Unità Didattica N 5 Il riferimento cartesiano

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1 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 1 Untà Ddttc N 5 Il femento ctesno 01) Coodnt scss 0) Coodnte ctesne nel pno 03) Ve spece d sstem d femento 04) Rppesentzone ctesn d un vettoe 05) Le coodnte del punto medo d un segmento 06) Le coodnte del bcento d un tngolo 07) L dstnz t due punt 08) L dvsone d un segmento secondo un dto ppoto 09) Coodnte pol

2 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno Coodnt scss S fss sop l ett oentt d vesoe l punto. Consdeto un qulss punto P dell ett, est unvocmente defnto l vettoe P - e qund l numeo ele eltvo : P pende l nome d scss del punto P, s chm ogne delle scsse o semplcemente ogne, l ett oentt sse delle scsse. E evdente che not l scss s può cve l poszone del punto P e vceves, qund v è cospondenz bunvoc f nume el eltv ed punt d un ett sull qule bbmo scelto un ogne ed un vesoe. D tutto cò s deduce che ogn punto d un ett oentt d dto vesoe può ppesente un numeo ele eltvo e vceves ogn numeo ele eltvo h come mmgne geometc un punto d un ett oentt sull qule bbmo fssto un ogne ed un vesoe. Pe motv sop espost è lecto use l pol punto l posto dell pol numeo e vceves. S dce pue che P è l mmgne geometc del numeo ele eltvo. P Coodnte ctesne nel pno S fssno nel pno ( d vesoe ), ( d vesoe ) uscent d uno stesso punto. Consdeto nel pno un qulss punto P s tccno pe esso le ette pllele ll sse ed ll sse. E vld l seguente elzone vettole : ) ( ) ( ) P P + P + 1 nume el eltv ed s dcono le coodnte ctesne del punto P. S scve ( P, punto P. e s legge << P d coodnte ed >>. è dett scss ed odnt del ) Spesso s dce bevemente punto (, n luogo d punto d scss ed odnt.

3 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 3 L ett oentt ( d vesoe ) è dett sse delle scsse o sse delle, mente l ett oentt ( d vesoe ) è dett sse delle odnte o sse delle. Le due ette ed costtuscono un copp d ss coodnt ctesn otogonl oppue oblqu second che esse sono otogonl oppue no. Il punto è detto ogne degl ss. D tutto cò s deduce che c è un cospondenz bunvoc f coppe odnte d nume el eltv e punt del pno e vceves. Inftt d un ben detemnt poszone del punto P s deducono n mne unvoc le sue coodnte ctesne (, ). Vceves, ssegnt l copp odnt (, ), estno unvocmente ndvdut su e punt P 1 e P, e conseguentemente P, come quto vetce del pllelogmm costuto su P 1 e P. I due ss ed dvdono l pno ctesno n qutto egon ngol ( dette qudnt ) n cscun delle qul punt hnno coodnte d segno detemnto: PP è l pmo qudnte PB è l secondo qudnte, BC 1 quto qudnte. o è l tezo qudnte, CP è l 1 Le ette, e le due bsettc degl ss ctesn dvdono l pno n otto egon ngol dette ottnt. P1 P P P II I III IV P 1

4 4 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno Ve spece d sstem d fement Sstem d femento geneco : 90 Sstem d femento nomle : 90 Sstem d femento otogonle : 90 Sstem d femento otonomle : 90

5 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 5 Rppesentzone ctesn d un vettoe S B A un mmgne geometc del vettoe lbeo. Possmo scvee : B A ( H A) ( B H) + coè : + I nume el eltv, s dcono le component ctesne ( o le coodnte ctesne ) del vettoe secondo le dezon oentte d veso e ( del femento ctesno) 0 //, 0 // Le component ed possono consdes n luogo del vettoe che ppesentno. Con uno de seguent smbol : (, ), (, ), [, ],, ntendeemo l vettoe d component ( coodnte ) ctesne, qundo l bse del pno vettoe eucldeo è l copp odnt d veso (, ). B A 1 A B H A B A B H B A H A 1 B 1

6 6 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno TEREMA << b, b sono C.N.S. peché sultno ugul vetto + b b + b >> Dmostzone dell necesstà Hp { (, ) b ( b, b ) Th { b, I vetto e b, essendo ugul, sono ppesentt d segment oentt equpollent e B D. Il qudlteo ABCD è un pllelogmm. Rsult. H C, A H, K D b, B K AC BD b pe Hp AC H B D H pechè ngol AHC BKD vent lt pllel ed equves AHC BHK 90 CH DK H - C K - D b b AH BK A - H B - K b b Dmostzone dell suffcenz b CH AH I segment oentt H-C, A-H, K-D e B-K sno spettvmente le mmgn geometche de vetto,, b e b. H-C K-D CDHK pllelogmm { CD HK, CD // HK A-H B-K ABKH pllelogmm { AB HK, AB // HK e qund { AB CD, AB // CD } ABCD pllelogmm B-D A-C b A C D H b b B b K b DK BK A C

