a colori Nuova Matematica Leonardo Sasso Edizione ARANCIONE per la riforma. Quinto anno con elementi di Informatica

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1 Leondo Ssso Nuov Mtemtic coloi nuovo ZONAMtemtic Misue di supefici e di volumi Complementi di clcolo integle Complementi di pobbilità e sttistic 5 con elementi di Infomtic Edizione ARANCIONE pe l ifom. Quinto nno

2 Nuov mtemtic coloi Edizione ARANCIONE 5 Ambiente eductivo Zon Mtemtic Il potle di Mtemtic pe insegnnti e studenti. etuto EDITOR pe cee e pubblice Test intettivi Veifice in fomto.doc/.tf editbili Esecizi di ecupeo e di potenzimento Videolezioni Spiegmtic: lezioni intettive con GeoGeb e il foglio elettonico Glossio intettivo con udio in itlino e in inglese Semini di fomzione Il sito dell Cs Editice: isose ggiuntive pott di un click! Mteile ext Videolezioni Appofondimenti Libo di testo misto Il libo ctceo: punto di ifeimento condiviso d studenti e insegnnti pe un ppendimento integto e completo, suppotto dlle isose digitli online e offline. ebook studente Il libo dello studente in vesione digitle nce su TABLET (ios e Andoid): tutte le unità didttice ttività intettive e ppofondimenti videolezioni figue dinmice glossio intettivo itlino/inglese Pen dive pe l insegnnte Aggionbile on line Stumenti pe l pogmmzione didttic pe competenze Mteili pe l veific in fomto PDF e.doc/.tf editbili Videolezioni Esecitzioni e lezioni intettive dedicte l Lbotoio di mtemtic Figue dinmice in GeoGeb Glossio intettivo con udio in itlino e in inglese

3 intenet: e-mil: Redttoe esponsbile: Redzione: Tecnico esponsbile: Pogetto gfico: Copetin: Ricec iconogfic pe l copetin: Impginzione: Disegni: Monic Mtinelli Giovnni Mlfin Gin Bttist Vivld Cl Devoto Simon Coniol, Simon Spenz Cistin Colombo M.T.M. Lepecun At Diecto: Ndi Mesti L utoe ingzi i pofessoi Stefno Moetti, Giuseppe Vst e Mingel Gozzo pe il contibuto dto ll stesu degli esecizi. GeoGeb è un softwe libeo con instllzione sotto licenz Cetive Commons Micosoft Excel è un mcio depositto di Micosoft Copotion Popietà lettei isevt 2012 De Agostini Scuol SpA Nov 1ª edizione: gennio 2012 Pinted in Itly Le fotogfie di questo volume sono stte fonite d: Acivio De Pictue Liby. Foto copetin: istockpoto L Editoe dici l popi disponibilità egolizze eventuli omissioni o eoi di ttibuzione. Nel ispetto del DL 74/92 sull tspenz nell pubblicità, le immgini escludono ogni e qulsisi possibile intenzione o effetto pomozionle veso i lettoi. Tutti i diitti isevti. Nessun pte del mteile potetto d questo copyigt potà essee ipodott in lcun fom senz l utoizzzione scitt dell Editoe. Fotocopie pe uso pesonle del lettoe possono essee effettute nei limiti del 15% di ciscun volume dieto pgmento ll SIAE del compenso pevisto dll t. 68, commi 4 e 5, dell legge 22 pile 1941 n Le fotocopie effettute pe finlità di cttee pofessionle, economico o commecile o comunque pe uso diveso d quello pesonle possono essee effettute seguito di specific utoizzzione ilscit d CLEARedi, Cento Licenze e Autoizzzioni pe le Ripoduzioni Editoili, Coso di Pot Romn, Milno e-mil: utoizzzioni@cleedi.og e sito web Eventuli segnlzioni di eoi, efusi, icieste di ciimento di funzionmento tecnico dei suppoti multimedili del coso o spiegzioni sulle scelte opete dgli utoi e dll Cs Editice possono essee invite ll indiizzo di post elettonic scivi@scuol.com Stmp: L.E.G.O. Lvis (TN) Ristmp: Anno:

4 Indice Pim di comincie... V TEMA L Ae dell supeficie e volume di un solido Unità 1 Misue di supefici e di volumi 1 Intoduzione ll misu di supefici e di volumi nello spzio 2 2 Misu dell supeficie e del volume di pllelepipedi e pismi 7 3 Misu dell supeficie e del volume di un pimide e di un tonco di pimide 9 4 Misu dell supeficie e del volume di un cilindo, di un cono e di un tonco di cono 13 5 Misu dell supeficie e del volume di un sfe e delle pti dell sfe 16 ESERCIZI 21 Sintesi 21 Conoscenze e bilità 23 Riepilogo 39 Pov di utoveific 48 Lbotoio di infomtic 49 Veso le competenze 51 Veso le pove Invlsi 54 TEMA M Complementi sul clcolo integle Unità 2 Complementi sull integle indefinito 1 Ricimi sugli integli indefiniti 58 2 Integzione pe sostituzione 61 3 Integzione pe pti 62 4 Integzione di funzioni zionli fzionie 65 ESERCIZI 76 Sintesi 76 Conoscenze e bilità 77 Riepilogo 92 Pov di utoveific 98 Unità 3 Complementi sull integle definito 1 Ricimi sugli integli definiti 99 2 Appliczioni geometice degli integli definiti 102 Appofondimento Lungezz di un co di cuv e e di un supeficie di otzione Alte ppliczioni del concetto di integle definito Funzioni integbili e integli impopi L funzione integle L integzione numeic 126 Mtemtic nell stoi Nscit e sviluppo del concetto di integle 131 ESERCIZI 132 Sintesi 132 Conoscenze e bilità 133 Riepilogo 165 Pov di utoveific 173 Lbotoio di infomtic 174 Veso le competenze 176 Veso le pove Invlsi 180 TEMA N Dti e pevisioni Unità 4 Complementi sul clcolo dell pobbilità 1 Ricimi di clcolo dell pobbilità Pobbilità composte ed eventi indipendenti Il teoem dell pobbilità totle e il teoem di Byes 190 Mtemtic nell stoi L nscit e gli sviluppi del clcolo dell pobbilità 195 ESERCIZI 197 Sintesi 197 Conoscenze e bilità 198 Riepilogo 208 Pov di utoveific 210 III

5 Unità 5 Distibuzioni continue di pobbilità e intoduzione ll sttistic infeenzile 1 Vibili letoie e distibuzioni continue di pobbilità Distibuzioni unifome, esponenzile e nomle Intoduzione ll sttistic infeenzile 222 Appofondimento Il concetto di modello mtemtico 228 ESERCIZI 230 Sintesi 230 Conoscenze e bilità 231 Riepilogo 239 Pov di utoveific 241 Lbotoio di infomtic 242 Veso le competenze 244 Veso le pove Invlsi 246 Idee e metodi dell mtemtic 249 Veso l tez pov dell esme di Stto 265 Veso l Univesità 286 Risposte lle pove di utoveific 289 Fomulio 291 Indice nlitico 297 Risose multimedili Esecizi intettivi Mteili pe il volume 5: Complementi e ppofondimenti Integzione di funzioni goniometice e izionli L distibuzione di Poisson Glossio Mteili pe il Lbotoio di infomtic D l ccesso l potle studente di zonmtemtic consente di cimentsi utonommente con pove di utoveific costntemente ggionte e implementte, oppue di eseguie le pove pesonlizzte ce il docente ssegneà ll clsse. IV

