2 Teorema fondamentale del calcolo

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1 66 C. 8 Teoidell integzionediriemnn Teoem ondmentle del clcolo Il isultto iù imotnte eltivo l clcolo dieenzile e integle è senz lto il seguente isultto, l cui dimostzione è, questo unto, stodinimente semlice. Deinizione 8.8 Si E un intevllo, x E e R(E). Chimimounzione integle di con unto bse x l unzione deinit come x E 7! F (x) F (x; x ): x x. (8.4) Teoem 8.9 (Teoem ondmentle del clcolo te I) Si E un intevllo, x E e R(E) continu in E. Allo, l unzione integle x! F (x) :F (x; x ) è deivbile in esihf () (). Dimostzione Clcolimo il oto incementle di F in : e ogni h tle che + h E si h F ( + h) h F () (8.4) (8.8) x +h h h x +h x ()+ h (8.7) x +h + h x +h ()+(h), con (h) : h () +h x (). L tesi è dunque equivlente moste che lim h! (h) e questo segue dll continuità di in (iotesi che nco non bbimo usto). Si "> tle che (x) () <"e ogni x E con < x <,si< h < (con + h E) esii h E l intevllo eto di estemi e + h. Sex I h,sih (x) () <".Dunque: (h) () le () le " ". h I h h I h h I h Deinizione 8. Se g : A! R e, b A denotimo [g] b : g(b) t e b. g() l incemento di g Coollio 8. (Teoem ondmentle del clcolo te II) Si un unzione continu su un intevllo E. (i) Pe ogni x E l unzione integle F in (8.4) è un imitiv di su E. (ii) Se G : E! R è un imitiv di su E e F è l unzione integle in (8.4) llo e, e ogni, b E, sih G(x) G(x )+F (x; x ), 8x E, (8.4) (iii) Se g C (E), llo, e ogni, b E, sih G(b) G() [G] b. (8.4) g g(b) g() [g] b. (8.43)

2 Univesità Rom Te L. Chiechi 67 Dimostzione (i) è conseguenz immedit dell Poosizione 8.5 e del Teoem 8.9. (ii): Poiché G e F sono due imitive di si h che G F + c e un costnte c; m F (x,x )equindig(x )c e(8.4) segue. Inine, oiché F e G dieiscono e un costnte, si h G(b) G() F (b) F () e dunque G(b) G() F (b, x ) F (, x ) x x x + x. (iii) segue immeditmente d (8.4) con g e G g (essendo, ovvimente, g un imitiv di g ). Si noti che, oiché, b E, g è continu sull intevllo chiuso I di estemi e b (e quindi integbile su I). Ossevzione 8. (i) Il Coollio 8. most (come ennuncito nel C. 7, Ossevzione 7.33 (iv)) che un unzione continu su un intevllo h seme un imitiv. (ii) L omul (8.4) emette dunque di clcole l integle di Riemnn e tutte le unzioni di cui si snno clcole le imitive: quest è ntulmente l liczione iù imotnte del clcolo delle imitive sviluto nel C. 7. (iii) Usndo l notzione del 5 C 7 e denotndo con un imitiv di, sihche le b, o nche : le (x)dx (x)dx b, (8.44) omule che giustiicno il nome integle indeinito e l imitiv e di integle deinito e l integle di Riemnn. (iv) Si noti che nei isultti di questo go, l intevllo E non è necessimente limitto. Esecizio 8.5 Si dimosti il seguente teoem dell medi integle : Si continu sull intevllo E, sino, b E, 6 b, esii l intevllo eto di estemi e b. Allo, 9 x I (x). (8.45) b b Suggeimento: oiché b (su )(b I b b si uò ssumee che <b.intlcsosih(in)(b ) le le I b b in, su. b I I ). Si usi o il teoem del vlo medio e unzioni continue ossevndo che. Integzione e ti Coollio 8.3 (Integzione e ti) Sino,g C (E) con E intevllo e sino, b E. Allo, Si icodi l Ossevzione g [g] b g. (8.46)

3 68 C. 8 Teoidell integzionediriemnn Dimostzione Dl Teoem ondmentle del clcolo e dll egol di deivzione del odotto segue che [g] b (8.43) (g) ( g + g ) g + g. Ossevzione 8.4 Ntulmente, il Coollio 8.3 si uò dedue dll omul nlog e le imitive (Poosizione 7.36).. Cmbio di vibile nell integzione Coollio 8.5 (Cmbio di vibile) Sino E,I intevlli, C(E), ' C (I) e '(I) E. Allo, e ogni, I, sih ' ', '(), b '( ). (8.47) Dimostzione Si issi x E esif (x) F (x; x ) l unzione integle(8.4) di con unto bse x. Allo, dl Teoem ondmentle del clcolo e dll egol dell cten segue che ' ' F ' ' (F ') (8.43) [F '] [F ] b (8.4) Ossevzione 8.6 (i) Se iscivimo l omul (8.47) nell notzione clssic e denotimo l unzione t I 7! '(t) x(t) E si h (x)dx x(t) x (t)dt, '(), b '( ), (8.48) dunque: nel cmbio di vibile x x(t), si clcol l unzione nell nuov vibile, gli estemi e sono due unti che coisondono e b, isettivmente, e il dx v sostituito con x (t)dt dx dt dt che suggeisce l identità omle dx x (t)dt dx dt. dt. (8.49) (ii) Sebbene bbimo chimto il Coollio 8.5 cmbio di vibile, non bbimo ssunto che l unzione ' si biunivoc o iniettiv e uò, d esemio cite che ci sino iù unti,,... divesi t loo tli che '() '( )..., mente,se' è invetibile llo esistenno due soli unti ' () e ' (b) e cui vle l (8.47). (iii) Anche e il Coollio 8.5 vle l stess ossevzione tt e l integzione e ti: ossi esso uò essee dedotto dll omul nlog e le imitive (Poosizione 7.37). Esemio 8.7 Dimostimo che x dx. (8.5)

