Cinematica vettoriale

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1 Cpitolo 3 Cinemtic vettorile. Indipendenz dei moti perpendicolri Il psso successivo llo studio dello spostmento lungo un rett, è l nlisi del moto di un punto mterile in due dimensioni, vle dire tutte quelle situzioni in cui l insieme delle posizioni vi vi occupte dll oggetto si trovno su di uno stesso pino. E questo, d esempio, il cso di un pll che rotol sopr un bilirdo restndo in un pino orizzontle, oppure il cso del pino verticle in cui si svolge il moto di un frecci scglit d un rco con un qulsisi ngolo inizile rispetto ll orizzonte. Lo studio cinemtico del moto in due dimensioni è in reltà un fcile generlizzzione di quello rettilineo, e questo grzie l principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri scoperto d Glileo: Principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri L cinemtic di un punto mterile in un direzione è indipendente dll cinemtic dello stesso punto in un qulunque ltr direzione d ess perpendicolre Che uso possimo fre del principio di indipendenz dei moti? Ogni volt che un punto mterile segue un triettori pprtenente tutt d un pino, si scelgono due direzioni nel pino fr loro perpendicolri, (d esempio gli ssi orizzontle e verticle se si trtt di un oggetto scglito in ri). S immginno poi due fsci luminosi, ognuno prllelo d un delle direzioni scelte, così d proiettre l ombr dell prticell lungo l ltr direzione. Se considerimo le posizioni delle due ombre ottenute, ciscun di esse descriverà un moto rettilineo con un propri velocità e un propri ccelerzione. Il principio d indipendenz dei moti perpendicolri fferm che se potessimo nnullre velocità e ccelerzione in direzione verticle, (fissndo dunque l ltezz del punto), il moto dell ombr orizzontle non risentirebbe per niente di questo e proseguirebbe imperturbto. Lo stesso vrrebbe per il moto in verticle se nnullssimo velocità e ccelerzione in orizzontle. In ltri termini, per il moto proiettto in orizzontle è proprio come se il movimento in verticle non ci fosse: non potremo mi rllentre od ccelerre l cors dell ombr orizzontle ttrverso cmbi di velocità in direzione verticle, e nturlmente nenche il vicevers. Quli esempi si possono fre? Considerimo un uomo con in mno un pll, mentre viene trsportto d un tppeto scorrevole vente velocità costnte. A un dto istnte l person lnci l 55

2 pll in lto, con velocità inizile esttmente verticle. Ricordimo che in questo, come in tutti gli esempi del cpitolo, il contrsto ftto dll ri si consider così piccolo d essere trscurbile. Il principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri prevede che il moto verticle impresso ll pll non influenzi quello orizzontle che ess inizilmente possedev insieme l nstro scorrevole. Se quindi illuminssimo l scen dll lto con un fscio di luce verticle, vedremmo l ombr dell pll stmprsi in ogni istnte esttmente sulle plme dell uomo, finché, dopo ver descritto un rco di triettori curv, gli ricde nelle mni. Un secondo, fmosissimo esempio si deve llo stesso Glileo. Un pll lscit cdere verticlmente dll bocc di un cnnone in cim un ltur, tocc terr nel medesimo istnte in cui lo f un ltr pll che contempornemente viene sprt in direzione orizzontle. Inftti, il moto orizzontle impresso dl cnnone ll pll non modific in lcun modo quello verticle, e quindi il tempo di cdut dei due grvi deve essere lo stesso.. L cinemtic del lncio orizzontle Considerimo un prticell scglit in direzione orizzontle prtendo d un cert ltezz rispetto l terreno, proprio come l pll del cnnone nel precedente esempio. Per questo fenomeno useremo nel seguito il termine proiettile con un significto più mpio di quell comune, intendendo con ciò un qulunque oggetto (di dimensioni tli d potersi considerre prticell in quell situzione) che, lncito in ri, si trovi in moto di cdut liber, cioè sottoposto ll sol zione dell grvità. v Un proiettile è un oggetto in cdut liber? Scglire un oggetto in ri comport imprimergli un cert velocità inizile, quindi in quest fse esso non è sottoposto solo ll zione dell grvità m nche quell dell nostr mno. Se voglimo occuprci solo dell fse di cdut liber, il nostro studio deve inizire nell istnte immeditmente successivo quello in cui il proiettile h lscito l mno, (il fucile, il cnnone), e qunto è ccduto prim (zione del brccio, detonzione di polveri ecceter) viene rissunto nel vlore di velocità inizile che gli è stt impress, e nell direzione lungo cui è stto scglito. Durnte l fse di permnenz in volo considereremo trscurbile il contrsto ftto dll ri, in modo che l unic zione esercitt sul proiettile si quell dovut ll grvità. Nell fse di imptto, il proiettile non è più in cdut liber in qunto speriment l zione di un soggetto esterno (un muro od il terreno), frenrne l cors. L nostr nlisi pertnto dovrà terminre un istnte prim. Quindi, sebbene l velocità di un proiettile si nnulli l momento dell imptto, questo evento si colloc fuori dll nostr re di studio. Noi nlizzeremo ciò che ccde fino un frzione di secondo prim che l imptto bbi luogo, e potremo clcolre il vlore dell velocità fino quel momento. Con tli ccorgimenti, il proiettile può senz ltro essere considerto in cdut liber, vle dire che in direzione verticle l unic zione dll esterno su di esso è quell dovut ll grvità, mentre in direzione orizzontle nessun soggetto esterno intergisce con il proiettile. t () t () Le proiezioni lungo gli ssi seguono un moto uniformemente ccelerto? Immginndo due luci che illuminno il proiettile, un dll lto ed un d destr: le due ombre proiettte sugli ssi seguono moti indipendenti, ognuno governto solo dll su velocità inizile e dll su ccelerzione. Lungo le ordinte si h un moto uniformemente ccelerto poiché c è un ccelerzione costnte dovut ll grvità: =- g e quindi l velocità verticle ument ogni secondo di 9.8 metri l secondo 56

3 verso il bsso. Lungo le scisse, dove non ci sono zioni esterne d ccelerre o rllentre, e quindi è null, il moto è rettilineo uniforme. Quli sono le leggi di posizione e velocità per un lncio orizzontle? Le leggi orrie per le posizioni delle due proiezioni lungo gli ssi si scrivono sfruttndo il principio di indipendenz dei moti perpendicolri. Lungo l direzione orizzontle quindi, sono solo l velocità orizzontle inizile e l ccelerzione orizzontle governre il moto, ed nlogmente per l direzione verticle contno solo i vlori v ed. Scrivimo quindi due coppie di leggi orrie indipendenti, uguli quelle già note per il moto uniformemente ccelerto su di un rett s = s v t (/ ) t + + e v = v + t: ìï ï () t = + v t + t í ï ïî v () t = v + t ìï ï t () = + v t+ t í ï v () t = v + t ïî Collocndo l sse delle scisse l suolo e quello delle ordinte cvllo dell coordint d cui prte il proiettile, si h =, v =, =, =- g si h: Leggi orrie per il moto di un lncio orizzontle ìï t () = v t ìï ï ï t () = - gt í í ï ïî v () t = v ï v () t =-gt ïî Cos si scrive l equzione dell triettori del moto? Come sppimo, l triettori è l insieme delle posizioni occupte dll prticell durnte il moto. L relzione () che esprime l coordint in funzione dell coordint si dice equzione dell triettori. Nel lncio orizzontle d quot l triettori è un rco rivolto verso il bsso e l su equzione è dett prbol. Per ricvre l equzione dell triettori si deve eliminre l coordint temporle t dlle leggi orrie dell posizione, e questo si f mettendole sistem. Dll legge orri lungo le scisse si h t = / v che, inserit in quell per le ordinte produce: æ ö g = ç -ç ç ø èv e quest è l equzione dell triettori di un lncio orizzontle che prte d quot ed h velocità inizile v. Come si clcol il tempo di permnenz in volo del proiettile? Per l indipendenz dei moti perpendicolri, il tempo di permnenz in volo, detto nche tempo di cdut t *, è ugule quello che si vrebbe nel cso di cdut in verticle prtendo d fermo dll stess ltezz. Si ricv t * imponendo che l quot t () si null: t ( ) gt t * * * = - = = vendo scrtto l soluzione negtiv, priv di significto fisico in qunto riferit d un istnte ntecedente il momento del lncio. g Come si clcol l velocità del proiettile, un istnte prim che tocchi terr? * L velocità verticle v un momento prim di toccre terr è espress dl vlore di v () t nell istnte t * : 57

4 * * v =- gt =- g =- g g v mentre l velocità orizzontle è sempre ugule l vlore inizile v, e questo vle si un istnte prim dell imptto si durnte tutto il lncio, in qunto non vi è ccelerzione in quest direzione. R Che cos è l gittt e come si clcol? Il termine gittt si us per indicre lo spzio complessivo percorso in orizzontle dl proiettile prim di toccre terr. Per indicre l gittt useremo il simbolo R, dll inglese Rnge. Si ottiene il vlore di R inserendo il tempo di cdut nell equzione orri dell posizione lungo l direzione orizzontle: 5 m m 5 m/s * R = ( t ) = v Esercizi. Un cnnone spr orizzontlmente un proiettile d un collin lt5 m, con un velocità inizile di5 m/s. Si dic qule distnz dll verticle che pss per il cnnone cde il proiettile. Si scriv quindi l equzione dell triettori e si clcoli qul è l su ltezz qundo si trov 7 m di distnz d tle verticle. g 8. m 7 m v =? 38 m 4. m Scrivimo l legge orri dell posizione per il proiettile: t () = + v t + t = 5t t ( ) = + v t + t = 5-4.9t Imponimo che l ltezz si null per trovre i tempo di cdut * t : t = t = s = 5.53 s 4.9 * sostituimo t nell legge orri per le scisse e ricvimo qule distnz dll verticle che pss per il cnnone cde il proiettile, cioè l gittt: R = (5.53 s ) = m = 38 m =.38 m Per l triettori mettimo sistem le due leggi orrie ed eliminimo il tempo: ìï ìï t 5t = 5 - í ï = í ï = 5 - ( 7.85 ) 5 4.9t ïî ï = - ï = - ïî ( 5) il coefficiente del termine di secondo grdo (7.85 ) nell triettori è molto piccolo rispetto gli ltri numeri, il che indic che si trtt di un prbol molto llrgt, come ci spettimo osservndo che in un colpo di cnnone i primi metri sono percorsi d proiettile prticmente in orizzontle. Sostituendo l posizione = 7 m nell triettori trovimo l ltezz corrispondente: -5 ( ) m = m. Un rgzz ffccit d un blcone lto 8. m lnci un ros in direzione orizzontle per il suo innmorto che si trov ll distnz di 4. m dl muro dell cs. Trscurndo l resistenz dell ri, si dic con qule velocità deve lncire l ros ffinché cd nelle mni del rgzzo, se questi si chin rccogliendol un istnte prim che tocchi terr. [R: 3. m/s ] 3. Un pllin A scivol giù per un guid curv in modo che qundo giunge ll bse prte con velocità orizzontle.5 m/s sotto l sol zione dell grvità. In quello stesso

