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1 Opetoe pplicto podotti Con l'opetoe «Nbl" () bbimo definito te opezioni pplicndolo Ad un funzione scle pe costuie un vettoe: gdiente φ Ad un funzione vettoile pe costuie uno scle: divegenz F Ad un funzione vettoile pe costuie un vettoe: otoe F Ci sono due modi pe costuie un funzione scle ptie d due funzioni (scli o vettoili) Podotto di due funzioni scli fg Podotto di due funzioni vettoili A Anlogmente ci sono due modi pe costuie un funzione vettoile ptie d due funzioni (scli o vettoili) Podotto di un funzione scle e un vettoile fa Podotto di due funzioni vettoili A Clcoleemo Il gdiente pe i pimi due csi L divegenz pe gli lti due csi Il otoe pe gli lti due csi In totle sei fomule Abbimo così esuito tutte le possibilità di pplice l'opetoe l podotto di due funzioni (scli o vettoili) Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 5

2 Opetoe pplicto podotti Gdiente di un funzione scle (isultto di un podotto) fg fg + gf ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) A A A A A Divegenz di un funzione vettoile (isultto di un podotto) ( fa) f ( A) A ( f ) ( A ) ( A) A ( ) + Rotoe di un funzione vettoile (isultto di un podotto) ( fa) f ( A) A ( f ) ( A ) ( ) A ( A ) A( ) ( A) + Un peciszione sull'espessione y z ( A ) ( A ) A + A + A y z Anlogmente pe le componenti y e z Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 53

3 Divegenz del cmpo mgnetico Clcolimo l divegenz di Sottolineimo che clcolimo le deivte ispetto μ ( ) 4π V Con intendimo l'opetoe che gisce sulle coodinte Inolte bbimo scmbito l'odine di deivzione integzione Utilizzimo l'identità (C D) C C D Evidentemente J( ) J( ) non dipende d Notimo che l'gomento di è sostnzilmente il cmpo elettosttico di un cic puntifome Il suo otoe è petnto nullo Petnto Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 54 ( ) μ J 4π V ( ) ( ) J 3 ( ) ( ) dv ( ) μ ( ) J( ) dv 3 4π V ( ) 3 3 dv

4 Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus Univesità degli Studi di Milno Lezione n Sogenti del cmpo mgnetico Cicuitzione e otoe del cmpo mgnetico Legge di Ampèe; ppliczioni Anno Accdemico 18/19

5 Cicuitzione del cmpo mgnetico L divegenz del cmpo mgnetico espime un popietà impotnte del cmpo Come in elettosttic, ci pemetteà di scivee equzioni diffeenzili Tuttvi non definisce il legme del cmpo con le sue sogenti Ricodimo che nel cso del cmpo elettico l cicuitzione espimev l popietà del cmpo di essee consevtivo Ritonimo l cmpo del filo infinito Le linee di cmpo sono delle ciconfeenze intono l filo Il modulo del cmpo dipende dll distnz dl filo μ i 1 Pe completezz, le componenti sono y μ sin θ i θ μ cos θ + i y z Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 56 y i z

6 Cicuitzione del cmpo mgnetico Inizimo con l cicuitzione di lungo il cmmino indicto in figu b c d d l dl + dl + dl + dl L'integle lungo e lungo c è nullo Il cmmino è dile È pependicole l cmpo mgnetico: dl Lungo b è costnte e l'integle è ( ) d l Δl Δθ μ b Anlogmente l'integle lungo d è μ Δθ 1 d l i μ d 1 μ i Δθ i Δθ i Il segno meno deiv dl ftto che il cmpo mgnetico e il cmmino hnno veso opposto In definitiv d l Δθ Δθ μi μi Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 57 1 y c d Δθ μ i Δ l Δθ 1 ( ) b

7 Cicuitzione del cmpo mgnetico Consideimo nco il cmpo mgnetico di un filo infinito Clcolimo desso l cicuitzione lungo il cmmino in figu Un ciconfeenz di ggio 1 centt sul filo Il cmpo mgnetico e il cmmino sono sempe plleli Ottenimo petnto dl dl ( ) dθ ( ) dl dθ 1 d l μ i 1 1 μ In questo cso l cicuitzione non è null A diffeenz dl cso pecedente il cmmino "gi intono" un coente Si dice che l coente è conctent con il cmmino i d θ y Notimo che il cmpo mgnetico non è consevtivo Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 58

