Università degli Studi Federico II di Napoli Facoltà di Architettura

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1 Unverstà degl Stud Federco II d Npol Fcoltà d Archtettur Ferdnndo Csolro - Ivno Csolro Appunt del corso d Geometr CAPITOLO I - LA GEOMETRIA ANALITICA. - CENNI STORICI.2 - INTRODUZIONE ALLE COORDINATE CARTESIANE.3 - RAPPORTO SEMPLICE PUNTO ALL INFINITO COORDINATE BARICENTRICHE.4 - DAL 2 POSTULATO DI EUCLIDE ALL EQUAZIONE DI GRADO.5 - EQUAZIONE ESPLICITA DELLA RETTA: COEFFICIENTE ANGOLARE E INTERCETTA.6 - EQUAZIONE DELLA RETTA IN COORDINATE OMOGENEE.7 - CONDIZIONE DI ALLINEAMENTO MEDIANTE MATRICI.8 - PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA' TRA RETTE CAPITOLO II - SPAZI VETTORIALI 2. - STRUTTURA DI SPAZIO VETTORIALE SU UN CAMPO COSTRUZIONE DI UNO SPAZIO EUCLIDEO S n, (n =, 2, 3) - BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE OPERAZIONI TRA VETTORI - PRODOTTO SCALARE EQUAZIONI PARAMETRICHE EQUAZIONE DEL PIANO IN S 3 CAPITOLO III - ELEMENTI DI GEOMETRIA PROIETTIVA 3. - PROIEZIONE E SEZIONE - PROSPETTIVITA' TRA RETTE: PUNTO LIMITE, PUNTO IMPROPRIO PROSPETTIVITA'TRA PIANI: RETTA LIMITE, RETTA IMPROPRIA LA RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA NEL PIANO PROIETTIVO CAPITOLO IV - LE CONICHE 4. - GENESI SPAZIALE E RAPPRESENTAZIONE NEL PIANO CONICHE NEL PIANO CARTESIANO E NEL PIANO PROIETTIVO CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE BIBLIOGRAFIA

2 CAPITOLO I LA GEOMETRIA ANALITICA. - CENNI STORICI [4] L Geometr Anltc permette d trdurre un prolem lgerco n un prolem geometrco e vcevers. L su orgne s f rslre (mproprmente) Crteso, l qule vev elevto crtche mtemtc grec per non ver sputo ndcre un v generle per l mpostzone de prolem d geometr: nftt, grec rsolvevno prolem nlzzndol cso per cso e, molte volte, solo per tenttv. L ntroduzone dell uso sstemtco degl ss crtesn permette d rppresentre ent dello spzo geometrco con coppe o terne d numer rel; n tl modo, l Geometr dvene un scenz prncplmente nltc nell qule ogn prolem en formulto dvent (se d grdo non superore l 4 ) rsolule. Crteso er tlmente scuro dell effcc del propro metodo che ffermv: Non m soffermo spegre mnutmente tutte le queston, solo per lscre poster l soddsfzone d pprendere d se stess. Ed o spero che nostr npot m srnno grt non solo delle cose che o ho spegto m nche d quelle che ho volontrmente omesso llo scopo d lscr loro l pcere d nventrle. Contempornemente, vev strutturto l geometr nltc un ltro mtemtco frncese, Perre de Fermt (6 675) che, però, non rtenev che fosse un nuov rnc dell mtemtc totlmente n rttur col pssto, n qunto gà gl ntch grec vevno computo molt pss verso l nuov dscpln. Inoltre, l Fermt dv d ess un trttzone meno flosofc m pù concret dl punto d vst opertvo. Egl ffermv: L vldtà d quest prncp non s può stlre pror m rsult provt soltnto dgl effettv success consegut n relzone prolem prtcolr, che vecch metod non erno rusct rsolvere. In reltà, l Fermt non vev torto n qunto s hnno trcce dell uso del metodo delle coordnte fn dll pù remot ntchtà. Gà nel secondo secolo.c. l stronomo greco Ipprco vev ntrodotto coordnte geogrfche per determnre l poszone d un punto sull superfce terrestre; Archmede, nel III secolo.c. utlzzv coordnte per lo studo delle conche e, qulche decenno prm d Crteso e Fermt, nche Keplero, per l esposzone delle sue legg, s rferv coordnte. René Descrtes, flosofo e mtemtco frncese (596 65) 2