5 istnte viene lscit cdere un pllin B distnte 4. m d A. Dopo ver spiegto perché le due plline si scontrno d un distnz h lungo l verticle condott d B, trovre il vlore dih. [R: 34.9 m ] A 4. m B 4. Un utomobile che procede ll velocità costnte di.5 m/s, d un certo istnte inizi d ccelerre di.5 m/s. Dopo. s, un pllin viene lscit ndre dl finestrino, che h un ltezz di 85. cm d terr. Qunti metri percorre in orizzontle prim di toccre il suolo? [R: 7.8 m ] h 5. Un pllin rotol giù d un pino con velocità orizzontle di 4.8 m/s. Spendo che tocc terr dopo.8 s si dic qunto è lto il pino, qule distnz cde l bigli e qunt è l su velocità un istnte prim di toccre terr. [R: 9. m/s ] 3. Lo spostmento e le grndezze vettorili Le proprietà cinemtiche che nscono dl principio d indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri, possono essere sfruttte in mnier efficce ttrverso l introduzione di nuovi strumenti mtemtici, detti vettori. Prim di introdurli, osservimo che, qundo un prticell si muove su di un triettori curv sopr d un pino, non è esuriente descrivere l su cinemtic soltnto fornendo dei numeri positivi o negtivi, come bbimo ftto finor ttrverso l sciss curviline st (), dicendo che l su velocità inizile vle v, l su posizione inizile s e l su ccelerzione. Chi volesse dvvero individure l prticell dovrebbe disporre nche di informzioni che rigurdno l triettori lungo l qule il moto si svilupp. In modo possimo rppresentre lo spostmento in un pino o nello spzio? Un modo semplice per esprimere lo spostmento di un prticell che si muove d un posizione inizile d un posizione finle, è utilizzre un segmento orientto che bbi l cod nell posizione inizile e l punt nell posizione finle. Sebbene quest si un descrizione ssi grossoln di qunto ccde, che prescinde dll triettori effettivmente seguit dll prticell (di colore chiro in figur), risult uno strumento molto utile perché ttrverso di esso è possibile fr emergere le proprietà legte ll indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri. Osservimo poi che suddividendo l triettori in spostmenti successivi, è possibile drne un descrizione tnto più dettglit qunto più l scnsione è fitt, il che suggerisce che l descrizione imprecis del moto rele che si h con i segmenti orientti, poss essere rffint per pprossimzioni successive. Qund è che possimo considerre uguli due spostmenti? Per rispondere quest domnd fccimo ncor un slto concettule rispetto l descrivere lo spostmento con un segmento orientto. Rimuovimo idelmente si il punto d cui l prticell inizi muoversi si il punto in cui giunge, e mntenimo soltnto l prte essenzile dell informzione, cioè l relzione che li leg. Ciò che ci interess, inftti, è vere le informzioni che dicno come il punto si trovi d un cert distnz dl punto ed in un dt direzione, prescindendo dlle posizioni effettive di e nel pino. In quest ottic, i movimenti in figur di un prticell d e quello di un ltr d 3 4, dnno entrmbi origine llo stesso spostmento. Inftti, pur essendo diverse le posizioni di prtenz e di rrivo, l posizione di reltivmente d è ugule quell del punto 4 rispetto l punto 3. In ltri termini prtendo dlle due posizioni O 3 N S 4 E 59

6 Dr inizili potremmo rggiungere le due posizioni finli vnzndo dello stesso numero di pssi e con l stess inclinzione verso Nord-Est. Con quest convenzione considereremo quindi uguli due spostmenti in cui l relzione che esprime l posizione finle reltivmente quell inizile si l stess, cioè: Dr sono uguli due spostmenti individuti d segmenti che sino prlleli, orientti nello stesso verso e di pri lunghezz. Segmenti con tli crtteristiche si dicono equipollenti. Dr Questi non sono tnti vettori m tnti rppresentnti dello stesso vettore (3;) - b (; - -) -3 c (;-3) - - Come esprimere questo tipo di segmento orientto dello spostmento? Per ssocire delle informzioni numeriche l segmento orientto che descrive uno spostmento introducimo un sistem di due ssi crtesini ortogonli. Dto uno spostmento d un punto un punto, in bse qunto detto vi sono infiniti segmenti equipollenti che lo rppresentno nel pino. Considerimo quello che h l cod nell origine e misurimo le coordinte dell su punt. Indichimo quest coppi di numeri con i simboli ( Dr ; D r ), come in figur. L utilizzo del simbolo Delt D, che come sppimo è riservto ll vrizione di un grndezz, è in questo cso giustificto dl ftto che stimo misurndo vrizioni dell posizione lungo un triettori. Poiché qundo conoscimo questi due vlori sppimo tutto ciò che ci occorre per individure lo spostmento, quest è proprio l misur che stimo cercndo per crtterizzrlo. Chimimo vettore spostmento, l coppi di numeri ( Dr ; D r ) ed utilizzimo il simbolo Dr per indicrlo. Diremo inoltre componente del vettore spostmento ciscuno dei due numeri Dr, D r e ci riferiremo d ognuno degli infiniti segmenti orientti equipollenti, come d un rppresentnte del vettore Dr Dr Dr Dr A. -3 B Dr D r 3 Il vettore spostmento non coincide con nessuno dei segmenti orientti che lo rppresentno nel pino, m è piuttosto d intendersi come l proprietà che li ccomun tutti, proprietà che è bene espress lgebricmente qundo sono dte le sue componenti. Al segno delle componenti del vettore corrisponde il qudrnte nel qule si trov l punt del rppresentnte che h l cod nell origine: in figur bbimo lcuni esempi. Come si trovno le componenti di un vettore spostmento fr due punti? E sufficiente fre l differenz fr le coordinte corrispondenti dei punti per vere le componenti, se A ( ; ) A A e B ( B ; B ) sono le coordinte crtesine dei punti di prtenz ed rrivo bbimo: D r = ( - ; - ) B A B A Esercizi 6. Clcolre il vettore spostmento che port d A( m ;- m) in B (3 m ; m) e disegnrne il rppresentnte che h l cod nell origine. Dll formul bbimo: D r = (3 m - m ; m + m ) = ( m; m) Come si sommno i vettori spostmento? Considerimo due spostmenti consecutivi, il primo r D = ( D r ; D r ) che port dll posizione ll, il secondo D r = ( Dr ; Dr ) dll ll 3. Come si vede dll figur, lo spostmento complessivo d 3 è rppresentto d un segmento orientto che h l cod nell posizione e l punt nell posizione 3. Quest tecnic di ddizione è dett metodo di punt-cod, e si bs sull ide che l somm di due vettori si il vettore che produce lo stesso effetto dei due ddendi combinti, cioè quello che port nell stess posizione finle. Ci proponimo or di cpire che effetto bbi l somm eseguit con il metodo di punt cod sulle componenti dei vettori spostmento: voglimo cioè ottenere le componenti del vettore somm D r = D r +Dr. Osservndo nell figur lto, si cpisce che qundo le 6