6 Pim di comincie... Unosgudo sull mtemtic di oggi Negli ultimi cent nni si sono dimostti più teoemi ce nell inteo coso dell stoi; molte teoie mtemtice sono stte ipese e nno vuto notevoli ppliczioni ptice, mente celebi poblemi, iisolti d secoli, nno tovto un soluzione. D dove nsce tnto inteesse nei confonti dell mtemtic? L ispost è semplice: ess fonisce stumenti essenzili pe molti settoi dell scienz e dell tecnologi. Pim di comincie... Pe esempio, l mtemtic un uolo fondmentle: nell icec spzile: molti mtemtici contibuiscono in modo deteminnte i pogmmi dell NASA e dell ESA; in eonutic: l mtemtic è stt essenzile pe l costuzione degli eei dell nuov genezione Boeing 767, 777 e Aibus; nelle telecomuniczioni: l tsmissione veloce e sicu di dti digitli è possibile gzie i cosiddetti «codici coettoi d eoi», costuiti utilizzndo tecnice ttte d lgeb, pobbilità, nlisi combintoi, geometi lgebic; nell mbito del iconoscimento delle immgini: l F.B.I. utilizz, pe il suo civio di imponte digitli, tecnice deivte d un teoi mtemtic vnzt, not come «teoi delle ondine»; in ingegnei: i modelli pe lo sviluppo e l poduzione di podotti tecnologici consistono nell descizione mtemtic dei fenomeni esminti; nei pocessi decisionli ce igudno scelte mngeili, in cui sono coinvolti gli ingegnei, vengono mpimente utilizzte tecnice di indgine sttistic e considezioni pobbilistice; in infomtic: softwe di genezioni ecenti sono bsti su teoie lgebice e logice vnzte; in meteoologi: le pevisioni del tempo sono fondte su complessi modelli mtemtici; in medicin: l mtemtic è stt impiegt pe l elizzzione di nuovi stumenti di indgine dignostic quli pe esempio l TAC (tomogfi ssile computeizzt); l sttistic, inolte, è ll bse dell nlisi di dti medici ed epidemiologici e del monitoggio di dti fmcologici; in biologi: lo studio dell evoluzione di popolzioni pptenenti vie specie è bsto su modelli mtemtici; V

7 Pim di comincie... in economi e finnz: l mtemtic gioc un uolo di pimo pino nell ottimizzzione di isose e investimenti, nell pinificzione di pocessi poduttivi, nel clcolo dei conttti finnzii e dei pemi di ssicuzioni; nelle tecnice ce gntiscono l sicuezz dei dti isevti: lcune di esse si bsno sull utilizzo dei numei pimi; nell costuzione dei CD musicli e delle memoie dei compute: metodi mtemtici sofisticti sono ll bse delle tecnice pe l compessione dei dti; nell compute vision: l geometi è lo stumento ce pemette l costuzione di modelli tidimensionli usti nei sistemi CAD e nei videogioci; nell «mpptu» del genom umno: un pte dell sttistic, l cosiddett «teoi sttistic delle gndi devizioni», pemesso di sviluppe i pogmmi pov di eoe pe l lettu delle sequenze di DNA. L scienz e l tecnologi utilizzno, dunque, teoie mtemtice sempe più sofisticte. Pe questo motivo, negli ultimi nni sono nte nuove figue pofessionli, in gdo di utilizze l mtemtic pe scopi divesi. Nei centi di icec di tutte le gndi bnce, pe esempio, lvono squde di mtemtici. Nelle ssicuzioni il uolo dei mtemtici, ce è sempe stto impotnte, è in costnte cescit. Le impese ce sviluppno softwe cecno collbotoi nce f i lueti in mtemtic, così come le società ce lvono nell mbito delle telecomuniczioni, ce devono pinifice in modo ottimle le «otte» su cui instde le cimte telefonice. I centi di icec delle gndi industie impiegno mtemtici pe isolvee i poblemi più vi, dll elbozione delle immgini ll cezione di codici pe gntie l sicuezz di dti isevti, dllo sviluppo di nuovi mteili ll bioinfomtic e ll ingegnei civile. Semb popio ce l mtemtic si il linguggio del tezo millennio, senz il qule non sà possibile compendee l scienz e le tecnologie del futuo! VI

8 Qulce consiglio pe «studie mtemtic» e pe utilizze questo libo Questo testo divesi scopi: continue lo sviluppo delle competenze mtemtice ce i cquisito nei cosi pecedenti; fti scopie lcune ppliczioni dell mtemtic nel mondo in cui vivimo; contibuie fti cquisie quegli stumenti scientifici sempe più essenzili pe ptecipe ll vit socile con conspevolezz e cpcità citic; pepti ll esme dell ultimo nno e i cosi di mtemtic ce dovi fequente, se scegliei di poseguie i tuoi studi in un fcoltà scientific. Pim di comincie... Pe ggiungee questi scopi, ti dimo qulce consiglio su come studie mtemtic Lo studio dell mtemtic, come i già vuto modo di constte, iciede impegno e ptecipzione. Non puoi impe molto limitndoti d ssistee lle lezioni: devi ptecipe, poti domnde e confontti, nce d solo, con poblemi ed esecizi. È impotnte ce studi mtemtic con egolità: poti così ssimile più gevolmente i concetti e il tuo insegnnte potà più fcilmente iutti supee le difficoltà. 3 Dovesti leggee le lezioni di questo libo e cece di cpie ciò ce i letto. A questo poposito ti dimo lcuni suggeimenti: leggi lentmente, pestndo ttenzione ogni pol e i simboli; ileggi le pti ce non ti isultno cie; pov ife d solo gli esempi ce compiono svolti nel testo; ll fine di ogni pgfo, pim di poseguie, contoll se i cpito ciò ce i letto, cecndo di ispondee i quesiti ce ti sono poposti nell ubic pov tu. Risolvi gli esecizi ce tovi l temine di ciscun Unità, suddivisi in pgfi, con l iuto degli esecizi svolti e guidti. 5 All fine di ogni tem tovi un seie di esecizi sulle competenze d cquisie sugli gomenti tttti nel tem stesso; cec di isolvee nce gli esecizi di veso le pove Invlsi, stuttute secondo l nuov tipologi di test d esme. Sfutt i mteili multimedili eltivi l libo disponibili on-line: poti tove test utocoettivi ce si ffincno lle pove di utoveific poposte nel libo, file di suppoto lle ttività del Lbotoio di infomtic, ulteioi complementi e ppofondimenti. 7 Qundo isolvi un poblem, non limitti scivee l tu soluzione: sfozti di illuste ciò ce sti fcendo e di giustifice i vi pssggi, con spiegzioni sintetice m esuienti. Se non iesci ispondee un domnd o isolvee un esecizio immeditmente, non peoccupti! Rileggi l lezione e gli esempi. Se puoi, bbndon momentnemente l questione e ffontl in un secondo tempo. Qundo qulcos non ti è cio, poni domnde e plne con lti. 9 Cec di studie con spiito citico: l mtemtic non è solo clcolo, m sopttutto un fom di pensieo. Nell epoc di innovzioni tecnologice in cui vivimo, questo secondo spetto è sempe più essenzile: i clcoli si possono spesso demnde lle mccine, mente è essenzile spe gione in modo coetto, isolvee e posi poblemi, unie fntsi e zionlità. A tutti uguo buon lvoo! L Autoe VII

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10 Ae dell supeficie e volume di un solido TEMA L Le fome geometice di cui fccimo quotidinmente espeienz nell eltà non si estendono nel pino (mbiente in cui bbimo studito fino l geometi) bensì nello spzio. Bst pense pe esempio edifici ce ci icodno l fom del pllelepipedo, stuttue citettonice quli quelle delle tombe egizie ce ci icodno l fom dell pimide, lle comuni lttine contenenti bibite ce ci icimno l fom del cilindo o lle immgini dei pineti ce ci suggeiscono l fom dell sfe. Spee domine l geometi nello spzio è fondmentle in sviti settoi, in pticole pe iuscie ppesente l eltà tidimensionle nel pino: poblem ce si incont pe esempio nell pogettzione di uto o eei, m nce nell pepzione di videogioci o di film nell nuov tecnologi «3D». Nell possim Unità ci occupeemo popio di estendee lo studio dell geometi dl pino llo spzio, muovendoci secondo entmbi gli ppocci, sintetico e nlitico, ce ci nno fin qui guidto: pim studieemo le popietà delle figue geometice nello spzio euclideo e poi ci occupeemo di tdue tli popietà nliticmente, ssumendo nello spzio un sistem di ifeimento ctesino otogonle. Unità 1 Misue di supefici e di volumi PREREQUISITI 3Geometi euclide e nlitic nel pino COMPETENZE 3Confonte e nlizze figue geometice nello spzio, individundo invinti e elzioni pllone d clcio fulleene Il comune pllone d clcio, qundo è ben gonfito, semb un ve e popi sfe m se lo ossevimo più ttentmente scopimo ce l su supeficie è in eltà fomt d pentgoni ed esgoni egoli cuciti insieme. Pe questo motivo Il modello geometico del pllone non è l sfe, m un pticole solido, detto icosedo toncto, costituito d 32 fcce, di cui 20 esgoni e 12 pentgoni. Cuiosmente l icosedo toncto è nce il modello geometico di un pticole molecol di cbonio, il fulleene (C 60 Þ: gli tomi di cbonio sono disposti i vetici dell icosedo mente i suoi spigoli ppesentno i legmi (vedi l figu finco del pllone).