3 Precedentemente, nel X secolo d.c., n un dsegno d gnoto, s ntrvedevno le trettore de pnet con su rportt l lttudne e l longtudne. Ed è nell oper d Fermt (pulct nel 679, 4 nn dopo l su morte) che s trov per l prm volt l equzone dell rett e de vr tp d conche. Nell oper d Crteso, nvece, è stt ffrontt per l prm volt l trduzone nltc d prolem reltv tngent, norml e clcolo delle ree, per cu tle oper è rtenut un se d prtenz per l nls nfntesmle che s svluppò nel secolo successvo. Nel frttempo, l mtemtco frncese Grrd Desrgues (59 66), contemporneo d Fermt e Crteso, n un lvoro del 639 vev nugurto l metodo delle proezon centrl ntroducendo per l prm volt l concetto d punto ll nfnto. Nel secolo successvo, prm con Gsprd Monge (746 88) e qund con un suo llevo Jen-Vctor Poncelet ( ) s svluppò l geometr proettv; quell dscpln coè, che stud le propretà delle fgure che non s lterno per proezon e sezon. Ed è nell geometr proettv che è mess n rslto l mportnz de punt ll nfnto e l nlog tr punt e rette espress dl prncpo d dultà..4 - DAL 2 POSTULATO DI EUCLIDE ALL EQUAZIONE DI GRADO 2 postulto d Euclde Equzone d grdo due ncognte Esste un sol rett per due punt Dt un equzone d grdo due ssegnt A e B. ncognte, rcvre le coppe d numer rel che sono soluzon d ess. Dt due punt A(, ), B(, ) n un pno munto d rfermento crtesno, per l secondo postulto d Euclde, sppmo che esste un ed un sol rett pssnte per ess. Voglmo determnre un condzone cu deve soddsfre l generco punto P(, ) del pno ffnché pprteng ll rett AB. Tle condzone è ndvdut dll smltudne tr trngol ABC e APT (fg..6): PT BC AT AC B coè: (.3) A (equzone dell rett per due punt). C T P O P fg..6 P 3

4 D (*), con s h: d cu, con: ; ( ) ( ) c, rsult: c (equzone lnere dell rett) Se P r, trngol ABC e APT non sono sml per cu non sussste l (*). Cs prtcolr: ) = + c= c (.4) luogo geometrco de punt del pno d ordnt constnte (rett prllel ll sse delle scsse; fg..7). c 2) = + c = (.5) luogo geometrco de punt del pno d scss constnte (rett prllel ll sse delle ordnte; fg..8). 3) c = + = (.6) le coordnte d O(, ) soddsfno l equzone; l orgne degl ss pprtene ll rett (fg..9). 4) c = ; = - ; - = [ = ] (.7) luogo geometrco de punt del pno vent scsse ed ordnte ugul (settrce del prmo e terzo qudrnte; fg..). 5) c = ; = ; + = [ = - ] (.8) luogo geometrco de punt del pno vent scsse ed ordnte opposte (settrce del secondo e qurto qudrnte; fg..). 4

5 fg..7 fg..8 fg..9 fg.. fg.. fg Equzone dell rett n form esplct: coeffcente ngolre e suo sgnfcto geometrco Se nell: c (.9) rsult (coè l rett non è prllel ll sse delle ordnte), dvdendo mo memr per s h: 5

6 d cu: n cu, posto: rsult: (equzone esplct dell rett) m c c c m p (.) Il numero m è detto coeffcente ngolre dell rett, n qunto ndvdu l ngolo che l rett form con l sse delle scsse; precsmente, m rppresent l tngente gonometrc d tle ngolo. Inftt, rferendos ll fg..2, s h: BC m tg AC Il numero p è detto ntercett n qunto rppresent l ordnt del punto d ntersezone dell rett con l sse delle ordnte, nftt, per = rsult: p coè: m p p.8 - Condzone d prllelsmo e perpendcolrtà tr rette Dl sgnfcto geometrco del coeffcente ngolre d un rett s deduce mmedtmente che «Due rette prllele hnno lo stesso coeffcente ngolre». Pertnto, se r) c e s) sono prllele (fg..3), deve rsultre: coè: 6