7 componenti sono positive, esse coincidono numericmente con le misure dei cteti di quei tringoli in cui i rppresentnti del vettore sono ipotenuse. Allor risult: D r = D r +D r D r = D r +D r Dr Dr Dr Dr Dr Dr Tle risultto, che si estende nche i vettori con componenti negtive, dice che il vettore spostmento complessivo si ottiene sommndo le componenti di ciscun vettore spostmento in modo indipendente. Quindi, grzie ll uso dello strumento mtemtico detto vettore, bbimo ritrovto e reso trsprente nel cso dello spostmento, il principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri. Inftti, sommre indipendentemente le componenti ed signific che qulsisi spostmento Dr può essere pensto come composto d uno spostmento in orizzontle due non possono influenzrsi vicend. D r seguito d uno verticle O D r e che i V Che succede qundo si seguono più di due spostmenti successivi? L tecnic di punt cod si estende l cso di più vettori, e il risultto complessivo è quello di uno spostmento che bbi l cod nell cod del primo segmento orientto, e l punt coincidente con l punt dell ultimo. Quest operzione non dipende dll ordine, come si verific fcilmente osservndo che i quttro vettori in figur producono sempre lo stesso vettore somm (in grssetto). Così funzion nche nel mondo rele: l vrizione di posizione complessiv qundo ci si muove d esempio d cs l lvoro pssndo per l ufficio postle e per l bnc, non cmbi se si pss prim per l bnc e poi per l ufficio postle. A ulteriore conferm si riflett sul ftto che qundo si ddizionno in modo indipendente le componenti orizzontle e verticle, deve vlere l proprietà commuttiv fr numeri, e cioè non cont l ordine nel qule le componenti sono sommte. Quindi, l ordine con il qule si esegue il metodo di punt cod non influisce sul risultto finle. Un prov prtic può essere ftt usndo delle mtite colorte come rppresentnti dei vettori e cmbire l ordine di ddizione, cioè l sequenz con cui le mtite sono messe un dopo l ltr sempre mntenendole prllele loro stesse. Che cos è quindi in generle un vettore? Secondo qunto sopr esposto, si intuisce che è possibile definire un vettore nche prescindere dl vettore spostmento. Questo è prticolrmente utile in qunto come vedremo vi sono numerose grndezze fisiche, come d esempio l velocità e l ccelerzione, che sono individute, oltre che dll loro intensità, nche d un direzione e d un verso lungo quest direzione: Dr Dr Δr D r R Dr O R Dr V v 4 v v 4 3 R v v v v R v 3 v 4 v v v 3 v v 3 v 4 v si dice vettore un insieme di infiniti segmenti orienttti equipollenti fr loro, e che segue l regol di ddizione con il metodo di punt-cod. Un vettore pertnto non è semplicemente un grndezz ll qule è in più ssocit un direzione, m uno strumento mtemtico che segue il metodo di punt-cod per l ddizione. Ad esempio l frecci scglit d un rco non è un vettore, come si cpisce subito pensndo che non si può ottenere un tiro verso Nord-Est lncindo contempornemente due frecce uguli, un Nord ed un d Est. Il vettore si indic con un letter con sopr un frecci, d esempio. Gli infiniti segmenti orientti d cui il vettore è costituito sono detti rppresentnti del vettore. Dto un vettore, l lunghezz di uno qulsisi dei suoi rppresentnti si chim intensità del vettore e si indic con il simbolo. Un vettore è pertnto individuto qundo ne vengono ssegnti l intensità, l direzione ed il verso lungo l direzione stess. Esercizi 7. Sommre i due vettori rppresentti in figur e disegnre un rppresentnte del vettore somm c = + b b 6

8 D C b c b c 3... A B E F D un esme dell figur si h che l cod del rppresentnte del vettore si trov nel punto (3.;.5) mentre l su test è in (4.;.). Pertnto il rppresentnte di con l cod nell origine vrà l test in un punto che si ottiene fcendo l differenz di queste coordinte: = =. =. -.5 =.5 = (.;.5) L cod del rppresentnte del vettore b si trov nel punto (.5; -.) mentre l su test è in (5.; -.5). Il rppresentnte di b con l cod nell origine vrà l test in un punto che si ottiene fcendo l differenz di queste coordinte: b b.5 (.).5 b = - = =- - - =- = (.5; -.5) Clcolimo le componenti del vettore somm: c = + b = ( + b ; + b ) = (. +.5;.5 -.5) = (3.5;.) Due rppresentnti di c sono in figur: notre come ognuno è il segmento che unisce l cod di un rppresentnte di con l punt di un rppresentnte di b. 8. Dti i segmenti orientti in figurab e CD si clcolino le coordinte dei vettori e b che essi, rispettivmente, rppresentno, e le loro intensità e b. 9. Dti i vettori e f rppresentti di segmenti orientti in figurab e EF si clcolino le coordinte dei vettori c = + f e d = f - e si disegni un rppresentnte per ciscuno di essi. [R] [R] J Quli informzioni bisogn fornire perché un vettore si identificto? Come si è visto, un vettore è ssegnto ttrverso le coordinte ( ; ) dell punt del suo prticolre rppresentnte che h l cod nell origine. Tuttvi, oltre che trmite le componenti, possimo identificrlo trmite l su intensità e l ngolo J (letter grec thet), che form con l sse delle scisse, misurto positivo se si gir in verso ntiorrio, e negtivo se si gir in verso orrio. Ad esempio potremo esprimere il vettore b in figur fornendo le coordinte: b (4;) oppure trmite l intensità: b = e l ngolo: J = 7. Come si può pssre lle coordinte, noti l intensità e l ngolo? Se di un vettore si conoscono l inclinzione J e l intensità (e si h J 9), J cos J sin J J per rislire lle coordinte bisogn considerre un tringolo rettngolo simile quello di cteti, ed ipotenus, che però bbi l ipotenus che misuri. Ogni clcoltrice tscbile h memorizzte le lunghezze dei cteti di qulunque tringolo rettngolo di ipotenus unitri, e che si chimno: seno di J il cteto opposto ll ngolo J, indicto con il simbolo sin J coseno di J il cteto dicente ll ngolo J, indicto con il simbolo cos J Attrverso semplici relzioni di similitudine si ottengono le formule che permettono di rislire lle coordinte: 5 cos J cos J = = sin J sin J = = Esercizi. Clcolre le componenti ( ; ) di un vettore vente intensità = 5 inclinzione J =. ed 6

9 Risult: = cos J = 5 cos = 5.94 = 4.7 = sin J = 5 sin = 5.34 =.7 Come si pss invece ll intensità ed ll ngolo, note le componenti? Se di un vettore si conoscono le coordinte ed (e si h ³ ed ³ ) e si vuole rislire ll inclinzione J ed ll intensità, per quest ultim si pplic il teorem di Pitgor: = + L Controfisic Per qunto rigurd le cifre significtive, ngoli noti l grdo, l decimo di grdo ed l centesimo di grdo, rispettivmente permettono di conoscere seno e coseno con tre, quttro e cinque cifre significtive. Per trovre l inclinzione J, bisogn considerre il tringolo rettngolo simile l nostro vente ipotenus che misur. Il rpporto fr le lunghezze dei cteti di qulunque tringolo rettngolo di ipotenus è memorizzto nell clcoltrice e si chim: misur del cteto opposto J tngente di J = misur del cteto dicente J (simbolo tn J) Poiché il rpporto fr cteti è lo stesso nche nel tringolo di lti ed si h: tn J = Per trovre J si clcol quindi il rpporto / e, spendo che questo è ugule ll tngente di J lo si inserisce nell clcoltrice chiedendo di estrrre dll su memori l ngolo che produce proprio quel vlore del rpporto fr i cteti. 8 Come si esegue quest operzione con un clcoltrice? Bisogn innnzitutto settre l clcoltrice chiedendo che gli ngoli vengno espressi in grdi sessgesimli, vle dire che delle tre opzioni che l tstier (o il displ) propone, cioè DEG, RAD e GRA, sceglieremo DEG. Si digit quindi il tsto tn - dopo (o prim second del modello) ver inserito il vlore del rpporto /, e si clcol - ( / ) tn. Quindi, per vere J bisogn distinguere secondo segno dell componente orizzontle del vettore, come illustrto nche in figur: æ - ö > J = tn ; ç çè ø æ - ö < J = 8+ tn ç çè ø questo procedimento fornisce vlori negtivi (cioè ottenuti girndo in verso orrio) per gli ngoli nel qurto qudrnte. < J = 8+ + tn - ( ) 7 J 3 > J = tn 9 b b - - ( ) 3 36 J b Esercizi. Clcolre l intensità e l inclinzione dei vettori: (3; ), b (-;3), c ( - ; - ), d(; -3). Risult: = 3 + = 3 J tn æ ö - = ç = 33.7 çè3 ø b = (- ) + 3 = J b - = 8+ tn æ ö ç = = 8 ç- è ø 3 c = (- ) + (- ) = 8 J 8 tn æ - - c = + ö ç = 5 ç- è ø - c J c c - -3 J d d d 63

10 d = + (- 3) = 3 J d - = tn ç =-56.3 çè ø æ - 3 ö b.87 c Si sommino i due vettori spostmento in figur, e b essendo = 3. m, J =, b = 5. m, J = 8. A B Scrivimo le componenti: = cos = (3..94) m =.8m = sin = (3..34) m =.m b = b cos 8 = (5..7) m =.87 m b = b sin8 = (5..98) m = 4.9m Indicndo con c = + b, sommimo le componenti corrispondenti: c = + b = ( ) m = 3.7 m c = + b = ( ) m = 5.9 m Risult quindi c ( 3.8; 5.9). In termini di intensità ed ngolo si h poi: c = c + c = ( ) m = 7. m c c 5.9 m - = =.6 J = tn (.6) = 58 C 3.7 m ĵ î Le componenti dei vettori, sono loro volt dei vettori? In qulunque contesto in cui sino presenti vettori, le grndezze espresse d un semplice numero sono dette sclri. Le componenti di un vettore sono pertnto degli sclri. Attrverso dei prticolri vettori spostmento, detti versori, diretti come gli ssi e l cui lunghezz misur (nelle unità del sistem di riferimento), è possibile introdurre nche le cosiddette componenti vettorili del vettore. Indicheremo con: î un vettore di lunghezz vente l direzione ed il verso dell sse delle scisse, quindi srà î (; ) (versoreî ) ĵ un vettore di lunghezz vente l direzione ed il verso dell sse delle ordinte, quindi srà ĵ (; ) (versore ĵ ) = ;, chimeremo Se quindi risult che un vettore h componenti sclri: ( ) componenti vettorili di i vettori: = ˆ i = j ˆ cioè = ( ;) cioè = (; ) in modo che risulti: = + = iˆ+ jˆ Come si può moltiplicre uno sclre per un vettore? D qunto esposto sopr, è implicitmente definit nche l operzione di moltipliczione di uno sclre k per un vettore, intendendo che si deve moltiplicre ciscun delle componenti del vettore per lo sclre: - Ad esempio se k = ed ( 3;) ( ; ) k = k k dell operzione è un vettore l cui intensità vle: vremo k = = ( 6; ), ed il risultto k + k = k + A = k ( ) ( ) 64

