APPLICAZIONI DI CINEMATICA

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1 EZINE ICZINI DI CINEMTIC In quest seione si pesentno lcuni esempi di pplicioni dell teoi cinemtic sviluppt nei due cpitoli pecedenti dispositivi meccnici pticoli. e pote considee di ve elmente ppeso i concetti teoici, lo studente deve essee in gdo di isolvee gevolmente i polemi pesentti di seguito. tecnic di soluione consiste in genele nello scivee pe ciscuno dei copi igidi del sistem l equione fondmentle di copo igido ed imponendo successivmente i vincoli cinemtici esistenti.. CCI TIC Il ccio ootito consideto nell figu sottostnte consiste di un motoe M che mette in otione l colonn veticle C. C Motoe M φ y y e h y Motoe M

2 olidle d ess è l stuttu slo ll cui estemità è collocto un motoe M che mette in otione l leo che ttveso un gomito è collegto ll elemento. ssegnte le funioni (t) e (t) detemine l tiettoi di e clcole il modulo dell su cceleione in funione del tempo. celti sistemi di ifeimento come nel disegno ( fisso, solidle C, solidle ll leo di M), scivimo le equioni dell cinemtic dei due copi igidi che tituiscono il sistem: dove () (),,,,, '' () () '' sono il vettoe delle coodinte di posiione di un geneico punto ifeite, le mtici delle otioni podotte di motoi M e M, il vettoe delle coodinte di posiione di un punto ifeite, il vettoe delle coodinte di posiione di un punto ifeite, il vettoe delle coodinte di posiione dell oigine ifeite l sistem. ostituendo l second equione nell pim ottenimo: () () () () () ( ) '' '' Tle elione è del tutto genele. Consideimo o i vincoli cinemtici esistenti. colonn C esegue solo otioni ttono ll sse. etnto l su mtice di otione h fom: () che descive l otione di ispetto con ssi e coincidenti. leo motoe è vincolto poi uote ttono ll sse, dunque l mtice () descive l otione di ispetto con gli ssi e coincidenti. Considendo il punto, fisso nel sistem di ifeimento, imo: e

3 Infine l oigine del sistem è un punto di coodinte fisse nel sistem solidle ll colonn: h '' llo: e h viluppndo i podotti si ottengono le coodinte di nel sistem di ifeimento fisso l vie del tempo, cioè le equioni pmetiche dll tiettoi di. e loo deivte seconde ispetto l tempo poducono le componenti dell cceleione di cui si clcol gevolmente il modulo.

4 . UT Un disco D di ggio tngente ll ett σ, otol su quest sen stiscimenti. Detemine l tiettoi γ seguit d un punto del disco che si tovi distn ½ dl suo cento. y y γ C σ celti due ifeimenti e ( fisso, solidle D) come nel disegno, imo: ' con, / mtice descive l otione di ispetto con ssi e coincidenti (otogonli l pino del disegno). Con ifeimento l punto imo poi ' y ' ( t) ' ( t) dove le coodinte ' ( t), y '( t) sono pe il momento incognite.

5 condiione che non vi si stiscimento nel punto di conttto C t disco e ett impone che i punti mteili, uno pptente D l lto σ, che si tovno nel geneico istnte t nel punto di conttto C hnno l stess velocità. Quell dei punti di σ è sempe null, pe cui si deve impoe che il punto mteile di D che si tov in C i velocità null. Dll fomul fondmentle dell cinemtic: C v v ' ' C etnto, consideto che, si ottiene: ' C ' ' ' ' y y k j i Quest condiione, che è il vincolo cinemtic, pemette di detemine pe integione le funioni incognite : ) ( ), ( ' ' t y t y ' ', questo punto, ipendendo l ', deteminimo il vettoe di posiione di : / y p p che fonisce le pmetiche dell tiettoi ppesentt nell figu sottostnte. Tiettoi di nel pino y pe

6 . TIM NETI e il otismo plnetio schemtito sotto, è ssegnt l otione (t) dell uot (sun). Consideto fisso l nello esteno (ing), detemine l otione ψ (t) del potteno (m). Detemine il ppoto t l velocità ngole di e quell del potteno. Detemine infine l tiettoi di un punto Q che dist p / dll sse di otione dell uot. Tutte le uote otolno sen stiscimenti. y y C Q y C i scelgono sistemi di ifeimento come indicto in figu, solidli ispettivmente l ing, ll uot e ll uot.

