtemtico che seue il metodo di punt-cod per l ddizione. Ad esempio l frecci sclit d un rco non è un vettore, come si cpisce subito pensndo che non si può ottenere un tiro verso NordEst lncindo contempornemente due frecce uuli, un Nord ed un d Est. Il vettore si indic con un letter con sopr un frecci, d esempio. Gli infiniti sementi orientti d cui il vettore è costituito venono detti rppresentnti del vettore. L lunhezz di uno qulsisi dei suoi rppresentnti si chim intensità del vettore e si indic con il simbolo. Un vettore risult pertnto individuto qundo ne venono ssenti l intensità, l direzione ed il verso. Quli informzioni bison fornire perché un vettore si identificto? Come si è visto, un vettore è ssento ttrverso le coordinte ( ; ) dell punt del suo prticolre rppresentnte che h l cod nell oriine. Tuttvi, oltre che trmite le componenti possimo identificrlo trmite l su intensità e l nolo (thet), che form con l sse delle scisse, misurto positivo se si ir in verso ntiorrio, e netivo se si ir in verso orrio. Ad esempio potremo esprimere il vettore b in fiur fornendo le coordinte: b (4;), oppure trmite l intensità: b e l nolo: 7. 7 b 4 9

10 Come possimo fre per pssre, note l intensità e l nolo, lle coordinte? Se di un vettore si conoscono l inclinzione e l intensità (e si h 9 ), per rislire lle coordinte bison considerre un trinolo rettnolo simile quello di cteti, ed ipotenus. Questo nuovo trinolo deve vere l ipotenus che misuri, in qunto le lunhezze di cteti di qulunque trinolo rettnolo di ipotenus unitri sono memorizzte nell clcoltrice e si chimno: cos sin seno di quello opposto ll nolo, indicto con il simbolo sin coseno di quello dicente ll nolo, indicto con il simbolo cos Attrverso semplici relzioni di similitudine si ottenono le formule che permettono di rislire lle coordinte: cos cos sin sin 5 Esempio 3 Clcolre le componenti ( ; ) vente intensità 5 inclinzione. Risult: cos 5 cos sin 5 sin ed Come possimo fre per pssre, note le componenti, ll intensità ed ll nolo? Se di un vettore si conoscono le coordinte ed (e si h ed ) e si vuole rislire ll inclinzione ed ll intensità, per quest ultim si pplic il teorem di Pitor: Per trovre l inclinzione invece, bison di nuovo considerre il trinolo rettnolo simile l nostro ed vente ipotenus che misur. Il rpporto fr le lunhezze dei cteti di qulunque trinolo rettnolo di ipotenus unitri è memorizzto nell clcoltrice e si chim:

11 misur del cteto opposto tnente di misur del cteto dicente (simbolo tn) Poiché il rpporto fr cteti è lo stesso nche nel trinolo di lti ed si h: tn Per trovre si clcol quindi il rpporto e, spendo che questo è uule ll tnente di lo si inserisce nell clcoltrice chiedendo di estrrre dll su memori l nolo che produce proprio quel vlore del rpporto fr i cteti. Come si eseue quest operzione con un clcoltrice? Bison innnzitutto settre l clcoltrice chiedendo che li noli venno espressi in rdi sessesimli, vle dire che delle tre opzioni che l tstier (o il displ) propone, cioè DEG, RAD e GRA, scelieremo DEG. Si diit quindi il tsto 8 tn tn 9 tn dopo (o prim second del modello) ver inserito il vlore del rpporto 8, e si clcol tn. Quindi, per vere bison distinuere second del seno dell componente orizzontle del vettore, come illustrto nche in fiur: 36 tn ; 8 tn 7 questo procedimento fornisce vlori netivi (cioè ottenuti irndo in verso orrio) per li noli nel qurto qudrnte. Esempio 4 Clcolre l intensità e l inclinzione dei vettori: (3;), b ( ; 3), c( ; ), d(; 3). Risult: 3 3 tn b ( ) 3 b 8 tn c ( ) ( ) 8 8 tn c 5 d ( 3) 3 d tn c c c 3 b 3 b b d d 3 d