11 Unità1 Misue di supefici e di volumi 1. Intoduzione ll misu di supefici e di volumi nello spzio Tem L In questo pimo pgfo dell Unità ci poponimo di intodue i concetti fondmentli necessi pe ffonte il poblem dell misu dell e dell supeficie e del volume di un solido. Supefici e sviluppi Assumeemo come pimitivo il concetto di supeficie di un solido. Nello studio di lcuni solidi notevoli nei quli sono pesenti un o più bsi, pleemo di supeficie totle pe indice ppunto l supeficie complessiv del solido e di supeficie ltele pe indice l supeficie ce si ottiene sottendo dll supeficie totle quell delle bsi. Indiceemo l misu dell e dell supeficie totle con il simbolo S t e l misu dell e dell supeficie ltele con il simbolo S l. L supeficie di un solido si dice sviluppbile se, medinte un numeo finito di tgli, l si può distendee completmente su un pino senz defoml. L figu pin ottenut si cim sviluppo (in pino) del solido oiginio; in fig. 1.1 sono ppesentti pe esempio gli sviluppi dei cinque poliedi egoli. tetedo cubo ottedo icosedo dodecedo Figu 1.1 Sviluppi dei cinque poliedi egoli. 2 Se un solido è sviluppbile, il poblem di misue l e dell su supeficie si può icondue un poblem di geometi pin: bst misue l e del suo sviluppo; come vedemo nei possimi pgfi, questo cso si veific si pe i poliedi (quindi in pticole pe pismi e pimidi), si pe i cilindi e pe i coni. Se invece un solido non è sviluppbile (come ccde pe esempio nel cso dell sfe e delle sue pti), il poblem di misue l e dell su supeficie può vvenie solo con metodi iconducibili ll nlisi infinitesimle, un pte dell mtemtic ce studiei nel poseguimento dei tuoi studi. Pe questo motivo, qundo ll fine di quest unità ttteemo il poblem di misue l e dell supeficie dell sfe e delle sue pti ci limiteemo un ppoccio pevlentemente intuitivo.

12 EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT EURO CENT L equivlenz t solidi e il pincipio di Cvliei Intuitivmente dicimo ce due solidi elizzti con lo stesso mteile sono equiestesi se nno lo stesso peso (nce se nno fom dives), oppue ce due ecipienti sono equivlenti se contengono l stess quntità di cqu. Come nel pino bbimo ssunto come pimitivo il concetto di estensione di un supeficie, così nello spzio ssumeemo come pimitivo il concetto di estensione di un solido. Assumeemo inolte, come ssiom, ce l elzione di equiestensione si un elzione d equivlenz, cioè ce god delle popietà iflessiv, simmetic e tnsitiv. Due solidi ce nno l stess estensione si dicono equivlenti; pe indice l equivlenz di due solidi A e B sciveemo A ¼ : B. Sussistono due impotnti citei ce foniscono condizioni sufficienti pe pote ffeme ce due solidi sono equivlenti. 1. Il pimo citeio è quello di equiscomponibilità: si dimost ce se due solidi sono equiscomponibili, cioè se sono scomponibili in poliedi ispettivmente conguenti, llo sono equivlenti. È evidente ce si ttt di un condizione sufficiente, m non necessi pe l equivlenz di due solidi: pe esempio, un cubo e un sfe possono essee equivlenti senz tuttvi essee, ovvimente, equiscomponibili. 2. Il secondo citeio è il cosiddetto pincipio di Cvliei, ce o intoducimo con lcune considezioni intuitive. Consideimo un pil di monete (fig. 1.2 sinist) e immginimo di spostle in modo d ottenee l configuzione dell fig. 1.2 dest. Attenzione! Nel pino l condizione di equiscomponibilità è necessi e sufficiente pe l equivlenz nell mbito dei poligoni, mente nello spzio l equiscomponibilità è un condizione sufficiente m non necessi pe l equivlenz, non solo nell mbito genele delle figue solide, m nce nell mbito più istetto dei poliedi: èstto dimostto inftti dl mtemtico Mx Den, nel 1903, ce esistono pimidi equivlenti, m non equiscomponibili. Unità 1 Misue di supefici e di volumi Figu 1.2 Confontimo o le due pile: ogni monet nell pil di sinist coisponde nell pil di dest un monet ugule post ll stess ltezz: simo quindi potti d ffeme, senz omb di dubbio, ce le due pile di monete nno l stess estensione. Un gionmento nlogo può ipetesi nce nel cso in cui le monete non sino tutte uguli. Pe esempio, consideimo le due pile di monete in fig. 1.3: nce in questo cso semo potti d ffeme ce nno l stess estensione pecé ogni monet nell pil di sinist coisponde nell pil di dest un monet ugule, post ll stess ltezz. Figu 1.3 Immginimo o di pplice queste medesime considezioni due solidi, pensti come «pile di fogli» di spessoe sottilissimo: così come nelle pile di monete considete poc nzi, se ogni foglio ce fom il pimo solido coisponde nel secondo solido un foglio ugule posto ll stess ltezz, potemo die ce i due solidi sono equivlenti. Il pincipio di Cvliei (ce ssumeemo come ssiom) sctuisce dll genelizzzione e fomlizzzione di queste idee intuitive. 3

13 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido ASSIOMA 1.1 Dll stoi Il pincipio di Cvliei deve il suo nome l mtemtico Bonventu Cvliei (1598 cic-1647), llievo di Glileo Glilei e titole dell ctted di mtemtic ll univesità di Bologn. L su fm è dovut sopttutto l tttto Geometi degli indivisibili,in cui si occup del poblem dell misu di ee e volumi, nticipndo molte idee ce potono successivmente llo sviluppo dell nlisi infinitesimle, bnc dell mtemtic ce studiei nel poseguimento dei tuoi studi. Pincipio di Cvliei Se due solidi possono essee disposti, ispetto un pino, in modo ce ogni pino pllelo d ce intesec uno dei due solidi inteseci nce l lto e individui su di essi sezioni equivlenti, llo nce i due solidi sono equivlenti. È impotnte fe lcune ossevzioni: il pincipio di Cvliei consente di icondue un poblem nello spzio, quello dell equivlenz di due solidi, un poblem nel pino: quello dell equivlenz delle loo sezioni; puoi endeti conto ce il pincipio di Cvliei è un condizione sufficiente m non necessi pe l equivlenz considendo i due solidi in fig Figu 1.4 I due solidi ppesentti, ciscuno unione di qutto cubetti zzui conguenti, sono evidentemente equivlenti pecé equiscomponibili, m non è soddisftt l condizione espess dl pincipio di Cvliei: inftti, comunque sino disposti, le sezioni con pini plleli lle bsi non isultno sempe equivlenti. Vedimo subito lcuni teoemi ce si dimostno fcilmente pplicndo il pincipio di Cvliei. TEOREMA 1.1 Equivlenz t due pismi Due pismi venti bsi equivlenti e ltezze conguenti sono equivlenti. DIMOSTRAZIONE Disponimo i due pismi in modo ce le bsi B e B 0 pptengno llo stesso pino e i due solidi si tovino dll stess pte ispetto esso. Tccimo un geneico pino, pllelo d, ce inteseci i due pismi e indicimo con S e S 0 le sezioni del pino con i due pismi (fig. 1.5). β S S' α Figu 1.5 B B' 4 Ossevimo ce: l sezione S è conguente ll bse B (inftti si coispondono in un tslzione), quindi in pticole S è equivlente ll bse B; l bse B è equivlente, pe ipotesi, ll bse B 0 ; l bse B 0 è conguente ll sezione S 0 (inftti si coispondono in un tslzione), quindi in pticole B 0 è equivlente S 0.