7 che, n form mtrcle, sgnfc: fg..3 Dt un rett r) ++c= ed un punto per P d r è dt d: oppure, tenendo conto che: nell form (.) P (, ) r, l equzone dell prllel m m (.2) Inftt, ndcndo con s) α+β+γ =, l generc rett per P, ), deve rsultre: (condzone d pprtenenz del punto P, ) ll rett s). ( Sottrendo memro memro le due relzon: rsult: d cu:, ( 7

8 coè, tenendo conto che: m, s h n defntv: m Anlogmente s dmostr che l condzone d perpendcolrtà tr due rette d coeffcent ngolr rspettvmente m e m 2 è: m per cu l equzone dell perpendcolre d un rett d coeffcente ngolre m per un punto P è: o n form lnere: m (.3) m (.4) 8

9 CAPITOLO II SPAZI VETTORIALI 2. - Struttur d spzo vettorle su un cmpo Il concetto d Spzo Vettorle rchede le conoscenze d lcune strutture lgerche (gruppo, nello, cmpo) che rterremo note, n qunto sono rportte n qulss testo d Scuol Secondr d secondo grdo. Chmeremo vettor (o punt) gl element dello spzo vettorle che ndcheremo, n generle con S, e reltvmente llo spzo con dmensone specfct (,2,...n), con S, S 2,...,S n. Chmeremo sclr gl element del cmpo (per nostr oettv, l cmpo R de numer rel) su cu è strutturto lo spzo vettorle. In questo cptolo lmteremo l nostro studo llo spzo de vettor ordnr (che s utlzzno nelle scenze pplcte) come element d S ed ll'nseme de numer rel come element del cmpo R. S dce che l struttur (S,R) è uno spzo vettorle sul cmpo R [n generle, un struttur (V,K), con K cmpo rele o complesso] se n S è defnt un'operzone nr ntern (nel nostro cso l'ordnr ddzone +) per l qule (S,+) è un gruppo commuttvo ed un legge d composzone estern (nel nostro cso l'ordnr moltplczone d un vettore per un numero rele), dett moltplczone per uno sclre, per le qule vlgono le seguent propretà: ) Assoctv rspetto l prodotto esterno:, R, v S ( v) ( ) v 2) Esste l'elemento neutro rspetto l prodotto esterno: v S v v 3) Dstrutv del prodotto esterno rspetto ll'ddzone d vettor: R, u, v S ( u v) u v 4) Dstrutv del prodotto esterno rspetto ll'ddzone d sclr:, R, v S ( ) v v v 9

10 2.2 - Costruzone d uno spzo eucldeo - Bse d uno spzo vettorle. L teor de vettor è ll se del prmo mplmento dell geometr euclde n qunto crtterzz l geometr ffne, l cu gruppo d trsformzon conserv l prllelsmo tr rette (come l gruppo eucldeo) m non conserv l mpezz degl ngol. Defnzone d vettore e concetto d perpno [8]. In mtemtc, un vettore è defnto come clsse d equvlenz d segment equpollent (due segment del pno s dcono equpollent se sono congruent, prllel ed equvers). L'equpollenz tr segment è un relzone d equvlenz. Un clsse d equvlenz v d segment equpollent prende l nome d vettore. In Fsc (e nelle Scenze pplcte), un grndezz s può defnre come vettore qundo: ) vle l legge del prllelogrmm; 2) è nvrnte rspetto sstem d rfermento per trslzone. Nel modello eucldeo l costruzone d uno spzo n dmenson, che ndcheremo con S n, rchede l conoscenz d n vettor lnermente ndpendent (se), n qunto tutt gl ltr vettor dello spzo s esprmono come comnzone lnere d ess. In tle contesto sottospz d S n d dmensone n- sono dett perpn e s esprmono mednte un equzone lnere d prmo grdo n ncognte. Ad esempo, un rett d un pno (perpno S d uno spzo S 2 ) è rppresentt d un equzone d prmo grdo due ncognte del tpo c, dove coeffcent, delle ncognte sono le component d un vettore ortogonle tutt vettor vent l drezone dell rett. Se A( ) e B( 2 ) sono due punt d S, l dstnz è defnt d: d (A,B) = 2. Anlogmente, un pno dello spzo trdmensonle (perpno S 2 d uno spzo S 3 ) è rppresentto d un equzone d prmo grdo tre ncognte del tpo cz d, dove coeffcent,,c delle ncognte sono le component d un vettore ortogonle ll gctur del pno. Se A(, ) e B( 2, 2 ) sono due punt d S 2, l dstnz è defnt d: 2 2 d(a,b) = ( ) (. 2 2 )

