Note sul calcolo integrale

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1 Note sul clcolo integrle Muro Sit Per segnlre reusi o errori scrivere, per vore, : murosit@tisclinet.it Versione provvisori, ebbrio 206 Indice Introduzione l concetto di integrle. 2 2 Teori dell integrzione secondo Riemnn 6 2. Integrle (nel senso di Riemnn) come limite di somme Integrle in termini di somme ineriori e somme superiori Integrbilità di lcune clssi di unzioni Prime proprietà dell integrle Teorem dell medi Teorem ondmentle del clcolo integrle Cmbio di vribili negli integrli deiniti Ricerc di primitive Il metodo di sostituzione per il clcolo di un primitiv Integrzione per prti Integrli impropri o generlizzti Integrli su intervlli non limitti Integrle di /x Criterio del conronto Criterio del conronto sintotico Integrli di unzioni non limitte Integrli di /x. Criteri del conronto e del conronto sintotico Nome ile: Clcolo integrle 206.tex

2 Introduzione l concetto di integrle. Prim di dre deinizioni rigorose si vuole descrivere in modo inormle il concetto di integrle deinito e il teorem ondmentle del clcolo integrle presentndo due problemi: il clcolo dello spzio percorso d un prticell in moto rettilineo, qundo si conosc l unzione velocità, e il clcolo dell re di un prbol. Problem. Trovre lo spzio percorso, qundo si conosc l velocità. Il cso del moto uniorme. Si consideri un punto che, nell intervllo di tempo r l istnte inizile t 0 e l istnte inle t, si muove lungo l rett rele con velocità costnte. Si s(t) l posizione del punto ll istnte t e v(t) = v l su velocità, suppost costnte. Qul è lo spzio percorso dl punto? L rispost questo quesito è ovvi m signiictiv: l distnz percors dl punto, dll istnte t 0 ll istnte t, è il prodotto dell velocità v (costnte) per l intervllo di tempo t t 0 s(t) s(t 0 ) = v (t t 0 ) (.) Tle grndezz mmette l seguente interpretzione geometric: il grico dell velocità in unzione del tempo, si osservi l igur, è un segmento prllelo ll sse dei tempi mentre l distnz percors s(t) s(t 0 ) e l re del rettngolo ombreggito. v s(t) s(t 0 ) t 0 t Figur : Moto rettilineo uniorme: grico dell velocità in unzione del tempo. Il cso del moto velocità vribile. Un punto si muove lungo l rett rele con velocità che vri in modo continuo rispetto l tempo. Si s(t) l posizione del punto ll istnte t e v(t) = s (t) l su velocità. Qul è lo spzio percorso dl punto nell intervllo di tempo r l istnte inizile t 0 e l istnte inle t? L ide è quell di suddividere l intervllo di tempo t t 0 in tnti intervllini tlmente piccoli d poter supporre che su ognuno di essi l velocità si costnte. Lo spostmento del punto durnte uno di questi intervllini di tempo è pprossimtivmente ugule l prodotto v(τ) t, dove τ è un istnte rbitrrio che pprtiene quell intervllino di tempo e t è l mpiezz dello stesso intervllino di tempo. Anche se, come si vedrà in seguito, non è strettmente necessrio si scelgno gli intervllini di tempo tutti uguli, cioè si issino degli 2

3 istnti t i (i =,..., n) in modo tle che si bbi t 0 < t <... < t n = t e che, per ogni i =,..., n, l mpiezz di ogni intervllino [t i, t i ] si t = t i t i = t t 0 n Se in ognuno di questi intervllini [t i, t i ] si sceglie in modo rbitrrio un ltro istnte di tempo τ i [t i, t i ] vle, in modo pprossimtivo, l uguglinz s(t) s(t 0 ) n v(τ i ) t i= Quest uguglinz pprossimt srà tnto più precis, qunto più piccoli srnno gli intervlli di tempo t. Quindi, nche nel cso di velocità vribile, l distnz percors dl punto è rppresentt dll re delimitt dl grico dell unzione velocità e dll sse del tempo. = t 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 = b = t 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 4 = b Figur 2: L unzione velocità, su ogni intervllino di tempo, è pprossimt d un vlore costnte: più piccoli sono gli intervllini migliore è l pprossimzione. Per determinre in termini estti tle re si è llor condotti prendere in considerzione il limite delle somme del tipo n i= v(τ i) t qundo t tende zero. Il limite di tle somme (che verrà deinito in modo rigoroso e si dimostrerà esistere) si denot t t 0 v(τ) dτ, cioè si pone, per deinizione, lim t 0 n v(τ i ) t = i= D quest deinizione si ottiene l uguglinz estt t t t 0 v(τ) dτ (.2) t 0 v(τ) dτ = s(t) s(t 0 ) (.3) che si può riscrivere così t t 0 s (τ) dτ = s(t) s(t 0 ) (.4) L ormul (.4) costituisce il cosiddetto teorem ondmentle del clcolo integrle. Ess permette di trovte l integrle t t 0 v(τ) dτ qundo v = s è l derivt di un unzione s. In 3

4 tl cso, l integrle è dto dll vrizione s(t) s(t 0 ) dell unzione s (un ntiderivt o primitiv dell unzione integrnd v) sull intervllo di integrzione. Problem 2. Clcolo di un re. Trovre l re S dell igur compres tr il grico dell prbol (x) = x 2 e l sse delle x, qundo x vri nell intervllo [0, ]. (x) = x 2 S 0 x i x i Figur 3: rettngoli. Approssimzione un re S l di sotto di un grico medinte l somm delle ree di Si suddivid l intervllo [0, ] in n intervllini, cioè si issino i punti x 0 = 0 < x <... < x n = Su ogni intervllino [x i, x i ] l unzione (x) = x 2 ssume vlore minimo nell estremo di sinistr e il suo vlore è (x i ) mentre l mpiezz di ogni intervllino [x i, x i ] è x i = x i x i Pertnto si può rgionevolmente pprossimre per dietto l re S delimitt dll prbol, dll sse x e dll rett x = medinte somme di ree di rettngoli (come in igur) di bse x i e ltezz (x i ): S n (x i ) x i i= Se si vuole ottenere un ver uguglinz (e non un uguglinz pprossimt) occorre pssre l limite S = lim λ 0 n (x i ) x i = i= 4 0 (x) dx (.5)