11 cioè nel cso proposto k = 5. L moltipliczione per uno sclre quindi h l effetto di vrire l lunghezz del rppresentnte del vettore proprio del fttore k. Poiché dello stesso fttore k vengono moltiplicti nche entrmbi i componenti sclri, il vettore risultnte dll moltipliczione si mntiene prllelo quello inizile, e con lo stesso verso: solo nel cso in cui k si negtivo, il verso cmbi. Come si possono sottrrre grficmente due vettori? Un rppresentnte del vettore differenz b si può ottenere pplicndo l contrrio l tecnic di punt cod. Dovendo essere b + ( b) = si vede bene che b h per rppresentnte il segmento che h l cod sull punt di b e l punt sull punt di. b -b Esercizi 3. Considerti i vettori = (3,) e b = (, 4) si clcolino i vettori c = 3, d = + b e p = -5b. In bse ll definizione risult: c = 3 = 3(3;) = (3 3;3 ) = (9;6) d = + b = (3; ) + (; 4) = (3 + ; + 4) = (4; 6) p = - 5b = (3; ) - 5(; 4) = ( 3-5 ; - 5 4) = (; -6) 4. Assegnti i vettori = (,) e b = (3, -) si trovino intensità e inclinzione del vettore p =- 3 + b [R: 87/ ; 9 ] 5. A proposito dell figur lto, clcolre il vettore spostmento D r che sommto D r produce Dr, spendo che D r = D r = m. [R:(- 4.4 m ;7.5 m) ] 3 Dr 3 6 Dr 6. Dti i segmenti orientti in figur AB e CD che rppresentno rispettivmente i vettori e b, si clcolino le coordinte del vettore v =- 3 + b, l su intensità, e l ngolo che form con l sse delle scisse. [R] 7. Dti i vettori e f rppresentti di segmenti orientti in figur AB ed EF si 3 clcolino le coordinte del vettore c = - f e d = f - si disegni un suo rppresentnte. [R] D C B A E Dti i vettori ed f rppresentti rispettivmente di segmenti orientti in figur AB, EF, si scrivno le coordinte del vettore prllelo d vente metà dell su intensità, del vettore ntiprllelo d f vente il triplo dell su intensità. [R] F 65

12 4. I vettori velocità e ccelerzione v v m v Dr v Dr Come è definito il vettore velocità medi? Per nlogi con il cso in un dimensione, con il termine velocità medi intenderemo or un vettore l cui intensità fornisce il vlore di velocità costnte che l prticell dovrebbe vere per muoversi dll posizione inizile quell finle lungo il segmento orientto che rppresent lo spostmento, nello stesso intervllo temporle D t che le occorre per eseguire il trgitto rele lungo l triettori. Possimo definire un tle vettore fcendo il rpporto fr il vettore spostmento Dr e l intervllo Δ t durnte il qule è vvenuto. Mtemticmente questo si ottiene moltiplicndo il vettore Dr per lo sclre / Δ t : vettore velocità medi: v m Δr = = Δr Δt Δt vett sclre Che cos succede rimpicciolendo sempre più l intervllo temporle? Qundo Δ t tende diventre nullo, stringendosi ttorno ll istnte in cui inizi lo spostmento, il rppresentnte del vettore spostmento Dr tende diventre un segmento di lunghezz sempre più piccol e direzione tngente ll triettori. In quest operzione Δ t e Dr perdono di significto fisico, il loro rpporto invece si vvicin sempre più descrivere l velocità nell istnte di prtenz considerto. Si ottiene un vettore velocità che può essere ssocito d ogni lettur di orologio e si dice: Δr vettore velocità istntne v = lim Δ t Δt ore v 3 (o semplicemente vettore velocità). Se d un dto istnte venisse nnullt ogni zione dll esterno, l prticell proseguirebbe il moto lungo un line rett, e l su velocità srebbe per sempre costnte e pri l vlore posseduto in quell istnte. Il rppresentnte del vettore velocità che h l cod nell posizione dell prticell esprime proprio quest direzione istntne, che è l tngente ll triettori. L Controfisic Che in ssenz di zioni esterne un prticell si muove in lie rett velocità costnte è qunto prevede il principio d inerzi, del qule ci occuperemo più vnti. Quli sono le componenti del vettore velocità? Grzie ll indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri, il pssggio l limite gisce indipendentemente lungo le direzioni dei due ssi, pertnto si h che: lim Δ ; lim Δ v = = ( v ; v ) Δ t t Δt Δ Δt In bse ll definizione stess di vettore spostmento, l lunghezz del segmento orientto che rppresent il vettore velocità è l intensità dell velocità in quell istnte: v = v + v Come si definiscono i vettori ccelerzione medi ed istntne? Considerimo un intervllo di tempo D t nel qule l velocità istntne subisce vrizioni D v lungo l componente orizzontle e D v lungo quell verticle. Si definiscono vettore ccelerzione medi e vettore ccelerzione istntne (o m semplicemente ccelerzione) quelli venti componenti rispettivmente: m æ v v ö D D = ; ç t t çè D D ø Δv Δv = lim ; lim = ( ; ) Δ t t Δt Δ Δt Discuteremo più vnti l direzione del vettore ccelerzione nel cso generle; nel cso prticolre dei problemi di cdut liber in due dimensioni che considereremo nel 66

13 prossimo prgrfo, se l sse delle ordinte punt in lto esso h componenti = (; -g) ed è quindi verticle, diretto verso il bsso e di intensità = g. = (; -g) Come utilizzre i vettori per l cinemtic del lncio orizzontle? Nel lncio orizzontle, posto un riferimento vente l origine sull verticle condott dl punto di spro, risult v = ( v ;) e = (; -g), così che durnte l cdut l componente orizzontle dell velocità rimne sempre ugule l vlore inizile mentre quell verticle ument ogni secondo che pss di 9.8 m/s l secondo verso il bsso. L effetto è un grdule umento dell intensità del vettore velocità, come si vede in figur. v v v v v v v v v v Esercizi 9. Un ciclist percorre un curv pri d un qurto di un circonferenz di rggio. m in. s. Si trovino il vettore spostmento ed il vettore velocità medi. Possimo fissre un riferimento con l origine nel centro dell circonferenz e gli ssi orientti in modo che il qurto di perimetro percorso dl ciclist si tutto nel primo qudrnte. Le posizioni inizile e finle, sono llor A (;), B (; ) d cui si h il vettore spostmento: D r = ( - ; - ) = ( m - m ; m - m ) = ( m ;- m) B A B A ed il vettore velocità medi: Dr v = = ( m ; - m ) = (.5 m/s ; -.5 m/s ) m Dt s Prllelo llo spostmento e che con l sse delle scisse form un ngolo di: v - - tn J = = =- J = tn (- ) = 45 v ed h intensità: v =.5 + (-.5) m/s =.7 m/s m. Durnte un periodo di sette giorni un orso si spost per. km in direzione Sud- Ovest, poi ruot di verso Est e percorre ltri 3. km. Trovre il vettore spostmento complessivo ed il vettore velocità medi. [R: v = (.4 m/s ;-.5 m/s) ] m A( m ; m) W Dr Dr B( m ; m) N D r S Dr E 67

14 v L Controfisic In un cdut liber, dopo il lncio non ci sono zioni trsversli quindi essendo l ccelerzione solo verticle tutto il moto si svolge entro un pino verticle contenente l velocità inizile. v J v 5. Cinemtic del lncio obliquo Studieremo or l cinemtic del lncio di un proiettile con un ngolo inizile qulsisi J in condizioni di cdut liber. Abbimo visto come l indipendenz dei due moti perpendicolri comporti che non si poss ccelerre, o rllentre, il moto lungo l direzione orizzontle gendo su quell verticle, e vicevers. In ltri termini qulunque moto su di un pino può essere pensto come generto d due moti indipendenti sugli ssi, cioè si può produrre un moto in due dimensioni combinndo quelli in un dimensione. Provimo, inftti, lncire un proiettile ttrverso un meccnismo come quello in figur, trmite un nstro trsporttore che imprime un velocità orizzontle v sormontto d un moll che imprime un velocità verticle v e filmimo l triettori. Dopo, ripetimo il lncio imprimendo nel proiettile un velocità inclint di un ngolo J tle che tn J = v / v, e con intensità v = v + v. Si osserv che l triettori è l stess nei due csi, dimostrndo così l equivlenz fr il vettore velocità inizile, e le sue componenti seprte. Come possimo scrivere le leggi orrie di tle lncio? Considerimo un proiettile in cdut liber sprto dll origine degli ssi, con un velocità inizile v che formi un ngolo J con l sse orientto delle scisse. m v v cosj v v v v v m v v v R v v v Se indichimo le componenti dell velocità con ( v, ) v, (in figur sono riportti invece i vettori componenti ), per il principio di indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri possimo scrivere subito le leggi orrie dell posizione e dell velocità: ìï ï = v t í ï = v t - gt ïî ìï ï v = v í ï v = v -gt ïî dove v cos = v J e v = v sinj mentre bbimo posto = =. v Esercizi. Un pllin viene scglit con velocità inizile di intensità 9. m/s, inclint di un () t t () ngolo di 3 rispetto l terreno. Riesce scvlcre un siepe lt 6 cm e distnte 5.5 m dl punto di prtenz? Per rispondere dobbimo fissre un riferimento con l origine degli ssi nel punto d cui prte l pllin, in modo d vere = = m. Immginimo or i nostri proiettori 68

