v. Poiché sia al raggio, se li riportiamo con un origine comune, è immediato conclude-

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1 coì l oggetto, in be qunto pevito dll econd legge dell dinmic, in qunto ottopoto foz null dovebbe pocedee in line ett e non lungo un ciconfeenz! E necei un foz nche lungo l diezione itntne dell velocità? Immginimo l pllin di un oulette lncit dl coupie. Inizilmente l pllin tv fem, quindi l mno del coupie h dovuto eecite un foz pe potl fino d vee velocità v. ome ppimo dll econd legge dell dinmic, d quel momento in poi, in enz di qulii ttito, non è più necei un foz nell diezione itntne di v pe mntenee l u intenità v cotnte. D lto cnto non poimo nemmeno ecludee che un tle foz ci i: d eempio qundo un uto pecoe un cuv, può flo con velocità di modulo cotnte, m nche ccelendo in intenità. llo teo modo, qundo tentimo di podue con l mno il moto cicole in un peo ggncito d un cod, dobbimo pim mettelo in moto, eecitndo un foz nell diezione dell velocità. Poi compimo due zioni: mntenendo fem l mno tiimo l cod in modo d cotingee il peo decivee l ciconfeenz, e ogni tnto dovemo pue de un colpetto nell diezione dell velocità pe compene l zione degli ttiti e dell gvità, che tendono f diminuie l intenità dell velocità d noi inizilmente impe. Nel eguito ci occupeemo dell cinemtic del moto cicole in cui l intenità dell velocità imne cotnte, che chimeemo moto cicole unifome. Nel moto cicole unifome, eee cotnte è dunque olo v, mente v cmbi ogni itnte diezione. F F? v ome poimo icve l ccelezione lungo l diezione dile? Peo un punto in moto cicole unifome di ggio, conideimo un co di ciconfeenz, e l intevllo di tempo D t che occoe l punto pe pecoelo. In queto teo tempo il ggio dell ciconfeenz và pzzto l ngolo e l velocità và cmbito diezione pndo d v v. Poiché i v che v ono pependicoli l ggio, e li ipotimo con un oigine comune, è immedito conclude- e che nche l velocità h pzzto lo teo ngolo. Dl metodo di punt-cod pe l omm dei vettoi i iconoce ubito che il vettoe Dv che unice le punte di v e v è il vettoe diffeenz, cioè i h v +D v = v, d cui D v = v -v. onideimo o il tingolo delle velocità e il tingolo O: ono entmbi ioceli e con un ngolo ugule, petnto ono imili: Dv D = v Dividimo pe D t mbo i membi e iodinimo: Dv v D = Dt Dt Qundo l intevllo D t tende zeo, ppimo che il ppoto D diviene il modulo dell velocità itntne v, mente il ppoto Dv, che ppeent il modulo dell ccelezione medi, divent il modulo dell ccelezione itntne. Eecizi 1. L velocità di un pticell in moto cicole unifome, ubice nell intevllo D t = un vizione tle che il modulo del vettoe Dv iult D v = m/. lcole l ccelezione medi. iult: Dv / D t = (0.010/ ) m/ = 10 m/. v Dv v Dv v D v v v v 0 90 O L diezione dell ccelezione itntne i mntiene empe pllel Dv e coì ll fine iult pependicole v. Inftti, nel tingolo delle velocità, qundo 0 i h 90, dovendo l omm imnee ugule 180. L chimimo 19