5 dove λ è l mssim mpiezz degli intervllini [x i, x i ]. Per determinre l re S si può re così: si scelg l prtizione x 0 = 0, x = n, x 2 = 2 n, x i = i n, x n = L intervllo [0, ] risult diviso in n intervllini [x i, x i ] (con i =, 2,..., n) ognuno dei quli h mpiezz x = x i x i = n. Inoltre (x i ) = ( ) i 2. n Quindi l re S si può pprossimre per dietto così S n ( ) i 2 n n = n 3 i= n (i ) 2 (.6) i= Ricordndo che, per ogni intero positivo k vle l ormul l uguglinz (.6) si scrive k 2 = k(k + )(2k + ) 6 S n 3 (n ) n (2n ) 6 Per ottenere un ver uguglinz (e non un uguglinz pprossimt) bisogn pssre l limite per x 0 o equivlentemente per n +. Si ottiene S = lim n + n 3 6 (n ) n (2n ) = 3 Quindi l re S dell igur compres tr il grico dell prbol (x) = x 2 e l sse delle x, qundo x vri nell intervllo [0, ] vle 3 mentre l re del segmento prbolico (cioè dell regione di pino limitt dll prbol e dll rett y = ) è ugule 2 3 dell re del rettngolo circoscritto l segmento prbolico. Questo è un cso prticolre di un clssico risultto dimostrto d Archimede con metodi purmente geometrici. L esempio ppen presentto mostr che il problem del clcolo delle ree h l stess orm mtemtic del problem del clcolo dello spzio, not l velocità. Se si trov un unzione F (x) tle che F (x) = (x), si può concludere che S = 0 (x) dx = F () F (0) Nel cso in esme, bst prendere F (x) = 3 x3. Dunque S = 0 (x) dx = F () F (0) = 3 0 = 3 5

6 Segue che l re del segmento prbolico (cioè dell regione di pino limitt dll prbol e dll rett y = ) è ugule 2 3 dell re del rettngolo circoscritto l segmento prbolico. 2 Teori dell integrzione secondo Riemnn Venimo desso un deinizione rigoros di integrle. Ci sono diverse teorie dell integrzione; quell che noi studieremo è l teori dell integrzione secondo Riemnn. Il concetto di integrle di Riemnn può essere introdotto in due modi equivlenti: come limite di somme di Riemnn (dette nche somme di Cuchy-Riemnn), oppure in termini di somme superiori e somme ineriori. Deinizioni preliminri. Deinizione 2.. Si [, b] un intervllo dell rett rele. Si chim prtizione P l insieme ordinto {x 0, x, x 2,..., x n } di un numero inito di punti il primo del qule coincide con e l ultimo con b = x 0 < x < x 2 < < x n = b Ogni prtizione P = {x 0, x,..., x n } dell intervllo [, b] deinisce n sotto-intervllini L lunghezz di [x k, x k ] è k = x k x k. [x 0, x ] [x, x 2 ]... [x n, x n ] Deinizione 2.2. Si chim prmetro di inezz dell prtizione P = {x 0, x,..., x n } il numero P = mx i=,...,n (x i x i ) vle dire l mssim tr le lunghezze dei sotto-intervlli dell prtizione. Per i nostri scopi, più piccolo è il prmetro di inezz, meglio è. 2. Integrle (nel senso di Riemnn) come limite di somme Per deinizione, un prtizione (o suddivisione) P dell intervllo [, b] è un scelt di un numero inito di punti = 0 < < 2 < < m = b Ogni prtizione P = { 0,,..., m } dell intervllo [, b] deinisce m sotto-intervllini [ 0, ] [, 2 ]... [ m, m ] L lunghezz di [ k, k ] è k = k k. Il prmetro di inezz dell prtizione P = { 0,,..., m } è per deinizione il numero P = mx i=,...,m ( i i ) 6

7 vle dire l mssim tr le lunghezze dei sotto-intervlli dell prtizione. Per i nostri scopi, più piccolo è il prmetro di inezz, meglio è. Un prtizione mrct, o prtizione puntt, di [, b] consiste in un prtizione = 0 < < 2 < < m = b dell intervllo [, b], insieme un ulteriore scelt di punti {x,..., x m }, tli che x [ 0, ], x 2 [, 2 ],..., x m [ m, n ] I punti {x,..., x m } sono dunque interclti quelli dell prtizione P = { 0,,..., m }: = 0 x x 2 2 < < m x m m = b (2.) Per non ppesntire troppo le notzioni, qui si denot ncor con l letter P un prtizione puntt. Si [, b] R un unzione deinit su un intervllo comptto [, b]. Non si richiede che si continu, perchè il cso di unzioni non continue è importnte. Si potrebbe richiedere che si limitt su [, b]; m nche quest richiest è superlu, perchè si dimostr cilmente che se un unzione è integrbile, nel senso che verrà chirito in questo prgro, ess è necessrimente limitt. A ogni prtizione mrct P di [, b], = 0 < < 2 < < m = b, x [ 0, ], x 2 [, 2 ],..., x m [ m, n ] ssocimo l somm di Riemnn di ssocit P, deinit come S (P ) = m (x j )( j j ) = j= m (x j ) j Se ccde che le somme di Riemnn di si vvicinno qunto si vuole un numero A, pur di prendere suicientemente piccol l mssim delle lunghezze j = j j e qulunque si l scelt dei punti x j [ j, j ], llor si dice che l unzione è integrbile (secondo Riemnn) e che A è il suo integrle. Più precismente, dimo l seguente deinizione di unzione integrbile secondo Riemnn e di integrle di Riemnn: Deinizione 2.3 (Integrle secondo Riemnn, come limite di somme). Un unzione [, b] R si dice integrbile secondo Riemnn se esiste un numero rele A che soddis l seguente proprietà: per ogni numero ε > 0 esiste un numero δ > 0, tle che, per ogni prtizione puntt P con prmetro di inezz mx{ j j } < δ, si bbi i Se un tle numero A esiste, llor è unico, si denot j= S (P ) A < ε (2.2) (x)dx e si chim integrle di Riemnn di sull intervllo comptto [, b]. 7