7 Considemo i vincoli cinemtici. e condiioni che le uote otolino sen stiscimento implicno dei vincoli cinemtici tli che: i) il punto mteile dell uot e quello dell che si tovino simultnemente in C ino l stess velocità, ii) l velocità del punto mteile di che si tov in conttto con il ing in C i velocità null. Dunque: C v C v C, p p p p ostituendo l second nell pim: ( ) C C C oiché, segue: C C C C Inolte C C, d cui:, C C equione fondmentle dell cinemtic pe il potteno (m) compot: p C C v ) ( che fonisce il ppoto di iduione del teno plnetio. d cui: ) ( ) ( ) ( t t ψ tiettoi di Q si detemin sull se delle ( ) ( ),, p p con ovvie espessioni pe le mtici di otione che descivono otioni ttono ll sse otogonle l pino del disegno: ( ) ( ), ψ ψ ψ ψ

8 dove. Fissndo l ttenione sul punto Q si h e dunque l tiettoi di Q è descitt dlle equioni pmetiche: / ψ ψ / ) ( / ) ( y tiettoi icvt è ppesentt nell figu sottostnte pe,.

9 .4 NII DE MNVEIM MTE tudio n. Vist longitudinle e tsvesle del populsoe pe utovettu Fit Dti: 4 cilindi in line, lesggio 84 mm, 9 mm, cilindt 995 cm, ppoto di compessione 8,9:, poten mssim Cv 56 gii/min, coppi m 58 Nm gii/min Dto il motoe ppesentto in seione longitudinle e tsvesle sul cilindo, si effettui l nlisi cinemtic del mnovellismo motoe, fonendo: l velocità del pistone l vie dell ngolo motoe; in pticole si individui l velocità mssim ggiunt dl pistone l egime di poten mssim deteminndo l ngolo motoe in coisponden del qule quest viene ggiunt; l cceleione del pistone l vie dell ngolo motoe; si detemini poi l componente dell fo lungo l dieione dell sse del cilindo che si tsmette t pistone e iell l egime di 56 gii/min considendo null l pessione dei gs sul pistone (si ssum l mss del pistone si pi.5 kg). Effettue l nlisi si con il metodo delle equioni di chiusu che con il metodo dei poligoni di velocità e ed cceleione. I dti necessi pe studie il mnovellismo motoe sono il ggio di mnovell e l lunghe di iell. Il ggio di mnovell è deteminile di dti foniti essendo not l pi 9 mm; il ggio di mnovell è llo 45 mm. lunghe dell iell non è invece fonit t i dti e deve essee ilevt di disegni considendo che è noto, d esempio, l lesggio pi 84 mm. popoione fonisce un lunghe di iell pi mm.

10 ungh. iell mm lesggio 84 mm

11 Nell figu sottostnte è evidenit l misu del ggio di mnovell. ggio mnovell 45 mm o schem cinemtico del sistem studito è piuttosto semplice e sotto ipotto. y (t) (t) p

12 mnovell è ccoppit l smento ttveso l coppi otoidle post in, l iell e ccoppit ll mnovell ttveso l coppi otoidle post in, l iell è ccoppit l pistone ttveso un ulteioe coppi otoidle post in ; infine l ccoppimento pistone-cilindo olig l estemo dell iell scoee lungo l sse del cilindo, elindo un guid pismtic; petnto il vincolo sull estemo dell iell collegto l pistone è equivlente d un glifo. Il sistem è tituito nell schemtiione effettut di due copi igidi; nel pino ciscuno di essi h gdi di lietà pe cui 6 seeo i gdi di lietà intodotti. I vincoli sottggono invece gdi di lietà pe ciscun delle due coppie otoidli in e, più un ulteioe gdo di lietà è sotttto dl glifo in : complessivmente sono sotttti 5 gdi di lietà; ne segue che il meccnismo pesent 6-5 gdo di lietà. ssumimo noto l ngolo motoe (t) che, nel cso in esme essendo l velocità ngole tnte (cioè ( t) m tnte), è ( t) mt.

