NUMERI FUZZY (a cura di Marco Buttolo (2006))

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1 NUMERI FUZZY ( cu di Mco Buttoo (2006)) definizione: Un numeo fuzzy un insieme fuzzy nome e convesso. Un insieme fuzzy è nome se su funzione di pptenenz possiede voi che pe foz di cose sono compesi t 0 e. Un insieme fuzzy è simmetico se su funzione di pptenenz è simmetic. In temini mtemtici si può tnquimente scivee: ( c + ) ( c ) dove c è i voe intemedio de suppoto de funzione di pptenenz. Essendo un numeo fuzzy nome e convesso si h che vgono e seguenti condizioni:. 0 : ( 0) 2. è continu Vedimo o di definie i numei fuzzy più utiizzti in cmpo industie: i numei fuzzy di tipo tpezoide e di tipo tingoe. 2 I numei tingoi e tpezoidi: I numeo fuzzy tpezoide è un insieme fuzzy ctteizzto d un funzione di pptenenz definit in temini igoosi ne seguente modo:

2 timenti 0 ) ( β β β Quindi i numei tpezoidi vengono ppesentti d un 4-p de tipo: A ( β ) dove e sono ispettivmente i imite mggioe e minoe de numeo fuzzy consideto mente e β sono gi eementi che hnno i mggio gdo di pptenenz. Gficmente si h: () β I numeo fuzzy tingoe è un insieme fuzzy ctteizzto d un funzione di pptenenz definit in temini igoosi in quest mnie:

3 ( ) m m 0 m m timenti Quindi i numei tingoi sono ctteizzti d un 3-p de tipo: A ( m ) dove e sono ispettivmente i imite minoe e mggioe de numeo fuzzy consideto mente m è eemento che h i mggio gdo di pptenenz. Quindi gficmente si h: () m Si noti che m è i voe di mezzo ne suppoto de funzione di pptenenz. Questo voe dee è i voe intemedio di simmeti pecedentemente indicto con c. Vedimo o di descivee i motivo pe cui queste due funzioni di pptenenz sono t e più utiizzte. Innnzitutto i numeo tpezoide può essee utiizzto pe ppesente ffemzioni

4 come: i gudgno ne possimo nno và un voe ppossimto d 0% 2%. Pe esempio si potebbe voe ppesente seguente ffemzione: I voe mssimo de funzione di pptenenz di in futuo vieà d 60% 80%. Si potebbe ppesente gficmente pecedente ffemzione in questo modo: () β In questo cso specifico si ottiene i seguente ssegnmento: β dove i voi t 0.6 e 0.8 hnno gdo di pptenenz compet mente quei ispettivmente di sotto de 0.6 e di sop de 0.8 vnno un gdo di pptenenz pzie. Se pecedente funzione di pptenenz descivesse tossicità di un eemento chimico o si diebbe che

5 tossicità mssim si vebbe t un dto voe e un dto voe β. I numeo tingoe invece si può utiizze pe descivee i concetto di vicino. I numei fuzzy tingoi ppesentno un cso pticoe dei numei fuzzy tpezoidi. Anizzimo bevemente stuttu de funzione tpezoide e tingoe. L funzione tpezoide è compost d un ttto vente coefficiente ngoe positivo (fse di sit inizie) un ttto con pendenz nu (i ttto dove funzione stess ssume i suo voe mssimo) ed un ttto fine con pendenz negtiv. I ttti con pendenz positiv e negtiv sono sostnzimente dei tingoi ettngoi mente i ttto con pendenz nu può essee visto come un ettngoo. Gficmente si h: Sit stzionietà disces I tingoo ineente ttto di sit viene chimto tingoo sinisto ed è dtto descivee un concetto gnde. Pe esempio se te funzione di pptenenz venisse utiizzt pe ppesente i concetto di tossicità si potebbe ffeme che i tingoo sinisto è dtto descivee i concetto di umento de gdo di tossicità in qunto i voi funzioni in questo ttto sono cescenti ( funzione è monoton cescente). Quindi in quest fse tossicità tende divente gnde. Viceves si h ne cso de tingoo con pendenz negtiv chimto pe comodità tingoo desto. In questo cso i gdo di tossicità tende diminuie in qunto funzione è monoton decescente in questo ttto. Quindi quest utimo tingoo è dtto descivee un concetto bsso o megio un concetto che tende d bbsssi di voe. Anogmente si h pe funzione di pptenenz di tipo tingoe. L unic diffeenz è che in quest utimo cso non è pesente un intevo di stzionietà bensì un singoo punto di stzionietà (un punto dove deivt pim de funzione di pptenenz è nu (condizione di stzionietà). Rissumendo ne cso de funzione di tipo tpezoide icodndosi come quest utim può essee utiizzt i ttto inizie (tingoo sinisto) coisponde ffeme che un cet misu fuzzy può cmbie ne tempo i popio gdo di pptenenz in mnie positiv ovveo quest utimo può umente di un ceto voe in pecentue. Ne ttto stzionio i gdo di pptenenz imà stbie ossi i gdo di tossicità pe deteminti voi compesi in un deteminto intevo cisp imà inteto. Infine ne ttto in disces misu fuzzy può cmbie ne tempo i popio gdo di pptenenz in mnie negtiv ossi quest utimo può diminuie di un ceto voe pecentue. Ne cso che funzione di pptenenz è tingoe invece e cose cmbino eggemente. Innnzitutto cmbi i tipo di concetto che quest funzione vuoe ppesente. In questo cso ne ttto con pendenz positiv si h un vvicinmento de gdo di tossicità de eemento suo voe mssimo oppue