8 Se è integrbile secondo Riemnn su [, b] e A = (x) dx è il vlore del suo integrle, scriveremo n (x) dx = lim (t ) t i (2.3) P 0 e diremo che (x) dx è il limite delle somme di Riemnn, tto sull insieme delle prtizioni di [, b], l tendere zero del prmetro di inezz P delle prtizioni. i= 2.2 Integrle in termini di somme ineriori e somme superiori Deinizione 2.4. Si [, b] un prtizione dell intervllo [, b]. Posto: R un unzione limitt sull intervllo [, b] e P = x 0 < x < x 2 < < x n = b m i = in{(x) x [x i, x i ]} M i = sup{(x) x [x i, x i ]} M m = x 0 x x 2 x 3 x 4 = b Figur 4:. Si chim somm ineriore di reltiv ll prtizione P il numero S (; P ) = m m i (x i x i ) i= Si chim somm superiore di reltiv ll prtizione P il numero S + (; P ) = m M i (x i x i ) i= Le seguenti proprietà delle somme ineriori e superiori si veriicno cilmente: 8

9 . Per ogni prtizione P, S (; P ) S + (; P ) 2. Se P è un prtizione più ine dell prtizione P 2, nel senso che P P 2 (cioè P si ottiene d P 2 ggiungendo ltri punti), llor S (; P ) S (; P 2 ) S + (; P ) S (; P 2 ) 3. Sino P, P 2 due prtizioni dell intervllo [, b] e si P = P P 2 l loro unione. Allor S (; P ) S (; P ) S + (; P ) S + (; P 2 ) (2.4) Dll proprietà (2.4) segue che ogni somm ineriore S (; P ) è minore o ugule di ogni somm superiore S + (; P 2 ), quli che sino le prtizioni P, P 2. Segue che sup S (; P ) in P P P P S+ (; P ) (2.5) dove P denot l insieme di tutte le possibili prtizioni dell intervllo [, b]. Se succede che sup S (; P ) = in P P P P S+ (; P ) questo numero comune si chim l integrle di su [,b] R, limitt sull in- Deinizione 2.5. (Integrle secondo Drboux) Un unzione [, b] tervllo [, b], si dice integrbile su [, b], se sup S (; P ) = in P P P P S+ (; P ) (2.6) Il comune vlore (2.6) si chim llor integrle di su [, b] e si denot (x) dx. I due modi di introdurre l integrle (secondo Riemnn e secondo Drboux, cioè come limite di somme oppure come vlore comune dell integrle ineriore e dell integrle superiore) sono equivlenti. Intti si dimostr l seguente Proposizione 2.6. Se un unzione è integrbile sull intervllo comptto [, b] secondo l deinizione (2.3), llor è limitt ed è integrbile nche secondo l deinizione 2.5. Vicevers, ogni unzione integrbile secondo l deinizione (2.5) è integrbile nche secondo l deinizione (2.3). Inoltre, i vlori dei due integrli coincidono. L dimostrzione di questo teorem non è diicile, m non ci interess riportrl. 2 2 L ide dell dimostrzione è semplice. D un lto, le somme di Riemnn sono incstrte r somme ineriori e somme superiori; quindi, se tli somme convergono uno stesso numero A, nche le somme di Riemnn vi convergono. Vicevers, scegliendo opportune prtizioni mrcte, ci si può vvicinre qunto si vuole ll integrle ineriore e ll integrle superiore. Quindi, se l integrle di Riemnn esiste, deve esistere nche l integrle di Drboux, e i due integrli hnno lo stesso vlore. 9

10 Dl momento che i due concetti di integrle sono equivlenti, d or in poi ci rieriremo indierentemente ll integrle secondo Riemnn o secondo Drboux, usndo l un o l ltr deinizione second dell convenienz. 2.3 Integrbilità di lcune clssi di unzioni Dlle proprietà delle somme ineriori e superiori e dll deinizione di integrle segue cilmente l seguente proposizione: Proposizione 2.7 (Criterio di integrbilità). Un unzione [, b] R, limitt sull intervllo comptto [, b], è integrbile secondo Riemnn se e solo se per ogni ε > 0 esiste un prtizione X tle che S + (; X) S (; X) ε (2.7) In bse tle criterio, si dimostr il seguente teorem. Teorem 2.8 (Integrbilità delle unzione continue sui comptti). Se è un unzione rele continu su un intervllo comptto [, b] R, llor è integrbile su [, b]. (L dimostrzione di questo teorem richiede l nozione di uniorme continuità ed è colttiv). Dimostrzione. Si srutt l proprietà di uniorm continuità di. Per il teorem di Heine- Cntor, l unzione, essendo continu su un comptto, è uniormemente continu. Dunque per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tle che se x x 2 < δ, llor (x ) (x 2 ) < ε. Ne segue che se P è un qulunque prtizione di [, b] con prmetro di inezz P < δ, si h e quindi sup{(x), x [x i, x i ]} in{(x), x [x i, x i ]} ε (2.8) S + (; P ) S (; P ) ε(b ) (2.9) D questo segue, per il criterio 2.7, che è integrbile su K. Enuncimo tre teoremi, dei quli non dimo l dimostrzione. Teorem 2.9. Un unzione [, b] R l qule si null su [, b] ecetto che in numero inito di punti p,..., p N è integrbile e h integrle nullo. Dimostrzione. Bst dimostrre che l enuncito vle se è sempre null, trnne che in un unico punto p. Fissto ε > 0, Ne segue che se è un unzione integrbile e un unzione g dierisce d solo in numero inito di punti, llor nche g è integrbile e i due integrli coincidono. (Intti, l dierenz g è sempre null, trnne che su un numero inito di punti, e quindi, per il teorem precedente, h integrle nullo). Questo signiic che, nel clcolo dell integrle di un unzione, possimo cmbire i vlori che ssume in un insieme inito di punti (o trscurre del tutto tli vlori), senz che l integrle cmbi. 0