8 Cicuitzione del cmpo mgnetico I due isultti tovti possono essee espessi con un unic legge L cicuitzione del cmpo mgnetico è ugule ll coente conctent con il cmmino Se non c'è coente conctent l cicuitzione è null Tuttvi bbimo utilizzto cmmini pticoli Ciconfeenze, chi di ciconfeenz, ggi Dimostimo desso che i due isultti tovti vlgono pe cmmini biti Inizimo con un cmmino senz coente conctent Consideimo d esempio il cmmino in figu μ Ogni co iδθ Δθ negtivo o positivo Δ θ k k È evidente che può essee ppossimto con cmmini infinitesimi ftti con ggi e ciconfeenze Ci si convince fcilmente che l cicuitzione lungo il cmmino è null I cmmini dili non contibuiscono I contibuti dei cmmini lungo gli chi si elidono Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 59

9 Cicuitzione del cmpo mgnetico Consideimo desso un cmmino conctento con un coente Consideimo nche il cmmino b L pte di "ccodo" può essee es tscubile L pte esten 1 coincide, meno di un ttto infinitesimo, con L pte inten, meno di un ttto infinitesimo mncnte, è un ciconfeenz come quelle utilizzto fino d o Rispetto ll coente conctent i cmmini 1 e sono pecosi in senso opposto Avemo d l b b 1 Abbimo visto che l cicuitzione lungo è popozionle ll coente conctent In questo cso con il segno meno Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 6 b dl dl + dl d l μ i 1 1 dl dl 1 d l μ i d l μ i

10 Cicuitzione del cmpo mgnetico Pe finie consideimo un cmmino che "gi" intono ll coente più di un volt Utilizzndo oppotuni ttti dili ispetto l filo, il cmmino può essee suddiviso in più cmmini chiusi ognuno dei quli "gi" intono l filo un sol volt Se complessivmente il cmmino gi intono l filo N volte vemo d l Nμ i Pe tutti i csi consideti bbimo usto il cmpo mgnetico di un filo infinito Possimo considee un ftto speimentle il isultto che l legge tovt vle pe qulunque cmpo mgnetico geneto d un sistem bitio di coenti stzionie Anche più fili pecosi d coenti divese Il isultto è sempe Legge di Ampèe d l μ i k k Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 61

11 Rotoe del cmpo mgnetico Fino bbimo consideto le coenti tspotte d fili conduttoi I isultti tovti possono essee estesi sistemi descitti dll densità di coente Supponimo di nlizze un sistem ctteizzto d un densità di coente J(,y,z) Ricodimo che l condizione di coente stzioni implic ρ t Pe l'equzione di continuità vemo L legge di Ampèe divent ( yz) J,, dl μ J d Applichimo il teoem di Stokes l pimo membo S Dto che l elzione vle pe (S) biti dl d d μ J d S S S μ J Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 6

12 Rotoe del cmpo mgnetico Pe concludee dimostimo che il cmpo espesso con l legge di iot-svt soddisf l'equzione del otoe ppen vist Clcolimo il otoe Anco un volt gisce sull vibile e inolte bbimo scmbito deivte e integle Elboimo l'integndo utilizzndo l fomul ( vedi dipositiv ) Ponimo temponemente u ' Il pimo e il quto temine sono nulli L'opetoe è pplicto un funzione di μ ( ) ( ) 4π V μ J 4π V ( ) ( ) J 3 ( ) ( ) dv ( A ) ( ) A ( A ) A( ) ( A) + 3 dv u u ( ) ( ) ( ) u u u J + ( ) ( ) 3 3 J J J J u u u u u Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 63

13 Rotoe del cmpo mgnetico Petnto l'integndo si iduce ( ) ( ) ( ) J( ) ( ) + ( ) 3 J J 3 3 Intoducimo nell fomul del otoe μ ( ) μ ( ) ( ) ( ) dv + ( ) dv 3 3 4π J J 4π V V Dimosteemo che il pimo integle è nullo Nel secondo integle (vedi elettomgnetismo 1 dipositiv 198) Inseimo nell'integle ( ) 4πδ ( ) 3 ( ) μ ( ) J( ) μ dv ( ) 4πδ ( ) 4π V 3 ( ) J( ) μ J dv 4π V Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 64

