Forza centripeta e gravitazione

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1 pitolo 6 Foz centipet e gitzione 1. Il oto cicole Quli sono le ctteistiche del oto cicole? Un pticell si dice nit di oto cicole qundo l su tiettoi è un ciconfeenz. Lo studio di questo tipo di oto iene effettuto indiidundo due diezioni istntnee, cioè due ette oientte che cbino d ogni nuo lettu di conoeto. Si ttt dell diezione dile, lungo l seiett che esce dl cento dell ciconfeenz ndndo eso l posizione del punto che si st uoendo; e dell diezione tngenzile, sull ett tngente ll ciconfeenz, oientt nel eso del oto e pependicole ll diezione dile. Quli sono diezione e eso dell elocità nel oto cicole? Qundo un pticell descie un tiettoi cu, ed un ciconfeenz in pticole, pe cpie l diezione dell elocità possio igine che d ipoiso scopino tutte le foze in zione. L pticell si toeebbe llo nell condizione conteplt dll legge d inezi, l qule peede che in ssenz di foze il oto segu un line ett. Si ttt dell ett tngente ll tiettoi, che pe definizione iene ssunt coe diezione dell elocità in quel dto istnte. he cos sppio di sbglito igudo l oto cicole? Pi di inizie l nlisi del oto cicole, è necessio iuoee due idee ete che nei secoli si sono dicte, e che costituiscono un ostcolo ll copensione di questo fenoeno. DIEZIOE TAGEZIALE ISTATAEA DIEZIOE ADIALE ISTATAEA 1

2 pi ide et: un oggetto può seguie un tiettoi cicole senz che i si un binio di qulche tipo che lo costing flo. second ide et: un oggetto in oto cicole tende d essee scglito eso l esteno, in diezione dile, dll zione di un foz dett centifug. Peché occoe un binio pe sostenee il oto cicole? L pi delle due concezioni ete isle gli ntichi Geci, i quli iteneno il oto cicole l tiettoi pefett, peché pensno fosse seguit dgli oggetti celesti. Essendo pefett, l tiettoi cicole doe essee un condizione ntule pe i copi, incouttibile, cioè cpce di sostenesi utonoente ed iutbile nel tepo. D Glileo in poi sppio che questo uolo piilegito spett l oto ettilineo unifoe, il solo poseguie indefinitente senz che debb inteenie lcun foz, e che pe tle ctteistic iene ddiittu consideto uno stto. Vicees, uoesi lungo un tiettoi cu signific cbie in ogni oento l diezione dell elocità. Mute elocità, nche se solo in diezione e non in intensità, uol die ccelee: un cchin che cui con elocità di odulo costte 30 K/h, st ccelendo in diezione, nche se il tchieto segn sepe lo stesso loe peché non st ccelendo in intensità. Poiché il secondo pincipio peede che poss e luogo un ccelezione unicente in pesenz di un foz, ne deducio che nel oto cicole occoe un foz nche solo pe cbie ogni istnte l diezione ll elocità. oe edeo nel dettglio, si ttt di un foz in diezione dile, che punt sepe eso il cento dell ciconfeenz: ne sono esepi l foz nole esecitt d un binio cuo, oppue l tensione di un cod legt l cento dell ciconfeenz. ell figu lto, là doe il binio (in un pino oizzontle) si inteope, l pllin posegue con un oto in line ett lungo l diezione tngenzile istntne, dto che è enut eno l foz nole che l costinge cue. DIEZIOE ADIALE ISTATAEA Peché non esiste un foz centifug? oe sppio dll tez legge dell dinic, non esistono foze solitie, soltnto intezioni f coppie di oggetti. Ogni foz dee ee due ttoi : un soggetto che l esecit (e che su olt subisce un zione ugule e conti), ed uno che l subisce. O, è not tutti l senszione (illusoi) di essee scgliti eso l esteno, in diezione dile, qundo l nost uto pecoe un co di cu. M si dee escludee che quest senszione si dout ll zione di un foz, sepliceente peché non esiste lcun soggetto che esecit quest foz. hi esecit l foz centifug? on c è ispost quest dond. Un psseggeo su di un uto in cu cede di essee tito eso l esteno, in eltà ntiene soltnto l stess diezione di elocità, che coe bbio detto è in ogni istnte tngente ll tiettoi cicole. Se non ci fosse l uto egli oleebbe in diezione tngenzile non ppen inizi l cu. el fttepo inece, l cchin gli si uoe sotto ed intecett continuente l su tiettoi ettiline fozndolo eso il cento. oe si ede in figu, lo spostento dell uto ce un lutzione et, pe cui egli pens di