11 Teorem 2.0 (Integrbilità delle unzioni monotòne).. Se è un unzione monòton su un intervllo comptto [; b], llor è integrbile. Teorem 2. (Integrbilità delle unzioni con un numero inito di punti di discontinuità ). Si [, b] R un unzione limitt e supponimo che l insieme dei punti di discontinuità di si inito. Allor è integrbile su [, b]. 2.4 Prime proprietà dell integrle Si R[, b] lo spzio delle unzioni Riemnn-integrbili sull intervllo [, b]. Qui di seguito sono elencte, senz dimostrrle, lcune proprietà dell integrle. Teorem 2.2. Vlgono le proprietà seguenti:. Se, g sono unzioni Riemnn-integrbili sull intervllo [, b] llor nche λ + µg è un unzione Riemnn-integrbile su [, b] (se, g pprtengono R[, b] e λ, µ sono numeri reli, llor nche λ + µg pprtiene R[, b]). 2. (Additività dell integrle rispetto ll unzione integrnd). Per ogni, 2 R[, b] si h ( + 2 )(x) dx = (x) dx + 2 (x) dx (2.0) 3. (Omogeneità dell integrle). Per ogni R[, b], e per ogni numero rele λ, si h λ(x) dx = λ (x) dx (2.) Le proprietà 2. e 3. si sintetizzno dicendo che l opertore di integrzione è linere. R[, b] R, (x) dx (2.2) 4. (Additività dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione). Per ogni R[, b] e c (, b), le restrizioni di gli intervlli [, c] e [c, b] sono integrbili e (x) dx = c (x) dx + c (x) dx (2.3) 5. (Monotoni dell integrle). Se, 2 R[, b] e (x) 2 (x) per ogni x [, b], llor (x) dx 2 (x) dx (2.4) 6. Se R[, b] e M R è un numero tle che (x) M per ogni x [, b], llor (x) dx M(b ) (2.5)

12 7. Se [, b] [c, d] è Riemnn integrbile e [c, d] compost g è Riemnn integrbile su [, b]. g R è continu, llor l unzione 8. Se R[, b], llor nche R[, b] e (x) dx (x) dx (2.6) 9. Se, g R[, b], llor nche il loro prodotto g R[, b]. Deinizione 2.3 (Integrle orientto). Se > b, si pone, per deinizione, Con quest deinizione, l uguglinz (x) dx = (x) dx = c b (x) dx + (x) dx (2.7) c (x) dx (2.8) vle per ogni scelt di, b, c (nche se c non è compreso tr e b), ptto che gli integrli considerti esistno. 2.5 Teorem dell medi Teorem 2.4 (dell medi integrle). Se l unzione [, b] R è integrbile su [, b] ed è limitt tr due costnti m ed M, nel senso che m (x) M per ogni x in [, b], llor l integrle deinito di soddis le disuguglinze (b )m Se inoltre è continu in [, b], esiste un punto c in [, b] tle che (x)dx (b )M (2.9) (x)dx = (b ) (c) (2.20) Dimostrzione. D m (x) M segue, per l proprietà di monotoni dell integrle, mdx (x)dx Mdx (2.2) che coincide con (2.9), in qunto mdx = m(b ) e Mdx = M(b ). Quindi, se l unzione è (integrbile) e limitt su [, b], cioè m (x) M, llor (b )m (x)dx (b )M Si suppong or che si continu sull intervllo [, b]. Per tle unzione si h: 2

13 e, per le disuguglinze (2.9), (b ) in x [,b] (x) in (x) (x) sup (x) x [,b] x [,b] (x) dx (b ) sup (x) (2.22) x [,b] L unzione è continu su [, b]; quindi, per il teorem dei vlori intermedi, ess ssume tutti i vlori compresi tr il suo estremo ineriore e il suo estremo superiore. Esiste llor un punto c tr e b per il qule (x)dx = (b ) (c) sup d c (b ) sup in d c (b ) in b Figur 5: Se è positiv e continu su [, b], e si interpret l integrle come l re A dell regione di pino compres tr il grico di e l sse delle x, le disuguglinze (2.22) sono evidenti: (b ) sup è l re del rettngolo bcd che contiene intermente A, mentre (b ) in è l re del rettngolo bc d tutto contenuto in A. 2.6 Teorem ondmentle del clcolo integrle Deinizione 2.5. Si [, b] R integrbile su [, b]. Si chim unzione integrle di F (con punto bse ) l unzione [, b] R deinit nel modo seguente: per ogni x [, b], F (x) = G x (t) dt (2.23) Deinizione 2.6. Un unzione [, b] R è un primitiv o un ntiderivt dell unzione [, b] R se G è derivbile e G (x) = g(x), per ogni x [, b] (si intende di considerre g l derivt destr in e l derivt sinistr in b). 3

14 y F (x) è l re sotto il grico di tr e x. Grico di x F (x) = (t)dt x b x Figur 6: Interpretzione geometric di unzione integrle nel cso di unzione integrnd positiv. Teorem 2.7 (Continuità dell unzione integrle). Se [, b] llor l unzione integrle è continu in [, b]. F (x) = x R è integrbile su [, b] (t)dt (2.24) Dimostrzione. Per ogni x 0 [, b], bisogn dimostrre che lim F (x) = F (x 0 ), ossi che x x 0 F (x) F (x 0 ) tende zero, per x che tende x 0. Posto x = x 0 + h si ottiene F (x 0 + h) F (x 0 ) = = = x0 +h x0 x0 +h x 0 x0 +h x0 (t) dt (t) dt + (t) dt x0 +h x 0 (t) dt x0 (t) dt (t) dt (teorem 2.2, p. 4) x 0 (t) dt (teorem 2.2, p. 8) Or, ricordndo che l unzione integrnd è limitt, ossi che esiste un numero α > 0 per il qule (x) < α, si ricv F (x 0 + h) F (x 0 ) x0 +h x 0 4 (t) dt x0 +h x 0 α dt = α h (2.25)