2 L ontofiic volte viene dett foz centifug. l foz che f coppi zione e ezione con l foz centipet che gice ull oggetto. V peò oevto che un tle foz non pptiene llo chem di copo libeo dell oggetto che gi, m, e d eempio bbimo un m che gi legt d un cod, pptiene quello dell cod che l f gie. Quindi non v confu con le foze che gicono ull oggetto. Lo chem di copo libeo dell cod contempl due zioni, quell ppunto dovut ll oggetto, ed il vincolo del peno centle. Poiché ogni punto dell cod i muove di moto cicole, l omm di entmbe fonice l foz centipet che gice ull cod. L ggettivo centifugo è peò buivo, inftti, chi h detto che l oggetto che l ubice i ti muovendo di moto cicole? Il cento dell cod lo f, m penimo invece lle otie di un teno in cuv, che eecitno u di eo un foz centipet. L foz di ezione che il teno eecit ulle otie non può in neun co definii centifug peché le otie ono immobili. entifug ignific inftti in fug dl cento dell tiettoi cicole. Se un copo è immobile, di qule tiettoi cicole i pl? Di quell del teno? M l tiettoi di un oggetto non h null che vedee con l diezione delle foze ch gicono u di un lto. W v T N N v quindi ccelezione centipet, in qunto diett lungo il ggio puntndo veo il cento. Sotituendo nell elzione pecedente Dv con e D con v i tov che l intenità dell ccelezione centipet vle: v = Eecizi. In un pino oizzontle, un pllin di m m = kg è lncit in un guid cicole di ggio = 0.00 m e pecoe un gio in umendo che il modulo dell velocità i imto cotnte dunte il gio, clcole l ccelezione centipet dell pllin e l foz nomle eecitt u di lei dll guid. Tovimo innnzitutto il modulo dell velocità: p v = = m/ = 0.866m/ Fiimo un ifeimento ul pino con l oigine nel cento dell ciconfeenz e conideimo l itnte in cui l pllin tgli l e delle cie come in figu. In diezione oizzontle gice l foz nomle, mente l ccelezione vle ( v / ;0 ): v æ ö N = m N = m = N N = ç 0.00 çè ø e pe l ccelezione centipet i h: v = = m/ = 3.75 m/ 0.00 o intende con il temine foz centipet? Se un pticell di m m egue un moto cicole unifome di ggio, lungo l diezione dile itntne l econd legge dell dinmic i cive: å F m v = Si chim foz centipet l omm delle componenti in diezione dile tutte le foze che gicono u di un pticell in moto cicole. å F di Non i ttt quindi di un nuovo tipo di foz, m olo del nome che inteticmente i egn ll iultnte delle foze che poducono l ccelezione centipet. Nel pecedente eempio l foz centipet è fonit dll nomle ll guid, in queto co l unic d gie ull pllin in diezione dile. iflettimo ul ftto che l foz nomle è un foz piv, che è in gdo di fonie empe il vloe che occoe pe cotingee l oggetto pecoee l tiettoi cicole di quel ggio con quell velocità. Se d eempio il modulo dell velocità ddoppie, l guid dovebbe fonie un foz centipet m( v ) / = 4 m v / qutto volte più gnde, e coì vi finché l foz ichiet non divenie coì inten d piege l guid te. E qunto ccde i teni che deglino pe ve tentto di pecoee le cuve velocità upeioe l mimo che il binio potev oppote enz defomi. Eecizi 3. Un m m, legt l cpo di un fune, viene ftt uote d un uomo op ll u tet. L m decive un ciconfeenz oizzontle di ggio = 1.30 m 130

3 e l cod fom empe uno teo ngolo con l veticle. Spendo che l velocità cotnte di otzione è 8.50 m/, clcole. L foz centipet m è oizzontle, diett veo il cento dell ciconfeenz (che i tov ull ett veticle pnte pe l mno dell uomo), ed è podott dlle due foze che gicono ull m, cioè l tenione ed il peo, ommte vettoilmente, come i vede pplicndo l econd legge in fom vettoile: T + W = m Dl metodo di punt cod iult poi che i te vettoi W ed m ono cteti di un tingolo ettngolo in cui T è ipotenu. ome ppimo, in un tingolo ettngolo il ppoto f l miu m del cteto oppoto d e l miu W del cteto dicente d fonice l tngente goniometic dell ngolo: m m v / v 8.50 tn = = = = = 5.67 W mg g = tn (5.67) = 80.0 ome i vede dll eempio pecedente, l foz centipet può vee le oigini più divee: l tenione di un cod combint vettoilmente l peo, poduce l foz centipet qundo i f uote un m d un uo cpo. nlogmente, l foz di gvità funge d foz centipet pe tenee l Lun in obit ttono ll Te, e l ttito ttico f pneumtici ed flto fonice l foz centipet che eve pe f pecoee ll uto un cuv. In quet ultimo co quindi, oevndo il diegno lto vemo che l ttito ttico già ull uot, olte che nel veo di vnzmento, nche in diezione dile, puntndo veo il cento itntneo dell cuv. È impoibile quindi f cuve un mezzo con pneumtici u di un upeficie piv di ttito come quell di un lgo ghiccito. cento dell cuv m f T W m f Eecizi 4. Un m m = kg ggncit l cpo di un fune lung m viene ftt uote in un pino veticle, impimendogli nel punto più in bo un velocità v = 5.00 m/. L tiettoi è cicole m il modulo dell velocità non imne cotnte in qunto l m è llentt dll gvità mente le ed è ccelet mente cende. Spendo che nel punto più in lto iult v =.3 m/, i clcolino l foz centipet, l ccelezione centipet e l tenione dell fune nelle poizioni di mim e minim ltezz. W T Nell poizione di minim ltezz bbimo, lungo l e (che in quel momento coincide con l diezione dile): T W v m T + = - mg = m v T = mg + m = 5.00 ( ) N = 35.9 N mente l foz centipet e l ccelezione centipet vlgono: F = T - mg = ( ) N = 30.0 N å v 5.00 = = m/ = 50.0m/ ( 50.0 m/ ) = Nel punto di mim ltezz bbimo, empe lungo l diezione dile : T W v m T + = - - mg =- m T W 131