6 d un deteminto voe intemedio. Ne ttto con pendenz negtiv invece i gdo di tossicità tendeà d vvicinsi voe minimo oppue nche in questo cso d un deteminto voe intemedio. Quindi se pe esempio consideimo i cso de funzione di pptenenz de csse fuzzy MOLTO BASSO e se te funzione di pptenenz è di tipo tpezoide possimo descivee situzione in questo modo: f () Supponimo che ppesenti quntità di sostnz veenos pesente in un composto e che te si unico ingesso de sistem su que è possibie vute quindi tossicità di un dto eemento chimico ( uscit deo stesso). Pe piccoi voi dee i gdo di tossicità de eemento chimico tende sie fino qundo non ggiunge i ttto stzionio in cui ssume i mssimo gdo di tossicità. In coispondenz di que ttto eemento chimico possiede i più to gdo di tossicità pe csse MOLTO-BASSO. Pe esempio se ve cic o in uscit si và i mggio gdo di tossicità pe csse MOLTO-BASSO. Mn mno che i voe di ument i gdo di pptenenz csse MOLTO-BASSO tende diminuie in qunto pe voi cescenti di uscit tende tnsite d csse MOLTO-BASSO csse BASSO. Inftti umente de diminuisce i gdo di pptenenz specific csse fuzzy (più umento e meno MOLTO-BASSA è tossicità de eemento chimico). In sostnz umentndo i voe dee si tnsit d un csse t. Considendo intesezione t e funzioni di pptenenz umentndo diminuisce i gdo di pptenenz csse MOLTO-BASSO m contemponemente supet un cet sogi ument pptenenz csse BASSO. Anogo discoso ve pe funzione di pptenenz di tipo tingoe con sostnzie diffeenz che quest utim non possiede i ttto di stzionietà. Si noti infine che tutte e funzioni di pptenenz utiizzte in quest tesi sono simmetiche e petnto pendenz de ttto di sit è

7 ugue pendenz de ttto di disces. Questo ftto ppesent un comodità. E possibie peò endee e funzioni di pptenenz non simmetiche e quindi endee più ipid i ttto di sit (tingoo sinisto) ispetto ttto di disces (tingoo desto) oppue viceves. Quest utim scet dipende d pticoe dominio ppictivo. Pe esempio si potebbe fe in modo di endee meno ipido i tingoo sinisto in modo che umento de gdo di pptenenz di un dto cisp detemint csse fuzzy isuti essee più ento umente costnte de vibie indipendente (che usumente chimimo ). Contemponemente si potebbe endee più ipido i tingoo desto in modo che supet un cet sogi i gdo di pptenenz que detemint csse fuzzy diminuisc vetiginosmente. Gficmente si h: f () Le stesse considezioni possono essee svote su funzione di pptenenz di tipo tpezoide. Si icodi comunque che queste considezioni dipendono stettmente d tipo di ppiczione e che non esiste un pecis ego mtemtic oppue empiic che dic come stuttue geometicmente un funzione di pptenenz. Di soito si tende d utiizze funzioni di pptenenz simmetiche. Infine ve pen cite un tezo tipo di numeo fuzzy bbstnz utiizzto in genee. I numeo fuzzy in questione è i numeo fuzzy di tipo gussino. Esso viene definito fommente in questo modo:

8 > < g g 0 ) ( ) ( 0 ) ( Invece gficmente si h seguente funzione: BIBLIOGRAFIA: [] Mssimiino Veonesi Antonio Visioi: Logic fuzzy: teoi e ppiczioni 998; [2] Betice Lzzeini: Intoduzione gi insiemi fuzzy e ogic fuzzy Pis (scicbie d web in fomto PDF).