15 Per h che tende zero, l quntità α h tende zero e, di conseguenz, nche F (x 0 + h) F (x 0 ) tende zero. Teorem 2.8 (Teorem ondmentle del clcolo integrle). Si [, b] R un unzione continu sull intervllo [, b]. Allor vlgono i seguenti tti:. L unzione integrle di F (x) = x (t)dt (2.26) è derivbile e F (x) = (x) per ogni x in [, b] (F (x) è un primitiv ). 2. Se G(x) è un qulunque primitiv di su [, b], ossi G è derivbile e G (x) = (x) per ogni x in [, b], llor Dimostrzione. Si issi un punto x 0 in [, b]. Allor F (x 0 + h) F (x 0 ) h = [ x 0 +h (t)dt h (t) dt = G(b) G() (2.27) x0 ] (t)dt = h x0 +h x 0 (t)dt = (c) (2.28) dove c è un opportuno punto tr x 0 e x 0 + h. L (2.28) segue dll uguglinz (2.20) del precedente lemm dell medi integrle, pplicto ll intervllo di estremi x 0 e x 0 +h. Qundo h tende zero, il punto c, compreso tr x 0 e x 0 + h, tende x 0. Poiché è continu, (c) tende (x 0 ) e quindi F (x 0 + h) F (x 0 ) lim = (x 0 ) (2.29) h 0 h Per l rbitrrietà con cui si è scelto x 0 in [, b] l prim prte del teorem è dimostrt, cioè F (x) = (x), per ogni x [, b]. Si or G(x) un qulunque unzione derivbile tle che G (x) = (x). Poiché le due unzioni G(x) e F (x) = dieriscono per un costnte: x G (x) = (x) = F (x) (t)dt hnno l stess derivt sull intervllo [, b]. Quindi G(x) = x (t)dt + c (2.30) Ponendo in quest uguglinz prim x = b e poi x = e sottrendo, si ottiene: G(b) G() = = [ ] (t)dt + c [ ] (t)dt + c (2.3) (t)dt (2.32) 5

16 L uguglinz (2.27) risult così dimostrt. y F (x + h) F (x) è l re dell piccol strisci verticle. Divis per l bse h (molto piccol) dà l ltezz (x). Dunque, F (x) = (x) Grico di (x) x x + h b x Figur 7: Dimostrzoine intuitiv del teorem ondmentle del clcolo integrle. 6

17 2.7 Cmbio di vribili negli integrli deiniti. Teorem 2.9 (Cmbio di vribili negli integrli deiniti). Si [, b] R un unzione continu sull intervllo [, b] e si [α, β] [, b] un unzione biunivoc con derivt continu ϕ ϕ (t) > 0. (Dunque ϕ(α) = e ϕ(β) = b.) Allor vle quest uguglinz: (x)dx = β α (ϕ(t))ϕ (t)dt (ϕ(α) =, ϕ(β) = b) (2.33) Prim dimostrzione. Trmite l unzione biunivoc ϕ si può ssocire ogni prtizione di [, b] un prtizione x 0 = < x < x 2 < < x n = b t 0 = α < t < t 2 < < t n = β di [α, β] e vicevers, ponendo x i = ϕ(t i ), per i = 0,..., n. (Qui si us il tto che ϕ si crescente; se invece osse decrescente, ll prtizione t 0 = α < t < t 2 < < t n = β si deve ssocire l prtizione ϕ(β) = < ϕ(t n ) < ϕ(t n 2 ) < < ϕ(α) = b). Per il Teorem del Vlore Medio si h per opportuni η i (t i, t i ). x i x i = ϕ(t i ) ϕ(t i ) = ϕ (η i )(t i t i ) (2.34) L integrle deinito (x)dx è limite di somme di Riemnn del tipo n (ξ i )(x i x i ) (2.35) i= con ξ i [x i, x i ], per ogni i =,..., n. Siccome l scelt dei punti ξ i è rbitrri, si può scegliere ξ i = ϕ(η i ). L corrispondente somm di Riemnn di srà llor n (ξ i )(x i x i ) = i= n (ϕ(η i ))ϕ (η i )(t i t i ) (2.36) i= Or le somme del tipo (2.36) sono somme di Riemnn per l unzione compost (ϕ(t)ϕ (t) sull intervllo [α, β], e quindi convergono ll integrle β α (ϕ(t))ϕ (t)dt. Second dimostrzione. Si considerino due unzioni G, H deinite sull intervllo [α, β] nel modo seguente: G(y) = ϕ(y) (x)dx H(y) = 7 y α (ϕ(t))ϕ (t)dt (2.37)

18 per ogni y [α, β]. Per il teorem ondmentle del clcolo integrle (insieme l teorem di derivzione di unzione compost, per l G(y)), queste due unzioni sono derivbili in [α, β] e hnno l stess derivt: G (y) = (ϕ(y))ϕ (y) H (y) = (ϕ(y))ϕ (y) (2.38) Dunque G e H dieriscono per un costnte. M nel punto y = α ssumono lo stesso vlore: Ne segue che G e H sono uguli: G(α) = F (α) = 0 per ogni y in [α, β] G(y) = H(y) In prticolre G(β) = H(β), che è l tesi. 8

19 2.8 Ricerc di primitive Il teorem ondmentle del clcolo integrle riconduce il clcolo dell integrle (x) dx ll determinzione di un primitiv di, problem in molti csi diicile. L integrle indeinito è l insieme delle primitive di un unzione, l tbell riportt qui sotto è stt ottenut dll conoscenz delle derivte di lcune unzioni elementri. Il dominio delle unzioni è sottointeso mentre quello delle corrispondenti primitive è un qulsisi intervllo contenuto nell intersezione del dominio dell unzione con il dominio dell primitiv. L letter c indic un qulsisi costnte rele. Funzioni x α (α R α ) x e x x ( > 0 ) cos x sin x cos 2 x sin 2 x Primitive α + xα+ + c ln x + c e x + c ln x + c sin x + c cos x + c tn x + c cotn x + c + x 2 rctn x + c x 2 rcsin x + c sinh x cosh +c cosh x sinh +c 9

