x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione

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1 Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt < <..< n, comunque scelt tr e. S pone:,..,n h De. Rnmento Un prtzone P è dett essere un rnmento o pù ne dell prtzone P se: P P

2 Integrle Dento: Plurrettngol Assummo che l unzone s lmtt nell ntervllo [,]. Dt un determnt prtzone P d [,] consdermo per ogn ntervllno : m l estremo nerore ssunto dll unzone n M l estremo superore ssunto dll unzone n Costrumo l rettngolo nscrtto: d se ed ltezz m Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: m. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo o sclode nscrtto. Costrumo l rettngolo crcoscrtto: d se ed ltezz M Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: M. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo o sclode crcoscrtto.

3 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror De. Somme Superor S P, M Costtuscono un pprossmzone per eccesso dell re De. Somme Ineror s P, m Costtuscono un pprossmzone per detto dell re Amo che: s P, S P, E evdente che con pù rnmo l prtzone dell nseme [,], con pù ruscremo d vere un vlutzone precs dell re. Precsmente, pssndo d un prtzone P d un prtzone pù ne P notmo che le somme neror umentno mentre quelle superor dmnuscono rspettndo sempre l relzone. Qund: se P P s P, s P, S P, S P, con s P, S P,

4 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror Aumentndo l numero d punt le somme neror umentno Aumentndo l numero d punt le somme superor dmnuscono 4

5 Integrle Dento d Remnn: Costruzone Poché le somme neror sono sempre mnor od ugul lle somme superor, mo che: Sup P s In P S De. Funzone Integrle secondo Remnn L unzone è ntegrle secondo Remnn, o R-ntegrle se e solo se: Sup P s In P S De. Integrle Dento d Remnn Il numero rele precedentemente trovto rppresent l ntegrle dento dell unzone sull ntervllo [,] e s scrve: Not. L clsse delle somme neror e delle somme superor sono due clss d numer rel un mnore dell ltr dunque sono clss seprte. Esse possono vere un elemento seprtore l unco numero compreso tr le somme neror e quelle superor. Se tle numero esste l unzone è dett Remnn-Integrle o R-Integrle su [,] 5 e tle numero è, per denzone, l ntegrle d Remnn dell unzone dt su [,]. d

6 Integrle Dento d Remnn: Osservzon d e sono dett estrem d ntegrzone è detto estremo nerore d ntegrzone è detto estremo superore d ntegrzone è dett unzone ntegrnd Not. L vrle d ntegrzone è un vrle mut. Per cu le seguent espresson ndcno sempre lo stesso numero: d ε > t dt SP,-sP, < y dy Teorem Un unzone lmtt su [,] è R-ntegrle se esste un prtzone P d [,] tle che: Not. Il teorem precedente erm che le somme neror e superor, per unzon R- ntegrl, sono due clss seprte m ndentmente rvvcnte o contgue. ε 6

7 Funzone non R-Integrle Not. Non tutte le unzon sono R-ntegrl. Dremo pù vnt delle condzon sucent nché un unzone s R-Integrle. Occupmoc d un esempo d unzone che NON è R-ntegrle: L Funzone d Drchlet se Q se R\Q S consder l ntervllo [,]. Ess è un unzon lmtt. Per ess, consderto l tto che qulunque s l prtzone P, nell ntervllno compono nnt numer rrzonl ed nnt rzonl, vremo: M S P, Sccome: m s P, In S P, Sup s P, L unzone non rsult R-ntegrle. 7

8 Integrle Dento: le somme d Remnn Not. Consderndo unzon lmtte non possmo ermre che vlor m ed M sono vlor ssunt dll unzon nell ntervllno. Se l unzone è contnu l teorem d Weerstrss sscur l tto che l unzone ssume n tl vlor, che concdono con l mnmo ed l mssmo dell unzone stess n. Al posto delle somme neror e superor è llor possle consderre le seguent somme d Remnn: con σ P, t t De. P M Per esse vle l seguente teorem: Teorem é R -ntegrle lmσ P, P nto d E vle lmσp, P 8