12 Esempio 5 Si sommino i due vettori spostmento A B 5. m, 8. B e B essendo A 3. m,, A B C A Scrivimo le componenti: A A cos m A A sin m B B cos m B B sin m Indicndo con C A B, sommimo le componenti corrispondenti: C A B m C A B m Risult quindi C 3.8; 5.9. In termini di intensità ed nolo si h poi: C C C m C C tn.6 58 C 3.7 Le componenti sono loro volt dei vettori? In qulunque contesto in cui sino presenti vettori, le rndezze espresse d un semplice numero sono dette sclri. Le componenti di un vettore sono pertnto deli sclri. Attrverso dei prticolri vettori spostmento, detti versori, diretti come li ssi e l cui lunhezz misur (nelle unità del sistem di riferimento), è possibile introdurre nche le cosiddette componenti vettorili del vettore. Indicheremo con: un vettore di lunhezz vente l direzione ed il verso dell sse delle scisse, quindi srà ˆ(; ) (versore ) un vettore di lunhezz vente l direzione ed il verso dell sse delle ordinte, quindi srà ˆ(; ) (versore ) A A ; A, chimeremo Se quindi risult che un vettore h componenti sclri: componenti vettorili di A i vettori: A A cioè A ( A ;) A A cioè A (; A ) in modo che risulti: A A A A ˆ A ˆ Come si può moltiplicre uno sclre per un vettore? D qunto esposto sopr, implicitmente risult definit nche l operzione di moltipliczione di uno sclre k per un vettore A, intendendo che si deve moltiplicre ciscun delle componenti del vettore per lo sclre.

13 Ad esempio se ka k ed A3; ka ; ka dell operzione è un vettore l cui intensità vle: vremo ka A ( 6; ), ed il risultto A A ka ka k A A k A Come si possono sottrrre rficmente due vettori? Un rppresentnte del vettore differenz A B si può ottenere pplicndo l contrrio l tecnic di punt cod. Dovendo inftti essere B A B A si vede bene che A B h per rppresentnte il semento che h l cod sull punt di B e l punt sull punt di A. B A A B Esempio 6 Considerti i vettori (3, ) e b (, 4) si clcolino i vettori c 3, d b e p 5b. In bse ll definizione risult: c 3 3(3;) (33; 3) (9; 6) d b (3;) (; 4) (3 ; 4) (4; 6) p 5b (3;) 5(; 4) ( 3 5; 54) (; 6) 3

14 4. Il vettore velocità ed il vettore ccelerzione v m r Come viene definito il vettore velocità medi? Per nloi con il cso in un dimensione, con il termine velocità medi intenderemo or un vettore l cui intensità fornisce il vlore di velocità costnte che l prticell dovrebbe vere per muoversi dll posizione inizile quell finle luno il semento orientto che rppresent lo spostmento, nello stesso intervllo temporle t che le occorre per eseuire il tritto rele luno l triettori. Possimo definirlo fcendo il rpporto fr il vettore spostmento r e l intervllo t durnte il qule è vvenuto. Mtemticmente lo si ottiene moltiplicndo il vettore r per lo sclre t : v m r t r t vettore sclre v r Cos succede rimpicciolendo sempre più l intervllo temporle? Qundo t tende diventre nullo, chiudendosi ttorno ll istnte in cui inizi lo spostmento, il rppresentnte del vettore spostmento r tende diventre un semento di lunhezz sempre più piccol e direzione tnente ll triettori. Sebbene in quest operzione t e r perdno di sinificto fisico, così non è per il loro rpporto, il qule si vvicin sempre più descrivere l velocità nell istnte di prtenz considerto. Il vettore che si ottiene viene detto vettore velocità istntne (o semplicemente vettore velocità): r v lim t t v v v 3 Come sppimo dl principio d inerzi, se d un dto istnte venisse nnullt oni zione dll esterno, l prticell proseuirebbe il moto luno un line rett, e l su velocità srebbe per sempre costnte e pri l vlore posseduto in quell istnte. Il rppresentnte del vettore velocità che h l cod nell posizione dell prticell esprime proprio quest direzione istntne. Quli sono le componenti del vettore velocità? Grzie l principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri, l operzione di pssio l limite isce indipendentemente luno le direzioni dei due ssi, pertnto si h che: 4

