Lezione 16. Costruibilità con riga e compasso.

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Cosimo Maggi
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1 Lezone 6 Prerequst: Lezon 9, 5. Costrubltà on rg e ompsso. Defnzone 6. S F un mpo, e s K un su estensone. Un elemento ostruble su F se esste un estensone -rdle d F ontenente α. α K s de Quest defnzone nse dll geometr eulde del pno. Rordmo he un segmento s de ostruble on rg e ompsso se è possble ostrurlo on un proedmento he preved unmente le seguent operzon: - trre rette tr punt dt; - trre ronferenze on un dto entro e pssnt per un dto punto; - ntersere tl rette; - ntersere tl rette e tl ronferenze; - ntersere tl ronferenze. Rordmo n prtolre he, on rg e ompsso, è possble ostrure - dto un segmento AB, ed un semrett d estremo C, un segmento CD sull semrett vente l stess lunghezz d AB (trsporto d msur); - dt un rett, ed un punto esterno d ess, un prllel pssnte per l punto; - dt un rett, ed un punto, un perpendolre pssnte per l punto; - dto un ngolo α, ed un semrett, un ngolo, sull semrett, ugule d α. Inoltre è possble - bsere un segmento; - bsere un ngolo. S de he un numero rele α è ostruble, se è possble ostrure on rg e ompsso un segmento vente lunghezz α. Nturlmente, ò h senso solo se s è fssto nel pno un segmento d lunghezz untr. Proposzone 6. Supponmo he α e β sno numer rel ostrubl. Allor numer α α + β, α β, αβ, e, se β 0,, sono ostrubl. In β prtolre, tutt numer rzonl sono ostrubl. Dmostrzone: Possmo supporre, senz ledere l generltà, he α e β sno postv. L somm e l dfferenz sono ostrubl mednte l trsporto d msur. Per ostrure l prodotto, s ostrusno, su un semrett d estremo A, segment AB e BC d lunghezze e β rspettvmente. S ostrus qund un α γ β

2 semrett d estremo A perpendolre ll prm, e su d ess s ostrus l segmento AD d lunghezz α. Qund s tr l rett ongungente B e D e l su prllel pssnte per C. S E l suo punto d ntersezone on l seond semrett. Per un noto teorem d geometr elementre, dett γ l lunghezz d DE, vle l proporzone: γ : α = β :, d u γ = αβ. Anlogmente s proede per ostrure l quozente. Proposzone 6.3 Se l numero rele postvo α è ostruble, llor lo è nhe α. Dmostrzone: Dt un rett pssnte per l punto A, s ostrusno, sulle due semrette usent d A, rspettvmente un punto B tle he AB bb lunghezz ed un punto C tle he AC bb lunghezz α. S ostrus l punto medo M del segmento BC e s ostrus un ronferenz d entro M pssnte per B (e qund vente BC ome dmetro). S ondu l perpendolre BC per A, e s P un suo punto d ntersezone on l ronferenz. α Allor, per l Teorem d Tlete, l trngolo BPC h un ngolo retto n P. Dl Seondo Teorem d Eulde segue llor he l lunghezz d AP è α. Supponmo or d ver fssto nel pno un sstem d oordnte rtesne, e he l segmento d lunghezz untr s quello d estrem (0,0) e (,0). S trtt d ostrure un punto he bb dstnz α dll orgne. Il proedmento on rg e ompsso prevede, n generle, d pervenre questo punto ttrverso un sere d punt ntermed, ottenut ntersendo rette e ronferenze. All nzo è possble ostrure solo le ronferenze he hnno (0,0) ome entro e pssno per (,0) (o vevers), e l rett ongungente (0,0) e (,0). Queste ronferenze e quest rett hnno equzon rtesne on oeffent tutt rzonl. Il punto d ntersezone d due rette vent equzon oeffent rzonl è un punto vente oordnte rzonl, pohé queste sono le soluzon d un sstem lnere oeffent rzonl. Le oordnte de punt d ntersezone d un rett e d un ronferenz (equvlentemente, d due ronferenze) oeffent n Q sono soluzon d equzon qudrthe, e qund pprtengono d un estensone -rdle d Q. Pertnto, le oordnte de punt ostrubl on rg e ompsso pprtengono d un estensone - rdle d Q. Lo stesso vle per le dstnze tr due punt sfftt. Qund ogn numero rele postvo ostruble pprtene d un estensone -rdle d Q. Vevers, supponmo he l numero rele postvo α pprteng d un estensone -rdle d Q. Allor, n bse lle Proposzon 6. e 6.3, α è ostruble. Abbmo dunque stblto, n peno ordo on l Defnzone 6., (s pur su bs nforml), l seguente Teorem 6.4 Un numero rele è ostruble se e solo se pprtene d un estensone -rdle d Q. In prtolre, ogn numero ostruble è lgebro. Qund