9 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. Se l unzone ntegrnd è postv su [,] < llor d Rppresent l re dell regone d pno delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: d > + Se l unzone ntegrnd è negtv su [,] < llor d Rppresent l re dell regone d pno n senso lgerco n qunto negtv delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: d < 9

10 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. Se l unzone ntegrnd non h segno sso su [,] < llor l ntegrle dento può essere postvo, negtvo o nullo. d d? +.. rctn ~.7 > d + + π sen d + π cos d

11 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. d g d Può essere pensto come re dell regone d pno compres tr le due unzon e g. g d.. d g

12 Integrle Dento: Condzon Sucent Integrle Dento: Condzon Sucent per l R per l R-Integrltà. Integrltà. Teorem. Se l unzone è contnu su [,] llor è R-Integrle. Dm. Per l teorem d Weerstrss mmette mssmo M e mnmo m n ogn ntervllno. Esstono qund n due punt t e t * tl che t m e t * M. Poché è contnu, dll denzone d lmte mo: t t t t se < < ε δ δ : * * t t m M P s P S,, * t t t t se < < δ δ : Fccmo n modo che P <δ llor: ε ε ε < * t t Per l teorem l unzone è R-Integrle.

13 Teorem 4. Integrle Dento: Condzon Sucent per l R-Integrltà. Se l unzone è lmtt su [,] e possede un numero nto o l pù un nntà numerle d dscontnutà llor è R-Integrle. Teorem 5. Se l unzone è monoton crescente o decrescente su [,] llor è R-Integrle.

14 Integrle Dento: Propretà Convenzone d d d d Propretà d lnertà Propretà d ddtvtà + g d d + g d Propretà d d d R omogenetà 4

15 Integrle Dento: Propretà d d se < d d Propretà d ddtvtà rspetto ll ntervllo d ntegrzone d d + c d c Propretà d monoton se n [, ] d d 5

16 Integrle Dento: Teorem dell med ntegrle Teorem 6 dell Med Integrle o d Lgrnge. S consder l unzone contnu n [,]. Allor esste lmeno un punto c n [,] tle che: Dm. d c Sccome è contnu è R-ntegrle. Per l teorem d Weerstrss se m ed M sono l mnmo ed l mssmo dell unzone n [,] mo m M vld per ogn n [,]. Dll propretà d monoton dell ntegrle segue:: md d Md m d M m d M d con m M Il teorem d Drou sscur che esste c n [,] tle che c d c c.v.d. De. Med Integrle d 6

17 Integrle Dento: Funzone Integrle S consder l unzone, R-ntegrle su [,]. Consdermo due punt d [,] ed. Costrumo l seguente ntegrle dento: t dt Consdermo l unzone che d ogn numero n [,] ssoc l numero rele dento dll relzone precedente: tle unzone è l unzone Integrle d n [,]. De. Funzone Integrle S un unzone R-ntegrle su [,] s densce unzone ntegrle F d su [,] con orgne n F t dt 7

18 Integrle Dento: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 d Torrcell - Brrow S un unzone contnu su [,]. Allor l unzone ntegrle F d su [,] con orgne è contnu e dervle n per ogn d [,] e vle F Dm. S consder: F + h F + h + h F t dt t dt t dt t dt [, + h] + h t dt c h con c Applcndo l teorem 6 dell med ntegrle. F' lm h F h lm h c h h lm h c + Per l contnutà d c.v.d. L unzone ntegrle F rsult nelle potes del teorem contnutà d un prmtv d. In generle s può dmostrre che: Teorem 8 Se è R-ntegrle llor F è contnu Se è contnu llor F è dervle Se è dervle llor F è dervle con dervt contnu 8

19 Integrle Dento: Teorem ondmentle del clcolo Teorem 9 Fondmentle del Clcolo S un unzone contnu su [,]. S F un su prmtv, llor: Dm. S consder: d d + d d F F F + F F F d + d c.v.d. Convenzone [ F ] : F F d 9