13 Metodo delle mtici di otione e tli meccnismi si può pplice il metodo già visto in peceden: si scive pe ogni copi igido del meccnismo l equione fondmentle dell cinemtic e si impongono quindi i vincoli cinemtici. Consideimo llo il sistem solidle l smento motoe, il sistem solidle ll mnovell ed il sistem solidle ll iell. ossimo scivee: () () '' ostituendo l second equione nell pim ottenimo: () () () () () ( ) '' '' y y y (t) γ (t) p dove è già stto imposto il vincolo cinemtic che impone che il punto si fisso. I vincoli cinemtici impongono che l mnovell esegu semplici otioni ttono ll sse, petnto l su mtice di otione h fom: () che descive l otione di ispetto con ssi e coincidenti. iell è vincolt nco uote ttono ll sse, dunque l mtice

14 () γ γ γ γ descive l otione di ispetto con gli ssi e coincidenti. Ulteioe vincolo è che l oigine del sistem (coincidente con il punto ) è un punto di coodinte fisse nel sistem solidle ll mnovell: '' Dunque, cominndo le pecedenti: γ γ γ γ Consideto infine il punto di coodinte fisse in : l ultimo vincolo cinemtico impone che (sse dello spinotto del pistone) si vincolto este sull ett, ossi che y. etnto: γ γ γ γ viluppndo segue: ( ) ( ) γ γ che è un sistem di equioni tscendenti in γ, ( ) (t è noto). su soluione conclude l nlisi di posiione del meccnismo. nlisi di velocità e cceleione può

15 essee eseguit utilindo le fomule icvte nel cpitolo o deivndo diettmente ispetto l tempo le ultime equioni scitte. Metodo delle equioni di chiusu del meccnismo e i meccnismi ticolti pini è utile fonie un tecnic di soluione pticole veloce st sulle equioni chiusu del meccnismo. i noti inftti che i vincoli cinemtici impongono il veificsi dell seguente equione di chiusu cinemtic: i h dunque:,,,,, p e incognite sono e p, isoluili ttveso l coppi di condiioni scli coispondenti ll equione di chiusu cinemtic. In fom esplicit il sistem di equioni è: p () Che, come noto, è non linee (si ossevi che è stto ssunto positivo pe otioni ntioie dell mnovell, mente è stto ssunto positivo pe otioni oie dell iell. i noti che il metodo fonisce lo stesso isultto ottenuto con il metodo pecedente ppen si noti che γ, cioè γ ). E possiile in questo cso un soluione in fom chius. Inftti: p ( p ) Esplicitndo l posiione del pistone dll pim e l ngolo di iell dll second ottenimo: p () c osto 45 mm e mm, digmmimo in funione dell ngolo motoe l posiione del pistone e l inclinione dell iell.

16 sciss dello spinotto vi t 75 mm (somm di ed ) e 85 mm (diffeen t ed ). ngolo di iell vi invece t cic - e. Questo complet l nlisi di posiione. Effettuimo l nlisi di velocità. velocità si icv o pe deivione diett delle espessioni (), o pe deivione dell equione di chiusu cinemtic (). eguimo quest second vi. imo:

17 p () Dll pecedente nlisi di posiione sono note p e le incognite del polem sop sono o p. Il sistem è linee in queste due incognite. imo in fom mticile: p isolvendo: ( ) p tg I digmmi delle due gndee o clcolte sono fonite nelle figue che seguono.

18 ssimo llo studio delle cceleioni. Deivndo l equione (): p In quest equione le incognite sono p essendo invece note dll nlisi di posiione e di velocità p p. Tle polem linee si tduce mticilmente nell fom: p d cui si icvno le espessioni delle cceleioni del pistone e dell iell: p, Consideto che nel polem in esme, m, e dunque:

19 , p /, ) ( m m p I digmmi ispettivi sono foniti di seguito.

