168. Catene di cerchi all interno di lunule e lenti Giovanni Lucca

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1 68. Ctene d cech ll nteno d lunule e lent Govnn Lucc vnn_lucc@nwnd.t Sunto Studmo le ctene nfnte d cech che possono foms ll nteno delle egon sultnt dll ntesezone d due cech. Astct We stud the nfnte chns of mutull tngent ccles tht cn e fomed nsde the egons esultng fom the ntesecton of two ccles.. Intoduzone S possono dsegne dffeent tp d ctene, fnte o nfnte, composte d cech mutumente tngent, n elzone ll ecpoc poszone d due cech pncpl e. Le pù note sono le ctene d Stene [] che possono essee tccte ll nteno dell egone nule t due cech e, uno ll nteno dell lto, non ntesects e non cossl; sono note nche le ctene d Pppo [] che possono foms ll nteno dell egone t due cech tngent ntenmente. Infne, può consdes l cso n cu e sono tngent estenmente oppue uno de due cech degene n un ett [3]. Qu voglmo stude l cso n cu e sono ntesecnt fomndo così le te egon mostte n Fg.: lunul lente lunul Fg.: Regon fomte dll ntesezone d due cech L egone comune d entm cech è chmt lente Le due egon estene, pptenent d un cecho soltnto, sono chmte lunule. Voglmo stude le ctene nfnte d cech, mutumente tngent, che possono foms ll nteno d un lente e d un lunul.(s vedno le Fg. e ).

2 Fg. : Cten d cech ll nteno d un lente Fg. : Cten d cech ll nteno d un lunul. In ptcole, detemneemo le fomule eltve lle coodnte del cento e del ggo del geneco cecho -esmo dell cten; nolte poveemo nche lcune popetà eltve lle ctene stesse.

3 3. Luogo ssocto cent de cech Consdemo un sstem d femento ctesno dove due punt A nd B, poszont sull sse delle e sept dll dstnz, hnno spettvmente coodnte (-/, ) e (/, ). Sno A nd B cent de due cech e vent spettvmente ggo e. Affnché esst l ntesezone t e deve vlee l seguente elzone: () Povmo o le seguent popetà: Il cento d ogn cecho ll nteno d un lente e tngente s d che gce su un peole vente fuoch n A e B ed equzone: () Il cento d ogn cecho ll nteno d un lunul e tngente s d che gce su un ellsse vente fuoch n A e B ed equzone: (3) Alfne d dmoste l pte ) dell popetà, fccmo femento Fg.3. Fg.3: Cecho tngente ll nteno d un lente.

4 Il vetce P del tngolo APB, vente coodnte (, ), è l cento d un geneco cecho tngente s d (n J) che (n S) mente PJ=PS=() ne è l ggo. Amo che: AP=-() BP=-() AB= Espmendo l e del tngolo APB n due dffeent mod, coè ttveso l sempodotto dell se con l ltezz PH= e pe mezzo del teoem d Eone, possmo scvee: d cu s cv: ll (5), ottenmo: () (6) Inolte, gudndo tngol APH e BPH n Fg.3, possmo scvee: Eguglndo le equzon sop, ottenmo: e, sosttuendo l (6) nell (7), mo: (7) (8) Infne elevndo l qudto entm mem dell (8) s ottene l equzone (). E mmedto vefce, dll equzone (), che le coodnte de fuoch sono concdent con quelle de punt A e B. Pe qunto gud l punto ), fccmo femento ll Fg.3. (5)

5 Fg.3: Cecho tngente ll nteno d un lunul. L dmostzone è completmente smle quell eltv l punto ) con l unc dffeenz che, n questo cso, AP=+(). Vlgono le seguent elzon: (9) () e qund, elevndo l qudto entm mem d (), s ottene l equzone (3). E mmedto vefce, dll equzone (3), che le coodnte de fuoch sono concdent con quelle de punt A e B. Infne, poché tl popetà sono vlde pe ogn geneco cecho tngente s d che ll nteno d un lente o d un lunul, ne concludmo che le popetà vlgono pe tutt cech d un cten. 5

6 6 3. Coodnte de cent e gg de cech dell cten Lo scopo d questo pgfo è detemne espesson nltche pe le coodnte del cento e ggo del geneco cecho -esmo d un cten s nel cso dell lente che nel cso dell lunul. Un metodo convenente è quello d use l tecnc dell nvesone ccole []. efnmo dppm punt C nd ndvdut dll ntesezone de cech e ; le loo coodnte sono dte d: C,, Se consdemo come cecho d nvesone γ quello vente cento n e ggo ugule ll lunghezz del segmento C coè: () mo che due cech e sono tsfomt spettvmente ette e. S ved l Fg α β γ ψ α' β' A B C Fg.: Invesone ccole de cech e. Convene o code un popetà genele d ogn nvesone ccole: l tngenz t cech e cech e t cech e ette, è mntenut nche seguto dell opezone d nvesone. Petnto, le ctene d cech mostte nelle Fg. sono tsfomte nelle ctene ll nteno dell egone compes t le ette nd. S ved l Fg.5 pe l lente e l Fg.5 pe l lunul.