14 Pe l popietà tnsitiv dell elzione di equivlenz, ne segue ce nce le due sezioni S ed S 0 sono equivlenti. Ossevimo o ce, poicé i due pismi nno pe ipotesi l stess ltezz, ogni pino ce intesec uno dei due pismi intesec nce l lto. Inolte, pe qunto poc nzi dimostto, le due sezioni sono equivlenti. Petnto, pe il pincipio di Cvliei, i due pismi sono equivlenti. In modo del tutto nlogo si potebbe dimoste il seguente teoem. Equivlenz t pism e cilindo TEOREMA 1.2 Un cilindo e un pism venti bsi equivlenti e ltezze conguenti sono equivlenti (fig. 1.6). Unità 1 Misue di supefici e di volumi β α Figu 1.6 L equivlenz delle bsi del pism e del cilindo implic l equivlenz delle sezioni pe ogni pino pllelo d ce inteseci entmbi i solidi. D ciò segue l equivlenz dei due solidi, pe il pincipio di Cvliei. Equivlenz t cono e pimide TEOREMA 1.3 Un cono e un pimide venti bsi equivlenti e ltezze conguenti sono equivlenti. DIMOSTRAZIONE Disponimo i due solidi in modo ce l bse B dell pimide e l bse B 0 del cono pptengno llo stesso pino e si tovino dll stess pte ispetto esso; tccimo poi un geneico pino, pllelo d, ce inteseci i due solidi. Indicimo con S e S 0 le ispettive sezioni con il pino (fig. 1.7). V V' β K S K' S' Figu 1.7 α H B H' B' L sezione dell pimide (del cono) è l coispondente dell bse dell pimide (del cono) nell omoteti di cento V ðv 0 Þ e ppoto di omoteti VK V 0 K 0 VH V 0 H 0.Ne segue ce: B:S¼ VH : VK e B 0 :S 0 ¼ V 0 H 0 : V 0 K 0 Dlle ipotesi e dll costuzione discende inolte ce: VH ffi V 0 H 0 e VK ffi V 0 K 0 quindi: VH : VK ¼ V 0 H 0 : V 0 K 0 Petnto: B:S¼ B 0 :S 0 ovveo B:B 0 ¼ S:S 0 Poicé pe ipotesi B ¼ : B 0, ne segue ce S ¼ : S 0. Ô 5

15 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido TEOREMA 1.4 Ô Ossevimo o ce, poicé pimide e cono nno pe ipotesi l stess ltezz, ogni pino ce intesec uno dei due solidi intesec nce l lto. Inolte, pe qunto ppen dimostto le due sezioni sono equivlenti. Petnto, in bse l pincipio di Cvliei, l pimide e il cono sono equivlenti. In modo del tutto nlogo si potebbe dimoste il seguente teoem. Equivlenz t due pimidi Due pimidi venti bsi equivlenti e ltezze conguenti sono equivlenti. Il volume di un solido e l su misu Abbimo ssunto, come ssiom, ce l elzione di equiestensione si un elzione di equivlenz. Tle elzione pemette dunque di suddividee l insieme dei solidi in clssi di equivlenz; ognun di esse si dà un nome pticole. VOLUME Si cim volume di un solido l clsse di equivlenz cui il solido pptiene, ispetto ll suddivisione in clssi opet dll elzione di equiestensione. Ricodei ce pe le mpiezze, le lungezze e le ee, nc esse definite come clssi di equivlenz, si e definito il concetto di misu di un mpiezz, di un lungezz e di un e. Si può definie in modo nlogo il concetto di misu di un volume. Intuitivmente si ttt di scegliee un unità di misu pe i volumi e poi confonte il volume ce voglimo misue con quell unità di misu e vedee qunte volte l unità di misu è contenut in esso. Come unità di misu pe i volumi si sceglie di solito il cubo vente come spigolo il segmento ce si ssume come unità di misu pe le lungezze. L misu di un volume, come le misue delle lungezze e delle ee, sà espess d un numeo ele non negtivo. Nel seguito indiceemo l misu del volume di un solido con l lette V. ESEMPIO Consideimo come unità di misu pe le lungezze il centimeto e, di conseguenz, come unità di misu pe i volumi il cubo di spigolo 1 cm, e l indicimo con il simbolo cm 3. Allo un pllelepipedo come quello in fig. 1.8, di dimensioni 3 cm, 4 cm e 2 cm, contiene esttmente 24 cubetti di spigolo 1 cm, petnto l misu del volume del pllelepipedo, ispetto l cm 3,è24. In ltentiv, possimo die ce il volume del pllelepipedo è 24 cm 3. 2 cm 4 cm 1 cm 1 cm 3 3 cm Figu 1.8 6

16 Attenzione! Ossev l diffeenz:.l misu di un volume è un numeo, peciò bbimo detto ce l misu del volume del pllelepipedo è 24, non ce è 24 cm 3 ; b. possimo invece die ce il volume del pllelepipedo è 24 cm 3, poicé ciò signific ce il pllelepipedo pptiene ll stess clsse di equivlenz (ispetto ll elzione di equiestensione) cui pptiene un figu solid ce è l unione di 24 cubi conguenti l cm 3. Sebbene questo si il linguggio più coetto, si può osseve ce, scelt un unità di misu pe i volumi, ogni misu coisponde uno e un solo volume e ogni volume coisponde un e un sol misu. Pe questo motivo nell ptic, pe bevità, volte non si distinguono i due concetti e si tovno espessioni del tipo «l misu del volume del pllelepipedo è 24 cm 3» oppue «il volume del solido è 24». Si definisce ppoto t due volumi il ppoto t le loo misue, ispetto un dt unità di misu: quest definizione è ben post, nel senso ce, come si potebbe dimoste, tle ppoto non dipende dll unità di misu scelt. Unità 1 Misue di supefici e di volumi Omotetie e volumi È impotnte infine mettee in ilievo qul è il compotmento delle omotetie ispetto l volume di un solido. Si può dimoste ce un omoteti tsfom un solido in un solido simile l pimo e tle ce il ppoto dei loo volumi è ugule l cubo del vloe ssoluto del ppoto di omoteti. Petnto, se V è il volume di un solido, il suo coispondente in un omoteti di ppoto k và volume V 0 ¼jkj 3 V. Pov tu 1. Rppesent lo sviluppo di un pimide qudngole egole. ESERCIZI p Dimost, utilizzndo il pincipio di Cvliei, ssiom 1.1: due pimidi venti bsi equivlenti e ltezze conguenti sono equivlenti. 2. Misu dell supeficie e del volume di pllelepipedi e pismi Misu dell supeficie di pllelepipedi e pismi Ponimoci il poblem di clcole l misu dell e dell supeficie ltele e totle di un pism. Fissimo l ttenzione pe esempio sul pism etto bse pentgonle in fig. 1.9, in cui gli spigoli di bse misuno, b, c, d, e e l ltezz misu. L e dell supeficie ltele è l somm delle ee delle cinque fcce lteli, ce sono ettngoli di ltezz ugule quell del pism (vedi lo sviluppo del pism in fig. 1.10), quindi: S l ¼ þ b þ c þ d þ e ¼ð þ b þ c þ d þ eþ e b b c d d e c b c Figu 1.9 e d Figu 1.10 b e d 7