7 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 7 Consdemo vetto +, b b + b, c c + c ed l numeo m R. b m b m b m b + b m( + ), b + b m + m b m, b m b b, b b + b - ( + ), b + b b m, b m c + b c +, c + b b c + c + + b + b, c + c ( + b ) + ( + b ) c + b c + b Le coodnte del punto medo d un segmento (, ) (, ) e ( ) S M M M l punto medo del segmento d estem P1 1 1 P,. M P P M ( ) ( ) ( ) ( ) M 1 M 1 M M M 1 M 1 M M M + +, M 1 1 P M M 1 P 1 1 M

8 8 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno Le coodnte del bcento d un tngolo S ( G G, ) l bcento del tngolo d vetc P (, ), P (, ), P (, ). G Rsult : M , Dll geomet euclde sppmo che : PG GM 1 1 Rsult petnto vld l seguente elzone vettole : P G ( G M ) G G G G G G 3 1 G G 3 G , G P 1 G M M 3 P Coodnte del bcento d un tngolo P 3 M 1 d cu conoscmo le coodnte de suo vetc

9 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 9 L dstnz t due punt L dstnz t punt A( 1, 1 ) e B(, ) s clcol pplcndo l seguente fomul : ( ) ( ) d( A, B) AB B AH BH A - 1 H Dmostzone Bst pplce l teoem d Ptgo l tngolo ettngolo AHB. ( ) ( ) d( A. B) AH + HB A(-1,), B(-5,3) d( A, B) ( 5+ 1) + ( 3 ) ssevzone Se punt A e B hnno l stess odnt ( 1 ) llo l segmento AB è pllelo ll sse delle scsse. In questo cso bbmo : d( A, B) 1 Possmo nche de che : d( A, B) scss mggoe - scss mnoe 1 A B 1

10 10 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno Se punt A e B hnno l stess scss ( odnte. ) llo l segmento AB è pllelo ll sse delle 1 B In questo cso bbmo : 1 A d( A, B) 1 1 Possmo nche de che : d( A, B) odnt mggoe - odnt mnoe L dvsone d un segmento secondo un dto ppoto Dvdee l segmento PP 1 secondo un dto ppoto k ett PP pe l qule s vefc l elzone : QP1 1 Supponmo che s : P( ) QP RISLUZINE CARTESIANA,, P, m sgnfc tove un punto Q dell n m k con k, m, n R + n (, ) QXY (, ). Il punto Q( X Y) 1 1 1,,nteno l segmento PP, è defnto dll seguente elzone vettole : Q1 P1 k P Q1 d cu s deduce X + Y k X + k Y 1 ( ) ( ) che : ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) X1 1 k X Y1 Y1 k Y1 ) X Y1 1 + k 1 + k + k 1 + k n + m m + n 1 1 n + m m + n 1 1 Se k 1 Q è l punto medo del segmento PP e le [1] espmono le coodnte del punto medo d tle segmento. ( Il punto Q X, Y, eteno l segmento PP, è defnto dll seguente elzone vettole : 1 1 ( Q P) k ( Q P) 1 X + Y k X + k Y ) d cu s deduce che : ( ) ( ) ( ) ( [1]

11 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 11 ( ) ( ) X 1 k X Y1 1 k Y X Y k 1 k k 1 k n n n n m m 1 1 m m 1 1 (, ) P (, ) P (, Y) Q X (, ) Q X Y Q 1 P 1 Q P o RISLUZINE SINTETICA S tccno due qulss ette f loo pllele, un pssnte pe P 1 e l lt pe P. Sull pm consdemo segment PH 1 e PR 1 vent come msu l numeo m e sull second l segmento PK vente come msu l numeo n. Q1 KR I P 1 P Q HK I P1P Q 1 e Q sono punt chest. Inftt : RP Q [] s Q P K QP 1 1: QP 1 PR 1 : PK coè : PHQ QP 1 1 QP 1 m k n [] s PKQ QP: QP PH: PK coè : 1 1 QP 1 QP m k n H K n Q m Q 1 P P 1 m R