11 In generle, un perpno d uno spzo S n è rppresentto d un equzone d prmo grdo d n+ ncognte del tpo n q, 2 n, 2 n n cu l dstnz tr due punt A(,... ) e B(,... ) è defnt d: n n 2 (,) BAd Costruzone d S. Rferendoc ll Unverso che c crcond, gà dll scuol elementre s crtterzz l rett come ente geometrco d un dmensone (spzo S ), l pno ente geometrco due dmenson (spzo S 2 ) e lo spzo (dentfcto con lo spzo geometrco che c crcond) ente tre dmenson (spzo S 3 ). Defnremo n un secondo momento l cosddetto "spzo qudrdmensonle d "Mnkowsk" (su cu Ensten h svluppto l Teor dell Reltvtà) n cu s ssume come qurt dmensone l tempo [8]. Dl punto d vst fsco, un vettore non nullo u, è crtterzzto dl modulo, che è un numero rele postvo, d un drezone che è un fsco d rette prllele ll rett d'zone del vettore e d un verso che ndchmo con segn pù o meno. Se u è un vettore non nullo d S, ogn ltro vettore v d S s può esprmere come prodotto del vettore u per l numero rele : v = u 2. Inftt, n uno spzo d un dmensone, tutt vettor hnno l stess drezone, per cu st operre solo sul modulo e sul verso (che è ndvduto dl segno pù o meno v che precede l modulo); dunque, n S, l numero rele = s può dentfcre u come rpporto tr numer rel v e u modul, rspettvmente, d v e d u. Defnzone: Due vettor u e v del pno s dcono lnermente dpendent se hnno l stess drezone. In tl cso, sussste tr ess l (2.). Dll (2.) s h: u ( ) v (2.2) coè: "se due vettor nel pno sono lnermente dpendent, esste un comnzone lnere d ess con sclr non null che dà l vettore nullo". Allor, per ogn copp d vettor, ndvdut d segment prllel, posso dre che "fssto un vettore, l'ltro s ottene d esso moltplcndolo per un numero rele"; e

12 qund "due vettor del pno sono lnermente dpendent se e solo se hnno l stess drezone". Pertnto, l sstem mssmo d vettor lnermente ndpendent, d uno spzo S è costtuto d un solo vettore u non nullo; l conoscenz d u è suffcente per l costruzone dello spzo S Costruzone d S 2 Defnzone: Tre vettor u, v, w dello spzo S 3 s dcono lnermente dpendent se hnno l stess gctur, coè se esste un pno che contene segment orentt che l rppresentno. e u, u2 L gctur ndvdut d due vettor non prllel 2 defnsce, dunque, tutt e sol vettor lnermente dpendent dl sstem u.. Inftt, se u e u 2 qulss vettore w pprtenente l pno ndvduto d u e u 2 u sono due vettor non prllel e non null del pno, un, s può decomporre lungo le drezon d ess, coè, s può esprmere come somm d due vettor u, lnermente dpendente d u, ed 2 u 2, lnermente dpendente d u 2 (fg. 2.). O u A w = u u u 2 che, con 3, dvent: B u (2.3) A' O' w B' 2u 2 C' fg. 2. u + 2 u u 3 = (2.4) Le (2.2) e le (2.3), esprmono, reltvmente spz euclde undmensonl e dmensonl, l clssc defnzone d sstem d vettor lnermente dpendent (dell'lger lnere). "Se tre vettor dello spzo S 3 sono lnermente dpendent, esste un comnzone lnere d ess con sclr non null che dà l vettore nullo". 2