15 v lim ; lim ( v ; v ) t t t t In bse ll definizione stess di spostmento, l lunhezz del semento orientto che rppresent il vettore velocità riesce proporzionle ll intensità dell velocità stess: v v v Come si definiscono i vettori ccelerzione medi ed istntne? Considerimo due istnti un intervllo di tempo t di tempo successivi t in e t fin, nei quli il vettore velocità istntne subisce vrizioni v luno l componente orizzontle e v luno quell verticle. Si definiscono vettore ccelerzione medi e vettore ccelerzione istntne (o semplicemente ccelerzione) quelli venti m componenti rispettivmente: m v t v ; t v v lim ; lim ( ; ) t t t t Discuteremo più vnti l direzione del vettore ccelerzione nel cso enerle; nel cso prticolre dei problemi di cdut liber in due dimensioni che considereremo nel prossimo prrfo, se l sse delle ordinte punt in lto esso h componenti (; ) ed è quindi verticle, diretto verso il bsso e di intensità. Come possimo utilizzre i vettori per descrivere l cinemtic del lncio orizzontle? Nel lncio orizzontle con un riferimento vente l oriine sull verticle condott dl punto di spro risult v ( v ;) e (; ), così che durnte l cdut l componente orizzontle dell velocità rimne sempre uule l vlore inizile mentre quell verticle ument oni secondo che pss di 9.8 m/s l secondo verso il bsso. L effetto è un rdule umento dell intensità del vettore velocità, come si vede in fiur. (; ) v v v v v v v v v v 5

16 5. Cinemtic del lncio obliquo v v v Studieremo or l cinemtic del lncio di un proiettile con un nolo inizile qulsisi in condizioni di cdut liber. Abbimo visto come l Indipendenz dei due moti perpendicolri comporti che non si poss ccelerre o rllentre il moto luno l direzione orizzontle endo in quell verticle e vicevers. In ltri termini qulunque moto su di un pino può essere pensto come enerto d due moti indipendenti suli ssi, cioè si può produrre un moto in due dimensioni combinndo quelli in un dimensione. Provimo inftti lncire un proiettile ttrverso un meccnismo come quello in fiur, trmite un nstro trsporttore che imprime un velocità orizzontle v sormontto d un moll che imprime un velocità verticle v e filmimo l triettori. Successivmente ripetimo il lncio imprimendo nel proiettile un velocità inclint di un nolo tle che v v v v tn, e con intensità v. Si osserv che l triettori è l stess nei due csi. Come possimo scrivere le lei orrie di tle lncio? Considerimo un proiettile in cdut liber sprto dll oriine con un velocità inizile v che formi un nolo con l sse orientto delle scisse. m v v v v v v v m v v v R v v v Se indichimo le componenti dell velocità con ( v, v ), (in fiur sono riportti invece i vettori componenti ), per il principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri possimo scrivere subito le lei orrie dell posizione e dell velocità: vt vt t v v v v t 6

17 Dll lee dell posizione luno le scisse si esprime il tempo in funzione di, ed inserendolo nell lee orri dell posizione luno le ordinte si ottiene l equzione dell triettori: t v v v v Anche in questo cso l triettori è un prbol, ben visibile d esempio osservndo il etto d cqu dell fontne oppure l triettori descritt dll lv nel filmto di un eruzione vulcnic. Continuno inoltre vlere luno i due ssi le relzioni fr velocità e posizione ricvte per l cinemtic luno un rett: v v v v v v Qunto vle il tempo di permnenz in volo? Clcolimo dpprim il tempo t m che occorre l proiettile per riunere il punto di mssim ltezz. Poiché il moto in direzione verticle non è stto lterto dl ftto che l oetto si muove contempornemente nche in orizzontle, il punto di mssimo continu d essere crtterizzto dll nnullrsi dell componente verticle dell velocità. Si noti però che nel mssimo, l velocità complessiv invece non si nnull, m è tutt in direzione orizzontle, con un intensità uule l vlore inizile v. Imponendo che nel mssimo si nnulli l componente verticle dell velocità, ricvimo vlore di t m : v v( tm ) v t tm Le coordinte del mssimo si ottenono inserendo t m nelle lei orrie dell posizione (oppure con le formule per il vertice dell prbol pplicte ll triettori): vv v m m Proprio come nel cso del lncio in verticle luno un rett, le due fsi di slit e disces sono simmetriche, cioè durnte l fse di disces successiv mssimo, l componente verticle dell velocità rissume (con seno invertito) tutti i vlori che vev in fse di slit, così che il tempo di ricdut è uule l tempo di slit. Pertnto il tempo complessivo t * di permnenz in volo è due volte t m : * v t 7