12 1 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno Coodnte pol Un lto modo d stble un cospondenz bunvoc t punt P del pno eucldeo e le coppe odnte d nume el è quello d ntodue un sstem d coodnte pol. Fssmo nel pno eucldeo un punto detto Polo, un semett oentt p d ogne dett sse pole,l veso ntoo come veso postvo delle otzon,e l untà d msu U pe segment. Fssto n tl modo l femento, un qulss punto P del pno detemn seguent due nume : ρ P U 0 e pp defnto meno d multpl d π ed ndetemnto solo se P con : 0 < π [1] Il numeo postvo ρ è detto ggo vettoe o ggo pole o modulo del punto P ( che v t zeo e π ) è detto noml o gomento o ngolo pole d P. S vene così d ssoce d ogn punto P del pno un copp d nume el ρ e ( con ρ 0 e 0 < π ) qul pendono l nome d coodnte pol del punto P ( spetto l polo ed ll sse pole p ). Vceves, dt un qulunque copp odnt d nume ρ > 0 e ( con 0 < π ), sult ndvduto uno ed un sol punto P, come ntesezone dell cconfeenz d cento e ggo ρ con l semett uscente dl punto e tle che s l ngolo d cu deve uote n senso ntoo l ett oentt p fno ll su sovpposzone sull ett oentt P. Inftt de ρ > 0 sgnfc de che l punto P cecto dst ρ dl cento coè s tov sull cconfeenz d cento e ggo ρ ; de sgnfc de che P s tov sull semett uscente dl polo e fomnte con l sse pole l ngolo. In tl gus, vene stbls un cospondenz bunvoc ( con l sol eccezone del polo ) t punt P del pno e le coppe odnte ( ρ,) d nume el. Pe vee tutt punt del pno 1 bst fe ve l ggo vettoe ρ d zeo multpl d π ) l noml d zeo ncluso π escluso. + e ( meno d 1 Con l unc esclusone del punto, polo del femento pole

13 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno 13 ssevzone N 1 nde evte l ntoduzone d ngol concv ( coè > π ) s pefesce ( secondo sc Chsn ) ttbue l vloe che ppe pù ntule, quello coè n vloe ssoluto d π e col segno necesso. Petnto le [1] dventno : ρ > 0, π < π [] ed punt P( ρ,315 ) e P 1 ( ρ, 45 ) concdono, coè ppesentno lo stesso punto. <0 sgnfc che l otzone vvene n senso oo ρ P noml ρ ggo vettoe ρ > 0 0 < π sse pole P( ρ,) p o P (, ) P( ρ,) ρ H P p Con quest convenzone, è l ngolo convesso d cu deve uote n senso oo o n senso ntoo l sse pole p fno ll su sovpposzone sull ett P. I punt dell sse pole hnno noml 0 ssevzone N I punt dell semett oppost ll sse pole hnno noml π ( 180 ) I punt del pno che hnno ggo vettoe ρ ρo sono tutt punt dell cconfeenz d cento e ggo ρ o. I punt che hnno ugule noml sono stut sull stess semett In genele l sse pole è un semett ozzontle oentt veso dest pte dl polo Relzone f le coodnte pol e le coodnte ctesne In molt poblem è molto utle e comodo utlzze coodnte pol l posto delle coodnte ctesne. Vedmo desso come è possble psse d un pno feto d un sstem d ss ctesn quello feto d un sstem pole.. Ammettmo che un sstem d ss ctesn s sovpposto d un sstem d ss pol, supponmo coè che le due ogn concdno e che l semsse postvo delle concd con l sse pole del sstem pole.

14 14 01 Mtemtc Lceo \ Untà Ddttc N 5 : l femento ctesno I due fement, quello ctesno e quello pole, s dcono ssoct qunto l sse pole p concde col semsse postvo delle scsse n modo che l ogne degl ss ctesn concd col polo del sstem pole. Detto P un punto qulss del pno, ndchmo con (, ) e ( ρ,) spettvmente le coodnte ctesne e pol d questo punto. Poché sult : H P cos, HP P sn possmo scvee : Inolte : ρ cos, sn, ρ cos ρ sn [3] ρ ρ ( cos sn ) + + ρ d cu : ρ + cos + sn + tg ctg [4] Le fomule [3] sevono pe espmee l equzone ctesn d un cuv n equzone pole, qundo ssummo come polo l ogne del sstem ctesno e come sse pole l semsse postvo delle ; le [4] sevono pe l pssggo nveso coè pe l pssggo dl femento pole quello ctesno. Le ve convenzon che s seguono pe le coodnte pol sono le seguent : 1) Coodnte pol odne ρ > 0 0 < π oppue ρ > 0, π < π ) Coodnte pol genelzzte ρ > 0, < < + 3) Coodnte pol genel < ρ < + < < + 4) < ρ < + 0 π