17 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido TEOREMA 1.5 M l somm þ b þ c þ d þ e ppesent l misu del peimeto, 2p, dell bse del pism, quindi: S l ¼ 2p Dett S b l misu dell e di ciscun bse del pism, sà infine: S t ¼ S l þ 2 S b ¼ 2p þ 2S b Anlogi gionmenti vlgono pe un pism etto qulsisi. Ae dell supeficie di un pism etto L misu dell e dell supeficie ltele di un pism etto il cui peimeto di bse misu 2p e l cui ltezz misu è dt dll fomul: S l ¼ 2p Dett S b l misu dell e di ciscun delle due bsi, l supeficie totle del pism misu espess dll fomul: S t ¼ 2p þ 2S b Nel cso pticole di un pllelepipedo ettngolo, i cui spigoli di bse misuno e b e l cui ltezz misu c, isult: 2p ¼ 2ðþbÞ e S b ¼ b quindi vemo: S l ¼ 2ð þ bþc S t ¼ 2ð þ bþc þ 2 b ¼ 2ðb þ bc þ cþ Infine, se il pllelepipedo è un cubo il cui spigolo misu l, le fomule ssumono l fom: S l ¼ 4l 2 S t ¼ 6l 2 Misu del volume di pllelepipedi e pismi Con considezioni nloge quelle sviluppte nello studio dell geometi del pino pe dedue l fomul ce fonisce l misu dell e di un ettngolo, si giunge l seguente teoem, ce cetmente già conosci di tuoi studi pecedenti. TEOREMA 1.6 Volume di un pllelepipedo L misu del volume di un pllelepipedo ettngolo è ugule l podotto delle misue, b, c delle te dimensioni: V pllelepipedo ¼ b c Figu 1.11 b c Ossevimo o ce il podotto delle misue di due delle te dimensioni di un pllelepipedo ppesent l misu S b dell e di un fcci (fig. 1.11); se ssumimo quest fcci come bse del pllelepipedo, l misu dell tez dimensione ppesent l ltezz eltiv quest fcci, quindi l fomul ce fonisce l misu del volume di un pllelepipedo può espimesi nell fom equivlente V pllelepipedo ¼ S b Nel cso pticole di un cubo il cui spigolo misu l, l fomul divent: V cubo ¼ l 3 Ossevimo infine ce, come conseguenz del teoem 1.1, un pism è equivlente un pllelepipedo di bse equivlente e ltezz conguente; petnto, indict con S b l misu dell e dell bse del pism e con l misu dell su ltezz, nce pe un pism qulsisi, come pe i pllelepipedi, vle l fomul: 8 V pism ¼ S b

18 Pov tu 1. Detemin l e dell supeficie totle e il volume di un pllelepipedo ettngolo di dimensioni 4 cm, 5 cm e 6 cm. [148 cm 2 ; 120 cm 3 ] 2. Il volume di un pllelepipedo ettngolo è 120 p cm 3 e l su bse è un qudto di digonle 4 ffiffiffi 2 cm. Qul è l lungezz dell ltezz del pllelepipedo ettngolo? [7,5 cm] 3. Misu dell supeficie e del volume di un pimide e di un tonco di pimide Misu dell supeficie di un pimide e di un tonco di pimide Ponimoci nzitutto il poblem di clcole l misu dell e dell supeficie ltele di un pimide ett. Sino l 1, l 2,..., l n le misue dei lti dell bse dell pimide e l misu dell potem. L e dell supeficie ltele è l somm delle ee delle fcce lteli, ce sono tingoli venti come ltezze (eltive gli spigoli di bse) l potem dell pimide (vedi l fig. 1.12, in cui bbimo consideto come esempio un pimide ett bse tingole); petnto: ESERCIZI p Detemin l e dell supeficie totle e il volume di un pism esgonle egole, vente ltezz conguente gli spigoli di bse, spendo ce questi ultimi misuno. p 3 2 ð2 þ ffiffiffi 3 pffiffiffi 3 Þ; Unità 1 Misue di supefici e di volumi S l ¼ 1 2 l 1 þ 1 2 l 2 þ ::: þ 1 2 l n ¼ 1 2 ðl 1 þ l 2 þ ::: þ l n Þ M l espessione 1 2 ðl 1 þ l 2 þ ::: þ l n Þ ppesent l misu del semipeimeto, p, dell bse, quindi: E S l ¼ p V potem C l 3 B C l 1 A l 3 l 2 B l 1 A l 2 F Figu 1.12 Un pimide tingole ett e il suo sviluppo. D Questi gionmenti vlgono pe un pimide ett qulsisi, quindi in pticole pe le pimidi egoli. Ae dell supeficie di un pimide ett TEOREMA 1.7 L misu dell e dell supeficie ltele di un pimide ett il cui peimeto di bse misu 2p e il cui potem misu è dt dll fomul: S l ¼ p [1.1] Dett S b l misu dell e dell bse dell pimide, l e dell supeficie totle dell pimide misu espess dll fomul: S t ¼ p þ S b 9

19 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido Ricod Come pe le pimidi non ette, nce pe i tonci di pimide non etti l e dell supeficie ltele v clcolt come somm delle ee delle singole fcce. Nel cso di pimidi non ette, le fcce lteli non nno tutte l stess ltezz, quindi l fomul [1.1] non può essee utilizzt e l e dell supeficie ltele v clcolt come somm delle ee delle singole fcce. Consideimo o un tonco di pimide ett e supponimo ce i peimeti dell bse mggioe e dell bse minoe del tonco misuino ispettivmente 2p e2p 0. Le fcce lteli sono tpezi venti tutti l stess ltezz, di misu, ugule ll potem del tonco (fig. 1.13); cimimo l 1, l 2,..., l n le misue delle bsi mggioi di questi tpezi e l 0 1, l0 2,..., l0 n le misue delle bsi minoi; l e dell supeficie ltele del tonco è l somm delle ee di questi tpezi, quindi: S l ¼ 1 2 ðl 1 þ l 0 1 Þ þ 1 2 ðl 2 þ l 0 2 Þ þ ::: þ 1 2 ðl n þ l 0 n Þ ¼ ¼ 1 2 ðl 1 þ ::: þ l n þ l 0 1 þ ::: þ l0 n Þ ¼ 2p 2p 0 ¼ 1 2 ð2p þ 2p0 Þ ¼ðp þ p 0 Þ l 1 ' l 1 Figu 1.13 Vle quindi il seguente teoem. TEOREMA 1.8 Ae dell supeficie di un tonco di pimide ett L misu dell e dell supeficie ltele di un tonco di pimide ett, vente bsi i cui peimeti misuno 2p e2p 0 e potem di misu,èespess dll fomul: S l ¼ðp þ p 0 Þ L misu dell e dell supeficie totle del tonco, dette B e b le misue delle ee delle sue bsi, è dt d: S t ¼ðp þ p 0 Þ þ B þ b Misu del volume di un pimide e di un tonco di pimide Il clcolo dell misu del volume di un pimide si fond sul seguente teoem di equivlenz. TEOREMA 1.9 Equivlenz t pimide e pism Ogni pimide è equivlente un tezo di un pism vente l stess bse e l stess ltezz dell pimide. 10 DIMOSTRAZIONE Ossevimo nzitutto ce possimo effettue l dimostzione limitndoci l cso di un pimide bse tingole; inftti ogni pimide può essee scompost nell somm di pimidi di bse tingole tccindo le digonli uscenti d un vetice del poligono di bse dell pimide e considendo i tetedi ce nno come bsi i tingoli ottenuti e come vetice quello dell pimide oigini (fig. 1.14). Figu 1.14