7 Fg.5: Invesone (lnee ttteggte) d un cten d cech ll nteno d un lente. 6 Fg.5: Invesone (lnee ttteggte) d un cten d cech ll nteno d un lunul. 7

8 Così, pe mezzo dell nvesone ccole, mo d solvee un polem pù semplce che consste nello stude un cten d cech tngent lle ette e nvece che cech e. Petnto, detemneemo dppm le coodnte de cent (, ) ed gg de cech mmgne; ess venno qund tsfomt, n se lle fomule d nvesone ccole [], pe tove le elzon che stmo cecndo. Tuttv pe detemne (, ) ed, è convenente utlzze un lto sstem ctesno XY vente ogne nel punto C e sse X concdente con l ett. In questo sstem d femento, le mmgn, secondo opezone d nvesone, sono mostte n Fg.6. Fg.6: Cten d cech nel sstem ctesno XY. E fcle vedee che esstono semplc elzon t le coodnte de cent (X, Y ) e ggo del geneco cecho -esmo con quelle d un to cecho nzle ndvduto mednte l ndce coè: X Y sn sn X X,,, sn Y Y,,, sn () () sn sn,,, (3) 8

9 9 tn X Y () essendo l ngolo t le ette e. Pe l seguto è necesso conoscee le espesson delle ette e e del cecho γ; n ptcole, s può note che l ett è l sse dcle de cech e γ mente l ett è l sse dcle de cech e γ spettvmente. L equzone del cecho γ è: (5) mente le equzon d e sono spettvmente: 3 (6) 3 (7) O, detemneemo dppm le espesson delle coodnte de cent e de gg delle mmgn nvesve e qund le tsfomeemo, n ccodo con le fomule pe l nvesone ccole [], pe tove le elzon che stmo cecndo. Pe gon d evtà e d spzo, pesentmo solo pssgg ed sultt fondmentl. Come pecedentemente, suddvdmo sultt dstnguendo l cso dell lente d quello dell lunul. A. Fomule pe l lente Ptendo dlle fomule (6) e (7), è possle detemne tn() e qund possmo dedue: tn (8) sn sn (9) Sempe ptendo dlle fomule (6) e (7) è possle ottenee le espesson de cosen detto delle ette e ; nftt, pe mezzo d tl espesson, possmo scvee le fomule d oto-tslzone tte tsfome le coodnte de cent () e () dl sstem d femento uslo XY l sstem d femento pncple. Così, le coodnte de cent delle mmgn nvesve sono: () ()

10 Tenendo conto dell (3) e dell (9), l ggo è dto d: () Infne, nvetendo le (), () e (), s ottene: (3) () (5) B. Fomule pe l lunul In questo cso, c s deve code che le mmgn nvesve non sono contenute nell e pptenente ll ngolo m n quell pptenente ll ngolo supplemente. (S confontno le Fg.5 e 5); petnto, mo: tn (6) sn sn (7) (8) (9)

11 (3) Infne, nvetendo le (8), (9) e (3), s ottene: (3) (3) (33) Le fomule (3), (), (5) e (3), (3), (33) sono espesse n funzone del ggo dell mmgne nvesv del pmo cecho dell cten; n Appendce s può tove l fomul che mette n elzone ed.. Luogo de punt d tngenz In questo pgfo, mostmo un lt popetà eltv punt d tngenz t cech delle ctene. Tutt punt d tngenz t due cech consecutv d un cten, pptengono d un medesmo cecho vente ggo R t e coodnte del cento ( t, t ) le cu espesson, nel cso dell lente, sono dte d: R t (3),, t t (35) Nel cso dell lunul, esse sono dte d: R t (36),, t t (37) S vedno le Fg. 7 e 7.

12 Fg.7: Luogo de punt d tngenz; cten d cech ll nteno d un lente Fg.7: Luogo de punt d tngenz; cten d cech ll nteno d un lunul.

13 3 Al fne d pove l (3) e l (35), è convenente code che l nvesone ccole consev l tngenz t dffeent cuve dopo l tsfomzone. Gudndo Fg.6, vedmo che tutt punt d tngenz pptengono ll settce dell ngolo. Tle settce h equzone: (38) L nvesone ccole d tle settce (spetto l cecho γ) è l cecho che stmo cecndo vente equzone: (39) d cu s cvno l (3) e l (35). In mne nlog possono essee povte le fomule eltve ll lunul, coè l (36) e l (37). In questo cso, s deve consdee l ngolo supplemente d vente settce dt d: () L su mmgne secondo nvesone ccole (spetto l cecho γ) è l cecho vente equzone: () d cu s cvno l (36) e l (37). 5. Concluson Amo studto le ctene nfnte d cech che possono foms ll nteno delle dffeent e dul egon genete dll ntesezone d due cech; coè lent e lunule. Tle dultà s flette nelle fomule e nelle popetà geometche cttezznt le ctene. Appendce Il pmo cecho dell cten ndvduto mednte l ndce h odnt del cento che può essee scelt tmente puché s soddsftt l seguente condzone: (A) L cospondente scss del cento =( ) può essee clcolt pe mezzo dell fomul (8) o pe mezzo dell () spettvmente nel cso dell lente e dell lunul. Il ggo =( ) è clcolto pe mezzo dell (6) o dell (9) spettvmente nel cso dell lente o dell lunul. Un volt detemnto, l ggo dell mmgne nvesv del pmo cecho (che ppe nelle fomule (3), (),(5) e (3), (3), (33)) è dto d: (A)

14 Blogf Wessten, Ec W. "Stene Chn." Fom MthWold, A Wolfm We Resouce. vn Lmoen, Floo nd Wessten, Ec W. "Pppus Chn." Fom MthWold, A Wolfm We Resouce. H. Th. On the pont of contct n nfnte chns, Gzette of the Austln Mthemtcl Socet, vol. 33 n. 6, p Wessten, Ec W. "Inveson." Fom MthWold, A Wolfm We Resouce.