20 Un second tbell di primitive si ottiene dll conoscenz dell regol di derivzione dell unzione compost, intti d D[g((x))] = g ((x)) (x) si ricv g ((x)) (x) dx = g((x)) + c Funzioni [(x)] α (x), α R α (x) (x) (x) e (x) (x) (x) ( > 0 ) (x) cos (x) (x) sin (x) (x) [cos (x)] 2 Primitive α + [(x)]α+ + c ln (x) + c e (x) + c ln (x) + c sin (x) + c cos (x) + c tn (x) + c (x) + [(x)] 2 rctn (x) + c (x) [(x)] 2 rcsin (x) + c 20

21 2.9 Il metodo di sostituzione per il clcolo di un primitiv. Per cercre un primitiv di un unzione ssegnt, volte può essere utile un cmbio di vribili. Per descrivere quest tecnic, che si chim metodo di sostituzione viene qui presentto il metodo nei due csi che si incontrno più spesso. Metodo di sostituzione: Primo cso. Si suppong di volere clcolre un integrle indeinito del tipo (h(u)) du (2.39) Il problem consiste nel trovre un unzione H(u) l cui derivt si H (u) = (h(u)). Nel nostro cso l unzione integrnd (h(u)) è un unzione compost, dove e h sono unzioni ssegnte. Si suppong che l unzione x = h(u) si invertibile e si denoti con u = h (x) = k(x) l su invers. Per semplicità, si scriv x = x(u), nziché x = h(u), e nlogmente, u = u(x), l posto di u = h (x). M si chiro che questo signiic che x = x(u) è l speciic unzione h e che u = u(x) denot l invers di h. Si suppong inoltre che h bbi un derivt continu h (u) che non si nnulli mi. Quest richiest permette di dire che nche l unzione invers k = h è derivbile. (Regol dell derivt dell unzione invers.) Il metodo di sostituzione si bs sull seguente osservzione: Si G(x) qulunque primitiv dell unzione (x)u (x), cioè si bbi G (x) = (x)u (x) = (x)k (x) (2.40) Allor l unzione compost G(h(u)) è un primitiv di (h(u)) (che è l unzione integrnd inizile nell integrle (2.39)). Intti, per l regol di derivzione di un unzione compost, si h: d du G(h(u)) = G (h(u)) h (u) = (h(u)) k (h(u)) h (u) = (h(u)) (2.4) perché k (h(u)) h (u). (Intti, per l regol di derivzione dell unzione invers k = h, k (h(u)) = h (u) e quindi k (h(u))h (u) = ). Rissumendo schemticmente. Per trovre un primitiv di (h(u)), si può procedere nel modo seguente:. Si pone h(u) = x; 2. Si trov l unzione invers u = h (x) = u(x); 3. Si consider l unzione (x)u (x), dove u(x) = h (x) è l invers di x = h(u); 2

22 4. Si cerc un primitiv G(x) di (x)u (x); 5. In G(x) si oper l sostituzione x = h(u), ottenendo così l unzione G(h(u)). L unzione inle G(h(u)) srà llor un primitiv di (h(u)). In ltri termini, per clcolre l integrle indeinito (h(u)) du (2.42) bst clcolre l integrle indeinito (x) u (x)dx (2.43) e poi eetture l sostituzione x = h(u). Il simbolo (h(u)) du (2.44) che ppre sotto il segno di integrle, suggerisce l trsormzione giust d re, qundo si eettu un sostituzione di vribili: se l posto di h(u) si sostituisce h(u) = x e l posto di du si sostituisce du = u (x)dx dove u(x) = h (x), llor si pss utomticmente d (2.42) (2.43). Dunque, se per denotre gli integrli indeiniti si us l notzione di Leibniz (2.44), il metodo di sostituzione si ricord più cilmente e si eettu meccnicmente. Ovvimente, non è detto che il metodo di sostituzione si sempre prticbile. Ad esempio, il metodo llisce se non si s trovre esplicitmente l unzione invers u = h (x); oppure se non si s trovre un primitiv G(x) di (x)u (x). Metodo di sostituzione: Secondo cso. Si suppong di dovere clcolre un integrle indeinito del tipo: (h(u))h (u) du (2.45) che dierisce dl precedente integrle (2.39) perché or nell unzione integrnd compre il termine h (u). Si pong h(u) = x e si F (x) un primitiv di (x). Allor si vede subito che F (h(u) è un primitiv di (h(u))h (u). Intti, per l regol di derivzione di un unzione compost, si h: d du F (h(u)) = F (h(u))h (u) = (h(u))h (u) Anche in questo cso l notzione simbolic di Lebniz suggerisce l cos giust d re. Si pong h(u) = x e dx = x (u)du = h (u)du. Allor il metodo di sostituzione prende l orm (h(u))h (u) du = (x) dx = F (x) = F (h(u)) (2.46) 22

23 In questo cso il metodo di sostituzione risult sempliicto, perché non è necessrio trovre l invers dell unzione h(u). Esempio. Clcolre: π 4 0 sin 2x dx Soluzione. Si eettui il cmbio di vribile, ponendo 2x = t, ossi x = t 2. In termini più precisi, si deinisceo l unzione x = h(t) = t 2, con t [0, π 2 ]. Si h h (t) = 2. Allor, per l ormul del cmbio di vribile, si h: π 4 0 sin 2x dx = π 2 0 (sin h(t)) h (t) dt = 2 π 2 0 (sin t)dt = 2 [ cos t] π 2 0 = 2 Esempio. Clcolre: e u du + e u Posto e u = x. Allor l unzione invers è u = ln x e du = u (x)dx = dx. Quindi per il x metodo di sostituzione (primo metodo) si h e u du = + e u x + x x dx = dx = rctn x + x2 Or si torni ll vribile inizile u con l sostituzione x = e u, e così si trov l primitiv cerct: rctn e u. Esempio. Clcolre: e u + e u du Si utilizzi il metodo di sostituzione, ponendo + e u = x = x(u). l espressione e u + e u du divent Con tle sostituzione e u + e u du = x(u) x (u) du Si noti che, per l presenz del termine x (u) du = dx, si è nel secondo cso del metodo di sostituzione. Allor e u x(u)x x + e u du = 2 (u)du = dx = 3 x = 3 x x Or l posto di x si deve porre: x = + e u. Quindi l primitiv cerct è 2 3 ( + eu ) + e u. Se invece non ci si osse ccorti di quel ttore x (u)du = e u du che ci h tto usre il secondo cso del metodo di sostituzione, si potev procedere nel modo seguente (Metodo di sostituzione: Primo cso). L unzione invers di x = + e u è u = ln(x ). Allor du = u (x)dx = x dx L regol di sostituzione, ponendo + e u = x e du = x dx, prende l orm: e u + e u du = (x ) x xdx x dx = 23