3 essee scglito eso l esteno, ed inece non st seguendo fftto l diezione dile istntne. Il eccniso è lo stesso di qundo l uto fen, ed il psseggeo posegue il oto in nti con l edesi elocità di pi dell fent. Anlogente, qundo l uto ccele, l psseggeo seb di essee tito indieto, st solo poseguendo con l elocità che possede pi, ente è l uto d e cbito stto di oto. Quest tendenz poseguie il oto in diezione tngenzile è esponsbile f le lte cose, del igonfiento dell ciconfeenz del nosto pinet ll ltezz dell equtoe, doe l elocità di otzione è ssi. Anlogente è il pincipio usto dll centifug di un ltice pe sciuge i pnni. oe si ede dl disegno peò, le goccioline di cqu non scppno in diezione dile tngenzile, ente il cestello continu uote. gocci E necessio che gisc un foz nche lungo l diezione istntne dell elocità? Iginio l pllin di un oulette lncit dl coupie. Inizilente l pllin st fe, quindi l no del coupie h douto esecite un foz pe potl fino d ee elocità. oe sppio dll second legge dell dinic, d quel oento in poi, in ssenz di qulsisi ttito, non è più necessi un foz nell diezione istntne di pe ntenee l su intensità costnte. D lto cnto non possio neeno escludee che un tle foz ci si: d esepio qundo un uto pecoe un cu può flo con elocità di odulo costnte, nche ccelendo in intensità. Allo stesso odo, qundo tentio di podue con l no il oto cicole in un peso ggncito d un cod, dobbio pi ettelo in oto, esecitndo un foz nell diezione dell elocità. Successiente copio due zioni: ntenendo fe l no tiio l cod in odo d costingee il peso desciee l ciconfeenz, ed ogni tnto doeo pue de un colpetto nell diezione dell elocità pe copense l zione degli ttiti e dell gità, che tendono f diinuie l intensità dell elocità d noi inizilente ipess. el seguito ci occupeeo dell cinetic del oto cicole in cui l intensità dell elocità ine costnte, che chieeo oto cicole unifoe. el oto cicole unifoe, d essee costnte è dunque solo, ente cbi ogni istnte diezione. B F A s A F? oe possio ice l ccelezione lungo l diezione dile? Peso un punto in oto cicole unifoe di ggio, consideio un co di ciconfeenz AB, e l intello di tepo t che occoe l punto pe pecoelo. In questo stesso tepo il ggio dell ciconfeenz à spzzto l ngolo e l elocità à cbito diezione pssndo d A B A O. Poiché si B A che B sono pependicoli l ggio, se li ipotio con un oigine coune, è iedito concludee che nche l elocità h spzzto lo stesso ngolo. Dl etodo di punt-cod pe l so dei ettoi si B iconosce subito che il ettoe che unisce le punte di e A è il ettoe B diffeenz, cioè d cui. A B B A onsideio o il tingolo delle elocità ed il tingolo AOB: sono entbi isosceli e con un ngolo ugule, petnto sono siili: 3