13 D ess dscende mmedtmente: - due vettor, rppresentt d segment orentt su un rett (spzo undmensonle S ), sono sempre lnermente dpendent, qund un sstem d vettor lnermente ndpendent d un rett è costtuto d un solo vettore non nullo; - tre vettor, rppresentt d segment orentt su un pno (spzo dmensonle S 2 ), sono sempre lnermente dpendent, qund un sstem mssmo d vettor lnermente ndpendent del pno è costtuto d due vettor non prllel, coè d due vettor n modo tle che non esste lcun S che l contene. In generle, n vettor d uno spzo d n- dmenson (spzo S n ) sono sempre lnermente dpendent, qund un sstem mssmo d vettor lnermente ndpendent d uno spzo n S che l contene). n 2 S è costtuto d n- vettor, tle che non esste lcun 2.2c - Bse d uno spzo vettorle Un sstem mssmo d vettor lnermente ndpendent d uno spzo S n è detto se dello spzo. D qunto detto, s evnce che l numero d vettor che costtuscono un se d uno spzo vettorle è ugule ll dmensone dello spzo. Ad esempo, un se d un S (rett) è costtut d un solo vettore, un se d S 2 (pno) è costtut d due vettor, ecc. Un sottospzo d S n d n-2 dmenson è rppresentto d un sstem lnere d due equzon d prmo grdo d n ncognte (ntersezone d due perpn d S n ) del tpo:. q n cu l mtrce: 22 nn n q 2 A = n h rngo (A) = 2. Ad esempo, un rett è rppresentt n S 3 d un sstem d due equzon d prmo grdo tre ncognte (ntersezone d due pn), un pno S2 è rppresentto n S 4 d un sstem d due equzon d prmo grdo quttro ncognte (ntersezone d due spz trdmensonl), ecc. In generle, un sottospzo d S n d n-k dmenson è rppresentto d un sstem lnere d k equzon d n ncognte del tpo: 2n

14 2 k 2 k k22... nn... 2nn... knn q q 2 q k n cu l mtrce: B =. 2 n n n... h rngo (B) = k. Un se d un S è costtut d n-k vettor n k 2n... nn Operzon tr vettor e rppresentzone crtesn. Prodotto sclre In un rfermento crtesno del pno, un vettore è ndvduto dlle proezon ortogonl, sugl ss, del segmento orentto che lo rppresent. Ad esempo, l vettore v n fg. 2.2 è rppresentto dll copp d numer rel (v, v ) che sono dette "component" del vettore v. Un vettore d modulo untro che h l drezone d un rett r è detto versore d r. Indcto con α l'ngolo che l rett form con l semsse postvo delle scsse, è mmedto osservre che le component del versore dell rett r sono rspettvmente cos α e sen α. In prtcolre, versor degl ss crtesn, che ndcheremo con e [n un sstem trdmensonle con,, k ] hnno component (fg. 2.2): (, ); (, ) [ (,, ); (,, ); k (,, )] v v O v O fg. 2.2 fg

15 Pochè vettor (versor) (, ) e (, ) sono lnermente ndpendent, l sstem ; è un se dello spzo S 2 [ ; ; k, se d S 3 ], per cu ogn ltro vettore d S 2 [d S 3 ] s esprme come comnzone lnere d ess. Pertnto, n un rfermento crtesno del pno S 2 [dello spzo S 3 ], un vettore è rppresentto dll seguente espressone: v = v + v [ v = v + v + v k ] (2.5) che è dett rppresentzone crtesn del vettore v. TEOREMA Se due vettor del pno sono lnermente dpendent (coè, hnno l stess drezone), l mtrce costtut dlle component de vettor, n un rfermento crtesno del pno, h determnnte nullo : det = (2.6) Inftt, nelle potes poste, trngol ABC e TSL, costrut con segment che rppresentno vettor e le loro component, sono sml (fg. 2.3), per cu rsult: AB : TS = BC : SL, coè: : = : - = che dmostr l'sserto. A C B T O fg. 2.3 L S In generle, se n vettor d uno spzo S n sono lnermente dpendent, l mtrce delle loro component, n un opportuno rfermento dello spzo, h determnnte ugule zero. Pertnto, n vettor d uno spzo S n sono lnermente ndpendent, se e solo se l mtrce delle loro component, n un opportuno rfermento dello spzo, h determnnte dverso d zero. 5