24 e d qui si procede come sopr. Esempio. Clcolre tn x dx e cot x dx sin x Per deinizione di tngente, si h tn x dx = dx. Posto cos x = t. Non è necessrio cos x invertire quest relzione, in qunto è presente il termine ( sin x)dx = dt (è il secondo cso del metodo di sostituzione). Quindi sin x tn x dx = cos x dx = dt = ln t = ln cos x t In modo nlogo, con l sostituzione sin x = t, si trov: cos x cot x dx = sin x dx = dt = ln t = ln sin x t 2.0 Integrzione per prti Ricordimo che se (x) e g(x) sono unzioni derivbili, l derivt del prodotto (x)g(x) è dt dll regol di Leibniz [ (x)g(x)] = (x)g(x) + (x)g (x) (2.47) Se integrimo entrmbi i membri e ricordimo che un primitiv dell derivt di un unzione è l unzione stess, ottenimo (x)g(x) = (x)g(x)dx + (x)g (x)dx (2.48) ovvero (x)g (x)dx = (x)g(x) (x)g(x)dx (2.49) L (2.49) si chim ormul di integrzione per prti. Come l solito, l uguglinz (2.48) v intes nel senso seguente: l somm di un qulunque primitiv di (x)g(x) e di un qulunque primitiv di (x)g (x) è ugule (x)(g(x), meno di un costnte dditiv. Allo stesso modo v interprett l (2.49). Esempio. Per clcolre ln x dx, possimo usre l ormul di integrzione per prti (2.49), dove (x) = ln x e g (x) =. Si h (x) = e g(x) =. Dunque x x ln x dx = x ln x x x = x ln x x 24

25 Esempio. sin 2 x dx = sin x sin x dx = cos x sin x = cos x sin x + cos 2 x dx = cos x sin x + ( sin 2 x) dx = cos x sin x + x sin 2 x dx ( cos x) cos x dx Portndo l integrle primo membro, si ottiene sin 2 x cos x sin x x dx = 2 In modo del tutto nlogo si trov cos 2 x + cos x sin x x dx = 2 (2.50) (2.5) 25

26 3 Integrli impropri o generlizzti Finor bbimo considerto solo integrli (x)dx dove l intervllo [, b] è limitto e l unzione (x) è limitt su [, b]. Or vedimo come il concetto di integrle si deinisce qundo l unzione (x) è limitt m l intervllo di integrzione non è limitto, oppure qundo l unzione non è limitt e l intervllo di integrzione è limitto. Un esempio del primo tipo è l integrle + dx (3.) x2 (L intervllo (, + ) non è limitto). Un esempio del secondo tipo è (L unzione x non è limitt vicino 0). In entrmbi i csi si prl di integrli generlizzti (o impropri). 0 x dx (3.2) 3. Integrli su intervlli non limitti Si un unzione rele deinit su un intervllo non limitto [, + ): [, + ) R (3.3) Diremo che è integrbile (o integrbile in senso generlizzto, o in senso improprio) sull semirett [, + ) se è integrbile su ogni intervllo [, t] con t > ed esiste inito il limite In questo cso si pone, per deinizione, + t lim t + (x) dx = (x) dx (3.4) t lim t + (x) dx (3.5) Se l integrle + (x) dx esiste (inito) si dice che tle integrle è convergente. Se il limite 3.4 è +, si dice che l integrle + (x) dx è divergente. In modo simile si deiniscono le unzioni integrbili su intervlli non limitti del tipo (, b]. 3.. Integrle di /x Teorem 3. (Integrbilità di /x in un intorno di + ). + x dx diverge + se converge (l numero ) se > (3.6) 26

27 Dimostrzione. Se =, bbimo e quindi l integrle vle +, ossi è divergente. Or Se, si h Rissumendo: + lim t + t lim t + x dx t x dx = lim (ln t ln ) = + (3.7) t + + dx (3.8) x x dx = [x ] t = (t ) (3.9) (t ) = + se < se > diverge + se converge (l numero ) se > (3.0) Esempio. Vedimo se l unzione xe x è integrbile (in senso improprio) sull semirett (, 0). Per ogni t < 0, l unzione xe x è integrbile su [t, 0] (perché è continu) e si h: 0 t xe x = (x )e x 0 Or si deve clcolre il limite per t che tende. Si ottiene: 0 lim t t xe x = Dunque l unzione xe x è integrbile su (, 0) e Criterio del conronto xe x dx = t = (t )et (3.) lim ( (t t )et ) = (3.2) 0 lim t t xe x = (3.3) A volte si può stbilire se un unzione è integrbile in senso generlizzto, senz bisogno di trovrne esplicitmente un ntiderivt. Può bstre un conronto con unzioni integrbili più semplici. Teorem 3.2 (Criterio del conronto.). Supponimo che (x) e g(x) sino unzioni continue deinite su un stess semirett I = (, + ) e soddiscenti Allor: In prticolre: (x) g(x) (3.4) (x)dx 27 + g(x)dx (3.5)