3 Corollro 6.5 Nessun numero trsendente è ostruble. In prtolre, non lo è π. **Not stor L trsendenz d π fu provt per l prm volt d C.L.F. Lndemnn (85-939) nel 88. L dmostrzone s può trovre, d esempo, n [Mo], Theorem 4.. L nteresse dell sopert è epole: nftt se ne dedue he, mggor rgone, π è trsendente, e qund non ostruble. M π è l lunghezz del lto d un qudrto vente l stess re d un ronferenz d rggo untro. L mportnte onlusone, he mse fne seol d nutl e, spesso fntsos, tenttv è Proposzone 6.6 Non è possble qudrre l erho on rg e ompsso. Esstono, però, nhe numer lgebr non ostrubl. Come onseguenz del teorem d moltplzone de grd per le estenson lgebrhe suessve, ogn estensone -rdle d un mpo F h su F grdo pr d un potenz d. Dl Teorem 6.4 dsende qund: Corollro 6.7 Il grdo del polnomo mnmo d un numero ostruble su Q è un potenz d. Dmostrzone: Se α è un numero lgebro, ed n è l grdo del suo polnomo mnmo su Q, llor [ Q( α ) : Q] = n. Se α è ostruble, per l Teorem 6.4 esste un estensone -rdle L d Q ontenente α, e qund Q (α ). M llor, per l Teorem d moltplzone de grd per le estenson suessve, n dvde [ L : Q], he è un potenz d. Se ne dedue he, n prtolre, l numero 3 non è ostruble. Quest è però l lunghezz del lto d un ubo vente volume doppo rspetto l ubo untro. Pertnto Corollro 6.8 Non è possble duplre l ubo on rg e ompsso. Inoltre, non è possble trsere un ngolo qulss on rg e ompsso. Inftt Corollro 6.9 Non è possble ostrure un ngolo d 0 on rg e ompsso. Dmostrzone: Costrure un ngolo d mpezz θ equvle, nturlmente, ostrure un segmento 3 d lunghezz os θ. In bse d un not denttà trgonometr, os3θ = 4os θ 3osθ. Pohé os 60 =, segue he = 4 os 3 0 3os 0, qund os 0 è rde del polnomo 3 3 f ( x) = x x Q[ x], prvo d rd rzonl. Esso è dunque l polnomo mnmo d 4 8 os 0 su Q. Per l Corollro 6.7 segue he os 0 non è ostruble. Esstono, nturlmente, ngol he s possono trsere on rg e ompsso, d esempo, l ngolo d mpezz 70, pohé l ngolo d 90 è ostruble. Corollro 6.0 Non è possble ostrure on rg e ompsso un enngono regolre. Dmostrzone: Se un enngono regolre fosse ostruble on rg e ompsso, llor tle srebbe ogn suo ngolo l entro, he h mpezz 40. Bsendo uno d quest, s ostrurebbe llor, on rg e ompsso, un ngolo d 0. M ò ontrdde l Corollro 6.9.