16 Operzon tr vettor - Prodotto sclre. Nell'ntroduzone l concetto d vettore, mo nche mplctmente defnto l somm (ddzone o sottrzone) d vettor mednte l legge del prllelogrmm. Con semplc osservzon d geometr elementre, s dmostr che, nell rppresentzone crtesn, l somm d vettor è un vettore che h per component l somm delle component omologhe. Pertnto, se e sono due vettor del pno, rsult: Anlogmente, s defnsce l prodotto d uno sclre α (che, per nostr oettv, dentfchmo con un numero rele) per un vettore v = v + v, l vettore αv : α v = α v + α v S defnsce prodotto sclre (che ndcheremo con ) tr due vettor, l numero rele ottenuto dl prodotto de rspettv modul per l coseno dell'ngolo che ess formno. Se segment orentt che rppresentno vettor nel pno, formno un ngolo, s h: Nel rfermento crtesno del pno S 2 [dello spzo S 3 ], l prodotto sclre tr due vettor e è ugule ll somm de prodott delle component omologhe, coè: Inftt, rsult: dove, essendo: s h n defntv: L spetto che c nteress, e c servrà n seguto per crtterzzre le stesse queston sulle superfc curve, è l seguente: cos ) ( ) ( e cos e cos 2 cos

17 In un rfermento crtesno del pno, s P(, ) un punto dverso dll'orgne, n modo che l segmento orentto OP dentfch l vettore che h per component rspettvmente le coordnte ed d P. Se n (, ) è un vettore ortogonle d OP, per defnzone d prodotto sclre, s h: npo, coè : n (, ) P r O L (2.4), equzone dell rett OP, ndvdu, dunque, l luogo geometrco de punt P(, ) del pno tl che l segmento OP è perpendcolre ll drezone del vettore n (, ), come è noto dlle nozon elementr d geometr nltc sullo studo dell rett Equzone del pno n S 3 [8] Dt tre punt ( A,), (,), B 22 (, C 33 ) nello spzo S 3, esste un solo pno che l contene. Qul è l condzone ffnché l generco punto P(, ) dello spzo S 3 pprteng questo pno? AP, AB ed AC sno lnermente dpendent. Con un L condzone è che vettor rgonmento nlogo quello ftto per l'equzone dell rett, s conclude che le coordnte d P devono verfcre l'equzone lnere del tpo: ++cz+d=. (3.) Verfchmo l (3.) nel cso n cu l pno pss per l orgne del sstem d rfermento crtesno Oz. Con un rgonmento nlogo quello ftto nel prgrfo precedente per l equzone dell rett, fssmo l rfermento crtesno Oz ed un vettore n (,, c) pplcto nell orgne O del sstem. S punto P(,,z) dverso dll'orgne, n modo che l segmento orentto OP dentfch l vettore, ortogonle d n (,, c), che h per component rspettvmente le coordnte,, z d P. Voglmo determnre l espressone nltc del luogo geometrco de punt P(,,z) d S 3 tle che l vettore n (,, c) s ortogonle d OP. E evdente che tle luogo è l pno per O ortogonle ll drezone del vettore n (,, c). 7

18 Per defnzone d prodotto sclre, s h: coè: n OP n OP, cz (3.2) L (3.2) rppresent, qund, l equzone del pno per l'orgne che contene punt A, B, C. Anche n questo cso concludo che vettor perpendcolr l pno n ogn punto, hnno l stess drezone. Così d seguto, operndo su spz ptt, d dmensone tre, quttro, ecc, vettor perpendcolr llo spzo hnno tutt l stess drezone. Se consdermo, nvece, uno spzo curvo, l drezone del vettore perpendcolre llo spzo cm n ogn punto, per cu le component del vettore normle llo spzo n un punto (precsmente l pno tngente l superfce n quel punto) sono funzon delle coordnte. Per pprofondment su queston reltve spz curv ved [8]. 8