4 A B 0 90 Diidio pe s t bo i ebi e iodinio: s t t Qundo tende zeo l intello tepole diiene il odulo dell elocità istntne. Il ppoto t, sppio che il ppoto t s t dient inece il odulo dell ccelezione istntne, l cui diezione si ntiene sepe pllel e così ll fine isult pependicole. Inftti nel tingolo delle elocità, qundo 0 si h 90 doendo l so inee ugule 180. L chiio quindi ccelezione centipet, in qunto diett lungo il ggio puntndo eso il cento. Quindi sostituendo nell elzione pecedente t con dell ccelezione centipet le: e s t con si to che l intensità Esepio 1 Sop d un pino oizzontle, un pllin di ss lncit in un guid cicole di ggio copleto in Kg iene 0.00 e pecoe un gio 1.45 s. Assuendo che il odulo dell elocità si isto costnte dunte il gio, clcole l ccelezione centipet dell pllin e l foz nole esecitt su di lei dll guid. Toio innnzitutto il odulo dell elocità: /s 1.45 s 1.45 Fissio quindi un ifeiento sul pino con l oigine nel cento dell ciconfeenz e consideio l istnte in cui l pllin tgli l sse delle scisse coe in figu. In diezione oizzontle gisce l foz nole, ente l ccelezione le ( / ; 0 ) : e pe l ccelezione centipet si h: /s

5 os si intende con il teine foz centipet? Se un pticell di ss segue un oto cicole unifoe di ggio, lungo l diezione dile istntne l second legge dell dinic si scie: F Si chi foz centipet l so delle coponenti in diezione dile di tutte le foze che giscono su di un pticell in oto cicole. F on si ttt quindi di un nuoo tipo di foz, solo del noe che sinteticente si ssegn ll isultnte delle foze che poducono l ccelezione centipet. el pecedente esepio 1 l foz centipet è fonit dll nole ll guid, in questo cso l unic d gie sull pllin in diezione dile. iflettio sul ftto che l foz nole è un foz pssi, che è in gdo di fonie sepe il loe che occoe pe costingee l oggetto pecoee l tiettoi cicole di quel ggio con quell elocità. Se d esepio il odulo dell elocità ddoppisse, l guid doebbe fonie un foz centipet ( ) 4 qutto olte più gnde, e così i finché l foz ichiest non dienisse così intens d piege l guid stess. E qunto ccde i teni che deglino pe e tentto di pecoee le cue elocità supeioe l ssio che il binio pote soppote senz defosi. L foz centipet può ee le oigini più diese: l tensione di un cod insiee ll gità poducono l foz centipet qundo si f uote un ss d un suo cpo, l ttito sttico f pneutici ed sflto fonisce l foz centipet che see pe f pecoee ll uto un cu, l foz di gità funge d foz centipet pe tenee l Lun in obit ttono ll Te, e così i. Esepio Un ss Kg ggncit l cpo di un fune lung iene ftt uote in un pino eticle, ipiendogli nel punto più in bsso un elocità 5.00 /s. L tiettoi è cicole il odulo dell elocità non ine costnte in qunto l ss è llentt dll gità ente sle ed è ccelet ente scende. Spendo che nel punto più in lto isult.3 /s, si clcolino l foz centipet, l ccelezione centipet e l tensione dell fune nelle posizioni di ssi e ini ltezz. T ell posizione di ini ltezz bbio, oento coincide con l diezione dile): T T g 5.00 T g ente l foz centipet e l ccelezione centipet lgono: lungo l sse (che in quel T 5

6 3 4 D B 1 3 E A F T g /s 50.0 /s el punto di ssi ltezz bbio, sepe lungo l diezione dile : T T g.3 T g ente l foz centipet e l ccelezione centipet lgono: F T g /s 10.8 /s iflettio sul ftto che l tensione dell cod non coincide con l foz centipet, nzi T ggiust il suo loe fcendosi ini qundo è iutt dll gità nel podue l foz centipet, coe ccde nel punto più lto, e fcendosi inece ssi qundo è contstt dll gità nel podue l foz centipet, coe ccde nel punto più bsso. Esepio 3 Un uto segue un std cu pocedendo elocità di odulo costnte. Si clcoli il odulo dell su ccelezione nei ttti AB, B, D, DE specificndo doe è ssio e doe inio. Lungo i ttti AB, D, DE, che sono chi di ciconfeenz, l ccelezione è solo centipet essendo il odulo dell elocità costnte. Si h: 4 ; ; 3 AB D 3 DE ente nel ttto ettilineo B essendo costnte il odulo dell elocità si h: 0 B Il ssio loe di ccelezione, tutt centipet, si h quindi dunte l cu di ggio inio DE, il inio loe di ccelezione centipet nell cu di ggio ssio AB, ente il inio loe di ccelezione in ssoluto è il loe nullo che si h nel ttto ettilineo B. 3 f s Esepio 4 Un utoobile di ss 1500 Kg pecoe un cu cicole di ggio 40.0 ll elocità di 15.0 /s. Si toi qunto le l foz centipet. Spendo poi che il coefficiente di ttito sttico f pneutici ed sflto è 0.950, si clcoli l ssi elocità ll qule l uto può pecoee l s cu e l foz centipet in questo secondo cso. 6