4 I polgon regolr ostrubl on rg e ompsso sono stt lssft d Guss. Il suo rtero è bsto su numer prm d un form prtolre: Defnzone 6. S de prmo d Fermt ogn numero prmo dell form F n = +, ove n è un ntero non negtvo. Not I sol prm d Fermt not snor sono F =, F = 5, F = 7, F = 57, F = Informzon ggornte sullo stto dell rer su prm d Fermt (e su numer prm n generle) sono dsponbl l sto dell Unversty of Tennessee t Mrtn: I prm d Fermt sono gl un prm dell form +. Inftt: n Lemm 6. S un ntero postvo tle he + s prmo. Allor è un potenz d. Dmostrzone: Supponmo, per ssurdo, he non s un potenz d. Allor esste un deomposzone = b, dove b, sono nter, 0<<, e b è dspr. Allor < + < +, e = + ( ) b + b + = ( ) + = 0 è un numero ntero, per u + dvde +. Cò ontrdde l potes he + s prmo. Estendmo or l defnzone d ostrubltà numer ompless. Defnzone 6.3 Un numero omplesso s de ostruble se è ostruble, on rg e ompsso, l punto he lo rppresent nel pno d Guss. I numer ompless ostrubl sono rtterzzt dl seguente teorem, he è utle onfrontre on l Teorem 6.4: **Teorem 6.4 Un numero α C è ostruble se e solo se pprtene d un'estensone normle d Q l u grdo è un potenz d. Dmostrzone: [I], Theorem 0.8. Teorem 6.5 (Guss) S n 3. Allor l polgono regolre on n lt è ostruble se e solo se m n = p p, r ove m è un ntero non negtvo, e p,..., p r sono prm d Fermt due due dstnt. Dmostrzone: Rordmo he le rd n-esme dell untà orrspondono, nel pno d Guss, vert d un polgono regolre vente n lt. Qund l ostrubltà d quest ultmo equvle ll ostrubltà d un rde prmtv n-esm ω dell untà. Quest ondzone d ostrubltà, n vrtù

5 del Teorem 6.4, equvle ll ondzone he [ Q( ω) : Q ] s un potenz d. Pohé, n vrtù dell Proposzone 9.6, l polnomo mnmo d ω su Q è Φ n (x ), s h [ Q( ω) : Q ] = φ( n). Se n = q e q è l deomposzone d n nel prodotto d fttor prm, llor, n bse d un not formul, s es s φ ( n) = q ( q ). = e Qund φ (n) è un potenz d se e solo se, per ogn nde =,..., s, q = oppure e = e q n = +. In vrtù del Lemm 6., ò bst per onludere. Osservzone 6.6 In bse l Teorem d Guss, sono ostrubl on rg e ompsso polgon regolr vent 3, 5, 6, 5 lt: ostruzon esplte sono ontenute negl Element d Eulde. Not stor L sopert dell ostrubltà del polgono regolre on 7 lt fu effettut d Guss, llor ppen dottenne, l 30 mrzo 796, ome rsult d un nnotzone sul suo dro personle. L ostruzone del polgono regolre on 57 lt, estremmente lung e lboros, è stt relzzt d F. J. Rhelot: l lvoro orgnle, he s estende per ben 94 pgne, è stto pubblto nel 83, n form rssunt, sul "Journl für de rene und ngewndte Mthemtk" (vol. 9). Il so d lt è stto trttto dl prof. J. G. Hermes d Lngen, Germn: l ostruzone, he port l ttolo d Dro dell suddvsone del erho, fu d lu nzt l 4 novembre 879 e termnt dopo nove nn e mezzo, l 5 prle 889: ess oup r 00 fogl d grnde formto, ed è ttulmente onservt n un ss presso l Semnro Mtemto dell Unverstà d Göttngen, Germn.

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