13. Richiami di analisi vettoriale

Transcript

1 13. Rchm d nls vettole Rchm d nls vettole Scl, vetto, tenso Le gndee che entno n goco ne enomen sc possono essee ppesentte tmte unon del tempo, t e delle coodnte d un geneco punto (, ) vlutte spetto un sstem d coodnte spl ctesne otogonl. Tl unon possono essee suddvse n 1 : cmp scl; cmp vettol; cmp tensol. cmp scl nno cospondee un numeo ele un punto dello spo e un stnte t e sono del tpo (, t), (13-1) cmp vettol possono geometcmente essee espess tmte l denone d un deone, d un veso d pplcone e d un modulo. Ess s compongono d te cmp scl ognuno de qul costtusce un componente del vettoe ovveo, t, t, t (13-) ( ) ( ) ( ) vendo ndcto con î l vesoe pllelo ll sse, con ĵ l vesoe pllelo ll sse e con l vesoe pllelo ll sse. 1 chm che seguono cetmente non possono tenes esustv. Ess hnno l solo oettvo d one un utle gud m sopttutto d ndce llo studente le conoscene d se dell nls vettole cheste nello studo del testo. S cod che l vesoe è un ptcole vettoe d modulo unto.

2 348 Dspense d dulc cmp tensol, un punto dello spo e un stnte t, nno cospondee nove nume el denomnt component del tensoe, ognt n un mtce 3 3, ovveo pe tensoe s ntende (13-3) 13.. Opeon t vetto L somm t due vetto e, che può essee eettut nche geometcmente tmte l egol del pllelogmm, è p (13-4) ( ) ( ) ( ) Solo nel cso n cu vetto e pesentno l stess deone s h ± (13-5) con l segno pù se concod, meno se oppost. Un vettoe può essee moltplcto pe uno scle α ottenendo α α, t, t, t ( ) ( ) ( ) (13-6) Tle opeone pemette d ottenee un vettoe vente l stess deone del vettoe con un veso ugule o opposto quello d se α è mggoe o mnoe d eo. Chmente l modulo d α sà p α α α α (13-7) ( ) ( ) ( ) l podotto scle è nvece un opeone dent t due vetto e e onsce un sultto p uno scle ovveo cos β (13-8) vendo ndcto con β l ngolo omto dlle deon de due vetto. Se due vetto sono otogonl l podotto scle è nullo. Se â è un vesoe l (13-8) dvent cos β (13-9)

3 Rchm d nls vettole 349 dove ndc l poeone del vettoe sull deone oentt del vesoe. E possle dene l podotto vettole come un opeone t due vetto e che onsce come sultto un vettoe ndcto come senβ n (13-10) vendo ndcto con β l ngolo omto dlle deon de due vetto e con n l vesoe otogonle l pno ndvduto t due vetto. l veso d n s ottene tmte l cosddett egol dell mno dest, ovveo puntndocon l mno dest l pollce nell deone del pmo vettoe, l ndce n quell del secondo e l dto medo onsce l deone del podotto vettoe. E cle vece che l modulo del podotto vettole è l e del pllelogmm ndvduto d due vetto. l podotto vettole può nche essee vlutto come ovveo ( ) ( ) ( ) (13-11) (13-1) Dto un vettoe pplcto nel punto P e ssegnto un punto O, denomnto polo, s densce momento M d spetto l polo O l vettoe M (13-13) vendo ndcto con l vettoe che unsce l polo O col punto P. Vle l pen code nche l teoem d Vgnon pe l qule l momento dell sultnte d un sstem d oe, spetto d un polo P è ugule ll somm de moment delle oe clcolt sempe spetto llo stesso polo P. Un lt opeone t vetto è l podotto tensole che h come sultto un tensoe p (13-14) l cosddetto podotto scle t un vettoe e un tensoe, h come sultto l vettoe

4 350 Dspense d dulc ( ) ( ) ( ) (13-15) L somm t due tenso è dent come (13-16) l podotto t uno scle e un tensoe è nvece α α α α α α α (13-17) α α α Opeto deenl Con emento cmp vettol e tensol sop ntodott, è possle dene degl opeto deenl l cu utlo semplc e comptt notevolmente l scttu delle equon. Pe descvee tl opeto deenl è necesso ntodue l opetoe vettole smolco Nl ndcto con p (13-18) L opetoe Nl pemette d scvee l gdente d un cmpo scle come 1 e l dvegen d un vettoe come (13-19) 1 l gdente d un cmpo scle è un vettoe che punt nell deone d mggoe vone dell gnde. Cò vvene pochè n ogn punto d un supece equpotenle (costnte), l gdente è sempe pependcole ll supece stess.

5 Rchm d nls vettole 351 dv (13-0) Chmente (13-1) Ptcolmente utle è l scttu (13-) che ppesent chmente un vettoe. l otoe d un vettoe dento come ot (13-3) oppue ot (13-4) s può scvee tmte l opetoe nl come ot (13-5) l podotto msto t l opetoe Nl e un tensoe (dvegen del tensoe) è p (13-6) e qund ( ) ( ) ) ( (13-7)

6 Dspense d dulc 35 come è cle vece dll denone d podotto tensole. l podotto scle dell opetoe pe se stesso è p (13-8) ed è denomnto opetoe lplcno; l lplcno dell unone scle s può qund scvee come (13-9) E cle note che gd (13-30) Un lt popetà è nolte che ( ) (13-31) ovveo ( ) ( ) (13-3) Cenn d geomet delle ee ssegnto n un pno, un e d om genec e un genec ett nch ess pptenente l pno, s densce momento sttco M dell e spetto ll ett, l ntegle esteso ll e de podott delle ee nntesme d pe le eltve dstne dll ett ovveo d M (13-33) L dstn del cento G dell e dll ett è p

7 Rchm d nls vettole 353 G d Pe momento d ne d spetto ll ett s ntende nvece d (13-34) (13-35) l teoem d Hugens-Stene pemette d cve l elone t l momento d ne e quello centle 0 eltvo un ett pssnte pe l cento G e pllel ll ett, e coè (13-36) 0 G S densce nne l momento d ne centugo C d spetto ll ett e un lt ett s nch ess pptenente l pno dell supece, l temne C d (13-37) essendo l dstn dell genec e nntesm d dll ett s. Se l supece pesent un sse d smmet, l momento centugo d spetto ll sse d smmet e un ett esso otogonle, è nullo. l momento d necentle 0 d un ettngolo d se e lte h spetto ll sse pssnte pe l cento e pllelo llse, è p 3 h 0 (13-38) 1 l momento d necentle 0 d un cecho d ggo R spetto un sse pssnte pe l cento, è p 0 4 πr (13-39) 4