14 Rotoe del cmpo mgnetico ( ) Pe complete l dimostzione dimostimo ( ) dv che il pimo integle è nullo J 3 V Si ttt di te integli, uno pe ciscun componente Ad esempio l componente ( ) gisce su un funzione di ( ) ( ) J J Possimo fe gie su Utilizzimo l'identità (vedi dipositiv ) ( fa) f ( A) + A ( f ) f ( ) A J( ) 3 L'integle dell componente divent ( ) dv ( ) dv ( ) dv J 3 J J V V V In mgnetosttic J( ) Il pimo integle può essee tsfomto con il teoem dell divegenz J( ) dv ( ) ˆd 3 J 3 n V S Fcendo tendee l supeficie ll'infinito l'integle è nullo ( ) 3 3 Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 65

15 Mgnetosttic ed elettosttic Riepiloghimo le leggi fin qui tovte pe l'elettosttic e l mgnetosttic Elettosttic E ρ ε E E d S E d l Q ε Mgnetosttic S d μ J dl μ J d S F qe + qv Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 66

16 Unità di misu Le dimensioni e le unità di misu del cmpo di induzione mgnetic possono essee definite utilizzndo l foz di Loentz Assumimo E F qe + qv Nel sistem MKSA le dimensioni del cmpo sono N Cms L'unità di misu nel sistem MKSA è il Tesl, simbolo T Un cmpo mgnetico di un Tesl esecit l foz di 1 N su un cic di 1 C che si muove con un velocità di 1 m/s Il cmpo mgnetico teeste è dell'odine di 1 5 T È molto utilizzto un sottomultiplo impopio: il Guss G Impopio peché in eltà è l'unità di misu nel sistem CGS Le dimensioni sono divese Tuttvi, numeicmente, 1T 1 4 G Il cmpo mgnetico teeste è dell'odine di.1 G Notimo infine le dimensioni di ispetto quelle di E Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 67 1 v E N Am

17 Filo di ggio pecoso d coente Consideimo un filo pecoso d un coente I Non tscuimo il ggio del filo Supponimo che l coente si dovut d un densità di coente unifome sull sezione del filo I J d JS Jπ S Dt l simmeti del poblem le linee di cmpo sono delle ciconfeenze concentiche l filo Possimo utilizze l legge di Ampèe pe clcole il cmpo mgnetico All'esteno del filo > dl μ J d Uguglindo All'inteno del filo < S d l ( ) μ I ( ) μ ( ) I J d J π ( ) S ( ) J I J π > μ J Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 68 π μ I μ J ( ) μ I I I

18 Filo di ggio pecoso d coente Riepilogndo μ I ( ) > ( ) μ I < I Scivimo desso il cmpo in fom vettoile sin φ μ I μ I ˆ e > φ ( ) cos φ sin φ μ I μ I ˆ φ e < ( ) cosφ y φ Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 69

19 L spi "cosφ" Consideimo desso il cmpo geneto d due fili pecosi d coente L coente nei due fili cicol in senso opposto I I Consideimo desso i due fili pzilmente sovpposti Nell egione di sovpposizione l densità di coente è null Un egione vuot, senz mteile Le densità di coente che non si nnullno sono come in figu Tspotno un densità di coente unifome m con vesi opposti Hnno un fom tle che lo spessoe dell egione J vi come cosφ Consideimo un punto nell egione J Dimostimo che in quest egione il cmpo h solo l componente y Inolte il cmpo h modulo costnte Ricodimo che i cmpi dei due fili sono μ I sin φ ± y μ I cos φ Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 7

20 L spi "cosφ" μ I sin φ ± y Consideimo in dettglio l egione inten + 1 μ I sin φ μ I sin φ μ I sin φ sin φ sin φ sin φ 1 1 ( ) 1 1 Cmpo unifome dietto veso il bsso y 1 φ 1 d μ I d μ I cos φ φ + y 1y y μ I cosφ μ I cos φ y μ I cos cos cosφ cos φ d 1y 1 1 ( φ φ ) y Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 71

21 I dipoli di LHC I 56 mm Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 7

22 I dipoli di LHC Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 73

23 I dipoli di LHC Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 74

24 Opetoe pplicto due volte Le elzioni viste nell dipositiv contengono solo deivte pime Applicndo due volte l'opetoe si ottengono espessioni con deivte seconde Un "deivt pim" costuit con può essee Uno scle costuito con l divegenz A Si può clcole il gdiente ( A) Un vettoe costuito con un gdiente φ Si può clcole l divegenz (φ) φ Si può clcole il otoe (φ) Un vettoe costuito con un otoe A Si può clcole l divegenz ( A) Si può clcole il otoe ( A) ( A) A L'elenco esuisce tutte le possibilità Alcune espessioni le bbimo già incontte Nello studio dell'elettosttic Il gdiente dell divegenz è poco utile in fisic Le ultime due si possono fcilmente clcole in coodinte ctesine utilizzndo l definizione esplicit di A Con A si intende l'ppliczione di ogni componente di A A A y A z Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 75