4 Univesità Rom Te L. Chiechi 69 Intti, (in coisondenz di lcune uguglinze ci sono delle note eslictive): x dx (8.8) () (8.4) (b) (d) x dx + / / + t dt + x dx x dx t dt + x dx cos t cos tdt (c) ( + cos x)dx le sen x /. / / cos tdt dx + / x dx cos x dx (): cmbio di vibile x t nel imo integle. (b): cmbio di vibile x sent. (c): t e /, cos t. sen x (d): un imitiv di cos x è e oi usimo il Teoem ondmentle del clcolo (8.4). Ossevzione 8.8 (Simmetie nell integzione) In mtemtic, così come in isic, le simmetie sono di ondmentle imotnz e questo si ilette nche nell integzione semliicndo, volte, i clcoli. Vedimone due esemi: Se R (, ), >, è un unzione i si h (x) dx (x) dx, ( x) (x). (8.5) Intti (x)dx (x) dx + (t) dt +. (x) dx (x) (t) dt + (x) Con un clcolo del tutto nlogo si vede invece che se R( unzione disi, llo, ), >, è un (x) dx, ( x) (x). (8.5) Se R (, ) e ogni >edèeiodicdieiodot>, llo +T (x) dx T (x) dx, (x + T )(x). (8.53)

5 7 C. 8 Teoidell integzionediriemnn Intti, si h +T (x) dx (8.8) () (b) (8.8) T +T T +T T (x) dx + +T (t T ) dt + (t) dt + (t) dt +T (x) dx +T (x) dx (x) dx (): cmbio di vibile x t T nel imo integle. (b): essendo eiodic di eiodo T, si h nche (t + mt )(t) e ogni t ee ogni m (qui m ). 3 Aee Abbimo visto (Esemio 8.5 (i)) che l integle dell unzione costnte (x) h > t e b ( <b)è(b )h che e l geometi euclide è l e del ettngolo di bse (b ) e ltezz h. Allo stesso modo (Ossevzione 8.6), ossimo inteete (se ) i numei S E (,P) e S E (,P) come ee di unioni di multi ettngoli R e R : R {(x, ) x E, le le (x)} R, dove R è l unione dei ettngoli di bse I j P e ltezz in Ij e R è l unione dei ettngoli di bse I j P e ltezz su Ij. Quest ide, in eetti, è ll bse di un deinizione igoos di e e domini nomli : Deinizione 8.9 (i) Sino g le due unzioni integbili sull intevllo limitto E. Chimimo dominio nomle (di bse E t g e ) l seguente egione di R e deinimo l su e come Nel cso g onimo D : D,. D g, : {(x, ) R x E,g(x) le le (x)}, (8.54) e (D g, ): ( g). (8.55) (ii) Se un insieme D R limitto è unione disgiunt di un numeo inito di domini nomli D i, D D [ [D n,onimo e (D) : E nx e (D j ). (8.56) j Ossevzione 8.3 (i) Secondo quest deinizione, se, P P(E), e R e R sono, isettivmente, l unione dei ettngoli di bse I j P e ltezz in Ij e l unione dei ettngoli di bse I j P e ltezz su Ij, bbimo che e (R )S E (,P) le e (D ) le S E (,P) e (R )

6 Univesità Rom Te L. Chiechi 7 e nndo le tizioni di E si h che l e di D, ossi l e sottes dl gico di, è l elemento setoe delle ee dei multi-ettngoli contenuti in D e delle ee dei multi-ettngoli che contengono D. (ii) Non è di cile veiice che l omul (8.56) non diende dl ticole modo in cui D viene scomosto in unione disgiunt di domini nomli (e che quindi l deinizione è ben ost): vedi Esecizio 8.6 ine go. Non soendeà ceto il seguente moso isultto. Teoem 8.3 (Ae del cechio) Si >, x, R e C (x, ): (x, ) R (x x ) +( ) le. (8.57) Allo C (x, ) è u n d o m i n i o n o m l e e e C (x, ). Ntulmente, C (x, ) è (e deinizione) il cechio di cento (x, ) e ggio. Dimostzione L disuguglinz (x x ) +( ) le che deinisce C (x, )è equivlente ll disuguglinz ( ) le (x x ), che, su volt, è equivlente lle disuguglinze le (x x ) x x le che ossimo iscivee come 8 < g(x) : (x x ) le le (x) : + (x x ) : x le x le x +. M tli elzioni signiicno che C (x, ) è un dominio nomle con bse E : [x, x +] t le unzioni (integbili) g ed. Dunque, dll deinizione di e, e cendo nell qut uguglinz il cmbio di vibile x x + t, segue che e C (x, ) : ( g) E x+ x x+ x x t dt (8.5). (x x ) dx x dx Esecizio 8.6 (i) Dimoste che se D e D sono due domini nomli con D \ D 6 ;, llo D \ D è un dominio nomle. (ii) Dimoste che l deinizione dt in (ii) è ben ost, ossi che se D D [ [D m è un lt decomosizione di D in domini nomli due due disgiunti llo nx mx e (D j) e (Dj). j Suggeimento: ComettoeletizionisiconsideinogliinsiemeD ij : D i \D j (con i e j tli che Di \D j 6 ;). j