15 luminosi orizzontle e verticle che permettono di seguire l ombr dell pllin durnte il lncio e scrivimo le equzioni orrie, cioè le leggi per le posizioni delle due ombre: ìï t () v cos3 t ìï ï = t ( ) = 7.79t í ï í ït () = v sin3 t- gt ï t ( ) = 4.5t -4.9t ïî ïî Per cpire se il tiro scvlc l siepe bisognerà clcolre l ltezz dell ombr verticle dell pllin qundo l ombr orizzontle si trov distnz di 8.5 m dll origine. Imponimo l distnz 8.5 m per trovre il tempo che occorre rggiungerl: 5.5 t ( ) = 7.79t = 5.5 m t= s =.76 s 7.79 clcolimo quindi l ltezz dell pllin quell istnte di tempo: (.76 s) = ( ) m =.73 m e come si vede l pllin pss sopr ll siepe vendo un quot di 73. cm. Come possimo ricvre l equzione dell triettori? Dll legge dell posizione lungo le scisse si esprime il tempo in funzione di, ed inserendolo nell legge orri dell posizione lungo le ordinte si ottiene l equzione dell triettori: v g t = = - v v v Anche in questo cso l triettori è un prbol, ben visibile d esempio osservndo il getto d cqu delle fontne, oppure l triettori descritt dll lv nel filmto di un eruzione vulcnic. Continuno vlere lungo i due ssi le relzioni fr velocità e posizione ricvte per l cinemtic lungo un rett: v = v + D = v v = v + D = v - gd Qunto vle il tempo di permnenz in volo? Clcolimo dpprim il tempo t m che occorre l proiettile per rggiungere il punto di mssim ltezz. Poiché il moto in direzione verticle non è stto lterto dl ftto che l oggetto si muove contempornemente nche in orizzontle, il punto di mssimo continu d essere crtterizzto dll nnullrsi dell componente verticle dell velocità. Si noti però che nel mssimo, l velocità complessiv desso non si nnull, m è tutt in direzione orizzontle, con un intensità ugule l vlore inizile v. Imponendo che nel mssimo si nnulli l componente verticle dell velocità, ricvimo vlore di t : m v v ( t ) = = v -gt t = m m g Le coordinte del mssimo si ottengono inserendo t nelle leggi orrie dell posizione m (oppure con le formule per il vertice dell prbol pplicte ll triettori): m v v = g m v = g Proprio come nel cso del lncio in verticle lungo un rett, le due fsi di slit e disces sono simmetriche, cioè durnte l fse di disces successiv l mssimo, l componente verticle dell velocità rissume (con segno invertito) tutti i vlori che vev in fse di slit, così che il tempo di ricdut è ugule l tempo di slit. Pertnto il tempo complessivo * t di permnenz in volo è due volte * t = v / g t : m 69

16 v 9.5 m Esercizi. Un clcitore colpisce il pllone imprimendogli un velocità inizile inclint di rispetto l terreno e d intensità v = 5 m/s. Clcolre se riesce superre un brrier lt.85 m e distnte 9.5 m, l quot mssim del pllone e l durt del tiro. Come prim cos clcolimo le componenti dell velocità: v = v cos J = (5. cos ) m/s = (5..937) m/s = 3. m/s v = v sin J = (5. sin ) m/s = (5..375) m/s = 9.38 m/s Scrivimo quindi le leggi orrie dell posizione e d queste l equzione dell triettori: ìï legge orri: ï í = 3.t ï ïî = 9.38t - 4.9t ìï ï t = triettori: ï í = - = ï 3. ïî 3. Per cpire se l brrier viene supert occorre confrontre l quot del pllone 9.5 m dll posizione di lncio con l ltezz dell brrier : -3 (9.5 m ) = ( ) m =.96 m essendo l quot mggiore di.85 m l brrier viene supert. Il tempo complessivo di permnenz in volo è : v * 9.38 t = = s =.9s g 9.8 Per il clcolo dell quot mssim rggiunt inserimo nell legge orri dell posizione, il tempo in cui si nnull l componente verticle dell velocità: ìï legge orri dell velocità: ï v = í v = t = s =.956s ï v = t ïî 9.8 ìï (.956 ) ( ).3 legge orri dello spzio: ï s = m = m í ï (.956 s ) = ( ) m = 4.48 m ïî Come si clcol l gittt del lncio d terr e qunt è il suo vlore mssimo? Grzie ll indipendenz dei moti orizzontle e verticle, l gittt R del lncio d terr si ottiene inserendo il tempo complessivo di cdut t * nell equzione orri dell posizione lungo l direzione orizzontle: v v * R = v t = g A prità del vlore di intensità inizile v, l mpiezz dell gittt vri sensibilmente second dell inclinzione inizile J del vettore velocità. L inclinzione è determint di vlori delle componenti orizzontle e verticle v e v di v, sempre positivi nel cso del lncio dll origine. Come si vede l gittt è mssim qundo è mssimo il prodotto v v. Sppimo inoltre che i componenti dell velocità inizile sono legti dl teorem di Pitgor ll intensità dell velocità inzile: v v v = + Fisst quindi l intensità dell velocità inizile l re di un rettngolo di digonle v v, osservimo che il prodotto v v è e lti v ev. L re di un rettngolo di digonle fisst ssume il suo vlore mssimo qundo i due lti sono uguli e diviene un qudrto. Considerimo, inftti, l semicirconferenz che h per dimetro l digonle 7

17 comune quest fmigli di rettngoli. Osservimo che ciscuno di essi è diviso in due tringoli rettngoli uguli, di cui l digonle lung v è nche ipotenus. Al vrire delle misure dei cteti, l relzione v v v = + f sì che questi tringoli sino sempre inscritti nell semicirconferenz, pertnto, mentre l misur dell bse rimne costnte, l loro ltezz può vrire d zero fino d un vlore mssimo, che è il rggio dell semicirconferenz. Il tringolo che h l mssim ltezz possibile prità di bse h nche l mssim re e, per l simmetri dell figur, è l metà di un qudrto. Allor l v v v gittt è mssim qundo v = v = v /, e in questo cso l ngolo di lncio è 45. Sostituendo v v = v nell espressione di R risult: R m = v g Che relzione esiste fr lnci d ngoli minori e mggiori di 45? Scmbindo v con v nell relzione / R = v v g si ottiene il medesimo R, cioè l gittt è l stess per ngoli di lncio che differiscono d 45, in positivo od in negtivo, di uno stesso vlore. Ad esempio un lncio d terr inclinto di 75 rriv ltrettnto lontno di uno inclinto di 5 che bbi l stess velocità inizile, in qunto entrmbi differiscono di 3 dll ngolo di gittt mssim. Come l clcol l gittt se il lncio non è d terr? L formul R = v v / g ed il suo vlore mssimo m R = v / g vlgono solo se il lncio vviene dll origine degli ssi. Se il lncio vviene d un cert ltezz, dobbimo, di volt in volt clcolre l gittt trovndo il tempo t * * che occorre per vere t ( ) = e * sostituirlo nell legge orri per le scisse, cioè R = ( t ). v Esercizi 3. Reltivmente ll esempio precedente, di qunti metri l gittt è inferiore l vlore mssimo possibile per quel modulo dell velocità inizile? 9.5 m v / g -3 Imponimo = nell equzione dell triettori = per trovre l gittt: = = = m = 44. Per l simmetri del problem l posizione orizzontle del mssimo trovt in precedenz risult l metà dell gittt. Confrontimo or l gittt con il vlore mssimo possibile: v 5. R = = m = 63.7 m R - R = ( ) m = 3.3 m m m g m 6. m 4. m 4. Un mzzo di chivi viene lncito d un ltezz di. m d un ngolo = 6 e cde nelle mni di un person ffccit ll finestr che si trov 4. m sopr ll strd, ll distnz di 6. m dl punto di lncio. Clcolre l velocità inizile che è stt impress l mzzo di chivi e per qunto tempo è rimsto in ri. [R: 9.7 m/s,.3 s ] 5. Un gioctore di pllcnestro esegue un tiro con velocità inizile di 4. m/s con un ngolo di 5 rispetto d un line orizzontle. A 8. m dll su posizione si trov il cnestro, che viene centrto. Clcolre di qunti metri il cnestro è situto più in lto dell mno che h lncito il pllone, e se nell istnte n cui f centro, l pll h già scvlcto il punto di mssim ltezz dell triettori. [R:.76 m, si ] 5 8. m 7

18 v 6. Un ssso viene scglito d un promontorio lto 8 m d un ngolo = 35 rispetto ll orizzonte con v = 5. m/s. Trovre l mssim ltezz rggiunt dl ssso, l distnz dl promontorio ll qule entr in cqu, il modulo e l ngolo dell velocità in quell istnte. [R: 8.4 m,7.8 m, 39.9 m/s, -84.] 4. m v A 7. In relzione l problem precedente, spendo che un brc si llontn dll riv con velocità costnte v =. m/s e che dist 4. m dll riv nel momento in cui viene B lncito il ssso: mostrre che il ssso non l colpisce e clcolre qule velocità deve vere l brc perché il ssso poss centrrl. [ R: 3.8 m/s ] m J 5 km/h 8. Un tvolett è trsportt dll corrente di un fiume ll velocità di 4.5 m/s. Nell istnte in cui l tvol pss sotto d un ponte un rgzzo lnci un ssso nel verso dell corrente, con un inclinzione di 3 in bsso. Spendo che il ssso centr l tvolett 9 m più vnti, si clcoli qunto è lto il ponte. [ R: 4.8 m ] 5. m/s 7. m/s 57 m 9. Un ereo gricolo procede quot m ll velocità di 5 km/h. Ad un certo istnte sgnci un pcco che deve centrre un pittform 57 m dvnti lui. Clcolre l ngolo in bsso (e quindi l velocità verticle) con cui deve lncire. [ R: -7.8] 3. Un mongolfier sle velocità costnte di 5. m/s per l spint di Archimede. A quot m spr un rzzo segnltore, con l cnn del fucile in orizzontle che imprime un velocità di 7. m/s. Clcol l gittt, l velocità e l inclinzione metà dell durt del lncio. [ R: 6. m, 7.7 m/s, -4.9] v 4m 3. Con riferimento l problem precedente si consideri un plloncino che distnz di 4. m dll verticle dell mongolfier inizi rislire d terr nell istnte in cui viene sprto il rzzo. Si clcoli l velocità costnte che dovrebbe vere il plloncino per essere centrto dl rzzo. [ R: 33. m/s ] * 3 4 üï ï ý D ï ïþ 3. Considerimo un prticell lncit d un quot con un velocità sclre inizile v, m con successivi, differenti vlori dell ngolo di lncio. Dimostrre che il modulo v dell velocità d un cert quot * dipende solo dllo spostmento verticle complessivo. [R] 4. m 33. Un ldro corre sul tetto di un plzzo inseguito dll polizi, stringendo in mno l refurtiv. Per mettersi in slvo decide di spiccre un slto e rggiungere il plzzo ttiguo, che dist 4. m ed h l medesim ltezz. Clcolre l velocità minim cui deve correre il furfnte ffinché il slto gli riesc. Se gli cde di mno l refurtiv nell istnte di mssim ltezz, in qule punto dell prete del plzzo di fronte l oggetto v sbttere? [R: 4.43 m/s ] 5. m v 34. Jmes Bond si lnci d un elicottero per tterrre dentro l cssone di un cmion crico di pgli, lto. m, e distnte in quel momento, 3. m dll verticle nel punto di lncio. Spendo che l velocità inizile dell gente 7 è 4. m/s, inclint di verso il bsso, e che il cmion viggi con un velocità costnte di.5 m/s, si mostri che se l utist non cceler Bond fllisce il bersglio. Clcolre l ccelerzione costnte che l utist dovrebbe imprimere l cmion ffinché il slto riesc. [R: m/s ] 3. m 35. Uno scitore esegue un slto d un trmpolino che s incurv in fondo d un disces, fcendolo stccre con un inclinzione di 35. L pist orizzontle ricominci distnz di5. m, in un punto più in bsso di. m rispetto ll fine del trmpolino. Clcolre 7