25 Opetoe pplicto due volte Veifichimo l elzione ( A) Ricodimo le componenti di A z y z ( A) ( A) ( A) A y A z Clcolimo l divegenz A A z ( A) y z y y A z A A y z A A z Ay A + y z + z y A y A A z y y z A A z y + y z y A A + z z y ( A) Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 76

26 Il potenzile vettoe In elettosttic l'ossevzione che l cicuitzione di E e null h pemesso di intodue il potenzile elettosttico Ricodimo l popietà Assumimo che il cmpo elettico E bbi l fom φ Sottolineimo che φ è deteminto meno di un costnte L'equzione di cmpo è utomticmente soddisftt In mgnetosttic si può pocedee in modo nlogo Abbimo visto che il cmpo mgnetico soddisf l'equzione Quest equzione è soddisftt utomticmente ponendo E ( φ ) E ( φ ) Α Il cmpo A pende il nome di Potenzile Vettoe Il cmpo A non è univocmente definito (è definito meno di un gdiente) Tutti i cmpi A A + φ poducono lo stesso cmpo Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 77

27 Il potenzile vettoe Continuimo il pllelo f elettosttic e mgnetosttic In elettosttic, dopo vee posto E φ, l legge di Guss potv ll'equzione pe il potenzile φ E φ E L legge di Guss definisce il legme f il cmpo E e l su sogente (l cic elettic) Ripetimo gli stessi pssi nell mgnetosttic Espimimo tmite il potenzile vettoe Utilizzimo l legge di Ampèe in fom diffeenzile Sostituendo A ρ ε Nell dipositiv bbimo visto che Α μ J ( A) μ ( φ ) J ρ ε ( A) ( A) A ( ) φ ρ ε A A μ J Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 78

28 Il potenzile vettoe ( ) A A μ J Abbimo già notto che il potenzile vettoe A non è univocmente definito Si può somme un cmpo che è il gdiente di un cmpo scle, f(), e ottenee lo stesso cmpo Si può dimoste che è sempe possibile tove un funzione f() tle che ( A f ) + Possimo petnto utilizze l non univocità del potenzile vettoe pe impoe che A ed elimine il pimo temine dell'equzione Petnto l'equzione pe A divent Ribdimo il significto di quest notzione (in coodinte ctesine) L'opetoe lplcino viene pplicto indipendentemente ciscun delle te componenti di A A μ J Mtemticmente bbimo te equzioni di Poisson Conoscimo le soluzioni A k ( ) μ 4π J μ A J A μj y y k ( ) dv Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 79 ( ) A A z μ J 4π μ J z ( ) dv

29 Il potenzile vettoe ( ) A μ J 4π ( ) dv L'integle è esteso tutto lo spzio L condizione pe l su convegenz è che l densità di coente J tend zeo ll'infinito ( ) J L densità di coente deve tendee zeo più velocemente di 1/ Il potenzile vettoe isult meno utile del potenzile elettico È un gndezz vettoile (te componenti; il potenzile elettico solo un) Comunque in csi pticoli si può definie un potenzile mgnetico scle che h qulche utilità pe poblemi con mteili mgnetici Tuttvi il potenzile vettoe è di fondmentle impotnz Come stumento teoico nello sviluppo dell'elettodinmic Nell tttzione dei poblemi con foze elettomgnetiche in meccnic quntistic Pe un cicuito con un filo ( ) J d d d I C Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 8 μ π ( ) A I 4 C d

30 Teoem di Helmholtz Vle l pen sottolinee lcuni spetti mtemtici Abbimo tovto delle equzioni diffeenzili pe i cmpi E e In entmbi i csi le equzioni definiscono il otoe e l divegenz del cmpo È legittimo chiedesi se mtemticmente il poblem è ben posto Il teoem di Helmholtz ssicu che qunto sseimo è mtemticmente consistente Teoem di Helmholtz Si dto un cmpo vettoile F() tle che ) F ρ() b) F J() c) Le funzioni ρ() e J() si nnullno ll'infinito più velocemente di 1/ Sotto queste condizioni il cmpo F() è univocmente deteminto e h l fom F dove U U + A ( ) 1 4π ρ ( ) F + F i dv Elettomgnetismo Pof. Fncesco Rgus 81 sol Componente solenoidle Componente iotzionle ( ) A 1 J 4π ( ) F sol F dv i