28 . Se g è integrbile su I, nche è integrbile su I; 2. Se non è integrbile su I (cioè, se + (x)dx = + ), nche g non è integrbile su I (ossi, nche + g(x)dx = + ) Dimostrzione. Poiché le unzioni integrnde e g sono non-negtive, gli integrli in questione sicurmente esistono 3, mgri uguli +. Per l proprietà di monotoni dell integrle, vlgono le disuguglinze 0 t (x)dx per ogni t >. Pssndo l limite per t +, si h llor l tesi. t g(x)dx (3.6) L enuncito del teorem è del tutto rgionevole qundo si pensi ll seguente interpretzione geometric. Poiché 0 (x) g(x), l regione di pino compres tr l sse delle x e il grico di (x) è tutt l di sotto del grico di g(x). Quindi, se l re + g(x)dx è init, mggior rgione l re + (x)dx srà init. Mentre se l re + (x)dx è ininit, mggior rgione l re + g(x)dx srà ininit. Esempio. Stbilire se l integrle + 0 e x2 dx è convergente. Soluzione. L unzione e x2 è ovvimente integrbile su ogni intervllo [0, b], in qunto è continu. Occorre studire l su integrbilità in un intorno di +. Non si s trovre esplicitmente un ntiderivt di e x2. Osservimo però che in un intorno di + (vle dire per tutti gli x suicientemente grndi) si h 0 e x2 x 2 (3.7) (In reltà l 3.7 vle per ogni x in (0, + ), perché e t > t per ogni t R, e quindi 0 < e t < t (3.8) per ogni t > 0). Siccome sppimo già che in un intorno di + l unzione x 2 è integrbile, per il criterio del conronto possimo concludere che l integrle + 0 e x2 dx è convergente Criterio del conronto sintotico Un ltro criterio per stbilire se un unzione è integrbile in senso generlizzto è il criterio del conronto sintotico. Ricordimo un deinizione. Dte due unzioni (x), g(x), deinite 3 Ricordimo che se un unzione rele h(t) è crescente su un intervllo (, + ), llor sicurmente esiste (inito o + ) il limite lim t + h(t), e tle limite è ugule l sup di h su (, + ). Nel nostro cso, siccome le unzioni e g sono non-negtive, le unzioni integrli t e t g sono crescenti, e quindi hnno limite per t +. 28

29 entrmbe su (, + ), con g(x) sempre diverso d zero, si dice che (x) è sintoticmente equivlente g(x) qundo x tende +, e si scrive se Vle llor il seguente (x) g(x), per x + (3.9) (x) lim x + g(x) = (3.20) Teorem 3.3 (Criterio del conronto sintotico.). Sino (x) e g(x) unzioni non-negtive continue deinite su un stess semirett I = (, + ). Supponimo (x) g(x) per x +. Allor (x) è integrbile su I se e solo se g(x) è integrbile su I. (x) Dimostrzione. Per ipotesi, lim x + g(x) =. Quindi, per ogni issto ε > 0, il rpporto (x) g(x) srà contenuto nell intervllo [ ε, + ε] per tutti gli x suicientemente grndi. In ltri termini, vrrnno deinitivmente le due disuguglinze ( ε)g(x) (x) ( + ε)g(x) (3.2) Or l tesi segue subito dl teorem del conronto. Intti, se g(x) è integrbile sull semirett I, d (x) ( + ε)g(x) segue che (x) è integrbile; mentre, se g(x) non è integrbile su I, d segue che (x) non è integrbile. ( ε)g(x) (x) Esempio. converge. Stbilire se l integrle + x 3 + 2x 2 x + x 5 + x 4 dx (3.22) + 7 Intti, l unzione integrnd è sintotic x 2 : x 3 + 2x 2 x + x 5 + x 4 + 7, per x + (3.23) x2 Ne segue, per il criterio del conronto sintotico, che l integrle 3.22 è convergente. Esempio. è convergente. L integrle + Intti, per x +, si h x sin x 3! è integrbile sull semirett [, + ). e 3! x 3 ( x sin ) dx (3.24) x 29 x 3

30 3.2 Integrli di unzioni non limitte Vedimo or come estendere il concetto di integrle deinito unzioni che non sono limitte in un intorno di un punto. Si (x) un unzione deinit su un intervllo (, b] (, b R e < b). Supponimo che non si limitt in un intorno del punto. Se esiste inito il limite lim c + c (x)dx (3.25) esso viene chimto integrle improprio, o generlizzto, di sull intervllo [, b] e si denot ncor con il simbolo (x)dx Come esempi guid, considerimo le due unzioni (x) = x e g(x) = x, deinite sull intervllo (0, ]. Ovvimente, entrmbe non sono limitte vicino 0. Nel primo cso, un primitiv di (x) su (0, ] è ln x e Nel secondo cso, lim c 0 + c (x)dx = lim c 0 + [ ln() ln(c) ] = + [ ] lim dx = lim 2 x c 0 + c x c 0 + c = lim c 0 +(2 2 c) = 2 Quindi, (x) = x non è integrbile in senso generlizzto su [0, ], mentre g(x) = x lo è (e il suo integrle vle 2) Integrli di /x. Criteri del conronto e del conronto sintotico Con un conto del tutto nlogo quello svolto per studire l integrbilità di [, + ), si ottiene il seguente Teorem 3.4 (Integrbilità di /x in un intorno di zero). 0 x dx x sull intervllo diverge + se converge (l numero ) se < (3.26) Anche per gli integrli impropri di unzioni non limitte, vlgono il criterio del conronto e il criterio del conronto sintotico. Teorem 3.5 (Criterio del conronto.). Supponimo che (x) e g(x) sino unzioni continue sull intervllo I = (, b], entrmbe non limitte vicino l punto e soddiscenti 0 (x) g(x) (3.27) Allor: In prticolre: 0 (x)dx g(x)dx (3.28) 30

31 . Se g è integrbile su I, nche è integrbile su I; 2. Se non è integrbile su I (cioè (x)dx = + ), nche g non è integrbile (cioè, nche g(x)dx = + ). Teorem 3.6 (Criterio del conronto sintotico.). Sino (x) e g(x) unzioni non-negtive continue sull intervllo I = (, b], entrmbe non limitte vicino l punto. Supponimo (x) g(x) per x +. Allor (x) è integrbile su I se e solo se g(x) è integrbile su I. Le dimostrzioni di questi due teoremi sono del tutto simili quelle già viste nel cso di integrli su intervlli illimitti, e non le ripeteremo. 3