19 l velocità minim con cui deve vvenire lo stcco se voglimo che il slto riesc, l velocità con cui ricde. Clcolre l velocità mssim ll qule può sltre se non vuole trvolgere un ltro scitore che è ppen tterrto con velocità orizzontle 9. m/s. [R: 8.56 m/s,7.6 m/s, 3. m/s ] 36. Un pll d tennis viene colpit d un rcchett che l rimnd indietro in modo che l su posizione rispetto quell dell imptto si individut dl vettore: ˆ rt ( ) = (5 ti ) + (t -4.9 t) jˆ Si trovino: () l distnz dll origine degli ssi qundo t =.5 s e l ngolo formto d rt () con l orizzontle in quell istnte; () l ngolo con cui è stt colpit l pll; (3) il vettore velocità qundo t =.8 s specificndo se l pll h già scvlcto o no l posizione di mssim ltezz. [R: 4 m,3, 36,(5 m/s) iˆ- (6.6 m/s) jˆ, si ] v 35 rt () 5.m vt () rt ().m vt () 37. Il più celebre tr i problemi di cinemtic è quello che vede un cccitore posto nell origine degli ssi tentre di colpire con un frecci un scimmi ppollit d un ltezz h fr i rmi di un lbero distnzd. Il cccitore, che non conosce bene l cinemtic e mir dritto nell direzione dell scimmi, srebbe destinto fllire il colpo perché, com è noto, l triettori non è un line rett m un prbol. Tuttvi nche l scimmi non conosce l cinemtic, e nel tenttivo di evitre il colpo si lsci ndre nel medesimo istnte in cui viene scocct l frecci, e viene inevitbilmente colpit l volo. Dimostrre che, qulunque si il vlore dell velocità inizile, non c è scmpo per l scimmi se si lsci cdere. [R] 38. Due mici si tuffno d uno scoglio lto5. m, il primo orizzontlmente, con v = 3. m/s, il secondo d un ngolo = 4 verso l lto sempre con v = 3. m/s A qule distnz dll bse del trmpolino hnno l stess ltezz? Pssno nello stesso istnte per questo punto d incrocio delle triettorie? Qule dei due entr in cqu più lontno? [R:. mno,, il primo] v v d h 39. Due cnnoni imprimono l proiettile l stess velocità inizile, il primo con l cnn inclint di 4 rispetto terr, ed il secondo di 6. Spendo che distnz 7. km dl punto di lncio le triettorie toccno l stess ltezz in tempi successivi, trovre l comune velocità inizile e l gittt mssim. [R: 3 m/s, 9.3 km ] * Che cos è l prbol di sicurezz? In un lncio d terr, fisst l intensità dell velocità inizile v (cioè usndo lo stesso cnnone), esiste un prbol l di sopr dell qule si è sicuri di non essere colpiti dl proiettile, dett prbol di sicurezz. È possibile dimostrre che ess intersec l sse delle ordinte nel punto di mssim ltezz v / g rggiunto dl lncio in verticle, e l sse delle scisse nel punto di mssim gittt v / g rggiunto dl lncio 45. Si può provre che l su equzione è: v g = - v / g g v v zon di sicurezz v / g 73

20 6. L reltività di Glileo L Controfisic Glileo Glilei (564-64) è considerto il pdre del metodo scientifico, in qunto fu il primo sostenere che lo studio del mondo fisico dovev essere condotto non per osservzioni occsionli ed improvviste, m trmite esperimenti progettti, cioè vendo chiro d prim quli domnde si stvno ponendo ll ntur. I risultti ndvno poi nlizzti con gli strumenti dell mtemtic e dell geometri. L su oper Sidereus Nuncius (messggio dlle stelle) contiene l emozionnte resoconto delle osservzioni d lui ftte usndo il cnnocchile per l prim volt come strumento di misur. L scopert di corpi che non orbitvno ttorno ll Terr (i stelliti del pinet Giove) incrinò l visione Tolemic del mondo, che volev invece il nostro pinet l centro di ogni cos nel Cosmo. Nel suo lvoro scientifico Dilogo sopr i due mssimi sistemi del mondo, Glileo confut le obiezioni fisiche che sin di tempi di Aristotele venivno rivolte l moto di rotzione dell Terr, come d esempio Se l Terr ruot, perché le nuvole non restno indietro?. In un controverso processo l Chies forzò Glileo ritrttre le sue tesi scientifiche, condnnndolo d un punizione spiritule : l recit dei sette slmi penitenzili un volt settimn. In conseguenz dell condnn, pssò l fse finle dell su vit confinto nell su vill Il Gioiello vicino Firenze, dove però non gli fu impedito di lvorre: inftti qui produsse quello che è considerto il suo lvoro più importnte: Discorsi e dimostrzioni mtemtiche sopr due nuove scienze, che pubblicò Leid, in Olnd, nel 638. Secondo un leggend egli, scoltndo l sentenz che lo condnnv ritrttre vrebbe mormorto E pur si muove!, riferendosi ll Terr. In reltà l fmos frse è frutto dell fntsi del giornlist itlino Giuseppe Bretti, che invent l neddoto nel suo lvoro The Itlin Librr, un sort di compendio delle vite dei letterti itlini d uso degli inglesi, pubblict nel 757 Londr dove risiedev. L prol reltività indic semplicemente che uno stesso fenomeno può essere descritto secondo differenti punti di vist, cioè che può pprire con crtteristiche diverse reltivmente diversi osservtori. Supponimo di vere due persone che si stnno muovendo con velocità costnte l un rispetto ll ltr. Possimo pensre che l prim gurdi d terr l triettori di cdut di un pietr lscit ndre d un eroplno in volo, mentre l second osserv restndosene bordo dell ereo stesso. Nell descrizione del moto che dà quell terr, l triettori è un rco di prbol, quell bordo vede invece un line rett verticle. Srebbe del tutto illusorio chiedersi qule delle due si l triettori ver : entrmbe sono reli, perché non bbimo motivo di considerre il punto di vist dell osservtore terr superiore l punto di vist dell person sull ereo. Il disccordo nelle osservzioni che si cre cus del moto reltivo degli osservtori si enunci dicendo che essi stnno usndo sistemi di riferimento differenti: Sistem di riferimento: l insieme degli oggetti rispetto i quli un moto vviene con le stesse crtteristiche. L scelt di un sistem di riferimento non è bst sul criterio di qule si quello vero, m è dettt dll semplicità nell descrizione del fenomeno. Un osservtore bordo di un uto sceglierà l insieme degli oggetti ll interno del veicolo come proprio riferimento, ed ssumerà che lo scenrio intorno si st spostndo. Anlogmente, per un uomo sul pinet Terr, è ssi comodo usre il sistem tolemico che ssume l Terr ferm ed il Sole che orbit intorno d ess. Se tuttvi si dovesse invire un nvicell spzile su Sturno, ecco che risulterebbe più conveniente il riferimento copernicno in cui i pineti orbitno intorno l Sole. Al di là di queste considerzioni sull comodità nell scelt di un riferimento, le osservzioni mostrno l vlidità di un principio fisico, detto principio di reltività, che leg fr loro due riferimenti in moto rettilineo uniforme l uno rispetto ll ltro. Cos dice il principio di reltività? Nel 63 Glileo, con l su fondmentle oper scientific Dilogo sopr i due mssimi sistemi del mondo, mise in luce come, fr tutti i movimenti possibili, il moto rettilineo uniforme occupsse un posto in un certo senso privilegito. Questo movimento inftti non h crttere ssoluto, cioè ogni osservtore in moto rettilineo uniforme rispetto d un ltro può sostenere di essere egli stesso in quiete ed ttribuire il moto l mondo circostnte. Tle proprietà si esprime nel modo seguente: Principio di reltività Nessun esperimento fornisce risultti diversi in due lbortori che si muovono di moto trsltorio rettilineo uniforme l uno rispetto ll ltro. L formulzione di questo principio d prte di Glileo vvenne ttrverso lcune riflessioni sull impossibilità di rendersi conto se un lbortorio posto nell stiv chius di un nve si in moto - oppure in quiete - rispetto ll terr. Leggimo un estrtto dell oper scientific Dilogo sopr i due mssimi sistemi del mondo per vedere in che in che modo il grnde ci present l esperimento che gli permise d intuire il principio di reltività: I risultti di un esperimento non sono i vlori delle grndezze misurte, m l relzioni che legno le grndezze stesse fr loro, cioè le leggi fisiche. All inizio del XX secolo Albert Einstein riformulò il principio di reltività in un contesto più mpio: questi mbiti sono detti reltività specile (o ristrett) e reltività generle. 74