18 Come si clcol l ittt e qunto è il suo vlore mssimo? Grzie ll indipendenz dei moti orizzontle e verticle, l ittt R si ottiene * inserendo il tempo complessivo di cdut t nell equzione orri dell posizione luno l direzione orizzontle: * R v t v v A prità del vlore di intensità inizile v, l mpiezz dell ittt vri sensibilmente second dell inclinzione inizile del vettore velocità. L inclinzione è determint di vlori delle componenti orizzontle e verticle v e v di v, e come si vede l ittt è mssim qundo è mssimo il prodotto v v. Sppimo inoltre che i componenti dell velocità inizile sono vincolti dll relzione: v v v v v v Fisst l intensità dell velocità inizile, cioè fissto v, osservimo che il prodotto vv è l re di un rettnolo di dionle v e lti v e v. L re di un rettnolo di dionle fisst ssume il suo vlore mssimo qundo i due lti sono uuli e diviene un qudrto. Considerimo inftti l semicirconferenz che h per dimetro l dionle comune quest fmili di rettnoli, ed osservimo che ciscuno di essi è diviso dll dionle in due trinoli rettnoli uuli, dionle che è nche ipotenus. Al vrire delle misure dei cteti, il vincolo v v v f sì che questi trinoli sino sempre inscritti nell semicirconferenz, pertnto, mentre l misur dell bse rimne costnte, l loro ltezz può vrire d zero fino d un vlore mssimo, che è il rio dell semicirconferenz. Il trinolo che h l mssim ltezz possibile prità di bse h nche l mssim re e, per l simmetri dell fiur, è l metà di un qudrto, v come volevmo dimostrre. Allor l ittt è mssim qundo v v, ed v in questo cso l nolo di lncio è 45. Sostituendo v v nell espressione di R risult: v R m Che relzione esiste fr lnci d noli minori e miori di 45? vv Scmbindo fr loro v e v nell relzione R si ottiene il medesimo R, cioè l ittt è l stess per noli di lncio che differiscono d 45, in positivo od in netivo, di uno stesso vlore. Ad esempio un lncio d terr inclinto di 8

19 75 rriv ltrettnto lontno di uno inclinto di 5 che bbi l stess velocità inizile, in qunto entrmbi differiscono di 3 dll nolo di ittt mssim R v v v Esempio 7 Un clcitore colpisce il pllone imprimendoli un velocità inizile inclint di rispetto l terreno e d intensità v 5 m/s. Riesce superre un brrier lt.85 m e distnte 9.5 m? Di qunti metri l ittt è inferiore l vlore mssimo possibile per quel modulo dell velocità inizile? Qul è l quot mssim riunt dl pllone? A che distnz dl punto inizile viene riunt? Dopo qunti secondi? Come prim cos clcolimo le componenti dell velocità: v v cos 5. cos m/s v v sin 5. sin m/s Scrivimo quindi le lei orrie dell posizione e d queste l equzione dell triettori: lee orri: 3.t 9.38t 4.9t t 3. triettori: Per cpire se l brrier viene supert occorre confrontre l quot del pllone 9.5 m dll posizione di lncio con l ltezz dell brrier : v 9.5 m v 3 (9.5) m essendo l quot miore di.85 m l brrier viene supert. Imponimo nell equzione dell triettori per trovre l ittt: m Confrontimo l ittt con il vlore mssimo: 9