20 COSTRUZIONE PRELIMINARE Dt un pimide vente come bse il tingolo ABC e come vetice D, costuimo il pism ce come bsi il tingolo ABC e il tingolo DEF, coispondente di ABC nell tslzione di vettoe AD ƒ! (fig. 1.15). Il pism così costuito l bse ABC in comune con l pimide e l stess ltezz dell pimide (ugule ll distnz di D dl pino ABC). Figu 1.15 F C D A E B Unità 1 Misue di supefici e di volumi Suddividimo poi il pism nelle te pimidi evidenzite nelle seguenti figue. F D E F D E F D E C A B C A B C A B Figu 1.16 Pimide oigini Figu 1.17 Pimide con l fcci CDB in comune con l pimide di fig Figu 1.18 Pimide con l fcci DBF in comune con l pimide di fig Dimostimo ce l pim e l second pimide sono equivlenti Queste due pimidi, considete sulle bsi ACD e CDF, nno: bsi equivlenti poicé ciscuno dei due tingoli ACD e CDF è l metà del pllelogmm ADFC; stess ltezz, coincidente con l distnz di B dl pino ce contiene l fcci ADFC. Petnto le due pimidi sono equivlenti in bse l teoem 1.4. Dimostimo ce l pim e l tez pimide sono equivlenti Queste due pimidi, considete sulle bsi ABC e DEF, nno: bsi conguenti, in qunto bsi di un pism; ltezze conguenti, coincidenti con l distnz t i due pini plleli ABC e DEF. Petnto le due pimidi sono equivlenti in bse l teoem 1.4. Concludimo Pe l popietà tnsitiv dell elzione di equivlenz, le te pimidi sono tutte equivlenti f loo, quindi equivlenti un tezo del pism di bsi ABC e DEF, pism ce, pe costuzione, l stess bse e l stess ltezz dell pimide oigini. Dl teoem pecedente segue immeditmente ce, dt un pimide l cui bse e di misu B e l cui ltezz misu, isult: V pimide ¼ 1 3 V pism equivlente ¼ 1 3 B Vle quindi il seguente teoem. 11

21 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido TEOREMA 1.10 TEOREMA 1.11 Volume dell pimide L misu del volume di un pimide l cui bse e di misu B e l cui ltezz misu è espess dll fomul: V pimide ¼ 1 3 B Non è difficile questo punto icve l fomul ce fonisce il volume di un tonco di pimide. Volume del tonco di pimide L misu del volume di un tonco di pimide le cui bsi nno ee di misue B e b e l cui ltezz misu è espess dll fomul: V tonco ¼ 1 3 ðb þ B þ p ffiffiffiffiffi bb Þ DIMOSTRAZIONE Consideimo l pimide cui il tonco pptiene e indicimo con 0 l distnz del vetice V dell pimide dll bse minoe del tonco (fig. 1.19). Bse di e b ' H' V H Figu 1.19 Bse di e B Espimimo il volume del tonco Il volume del tonco è l diffeenz t i volumi delle due pimidi di vetice V ce nno come bsi, ispettivmente, l bse mggioe e l bse minoe del tonco, quindi: V tonco ¼ 1 3 Bð þ 0 Þ 1 3 b 0 ¼ 1 3 B þ 1 3 B b 0 ¼ 1 3 B þ 1 0 ðb bþ 3 [1.2] Ricod Il ppoto t le ee di due figue simili è ugule l qudto del loo ppoto di similitudine. Espimimo 0 in funzione di B, b e L bse minoe del tonco è l coispondente dell bse mggioe nell omoteti di cento V e ppoto VH0. Ne segue ce le bsi del tonco sono simili, di ppoto di similitudine ugule l ppoto t le ispettive distnze dl vetice V; VH possimo quindi scivee l seguente equzione, ce isolvimo ispetto 0, limitndoci ll icec dell dice positiv: B b ¼ ð þ 0 Þ 2 pffiffiffi B ð 0 Þ 2 ) pffiffiffi ¼ þ pffiffiffi 0 B ) pffiffiffi ¼ þ 1 ) pffiffiffi pffiffiffi B b ¼ p ffiffiffi ) b 0 b 0 0 b ) 0 ¼ p ffiffiffi b pffiffiffi p ffiffiffi ) 0 ¼ p ffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi b ð B þ b Þ [1.3] B b B b Concludimo Sostituendo infine l espessione di 0 fonit dll [1.3] nell [1.2] ottenimo l fomul ce volevmo dimoste: V tonco ¼ 1 3 B þ 1 3 ðb bþ 0 ¼ 1 3 B þ 1 p ffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi b ð B þ b Þ ðb bþ ¼ 3 B b ¼ 1 3 B þ 1 3 p ffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 1 b ð B þ b Þ¼ 3 B þ 1 3 p ffiffiffiffiffiffi 1 bb þ 3 b ¼ ¼ 1 3 ðb þ B þ p ffiffiffiffiffiffi bb Þ 0 12

22 Pov tu Conside un pimide egole, l cui bse è un qudto di lto 2, vente ltezz di misu 6.. Detemin il volume e l e dell supeficie totle dell pimide. 4. Misu dell supeficie e del volume di un cilindo, di un cono e di un tonco di cono ESERCIZI p. 28 b. Un pino distnte 2 dl vetice dell pimide dt, pllelo ll bse dell pimide stess, l divide in due pti: un tonco di pimide e un pimide vente come bse l sezione dell pimide con il pino. Detemin il volume e l e dell supeficie totle del tonco di pimide. p. V ¼ 8 3,Ae ¼ 4 2 ð1 þ ffiffiffiffiffiffi 37 Þ; b. V ¼ ; Ae ¼ ð5 þ 4 ffiffiffiffiffiffi p 37 Þ Unità 1 Misue di supefici e di volumi Misu dell supeficie e del volume di un cilindo L deteminzione dell misu dell e dell supeficie di un cilindo e, più in genele, dei solidi otondi quli il cono e l sfe, pone poblemi nuovi ispetto i poliedi: nel cso dei solidi otondi ci si tov inftti dvnti l poblem di misue un supeficie cuv, ispetto ll unità di misu scelt pe le ee, ce è pin. Pe semplicità, eviteemo un tttzione igoos del poblem, limitndoci un ppoccio intuitivo. Nel cso del cilindo, l ppoccio intuitivo è pticolmente semplice pecé l supeficie di un cilindo è sviluppbile; in fig bbimo ipotto lo sviluppo di un cilindo vente ggio di bse di misu e ltezz di misu. Ossev Si ttt di poblemi nlogi quelli ce si sono posti pe l deteminzione dell lungezz di un ciconfeenz e dell e di un cecio. 2π Figu 1.20 In pticole, l supeficie ltele del cilindo come sviluppo un ettngolo i cui lti misuno 2 e, quindi ssumeemo come e dell supeficie ltele di un cilindo l e di questo ettngolo, ce misu 2. Pe ottenee l e dell supeficie totle bisogn ggiungee ll e dell supeficie ltele le ee delle due bsi, ciscun delle quli misu 2. Vle quindi il seguente teoem. Ae dell supeficie di un cilindo TEOREMA 1.12 L misu dell e dell supeficie ltele di un cilindo l cui bse ggio di misu e l cui ltezz misu è espess dll fomul: S l ¼ 2 L misu dell e dell supeficie totle del cilindo è dt d: S t ¼ 2 þ 2 2 Pe qunto igud invece il clcolo dell misu del volume di un cilindo, bst icode il teoem 1.2, pe il qule un cilindo è equivlente un pism vente bse equivlente quell del cilindo e stess ltezz. Dunque un cilindo vente 13