20 e ispondee ll domnd del quesito posto cic l mssim fo tsmess l pistone st moltiplice l cceleione mssim pe l mss del pistone. Nel gfico sotto ipotto è fonit l fo sul pistone in dieione dell sse del cilindo (in kg fo). Metodo dei poligoni di velocità e cceleione i ttt di un metodologi di soluione ust sopttutto in pssto, qundo non esistevno mei di clcolo elettonico. In quest mito si suppone che l nlisi di posiione del meccnismo si già stt effettut. In lti temini è già not un configuione del meccnismo: sono dunque già stte deteminte le incognite cinemtiche e. Tle isultto potee essee stto conseguito, d esempio, pe vi p gfic, disegnndo il meccnismo nell configuione che coisponde d un ssegnto ngolo di mnovell, ispettndo i vincoli eltivi ll ssegnto ggio di mnovell, lunghe di iell e collocione dell estemo dell iell sull congiungente e. In qunto segue, si effettu l nlisi di velocità ed cceleione ssocit ll posiione del meccnismo ssegnt. Ciò compot che tle nlisi vd ipetut pe ciscun delle configuioni di inteesse del meccnismo. timo dll nlisi di velocità dell mnovell, pplicndo d ess l equione fondmentle dell cinemtic (equione (8) dell seione sul copo igido): v v ' ' Utilindo come oigine del sistem solidle ll mnovell il punto, e ponendo, l velocità di si clcol come: v v m

21 m dove è l ssegnt velocità ngole dell mnovell (l dieione si svilupp otogonlmente l pino del moto -cioè otogonlmente l pino del disegno sottostnte-, il veso si quello uscente dl pino del disegno, ssocito d un otione ntioi dell mnovell). oiché v si h v m. Dunque il vettoe v m è completmente noto. In pticole il modulo, con i dti del polem, è cic 6 m/s. o si disegni llo con il suo pimo estemo in coisponden del punto (o di un lto qulsisi punto del pino, essendo tle scelt iilevnte nell pocedu espost) con un lunghe iti (nel disegno pi cm). su dieione è ovvimente otogonle quell del vettoe (vedi figu sottostnte). y v 6 m/s (t) (t) nlisi di velocità ftt in tl modo può essee estes d un qulunque punto dell mnovell. ssimo ll nlisi di velocità dell iell. civimo pe ess nco l equione fondmentle dell cinemtic, ponendo in questo cso, : dove v v (4) è l velocità ngole dell iell. i ossevi che in tle equione isultno incognite lcune quntità. Del vettoe v è not l dieione (quell di ) m incognito il modulo. Del vettoe v è noto tutto dll nlisi di velocità dell mnovell. Del vettoe è not l dieione (otogonle l pino del moto) m incognito il modulo. Infine del vettoe è noto tutto, poiché si è supposto che l nlisi di posiione del meccnismo si già stt effettut. Dunque, l equione fondmentle dell cinemtic pe l iell contiene due infomioni incognite: il modulo dell velocità ngole, ed il modulo dell velocità del punto. oiché l equione è vettoile nel pino, quest è equivlente due equioni scli: petnto con l equione scitt simo in gdo di detemine le due incognite del polem. Effettuimo quest deteminione in fom gfic. (4) pescive di somme l vettoe v, noto, un vettoe otogonle ll dieione

22 di cui non conoscimo il modulo. Individuimo sul disegno l dieione secondo cui si svilupp e ipotimo tle dieione in coisponden dell estemo del vettoe v pecedentemente disegnto. somm di v e di deve fonie un vettoe v in dieione pllel. ipotimo llo nche l dieione pllel d nel disegno, fcendol psse pe. E chio questo punto che l unico modo pe scegliee il veso e l lunghe incognit del vettoe, ffinché sommto v fonisc un vettoe pllelo d, è quello di tccilo dell estemo di v fino l punto Q (inteseione t l dieione otogonle d e quell pllel ). y Dieione otogonle d v Q Dieione pllel d (t) (t) questo punto tccimo i vettoi e v sul disegno (vedi figu). y Q v v (t) (t)

23 i clcolno quindi le lunghee sul disegno dei due vettoi ppesenttivi di e v (nel nosto disegno ppossimtivmente.4 cm e.7 cm) e con un popoione si deteminno le intensità dei vettoi ppesentti (d es. :.4 6 : cioè.8 m/s pe e.4 m/s pe v ). deteminione di è poi immedit. Consideimo o le cceleioni. timo dll mnovell. e quest scivimo l equione () dell seione sul copo igido: ' ( ' ) ' onimo e e consideto che, che il moto è pino e che si h: m m che pemette di disegne immeditmente il vettoe y (vedi figu sottostnte). (t) (t) Considet l iell, ponimo nell equione dell cceleione, : nche in quest equione imo due incognite. Inftti: di è not l dieione, incognito il modulo; è completmente noto dll pecedente nlisi di cceleione; di è not l dieione (otogonle l pino del moto), incognito il modulo; è completmente noto; infine è stto deteminto nell pecedente nlisi di velocità. isogn dunque detemine i moduli di e. equione scitt è l solito equivlente due equioni scli ed è quindi possiile isolvee il polem. ommimo, come pescive l ultim equione scitt, l vettoe il vettoe (vedi figu sottostnte).