20 v 5. R 63.7 m R R m m m 9.8 Per il clcolo dell quot mssim riunt inserimo il tempo in cui si nnull l componente verticle dell velocità nell lee orri dell posizione: lee orri dell velocità: v v t.956 s v t 9.8 (.956) m lee orri dello spzio: (.956) m per l simmetri del problem l posizione orizzontle del mssimo risult l metà dell ittt, come si verific nche utilizzndo le formule per il vertice dell prbol. Esempio 8 Un mzzo di chivi viene lncito d un ltezz di. m d un nolo 6 e cde nelle mni di un person ffccit ll finestr che si trov 4. m sopr ll 4. m strd, ll distnz di 6. m dl punto di lncio. Qule velocità inizile è stt impress l mzzo di chivi? Per qunto tempo è rimsto in ri? 6. m 6. m Scrivimo le lei orrie dello spzio nel riferimento in fiur: ( t) v cos 6 t.5v t ( t). ( v sin 6 ) t t..87 v t 4.9t Clcolimo il tempo che occorre ll coordinte orizzontle percorrere otterremo un espressione dove l velocità inizile rimrrà inconit: 6..5 v t 6. t.5 v 6. m, Sostituimo questo vlore nell coordint verticle ed imponimo che in quell istnte l quot si 4. m. Si ottiene un condizione per trovre v : v 6..5 v v v 9.7 m/s.5 v.5 8. Il clcolo del tempo complessivo del volo si effettu scrivendo l lee orri luno le scisse con il vlore trovto, ed imponendo quindi che l posizione finle si 6. m : 6. ( t).5 v t 4.9t 6. t.3 s 4.9

21 Esempio 9 Un ioctore di pllcnestro eseue un tiro con velocità inizile di 4. m/s con un nolo di 5 rispetto d un line orizzontle. A 8. m dll su posizione si trov il cnestro, che viene centrto. Si dic di qunti metri il cnestro è situto più in lto dell mno che h lncito il pllone, e se nell istnte del centro l pll h ià scvlcto il punto di mssim ltezz dell triettori. Scrivimo l lee orri dell posizione del tiro nel riferimento in fiur, vendo indicto con ed l quot inizile del pllone e l ltezz del cnestro, rispettivmente. ( t) cos 5t 8. 9.t ( t) 4. sin 5t t.7t 4.9t Il pllone riune il cnestro qundo ( t), quindi si h per il tempo di permnenz in volo: t t. s 9. I dti del problem forniscono quindi l condizione (. s) d cui: 5 8. m m Nell istnte in cui è riunto il mssimo si nnull l componente verticle dell velocità: 4. sin 5 v( t) 4. sin 5 t t.9 s 9.8 che come si vede è precedente ll istnte in cui f cnestro. Esempio Un ssso viene sclito d un promontorio lto 8 m con un nolo 35 v rispetto ll orizzonte ed un velocità inizile v 5. m/s. Trovre l mssim ltezz riunt dl ssso, l distnz dl promontorio ll qule entr in cqu, il modulo e l nolo dell velocità in quell istnte. Spendo che un brc si st llontnndo dll riv con velocità costnte di modulo v. m/s e che dist 4. m dll riv nel momento in cui viene lncito il ssso: mostrre che il ssso non B 8m l colpisce e clcolre qule velocità deve vere l brc ffinché il ssso poss centrrl. 4.m v B Inizimo con lo scrivere le lei orrie si per l posizione che per l velocità: ( t) 5.cos 35t 4.t ( t) sin 35t t 8..87t 4.9t v ( t) 5. cos v ( t) 5. sin t t

22 L mssim ltezz è riunt nell istnte in cui si nnull l componente verticle dell velocità. Inserendo il tempo così trovto nelle lei orrie dell posizione si ottiene il suo vlore m :.9 v ( t).9 9.8t t.97 s m m Qundo il ssso entr in cqu l su quot è. Scrtndo l soluzione che produce un tempo netivo si h: ( t) 8..87t 4.9t v t t 4.34 s e quindi il ssso entr in cqu d un distnz dl promontorio di: (4.34 s) m con un velocità le cui componenti sono: v (4.34) 4. m/s v (4.34) m/s cui corrispondono un modulo ed un nolo : m/s v(4.34) tn 9.68 tn ( 9.68) Il ssso non colpisce l brc, che in quell istnte h invece un distnz dl promontorio pri : ( t) 4.. t (4.34) m B B Per essere colpit dovrebbe muoversi più velocemente. Indicndo con v B l su velocità costnte, inconit, imponimo che ess dopo 4.34 s si trovi 7.8 m dll oriine ed ottenimo: ( t) 4. v t (4.34) v 4.34 B B B B v B m/s 4.34 v 3 4 * Esempio Considerimo un prticell lncit d un quot con un velocità sclre inizile v, m con successivi, differenti vlori dell nolo di lncio. Dimostrre che il modulo v dell velocità dipende solo dllo spostmento verticle complessivo. L proprietà espost implic che ll quot * in fiur il modulo dell velocità si lo stesso luno le triettorie,, 3 e 4 ottenute lncindo l prticell con noli differenti m con l medesim velocità sclre inizile. Anlomente, luno l triettori 4, qundo l prticell ripss ll quot lo spostmento verticle rispetto ll inizio è nullo, e quindi l prticell ssume lo stesso modulo dell velocità che vev ll inizio ( e, per motivi di simmetri, è inclint di un nolo