23 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido TEOREMA 1.13 ggio di bse di misu e ltezz di misu è equivlente un pism l cui bse e di misu 2 e l cui ltezz misu. Vle quindi il seguente teoem. Volume di un cilindo Se un cilindo ggio di bse di misu e ltezz di misu, llo l misu del volume del cilindo è espess dll fomul: V cilindo ¼ 2 Misu dell supeficie e del volume di un cono Ance l supeficie del cono, come quell del cilindo, è sviluppbile. In fig bbimo ppesentto lo sviluppo di un cono vente ggio di bse di misu e potem di misu. 2π Figu 1.21 In pticole, l supeficie ltele del cono come sviluppo un settoe cicole, vente come ggio l potem del cono, delimitto d un co vente l stess lungezz dell ciconfeenz di bse del cono. Ricodndo ce un settoe cicole è equivlente un tingolo vente bse dell stess lungezz dell co ce delimit il settoe e come ltezz il ggio del settoe, deducimo ce l e dell supeficie ltele del cono misu: 1 2 ¼ 2 Pe ottenee l e dell supeficie totle bisogn ggiungee, ll e dell supeficie ltele, l e dell bse del cono, ce misu 2. Vle quindi il seguente teoem. TEOREMA 1.14 Ae dell supeficie di un cono L misu dell e dell supeficie ltele di un cono l cui bse ggio di misu e il cui potem misu è espess dll fomul: S l ¼ L misu dell e dell supeficie totle del cono è dt d: S t ¼ þ 2 Pe qunto igud invece il clcolo dell misu del volume di un cono bst icode il teoem 1.3, pe il qule un cono è equivlente un pimide vente bse equivlente quell del cono e stess ltezz. Dunque un cono vente ggio di bse di misu e ltezz di misu è equivlente un pimide l cui bse e di misu 2 e l cui ltezz misu. Vle quindi il seguente teoem. TEOREMA 1.15 Volume di un cono Se un cono ggio di bse di misu e ltezz di misu, llo l misu del volume del cono è espess dll fomul V cono ¼

24 Misu dell supeficie e del volume di un tonco di cono Cic il poblem di misue l e dell supeficie di un tonco di cono sussiste il seguente teoem. Ae dell supeficie del tonco di cono TEOREMA 1.16 L misu dell e dell supeficie ltele di un tonco di cono le cui bsi nno ggi di misu ed 0 e il cui potem misu è espess dll fomul: S l ¼ ð þ 0 Þ L misu dell e dell supeficie totle è dt d: S t ¼ ð þ 0 Þþ 2 þ ð 0 Þ 2 DIMOSTRAZIONE Consideimo il cono di vetice V cui il tonco pptiene e indicimo con 0 l potem del cono ce come bse l bse minoe del tonco e come vetice V (fig. 1.22). V Unità 1 Misue di supefici e di volumi ' O' ' A' O A Figu 1.22 Espimimo l e dell supeficie ltele del tonco L e dell supeficie ltele del tonco è l diffeenz t le ee delle supefici lteli dei due coni di vetice V venti come bsi, ispettivmente, l bse mggioe e l bse minoe del tonco: S l ¼ ð þ 0 Þ 0 0 ¼ þ 0 ð 0 Þ [1.4] Espimimo 0 in funzione di, ed 0 I due tingoli ettngoli VOA e VO 0 A 0 sono simili (pecé sono ettngoli e nno l ngolo di vetice V in comune). Ne segue l seguente equzione, ce isolvimo ispetto d 0 : þ 0 ¼ 0 0 ) 0 þ 0 0 ¼ 0 ) 0 ð 0 Þ¼ 0 ) 0 ¼ 0 0 [1.5] Concludimo Sostituendo l espessione di 0 fonit dll [1.5] nell [1.4] ottenimo l fomul ce volevmo dimoste: S l ¼ þ 0 ð 0 Þ¼ ¼ þ ð 0 Þ¼ þ 0 ¼ ð þ 0 Þ L fomul pe clcole l misu dell e dell supeficie totle del tonco si ottiene in modo ovvio ggiungendo ll misu dell e dell supeficie ltele quelle delle due bsi. 15

25 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido TEOREMA 1.17 Pe qunto igud il clcolo del volume di un tonco di cono, con un dimostzione del tutto simile quell effettut pe il tonco di pimide si giunge ll seguente fomul: V tonco cono ¼ 1 3 ðb þ b þ p ffiffiffiffiffiffi bb Þ dove B e b sono le misue delle ee delle bsi e è quell dell ltezz. Se i ggi delle bsi misuno ed 0, isult B ¼ 2 e b ¼ 0 2, quindi: V tonco cono ¼ 1 p 3 ð2 þ 0 2 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 02 Þ ¼ 1 3 ð2 þ 0 2 þ 0 Þ Vle quindi il seguente teoem. Volume del tonco di cono L misu del volume di un tonco di cono le cui bsi nno ggi di misu ed 0 e l cui ltezz misu è espess dll fomul: V tonco cono ¼ 1 3 ð 2 þ 02 þ 0 Þ Pov tu Conside un cono di ggio 2 cm, vetice V e ltezz VO ¼ 4cm.. Detemin il volume e l e dell supeficie totle del cono. b. Tcci il pino pllelo ll bse del cono e pssnte pe il punto medio di VO. Conside il tonco di cono ce come bsi l sezione del cono dto con il pino e ESERCIZI p. 33 l bse del cono stesso. Detemin il volume e l e dell supeficie totle del tonco di cono.. V ¼ 16 3 p cm3, Ae ¼ 4ð1 þ ffiffiffi 5 Þ cm 2 ; b. V ¼ 14 3 cm3, Ae ¼ ð5 þ 3 ffiffiffi p 5 Þ 5. Misu dell supeficie e del volume di un sfe e delle pti dell sfe Misu dell supeficie e del volume di un sfe Il clcolo dell misu dell supeficie di un sfe non si può ffonte in modo igooso con metodi elementi, pecé l sfe non è sviluppbile sul pino. È possibile tuttvi icve intuitivmente l misu dell supeficie dell sfe, ptie dll fomul ce ne fonisce il volume. Pe questo motivo, diffeenz del pecoso seguito nei pgfi pecedenti, ci poponimo peliminmente di clcole il volume dell sfe, poi gioneemo sul poblem dell misu dell su supeficie. Il clcolo del volume dell sfe si bse su un impotnte teoem di equivlenz t un sfe e l su coispondente nticlessid, ce è così definit: ANTICLESSIDRA Dt un sfe, consideimo il cilindo cicoscitto ll sfe e i due coni ce nno le bsi coincidenti con quelle del cilindo e vetice nel cento dell sfe. Si cim nticlessid coispondente ll sfe il solido costituito dll diffeenz t il cilindo e i due coni (fig. 1.23). 16

26 Figu 1.23 Dll sfe ll su nticlessid. Equivlenz t sfe e nticlessid TEOREMA 1.18 Un sfe è equivlente ll su nticlessid. DIMOSTRAZIONE Disponimo un sfe e l su coispondente nticlessid su un pino, in modo ce stino dll stess pte ispetto esso, ce l sfe si tngente l pino e l bse dell nticlessid gicci sul pino (fig. 1.24). Sezionimo quindi l sfe e l su coispondente nticlessid con un pino pllelo d. Ae sezione = π( 2 2 ) A O ' = 2 2 B Ae sezione = π 2 π 2 H A' O' B' K Dll stoi Il clcolo dell misu del volume dell sfe è dovuto d Acimede, il gnde mtemtico Geco ce visse Sicus f il 287 e il 212.C. Unità 1 Misue di supefici e di volumi Ae cecio = π 2 Ae cecio = π 2 α Figu 1.24 Le sezioni dell sfe e dell nticlessid sono equivlenti. 1 cso: il pino pss pe il cento dell sfe In questo cso le sezioni del pino con l sfe e l su nticlessid sono due ceci il cui ggio misu (coloti in viol in fig. 1.24), entmbi di e 2 e quindi equivlenti. 2 cso: il pino non pss pe il cento dell sfe In questo cso: l sezione dell sfe con il pino è il cecio in os in fig. 1.24; l sezione dell nticlessid con il pino è l coon cicole in os nell stess figu. Indicimo con l distnz del pino secnte d O (distnz ugule quell t il pino secnte e O 0 Þ e clcolimo le ee di queste due sezioni.. Applicndo il teoem di Pitgo l tingolo ettngolo OAB, p si ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ottiene ce il ggio del cecio sezione con l sfe (AB in fig. 1.24) misu 2 2, quindi l e del cecio sezione misu: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 2 2 Þ 2 ¼ ð 2 2 Þ Ô 17