24 y Q (t) (t) dett somm isogn nco ggiungee il vettoe l cui dieione è otogonle d. isultnte dei te vettoi deve essee pi di dieione pllel. Tccimo l dieione pependicole d pe l estemo del vettoe (vedi figu) e l dieione pssnte pe. Ci si ende conto che l unico modo pe tccie il vettoe lungo l su dieione in modo che l somm si diett come v, cioè come, è quello di pote il suo secondo estemo in Q. egue quindi il qudilteo delle cceleioni (vedi figu seguente). Il ilievo dei vettoi ppesenttivi e l deteminione delle intensità dei vettoi cceleione segue l identico pocedimento visto pe le velocità. ssevimo che il pocedimento esposto pe l nlisi delle velocità e delle cceleioni è piuttosto lungo, visto che lo si deve ipetee pe ogni configuione di inteesse del meccnismo; inolte l ccute dei isultti è scs. Vedimo peò che il metodo dei poligoni di velocità ed cceleione può essee pplicto nche evitndo i clcoli gfici. Consideto inftti il tingolo di vetici Q, i y Q (t) (t)

25 suoi ngoli si deteminno sull se di semplici consideioni geometiche: Q ˆ π /, Q ˆ π /, Qˆ. Il teoem dei seni pplicto l tingolo Q fonisce llo: ( Q ˆ ) ( Q ˆ ) v ( Q ˆ ) v e cui noti gli ngoli in questione dll nlisi di posiione, si clcolno, nliticmente, le velocità. Un lto modo nlitico di pocedee utilindo diettmente le equioni fondmentli dell cinemtic è quello di sevisi delle: m v v v scivendone esplicitmente le componenti. i h: v m v v y m m v v y m m vendo utilito l infomione che il vettoe è otogonle l pino del moto. Ci si convince fcilmente che quello ottenuto è lo stesso isultto ottenuto pe vi gfic pe l velocità v. ssndo ll iell ed nco imponendo che l velocità si otogonle l pino del moto (si ossevi che pe seguie l stess scelt ftt nell nlisi con le equioni di chiusu, ossi è stto ssunto positivo pe otioni ntioie dell mnovell, mente è stto ssunto positivo pe otioni oie dell iell, segue un diffeen nel segno degli elementi dell mtice dell velocità ngole): m v v v m vy m (5) ed utilindo l infomione pe cui componente lungo y, si h: v è oientto come, ossi è null l su

26 v m m i noti come il sistem di equioni (5) si identico l sistem (), ottenuto con le equioni di chiusu del meccnismo. i può ipetee l stess nlisi pe le cceleioni e vedee come si otteng un sistem equivlente lle equioni deteminte deivndo le equioni di chiusu del meccnismo. o si povi pe eseciio.

27 tudio n. eione tsvesle del populsoe pe utovettu Fei Dti: cilindi V di 6, lesggio 8 mm, 7 mm, cilindt 49 cm, ppoto di compessione 8,8:, poten mssim Cv 66 gii/min, coppi m 6,8 Nm 5 gii/min Dto il motoe ppesentto in seione tsvesle sul cilindo, si effettui l nlisi cinemtic del mnovellismo motoe, fonendo: l velocità del pistone l vie dell ngolo motoe; l cceleione del pistone l vie dell ngolo motoe. i esegu l nlisi cinemtic si con il metodo delle equioni di chiusu del meccnismo si con il metodo dei poligoni di velocità ed cceleione (in fom gfic ed nlitic).