21 Rinserrtevi con qulche mico nell mggiore stnz che si sotto covert di lcun grn nvilio, e quivi fte d'ver mosche, frflle e simili nimletti volnti; sívi nco un grn vso d'cqu, e dentrovi de pescetti; sospendsi nco in lto qulche secchíello, che gocci gocci vdi versndo dell'cqu in un ltro vso di ngust bocc, che si posto bsso: e stndo ferm l nve, osservte diligentemente come quelli nimletti volnti con pri velocità vnno verso tutte le prti dell stnz; i pesci si vedrnno ndr notndo indifferentemente per tutti i versi; le stílle cdenti entrernno tutte nel vso sottoposto; e voi, gettndo ll'mico lcun cos, non più gglirdmente l dovrete gettre verso quell prte che verso di quest, qundo le lontnnze sieno eguli; e sltndo voi, come si dice, piè giunti, eguli spzii psserete verso tutte le prti. Osservte che vrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci si che mentre il vssello st fermo non debbno succeder così, fte muover l nve con qunt si vogli velocità; ché (pur che il moto si uniforme e non fluttunte in qu e in là) voi non riconoscerete un minim mutzione in tutti li nominti effetti, né d lcuno dì quellì potrete comprender se l nve cmmin o pure st ferm [..] M le misure devono fornire gli stessi risultti in tutti i riferimenti? No, il principio di reltività non dice che le grndezze fisiche misurte in due riferimenti in moto rettilineo uniforme devono essere uguli. Ed è comunque plese che ciò non è vero: d esempio l velocità di un bmbino che corre su di un treno in movimento è differente qundo veng misurt d terr, perché d ess si ggiunge quell del treno. Sono invece le relzioni fr le grndezz fisiche d essere le stesse. Questo signific che in ogni equzione fisic il primo ed il secondo membro devono cmbire entrmbi con coerenz in modo che vlg ncor l uguglinz, o come si dice, devono essere covrinti. Quindi d esempio, nel riferimento solidle l treno in cors, le leggi orrie del moto del bmbino di cui si dicev hnno l stess form di quelle d noi trovte nel riferimento terr. Srnno però differenti i vlori di posizione e velocità che le leggi restituiscono per ogni lettur di orologio. Oppure, detto in ltri termini, il modo in cui i vlori di velocità e posizione nel riferimento in moto si trsformno nei corrispondenti vlori del riferimento terr, è tle per cui le leggi dell fisic che li legno l tempo restno le stesse. z Come si trsformno le coordinte fr due riferimenti in moto reltivo? Ad ogni sistem di riferimento nello spzio dell geometri euclide si possono ssocire tre ssi perpendicolri, con un intersezione comune che fcci d origine tre coordinte crtesine (,, z ) d usre per individure ogni punto. Ci proponimo or di trovre delle trsformzioni che consentno di pssre d un tern di coordinte ( z,, ) in un riferimento, ll corrispondente tern (,, z ) in un secondo riferimento in moto reltivo rispetto l primo. Considereremo solo moti con velocità vettorile costnte in intensità e direzione, cioè trslzioni in cui gli ssi rimngono sempre prlleli loro stessi. A questo scopo conviene scegliere uno dei tre ssi lungo l direzione dell velocità reltiv (noi prenderemo l sse ), ed vere gli ltri due ugulmente orientti nei due sistemi. Così vremo che le coordinte e z non cmbino pssndo d un riferimento ll ltro, cioè = ez = z, così come non cmbi l lettur di orologio, cioè t = t. Indichimo con V l velocità di trscinmento, cioè l velocità con cui si muove tuttor, misurt rispetto dr. Per come sono posti gli ssi deve esserci stto nel pssto un istnte t in cui le origini dei due sistemi coincidevno. Un punto P fermo rispetto d R, di sciss, vrà in R un coordint che cmbi d ogni lettur del cronometro. L nuov sciss si può ottenere sommndo d lo spzio V D t percorso dl riferimento nell intervllo di tempo D t che è trscorso rispetto ll istnte t in cui le origini dei due sistemi coincidevno. Abbimo quindi le: L Controfisic Le prole di Glileo sono qunto mi veritiere se considerimo che il moto di rotzione dell Terr ttorno l suo sse super i quttrocento metri l secondo, e che quello di rivoluzione intorno l Sole rggiunge i trent kilometri l secondo eppure noi pre di str fermi! V Dt z P V L Controfisic E irresistibile l tentzione di pensre che il riferimento (,,z ) si in moto e che (,,z) si fermo. M come sppimo il moto rettilineo uniforme non è un concetto ssoluto: ogni osservtore in moto velocità costnte rispetto d un ltro h tutto il diritto di ritener e di essere lui quello fermo e che l ltro si muove rispetto lui. Trsformzioni di Glileo per l posizione e il tempo = + V D t = z = z t = t 75

22 Esercizi 4. In un riferimento R in moto reltivo con velocità V ( m/s,, ) rispetto d un ltro riferimento R, si h che qundo il cronometro segn t = 6.5 s l posizione di un prticell P risult(5. m,.5 m, 4. m ). Trovre l posizione di P nel riferimento R V spendo che le due origini coincidevno t = 3.5 s. z z Applicndo le trsformzioni di Glileo bbimo: = + VD t = + V ( t - t ) = [5. + ( )] m = 35 m = =.5 m, z = z = 4. m, t = t = 6.5 s Possimo studire il moto di cdut liber con le trsformzioni glileine? Ritornimo l problem posto ll inizio del cpitolo: un person osserv d terr il moto di cdut di un pietr lscit ndre d un ereo, ed un second lo osserv dll ereo. Verificheremo or, in questo cso prticolre l covrinz delle leggi di cdut previst dl principio di reltività. Ponimo il riferimento R solidle con l ereo, che supporremo in moto con velocità costnte VV (,,) rispetto l riferimento R ggncito terr. Dl punto di vist dell ereo l triettori è un line rett. Se indichimo con t l istnte in cui coincidono gli ssi verticli dei due riferimenti (cioè qundo = ), si h che il tempo trscorso d quel momento è D t = t - t = D t (cioè identico nei due riferimenti). Si trov l legge orri dell posizione verticle, identic nei due riferimenti perché è = : = - g( Dt ) = - gd t Il ftto che queste due espressioni sino uguli è un ltro modo di dire che il moto in orizzontle dell ereo non influenz quello in direzione perpendicolre di cdut. Voglimo or usre quest legge orri per ricvre l triettori vist dl riferimento terr. Dlle trsformzioni di Glileo ricvimo il tempo in funzione dell posizione e dell velocità ed inserimolo: - D t = V æ - ö = - g ç è V ø possimo scegliere lo zero delle scisse nel riferimento dell ereo proprio in corrispondenz dell posizione di lncio dell pietr, cioè sostituire = : g = - V cioè l equzione dell prbol di un lncio orizzontle che già conoscevmo. z z v V Come possimo trsformre le velocità d un riferimento ll ltro? Ponimo or che un punto si in moto con velocità costnte v se misurt inr : possimo d esempio pensre d un hostess che cmmin ll interno del nostro ereo. Intuitivmente comprendimo che l su velocità v nel riferimento R si otterrà sommndo v l velocità V dell ereo. Dimo un dimostrzione lgebric di quest intuizione osservndo innnzitutto che con l nostr scelt di ssi possimo concentrrci solo sull componente dell velocità in direzione delle, in qunto sppimo che i moti in direzioni perpendicolri non si influenzno, cioè che v = v ev z = v z. Per semplificre sceglimo t = in modo che l trsformzione di Glileo diventi: Ad un istnte successivo t = + Vt +D t l trsformzione si scrive: 76

23 ( +D ) = ( +D ) + V ( t +D t) sottrendo membro membro le due precedenti relzioni, e dividendo per ottenimo: D D = + V v = v + V Dt Dt Nel cso generle in cui il moto reltivo dei due riferimenti non vviene prllelmente ll sse, il principio di indipendenz grntisce di poter ripetere lungo ciscuno dei tre ssi l dimostrzione. Si ottengono quindi nloghi risultti per le componenti dell velocità lungo ciscuno dei tre ssi v = v + V e v z = v z + V z cioè un relzione vettorile che indic come le velocità misurte nei due riferimenti e l velocità di trscinmento sino i tre lti di un tringolo: Trsformzioni di Glileo per l velocità v = v + V Quindi d esempio un person che psseggi con velocità v su di un chitt trsportt dl fiume con velocità V vrà, rispetto ll riv un velocità v le cui intensità e direzione sono dte dll composizione secondo il tringolo di punt-cod, come in figur. Si può dimostrre che l relzione fr le velocità qui ricvt nel cso prticolre del moto trsltorio rettilineo uniforme, h un vlidità generle, nche in presenz di rotzioni dei riferimenti R ed R. D quest formul si può nche ricvre un relzione fr le ccelerzioni, che mostr come in tutti i csi in cui velocità di trscinmento è costnte in vlore e direzione, si h =. L ccelerzione non cmbi pssndo d un riferimento R d un ltro R in moto rettilineo uniforme rispetto d R: si trtt quindi di un grndezz ssolut nziché reltiv. In che modo Glileo introdusse l legge di composizione delle velocità? Nel Dilogo sopr i due mssimi sistemi del mondo, Glileo present l legge di composizione delle velocità nel tenttivo di dissipre l convinzione errt dei seguci di Aristotele per cui un esercito schierto d est vrebbe vuto sempre un vntggio. Inftti si ritenev che, se dvvero fosse esistito un moto di rotzione dell Terr, questo vrebbe trsportto il nemico verso le loro frecce. Vicevers l esercito schierto d ovest vrebbe dovuto scglire con molto più vigore per compensre il moto di llontnmento dl terreno vversrio. M poiché null di tutto ciò ccdev, si concludev che l Terr er immobile Per confutre quest tesi, lo scienzito pisno consider un crrozz in cors, dll qule vengno scglite due frecce con un blestr, un nel verso dell cors ed un in verso contrrio. Seguimo il dilogo 3 fr l interlocutore ristotelico, Simplicio, ed il personggio che espone le tesi di Glileo, che si chim Slviti: D t V v v v v V v V SIMPLICIO. Non ho dubbio che lo spzio tr l frecci e dove si trov l crrozz nel momento che l frecci si ficc in terr, srà minore ssi qundo si tir verso il corso dell crrozz, che qundo si tir per l'opposito. Si, per esempio, il tiro in se stesso trecento brcci, e il corso dell crrozz, nel tempo che il bolzone 4 st per ri, si brcci cento: dunque, tirndosi verso il corso, delle trecento brcci del tiro l crrozzett ne pss cento, onde nell percoss del bolzone in terr lo spzio tr esso e l crrozz srà brcci dugento solmente; m ll'incontro nell'ltro tiro, correndo l crrozz l contrrio del bolzone, qundo il bolzone vrà psste le sue trecento brcci e l crrozz le su cento ltre in contrrio, l distnz trpost si troverà esser di brcci quttrocento. SALVIATI. Vi srebbe modo lcuno per fr che questi tiri riuscissero eguli? SIMPLICIO. Io non sprei ltro modo che col fr str ferm l crrozz. SALVIATI. Questo si s: m io domndo, fcendo correr l crrozz tutto corso. 3 Il testo è stto in qulche pssggio dttto in lingu corrente per un mggiore scorrevolezz. 4 Frecci ust nelle blestre. 77