7 L foz centipet è fonit tutt dll foz di ttito sttico f, e l su s diezione è pependicole quell in cui nzno le uote. el pio cso f s non ggiunge il suo loe ssio, sppio peò che l su intensità soddisf l condizione 0 f. Indicndo con l diezione dile s s istntne coe in figu, si h: f f s s 40.0 Pe ee l elocità ssi dobbio clcole inece popio l ssi foz di ttito sttico s e quindi toe. Dll equilibio in diezione eticle si h: 0 g 0 g che sostituito nell elzione pecedente: f g s s s g /s. s In questo cso pe l foz centipet isult F Esepio 5 Un utoobile di ss 1300 Kg, che iggi ll elocità costnte di 10.5 /s, pss sop d un dosso il cui pofilo può essee consideto un ciconfeenz di ggio Si dic, senz solgee lcun clcolo, se qundo l uto ggiunge l soità, l foz nole esecitt dl teeno è ggioe, inoe od ugule l peso dell ettu. Si clcolino quindi le intensità dell foz centipet e dell foz nole in quel oento. Qundo si to nel punto più lto l uto st desciendo un ciconfeenz, quindi dee gie su di lei un foz eticle che punt eso il cento. Questo signific che l so delle foze che giscono in eticle dee punte in bsso, cioè l foz dee ee un intensità inoe di quell del peso. E ben not inftti l senszione di lleggeiento che d psseggei si speient sull soità dei dossi: quello che si pecepisce è popio l diinuzione dell foz nole, che coe sppio, inece, qundo sio in quiete est sepe ugule l peso. L foz centipet è il isultto delle zioni congiunte di e, che in eticle si sottggono. Ossendo l diezione dell sse eticle si h, d cui si ic pe l foz centipet: 7

8 10.5 F g ente pe l nole: g L Esepio 6 Un pllin di ss Kg, ppes d un filo lungo L 0.750, gi elocità di odulo costnte desciendo un ciconfeenz, ente l ngolo che il filo fo con l eticle ine sepe 5.0. Spendo che l pllin copie un gio in 1.50 s si toi l tensione del filo, l intensità dell foz centipet e l intensità dell ccelezione centipet. T Foz centipet lcolio innnzitutto il ggio dell tiettoi cicole: L sin sin e icio d questo il odulo dell elocità dell pllin: /s 1.50 s 1.50 e l intensità dell ccelezione centipet: /s Fissto un ifeiento nell istnte ppesentto in figu, sppio che in diezione eticle non c è ccelezione, poiché se l ngolo ine costnte, l pllin non può né slie né scendee. Si ottiene: T T cos 5.0 g 0 g T 3.5 cos L foz centipet è dt dll coponente oizzontle dell tensione, e coincide nche con l coposizione dt dll egol del pllelog dell tensione e del peso, poiché l isultnte di queste due foze, coe bbio detto, è tutt oizzontle: F T sin M Esepio 7 Sop d un pino, fisst d un cod, un ss Kg descie un oto cicole unifoe di ggio con elocità.50 /s. All lto cpo dell cod pende iobile, d un foo icto l cento del pino, un second ss M. Si toi il loe di M. Fissto un ifeiento con l diezione dile istntne lungo l sse, bbio che l foz centipet è fonit dll tensione dell cod: 8