28 .5 NII DI UN ENINE E UTVEIC () () (C) () Vist tsvesle di un sistem di sospensione qudiltei defomili () istem di sospensione qudilteo defomile (Fei F4, completo di disco e pin del feno e del ccio di comndo dell uot stente) (C) Vist sospensione nteioe qudilteo defomile (Fei Testoss, visiile sull dest l di tosione). ssegnti in fom pmetic i dti geometici dell sospensione, detemine l poten dissipt nell mmotitoe idulico qundo si ssegnt l velocità ngole del ccio infeioe E; detemine infine l componente veticle dell velocità di Q.

29 o schem cinemtico dell sospensione (possimo l sistem ffiguto in ()) è: F D C E Q α chem cinemtico F E D C Q Vist dell sospensione ele

30 Consideimo iniilmente il numeo dei gdi di lietà del meccnismo. Il dispositivo di sospensione const di 5 elementi: ccio infeioe E, elemento potnte l uot C, ccio supeioe CD, pistone collegto in E l ccio infeioe E, guid del pistone vincolt in F l telio. ono quindi potenilmente pesenti 5 gdi di lietà del meccnismo idotti di vincoli seguenti: 6 coppie otoidli in,, C, D, E, F più l ccoppimento pismtico pistone-guid, pe un totle di 4 gdi di lietà impediti. Ne segue che il meccnismo consideto h un solo gdo di lietà. upponimo llo si ssegnto l ngolo di inclinione del ccio infeioe dell sospensione pi ) (t (si ssume positivo il veso ntioio di tutte le otioni). civimo le equioni di chiusu del meccnismo. In questo cso possimo scivee due equioni di chiusu indipendenti. ecismente: ( ) ( ) e d ; ; ; ; ;,,,,,,, ψ ψ α α F EF E D CD C dove ψ e,,,, 4 e d sono dti tuttivi dell sospensione. e incognite del polem sono,,, α (mente ) (t è ssegnto). e due equioni di chiusu equivlgono 4 equioni scli pe cui il polem è deteminto. i noti inolte che le due equioni di chiusu sono utonome, nel senso che l pim contiene le due sole incognite α,, mente l second le imnenti due,. pim equione di chiusu è: α α (6) Qudndo e sommndo (eliminndoα ) si h: ) ( ) ( ) (

31 ) ( ) ( ) ( ± osto: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( h g f ( ) ( ) ) ( ± h g f Qudndo e isolvendo pe : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± c h g h f h g g f g f Con quest si isolve poi l second delle (6): c α second equione di chiusu è invece: ( ) ( ) e d ψ ψ (7) Eliminndo con l solit tecnic, si h: ( ) [ ] ( ) [ ] 4 4 ψ ψ e d Con quest, dll second, si icv :

32 ( ψ ) e 4 c Questo conclude l nlisi di posiione. e ispondee l quesito posto dl polem, pssimo ll nlisi di velocità del meccnismo. Deivndo l (6): α α α α Che dà luogo l sistem linee: α α α e cui soluioni sono: α α α α α α α dove α, sono stti deteminti effettundo l nlisi di posiione. posiione del punto Q si clcol nel modo: Q Q λ Q Q dove λ che è un dto tuttivo dell sospensione. Dunque l velocità C di Q è:

33 d dt Q λ essendo omi completmente noti dopo ve effettuto si l nlisi di posiione che di velocità. iù pecismente, pe l componente veticle dell velocità, si h: d dt Q y λ α α poten dissipt nell mmotitoe si clcol moltiplicndo l fo F diss che in esso si gene pe l velocità di scoimento del pistone nell guid cilindic, cioè: diss F diss ( χ ) χ dove si icv deivndo l equione di chiusu cinemtic (7) e che dipende dll eliione tuttiv dell mmotitoe. χ è un fttoe

34 .6 CMND GIF CINTE E MCCHIN UTENIE F chem cinemtico del sistem glifo oscillnte. In lto ist un pticole del sistem di egolione dell Un mcchin utensile utili il meccnismo in figu (glifo oscillnte) pe pemettee ll slitt F di eseguie e di ndt e itono in tempi divesi (lent l in cui l utensile, solidle ll slitt F, lvo, veloce l di itono pe il iposiionmento dell utensile). ssegnti in fom pmetic i dti eltivi ll geometi del dispositivo, si detemini l velocità e l cceleione dell slitt F in funione dell ngolo di otione dell uot, supponendo che quest uoti velocità ngole tnte.