23 sotto ll orizzontle uule quello di cui er inclint sopr ll orizzontle inizilmente). L proprietà si dimostr semplicemente prtire dlle due relzioni: v v ( ) e v v che sommte producono: v v v v v v e come si vede, in un moto di cdut liber l velocità sclre dipende solo dlo spostmento verticle complessivo. In prticolre, per tutte le quttro triettorie disente, l velocità sclre è l medesim un istnte prim di toccre terr. Esempio Un ldro corre sul tetto di un plzzo inseuito dll polizi, strinendo in mno l refurtiv. Per mettersi in slvo decide di spiccre un slto e riunere il plzzo ttiuo, che dist 4. m ed h l medesim ltezz. A qule velocità minim deve correre il furfnte ffinché il slto li riesc? Se li cde di mno l refurtiv nell istnte di mssim ltezz, in qule punto dell prete del plzzo di fronte l oetto v sbttere? 4. m Poiché i due plzzi hnno l stess ltezz, ponimo il livello zero dell quot sul loro tetto, in modo che l velocità sclre minim con cui deve essere spiccto il slto si quell corrispondente ll nolo che produce l mssim ittt, cioè 45 : v R 4. v m/s. m L velocità minim con cui il ldro deve correre è l componente orizzontle del vettore v il cui modulo misur 6.6 m/s, pertnto: v v cos 6.6 cos m/s m L refurtiv è in cdut liber insieme l ldro, quindi qulunque si il punto in cui perde il conttto dll mno ess proseue luno l medesim triettori e cde sul tetto dell ltro edificio ssieme l ldro. (Wlker p. 4 n. 47, 48, 5, p.5 n.53) Esempio 3 Jmes Bond si lnci d un elicottero per tterrre dentro l cssone di un cmion crico di pli, lto. m, e distnte in quel momento, 3. m dll verticle nel punto di lncio. Spendo che l velocità inizile dell ente 7 è 4. m/s, inclint di verso il bsso, e che il cmion vii con un velocità costnte di.5 m/s, si mostri che se l utist non cceler Bond fllisce il berslio. Si dic poi qunt è l ccelerzione costnte che l utist dovrebbe imprimere l cmion ffinché il slto riesc. 5. m v 3. m Lei orrie dell posizione di Jmes Bond: ( t) 4. cos t ( t) cos(9 ) t t 3

24 ( t) 3.95t ( t) 5..44t 4.9t lee orri dell posizione del cmion velocità costnte: ( t ) 3..5 t L istnte in cui si incontrno vrnno l stess distnz dll verticle condott per il punto di lncio, e cioè: 3. ( t) ( t) 3.95t 3..5t t. s il slto è riuscito se in quel momento l quot di Jmes Bond è pri ll ltezz del cmion, e cioè. m. Sostituimo nell lee orri dell coordint verticle per verificre: (.) m (!!) L quot netiv indic che per quell istnte il povero ente 7 è ià sprofondto nel sottosuolo, cioè l quot zero viene riunt ben prim di. s. E evidente che l utist deve ccelerre oppure rllentre. Scrivimo di nuovo l lee orri del veicolo, includendo stvolt l ccelerzione: ( t) 3..5t t Clcolimo il tempo che occorre ll ente per riunere l quot di. m : ( t ) t 4.9 t (.8) 4.9t.44t.8 t 9.8 t.48 s t.78 s trovimo qunto vle l suo coordint orizzontle in quell istnte: (.48) m ed imponimo che si l stess del cmion in quell istnte, trovndo così l ccelerzione necessri: (.48) (.48) m/s v 35.m quindi il cmion deve diminuire l su velocità. Esempio 5 Uno scitore eseue un slto d un trmpolino che s incurv in fondo d un disces, fcendolo stccre con un inclinzione di 35. L pist orizzontle ricominci distnz di 5. m, in un punto più in bsso di. m rispetto ll 5.m fine del trmpolino. Con qule velocità minim deve vvenire lo stcco se volimo che il slto riesc? Con qule velocità ricde? Con qule velocità mssim può sltre se non vuole trvolere un ltro scitore che è ppen tterrto con velocità orizzontle 9. m/s? ( t) v cos 35t ( t). v sin 35t t ( t).89 v t ( t)..574 v t 4.9t 4