27 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido Ô b. Esminimo o l coon cicole. L ciconfeenz di ggio mggioe ce l delimit ggio ; l ciconfeenz di ggio minoe (A 0 B 0 in fig. 1.24) ggio di misu : inftti il tingolo O 0 HK è ettngolo isoscele (poicé OHK b ¼ 90 e O 0 H ¼ HK ¼ Þ, quindi nce O 0 A 0 B 0, simile O 0 HK, deve essee tle. Ne segue ce l e dell coon cicole misu: 2 2 ¼ ð 2 2 Þ Concludimo Ogni pino pllelo d ce intesec l sfe intesec nce l su nticlessid e, pe qunto mostto sop, le due sezioni del pino con l sfe e con l su nticlessid sono sempe equivlenti, petnto pe il pincipio di Cvliei l sfe e l nticlessid sono equivlenti. Dl teoem 1.18 possimo fcilmente dedue l fomul ce fonisce l misu del volume dell sfe. Abbimo: V sfe ¼ V nticlessid ¼ V cilindo 2 V cono ¼ ¼ ¼ ¼ TEOREMA 1.19 Volume dell sfe L misu del volume di un sfe il cui ggio misu è Come nticipto ll inizio del pgfo, vedimo o come, ptie d quest ultimo teoem, si poss dedue intuitivmente l fomul ce fonisce l misu dell e dell supeficie di un sfe. Dt un sfe di ggio, consideimo un poliedo ess cicoscitto, vente cioè tutte le fcce tngenti ll sfe (fig sinist); questo poliedo fonisce cimente un ppossimzione pe eccesso del volume dell sfe. Ossevimo o ce, se congiungimo i vetici delle fcce del poliedo con il cento dell sfe, ottenimo delle pimidi ce nno vetice nel cento dell sfe; le bsi di queste pimidi sono tngenti ll sfe, quindi pependicoli l ggio nel punto di tngenz: petnto tutte queste pimidi nno ltezz di misu (fig dest). O O Poliedo cicoscitto un sfe ce ne ppossim il volume pe eccesso Figu 1.25 Ogni fcci del poliedo è l bse di un pimide con il vetice nel cento dell sfe di ltezz Il volume del poliedo può penssi come somm dei volumi di queste pimidi. Indicte con S 1, S 2,..., S n le misue delle ee delle bsi delle pimidi, vemo peciò: V poliedo ¼ 1 3 S 1 þ 1 3 S 2 þ ::::: þ 1 3 S n ¼ 1 3 ðs 1 þ S 2 þ ::: þ S n Þ [1.6] 18

28 Misue di supefici e di volumi d cui si icv: Unit 1 Immginimo o di f cescee il vloe di n, cioe ce le bsi delle pimidi sino sempe «piu piccole» e ppossimino quindi sempe meglio l supeficie dell sfe. Nell ipotesi ce il vloe di n cesc indefinitmente, il volume del poliedo tende d vvicinsi sempe di piu l volume dell sfe e l somm delle ee delle bsi delle pimidi tende d vvicinsi sempe piu ll e dell supeficie dell sfe; petnto, in quest situzione «limite», dll [1.6] segue: 1 [1.7] Vsfe ¼ Ssfe 3 4 M noi sppimo ce Vsfe ¼ 3 ; dll [1.7] segue quindi ce: ¼ Ssfe 3 3 Ssfe ¼ 4 2 Si potebbe dimoste questo isultto, dedotto in modo intuitivo, igoosmente. Ae dell supeficie dell sfe TEOREMA L misu dell e dell supeficie di un sfe il cui ggio misu e 4. Misue dell supeficie e del volume delle pti dell supeficie sfeic o dell sfe Le fomule ce foniscono l misu dell e delle pti di supeficie sfeic e l misu del volume delle pti dell sfe sono issunte nell seguente tbell. Pte dell supeficie sfeic o dell sfe Figu Clott sfeic e segmento sfeico un bse Ricod ce l clott sfeic e un pte dell supeficie sfeic, il segmento sfeico un bse e un pte dell sfe. 2 Ricod ce l zon sfeic e un pte dell supeficie sfeic, mente il segmento sfeico due bsi e un pte dell sfe. 1 Ae dell clott: S ¼ 2 R Volume del segmento sfeico un bse: V¼ Ae dell zon: S ¼ 2 R Ae dell supeficie del settoe: S ¼ Rð2 þ Þ R O 1 2 ð3r Þ 3 Volume del segmento sfeico due bsi: V¼ R O Settoe sfeico Volume R O Zon sfeic e segmento sfeico due bsi Ricod ce il settoe sfeico e un pte dell sfe. Ae 1 1 ð12 þ 22 Þ þ Volume del settoe: V¼ 2 2 R 3 Quest fomul vle solo pe settoi sfeici come quelli in figu geneti dll otzione di un settoe cicole intono l suo sse di simmeti. 19

29 Tem L Ae dell supeficie e volume di un solido Pte dell supeficie sfeic o dell sfe Fuso e spiccio sfeico Ricod ce il fuso è un pte dell supeficie sfeic, lo spiccio è un pte dell sfe. Figu Ae Volume α R O Ae del fuso: S ¼ 2 2 se è misuto in dinti S ¼ 90 2 se è misuto in gdi Volume dello spiccio: V ¼ se è misuto in dinti V ¼ se è misuto in gdi Non fonimo le dimostzioni di queste fomule, limitndoci d lcune ossevzioni.. L fomul ce fonisce il volume del segmento sfeico un bse si può deive con un gionmento nlogo quello ftto pe giungee ll fomul del volume dell sfe; nel cso pticole in cui l ltezz di un clott sfeic o di un segmento sfeico un bse si ¼ 2R si itovno le fomule ce foniscono l misu dell supeficie e del volume dell sfe. b. Le fomule ce foniscono l e dell zon sfeic e il volume del segmento sfeico due bsi si possono ottenee d quelle dell e dell clott e del volume del segmento sfeico un bse, ossevndo ce l e di un zon sfeic è l diffeenz delle ee di due oppotune clotte, così come il volume di un segmento sfeico due bsi si può ottenee come diffeenz di due oppotuni segmenti sfeici un bse; nel cso pticole in cui ¼ 2R l fomul ce fonisce l e dell zon f icdee nell fomul ce fonisce l e dell supeficie sfeic e, nlogmente, nel cso in cui ¼ 2R ed 1 ¼ 2 ¼ 0 l fomul ce fonisce il volume del segmento sfeico due bsi f icdee nell fomul ce fonisce il volume dell sfe. c. Un settoe sfeico si può ottenee come somm o diffeenz di segmenti sfeici ( un o due bsi) e di solidi di otzione noti: pe esempio, il settoe sfeico dell figu in tbell è l somm di un segmento sfeico un bse e di un cono. d. Le fomule eltive ll e di un fuso si possono icve dlle seguenti popozioni, ce espimono l popozionlità t l e di un fuso e l su mpiezz: S fuso : S supeficie sfeic ¼ : 360 S fuso : S supeficie sfeic ¼ : 2 se è misuto in gdi se è misuto in dinti D nloge popozioni si possono icve le fomule ce foniscono il volume di uno spiccio sfeico. Pov tu ESERCIZI p Detemin e dell supeficie e volume di un sfe di ggio 6. [144 2, ] 2. Un sfe supeficie di e Qul è il volume dell sfe? [36 3 ] 3. Detemin l e di un clott di ltezz, pptenente un sfe di ggio 2. [4 2 ] 4. Dt un sfe di ggio 5, detemin i volumi dei due segmenti sfeici, pptenenti ll sfe, venti come bse un cecio di ggio ; Detemin il volume di uno spiccio pptenente un sfe di ggio e di mpiezz 30. i