24 O V v v = -V v V v + V v metodo di punt - cod in un sol dimensione E SIMPLICIO. Che si ingglirdisse l'rco nel tirr secondo il corso, e poi lo si indebolisse per tirr contro l corso. SALVIATI. Ecco dunque che pur ci è qulch'ltro rimedio. M qunto bisognerebbe ingglirdirlo di più, e qunto poi indebolirlo? SIMPLICIO. Nell'esempio nostro, dove vimo supposto che l'rco tirsse trecento brcci, bisognerebbe, per il tiro verso il corso, ingglirdirlo sì che tirsse brcci quttrocento, e per l'ltro indebolirlo tnto che non tirsse più di dugento, perché così l'uno e l'ltro tiro riuscirebbe di brcci trecento in relzione ll crrozz,[ ] SALVIATI. Sì, sì, così torn il conto giusto. M ditemi: qundo l crrozz corre, non si muovono ncor con l medesim velocità tutte le cose che son nell crrozz? SIMPLICIO. Senz dubbio. SALVIATI. Adunque il bolzone ncor, e l'rco, e l cord su l qule è teso. SIMPLICIO. Così è. SALVIATI. Adunque, nello scricre il bolzone verso il corso dell crrozz l'rco imprime i suoi tre grdi di velocità in un bolzone che ne h già un grdo, grzie ll crrozz che verso quell prte con tnt velocità lo port, tlché nell'uscir dell cocc si trov con quttro grdi di velocità; ed ll'incontro, tirndo per l'ltro verso, il medesimo rco conferisce i suoi medesimi tre grdi in un bolzone che si muove in contrrio con un grdo, tlché nel seprrsi dll cord non gli restno ltro che due soli grdi di velocità. M già voi stesso vete deposto che per fre i tiri eguli bisogn che il bolzone si prt un volt con quttro grdi e l'ltr con due: dunque, senz mutr rco, l'istesso corso dell crrozz è quello che ggiust le prtite, e l'esperienz è poi quell che le sigill coloro che non volessero o non potessero esser cpci dell rgione. Vedimo or qulche esempio in cui l formul di Glileo dell composizione delle velocità trov ppliczione. Perché gli erei decollno controvento? Uno dei motivi per cui gli erei di line decollno d piste diverse second dell or e dei giorni è che tentno di vvntggirsi dell velocità del vento muovendosi contro di esso. Se d esempio per decollre si deve rggiungere un velocità v rispetto ll ri di 5 km/h, ed in quel momento st soffindo d ovest un vento con velocità V di 3 km/h, converrà usre per il decollo l pist che punt d ovest, in modo che in un riferimento solidle con l terr vente l sse verso ovest, l ereo debb portrsi d un velocità v rispetto terr che è minore dei 5 km/h richiesti rispetto ll ri: corrente v = v + V = (5-3) km/h = km/h V 3 km/h v 4 km/h v 5 km/h Cos succede remndo perpendicolrmente ll corrente di un fiume? Considerimo un brc che ttrvers un fiume in cui l corrente vnz 3 km/h : quest è l velocità di trscinmento V del riferimento R che scorre insieme ll cqu. Il brciolo st puntndo verso l riv oppost remndo rispetto ll cqu 4 km/h : questo è il vlore di v in R. In un sistem R solidle con l terr, l brc vnz digonlmente con velocità v il cui vlore si trov osservndo che in questo prticolre cso V ^ v. Pertnto il segmento che rppresent v è ipotenus in un tringolo rettngolo in cui V e v sono cteti: v = V + v = 5 km/h. Quindi, d v v V esempio dopo un intervllo temporle D t = h, un tppo di sughero gllegginte h continuto d vnzre trsportto dll corrente con velocità V percorrendo 3 km. Per l indipendenz dei moti in direzioni perpendicolri, nello stesso intervllo nche l brc si è spostt di km nel verso dell corrente e nel contempo si è moss con velocità v perpendicolrmente d ess, percorrendo 4 km in quell direzione, con il tppo di sughero sempre llineto lei rispetto ll riv. Il suo spostmento complessivo è stto llor (3 km) + (4 km) = 5 km. E come si trtt il cso in cui le velocità non sono perpendicolri? Esminimo l situzione in cui, ll interno di un grnde mgzzino, due persone sono sulle scle mobili, un in disces ed un in slit, incrocite come in figur. Nel 78

25 riferimento R solidle ll edificio chimimo v l velocità dell uomo che sle e V quell dell uomo che scende: il loro vlore è lo stesso m sono differenti direzione e verso. Ponimoci or in un riferimento R solidle ll uomo che scende, e clcolimo come ppre d questo punto di vist l velocità v dell uomo che sle. Si h che R possiede un velocità V rispetto l riferimento R ncorto ll edificio, e che sommt vettorilmente secondo le trsformzioni di Glileo, l vlore v che voglimo trovre, produce l velocità v dell uomo che sle espress in R. L relzione corrispondente è v = V + v, e si rppresent trmite il tringolo qui lto. Essendo uguli le velocità delle due scle mobili, il tringolo è sempre isoscele, ed inoltre i due lti uguli formno lo stesso ngolo con l orizzontle. Pertnto v h direzione verticle, cioè l uomo che scende vede l uomo che sle muoversi lungo un line rett esttmente verticle. Nel cso prticolre in cui = 45 il tringolo è nche rettngolo e risult v = V + v, mentre per un vlore generico di dobbimo ddizionre le componenti dei vettori. Ricvimo v dll formul di Glileo, v = v -V, e scrivimo le equzioni lungo gli ssi: v = v - V = v cos - V cos = v cos - v cos = v v V V v V v V v v = v - V = v sin -( - V sin ) = v sin Quindi l posizione reltiv delle due persone cmbi solo in direzione verticle, con velocità pri l doppio dell componente verticle di ciscun scl, v = v sin. L distnz in orizzontle fr le due persone rest identic per tutto il trgitto, essendo v =. Questi due risultti sull velocità reltiv sono verificbili nche d prte di un osservtore che gurdi dll esterno, il qule vede le due persone prim vvicinrsi verticlmente e poi llontnrsi si nuovo, m sempre seprti dll stess distnz orizzontle, quindi se d esempio prtono llineti in verticle vi rimngono per tutto il trgitto. Vndenberg Airforce Bse Kenned Spce Center Il lncio dei stelliti rtificili sfrutt l composizione delle velocità di Glileo? Abbimo ccennto che l legge dell composizione delle velocità vle per qulunque coppi di riferimenti, non necessrimente in moto rettilineo uniforme l uno rispetto ll ltro. L legge di Glileo si pplic quindi nche gli oggetti che prtono d un sistem rotnte come l Terr: d esempio possimo utilizzrl nel cso dei stelliti rtificili. Inizimo osservndo che negli Stti Uniti il lncio dei stelliti vviene d bsi diverse second dell orbit in cui li si vuole immettere. Quelli destinti d orbite che non pssno per i poli prtono dll cost est, dl Kenned Spce Center in Florid, in direzione dell Oceno Atlntico. Inftti, per ndre in orbit un stellite deve rggiungere un velocità che (vist d un sistem rotnte ttorno l Sole insieme con l Terr) è di 8 km/s v V v 8 km/s. M il stellite prte d un riferimento che già st ruotndo con velocità V, che quell ltitudine è circ.4 km/s, prllel d un pino pssnte per l equtore e dirett d ovest d est. Se quindi lncimo il stellite verso est con velocità v, ess si compone vettorilmente V secondo l legge di Glileo, in modo d produrre il vlore v = v + V che poi permetterà di portrsi in orbit circ km di quot con velocità di 8 km/s. Insomm si lnci il stellite nel verso di rotzione dell Terr per vvntggirsi di ess, m siccome nel contempo non si vuole che il rzzo pssi sopr i centri bitti, si deve puntre in direzione dell oceno: queste due cose insieme in Americ si possono fre dll cost est verso l Atlntico. Vicevers i stelliti polri vengono lnciti dll cost ovest, nell Vnderberg Airforce Bse in Cliforni, in direzione dell Oceno Pcifico. In questo cso inftti l velocità di rotzione dell Terr deve essere nnullt perché se l orbit dovrà pssre sopr l Polo v v V 8 km/s 79