25 clcolimo l istnte * t, dipendente dl vlore inconito di v, in cui si trov 5. m dll verticle sotto l trmpolino: * * * 5. ( t ).89 v t 5. t.89 v l velocità minim per l qule il slto riesce è quell per cui, nell istnte in cui 5. m, si h : * ( t )..574 v v v v 8.56 m/s.89 v.89.5 * 5. Per trovre l velocità con cui ricde si inserisce t.4 s lee orri dell velocità: * v ( t) 8.56 cos 35 ( ) 7. m/s v t v ( t) 8.56 sin t * v ( t ) 6.m/s nell * v( t ) 7. ( 6.) 7.6 m/s Se non vuole trvolere l ltro scitore, l su velocità orizzontle di tterrio non deve superre 9. m/s. M tenendo conto del ftto che l velocità orizzontle non si modific mi in un problem di cdut liber, questo è nche il vlore orizzontle dell velocità l momento del slto: v ( ) 9. m/s cos m/s t v v v cos quindi non trvole il secondo scitore purché v 3. m/s Esempio 6 Il più celebre tr i problemi di cinemtic è quello che vede un cccitore posto nell oriine deli ssi tentre di colpire con un frecci un scimmi ppollit d un ltezz h fr i rmi di un lbero che si trov distnz d. Il cccitore, che non conosce bene l cinemtic e mir dritto nell direzione dell scimmi, srebbe destinto fllire il colpo perché, com è noto, l triettori non è un line rett m un prbol. Tuttvi nche l scimmi non conosce l cinemtic, e nel tenttivo di evitre il colpo si lsci ndre nel medesimo istnte in cui viene scocct l frecci, e viene inevitbilmente colpit l volo. Dimostrre che, qulunque si il vlore dell velocità inizile, non c è scmpo per l scimmi se si lsci cdere. v d h F ( t) v cos t S ( t) d F ( t) v sin t t S ( t) h t Per mostrre che l scimmi viene colpit indipendentemente dl vlore v dell velocità inizile, bison fr vedere che qundo l ordint dell frecci è uule 5

26 * v cos d sin h quell dell scimmi, l sciss dell frecci è d. Trovimo il tempo qule si uulino le quote dell scimmi e dell frecci: h t ( ) ( ) sin F t S t v t t * h t v sin vedimo qul è l sciss dell frecci in questo prticolre istnte: * F ( t ) v h cos cos h v sin sin * t per il Considerimo or il trinolo di ipotenus unitri e cteti cos, sin, simile quello di cteti d, h. Vle l proporzione: cos d sin. Sostituendo risult: h * cos F ( t ) h h d d sin h e quindi esiste sempre un istnte, dipendente dll velocità inizile v per il qule l frecci h le stesse coordinte dell scimmi, indipendentemente d qunt è v. Esempio 7 Due mici si tuffno d uno scolio lto velocità inizile 5. m, il primo orizzontlmente, con 9. m/s, il secondo d un nolo 4 verso l lto con modulo dell velocità inizile 6. m/s. A qule distnz dll bse del trmpolino hnno l stess ltezz? Pssno nello stesso istnte per questo punto d incrocio delle triettorie? Qule di due entr in cqu più lontno? Scrivimo le lei orrie e le triettorie dei due tufftori. ( t) 9.t t 9. Primo: ( t) 5. t ( t) 6.cos 4 t ( ).3 Secondo: t t ( t) sin 4 t t ( t) 5..3t 4.9t Uulindo le due ltezze si trov l distnz ll qule le triettorie si incrocino: ( ) ( ) (.84. ) 38. m e sostituendo nell triettori si trov l corrispondente ltezz: (38. m) (38.) Il pssio per questo punto vviene tuttvi in tempi differenti. 6