4 3 4 D v T = m - mg =.3 ( ) N = N mente l foz centipet e l ccelezione centipet vlgono: å F =- T - mg = ( ) N = N v.3 = = m/ = 10.8 m/ ( = m/ ) iflettimo ul ftto che l tenione dell cod non coincide con l foz centipet, m nzi T ggiut il uo vloe fcendoi minim qundo è iutt dll gvità nel podue l foz centipet, come ccde nel punto più lto, e fcendoi invece mim qundo è conttt dll gvità nel podue l foz centipet, come ccde nel punto più bo. N W N 1 3 f E 5. Un uto egue un td cuv pocedendo velocità di modulo cotnte v. Si clcoli il modulo dell u ccelezione nei ttti,, D, DE pecificndo dove è mimo e dove minimo. [] 6. Un utomobile di m m = 1500 kg pecoe un cuv cicole di ggio = 40.0 m ll velocità di 15.0 m/. Si clcoli l foz centipet. Spendo poi che il coefficiente di ttito ttico f pneumtici ed flto è m = 0.950, i clcoli l mim velocità ll qule l uto può pecoee l cuv e l foz centipet in queto econdo co. [: N, 19.3 m/, N ] Un utomobile di m = 1300 kg, in viggio velocità cotnte di 10.5 m/, p W u di un doo il cui pofilo è un ciconfeenz di ggio = 15.0 m. Si dic, enz volgee lcun clcolo, e qundo l uto ggiunge l ommità, l foz nomle eecitt dl teeno è mggioe, minoe od ugule l peo dell vettu. Si clcolino quindi le intenità dell foz centipet e dell foz nomle in quel momento. 3 3 [: N, N] L 8. Un pllin di m m = kg, ppe un filo lungo L = m, gi velocità di modulo cotnte decivendo un ciconfeenz, mente l ngolo che il filo fom con l veticle imne empe = 5.0. Si tovi l tenione del filo, l intenità dell foz centipet e dell ccelezione centipet, ed il tempo che occoe ll pllin pe complete un gio. [: 3.5 N,1.37 N, 4.57 m/,1.0 m/,1.66 ] m M 9. Sop d un pino, fit d un cod, un m m = kg decive un moto cicole unifome di ggio = m con velocità v =.50 m/. ll lto cpo dell cod pende immobile, d un foo icvto l cento del pino, un econd m M. Si tovi il vloe di M. [: kg ] m 10. Nello pzio idele un ond di m m = 500 kg che pocede in line ett 70.0 m/ deve cuve decivendo un co di ciconfeenz di ggio = 1.50 km enz vie l intenità dell velocità. lcole l pint che dev eee eecitt ltelmente di zzi del motoe. [ N ] 3 13

5 11. Un utomobile di m m tent di eeguie il gio dell mote lungo un pit cicole di ggio. Si tovi l velocità minim v con l qule deve ive nel punto più lto dell pit, iflettendo ul ftto che fonie l foz centipet necei in quel punto ono l nomle ll pit e l gvità. [: g ] v 0 1. Un utomobile di m m pecoe un cuv di ggio = 150 m ll velocità di 15.0 m/. Spendo che l td è inclint ed indicto con l ngolo che e fom con l oizzontle, i tovi il vloe di che pemette ll uto di pecoee l cuv nche in enz di ttito f pneumtici ed flto. [: 8.69 ] N 13. Un dico uot u di un pino oizzontle compiendo 33 gii/min. d un ditnz di 5.0 cm dl cento viene ppoggito un blocchetto di m m. Spendo che il coefficiente di ttito ttico f blocco e dico vle m = i dic e il blocchetto civol. [: i] W f S 14. Si deteminino velocità ed ccelezione centipet di un punto ull upeficie teete che i tovi ll ltitudine itlin, pendo che = m. T 6 5 cm [: 344 m/, m/ ] 15. Un ponte opeo fom un co di ciconfeenz incuvto veo il bo, di ggio = 00 m. Sul ctello di vvetimento i legge che il ponte oppot l mimo un cico di N. Qule limite di velocità deve ipette un utomobile di m 100 kg e vuole ttvee il ponte enz che queto i omp? [: 3. m/ ] 16. Un fe di m m = 1.5 kg viene ftt civole lungo un guid cicole di ggio = 3.00 m, ul cui punto più bo è ineit un bilnci. Spendo che l pggio dell fe l bilnci egn 3.75 kg, i clcoli l velocità dell oggetto in quell itnte. [: 7.67 m/ ] 17. Un blocco di m m, civol lungo un igloo emifeico di ggio, ptendo dl punto più lto con un velocità piccol, pticmente null. Se l igloo non ci foe, il blocco eguiebbe in dll inizio un tiettoi pbolic di cdut libe, che i toveebbe nello pzio occupto dl ghiccio. mno mno che pocede l dice, quet tiettoi ipotetic i v pendo empe più peché ument l intenità dell velocità con cui l cdut libe dovebbe vee inizio. Nell itnte in cui l pbol divent tutt eten ll igloo, il blocco non viene più pemuto conto il ghiccio e coì i tcc. lcole l velocità in quell itnte. [: g co ] Qul è l diezione dell ccelezione nel co più genele? Ponimo di vee un punto che i muove u un tiettoi cuviline in due dimenioni. W W T W N N N W v bilnci N N = 0 v v v v 133