9 .50 T T Pe l ss ppes, l condizione di equilibio ichiede che lungo l sse eticle si null l ccelezione: T T Mg 0 Mg T 5.63 d cui si ottiene: T 5.63 M Kg g 9.81 T M T Esepio 8 Un blocco di ss, sciol senz ttito lungo il pofilo di un igloo fo di sfe ente ggio, ptendo dl punto più lto con un elocità oizzontle così piccol d potesi considee null. Ad un ceto loe dell ngolo il blocco si stcc dll igloo, desciendo un tiettoi pbolic di cdut libe. Spiege peché si distcc e clcole qunto le l elocità in quell istnte. Fintnto che il blocco segue il pofilo dell igloo st desciendo un tiettoi cicole, e quindi occoe che le foze genti su di lui, nole e peso, poducno l foz centipet necessi. L nole coe sppio è un foz pssi, che degu n no l su intensità in conseguenz dell foz con l qule il blocco iene peuto conto l igloo. Se l igloo non ci fosse, il blocco seguiebbe sin dll inizio un tiettoi pbolic di cdut libe, che si toeebbe nello spzio occupto dl ghiccio. A no no che pocede l disces, quest tiettoi ipotetic si pendo sepe più peché uent l intensità dell elocità con cui l cdut libe ebbe inizio. ell istnte in cui l pbol dient tutt esten ll igloo, il blocco non iene più peuto conto il ghiccio e così si stcc. In quel oento, dto che cess di essee peuto, si nnull nche l foz nole. Scegliendo un ifeiento coe in figu, osseio che il odulo dell elocità non è unifoe, cesce dunte l cdut pe l zione dell gità. Il blocco seguià il pofilo cicole dell igloo solo fino qundo l so delle foze dili F iuscià podue l necessi foz centipet F g cos Iponendo l condizione tot sop, pe cui oento del distcco, si to l elocità: g cos g cos l nole si nnull l : cos = 0 diezione dile istntne 9

10 0 Esepio 9 Un utoobile di ss tent di eseguie il gio dell ote lungo un pist cicole di ggio. Si toi l elocità ini con l qule dee ie nel punto più lto dell pist. Pe pote eseguie il gio le uote dell uto deono ntenee sepe il conttto con l pist, in pticole nel punto più lto. Questo iene solo se in ogni oento l elocità istntne che l tiettoi di cdut libe che tende f desciee ll uto h l pte inizile esten ll pist, coe nell cu blu in figu. In tl odo l pist dee esecite un foz nole pe costingee l uto deie eso il cento, ed il conttto è ssicuto. Se icees l elocità istntne è così bss d podue un tiettoi di cdut libe inten ll pist (cu gill), il conttto iene eno. Qundo l condizione di conttto è soddisftt nel punto più lto, ess è cetente soddisftt nche nell inteo tgitto, dto che foz di gità f diinuie l intensità dell elocità n no che l uto sle. Indicndo con l elocità ll soità, in quel oento isult: g g L foz centipet piccol qunto inoe è che occoe pe ntenee l uto in pist è tnto più. Il loe inio di è quello cui bst l sol gità podue. Pe esso isult dunque 0 g g g nel punto più lto: Esepio 10 Un utoobile di ss pecoe un cu di ggio 150 ll elocità di 15.0 /s. Spendo che l std è inclint ed indicto con l ngolo che ess fo con l oizzontle, si toi il loe di che peette ll uto di pecoee l cu nche in ssenz di ttito f pneutici ed sflto. oe si ic dll figu l so ettoile dell foz nole e del peso debbono fonie l necessi foz centipet pe desciee un cu di ggio ll elocità ssegnt. Il secondo pincipio dell dinic in fo ettoile si scie: g L equzione sop scitt è fcilente isulizzbile in teini geoetici gzie l etodo di punt-cod. Si fo un tingolo di ipotenus ed i cui cteti ed g, in bse i dti del poble, deono essee ispettiente 10

11 oizzontle e eticle. Si diost fcilente che è pue l ngolo f ed g. isult dunque: 15.0 tn g g g tn (0.153) 8.69 Allo stesso isultto si peiene fcendo il ppoto delle coponenti oizzontle e eticle dell foz nole: g g 0 g 0 g tn g g Esepio 11 Disco che gi con l ss sop ed ttito 11