20 Integrle Dento e unzon prmtve [ F ] : F F d Not. Gl ntegrl delle unzon contnue possono essere clcolt con le unzon prmtve se queste s possono esprmere per v elementre. Se l unzone ntegrnd non è contnu m solo R-ntegrle, l prmtv potree non esstere perché, d esempo, non esstono unzon dervl che hnno dervte con dscontnutà slto. Tuttv può esstere l ntegrle. Es. per < per < per d Non esste tuttv un unzone dervle n tutto [,] che come unzone dervt

21 Integrle Dento: Integrzone per prt Teorem ' g d [ g ] g' d Es. Clcolre l re compres tr l sse delle e l grco dell unzone ln tr punt d scss e ln d [ ln ] d ln d ln ~.86

22 Integrle Dento: Integrzone per sosttuzone Teorem Sno :[,] R contnu, Φ :[,] R contnu,dervle,con dervt contnu e con Φ n [,]. Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo d Φ Φ g t g' t dt Es. g t sen t Φ rcsen rcsen cos rcsen d t dt rcsen rcsen sen t + sen tcos t t cos t dt π π π 4 Are qurto d cercho d rggo

23 Integrle Dento: Are tr grc d unzon [ g ] A d g d + A g d c d 4 d + d + d + A d c d 4 c d

24 Integrl mpropr d spece Amo snor prlto d ntegrl d unzon lmtte su ntervll lmtt [,]. Esstono delle estenson s per unzon non lmtte che per ntervll non lmtt. Integrzone Funzon non lmtte su ntervll lmtt Integrl IMPROPRI d SPECIE S consder :,] R non lmtt d es / n,] tle che s R-ntegrle su ogn ntervllo dell orm [+ε,] e tle che : Denmo llor: lm + d ± lm ε + ε + d Se l lmte * esste nto llor s dce ntegrle n [,] e che l ntegrle IMPROPRIO d SPECIE è convergente Se l lmte * è ± llor s dce che l ntegrle IMPROPRIO d SPECIE è dvergente Se l lmte * non esste llor s dce che l ntegrle IMPROPRIO d SPECIE non esste * 4

25 Es. S clcol: Es. S clcol: Integrl mpropr d spece d lm d lm + + ε ε [ ] ε ε d lm + + d lm ln ε ε ε Es. S clcol: + + d se se + > + < d [ ] + ε Per lm + d + lm+ + ε ε ε < > + se se Per ved es. precedente. Glolmente: + > + ε < + ε lm ε 5

26 Integrl mpropr d spece Anlogmente nel cso n cu s : lm ± S densce: ε d lm d ** Ad es. /- n [, ε + Teorem dvergente + se d é convergente se < Vle un rsultto perettmente nlogo per: d L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 6

27 Integrl mpropr d spece Teorem dvergente + se d é convergente se < Anlogmente nel cso n cu s : lm ± Ad es. /- n [, S densce: ε d lm ε + d ** Vle un rsultto perettmente nlogo per: dvergente + se d é convergente se < L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 7

28 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Integrzone Funzon su ntervll llmtt Integrl IMPROPRI d SPECIE S consder : [,+ R contnu. Ponmo: + + d : lm d Anlogmente, se :-,] R contnu. Ponmo: d : lm d Se :-,+ R contnu. Ponmo: + d d : d + d lm d + lm h + R + h d 8

29 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Es. S clcol: + [ ] [ ] d lm lm + d lm Es. S clcol: Es. S clcol: + Es. S clcol per n : + d n d lm [ ] [ ] + + d lm ln lm ln d lm lm lm + + d + + n n lm d lm lm + n + n + n n + n se se n n > < n n < > Per n ved es. precedente. Glolmente: + d n + n se se n n > L ntegrle converge se l unzone è nntesm d ordne n> ltrment dverge. 9

30 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece Es. Andmento grco

31 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece 4 Es. S clcol: + + d lm lm h h + h [ rctn ] d lm lm h + π π [ rctn h rctn ] π lm lm h +

32 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Consdermo un unzone y. S un unzone contnu con dervt contnu n [,]. Voglmo clcolre l lunghezz dell curv rppresentt dl grco dell unzone tr punt d scss e. Per ncrement nntesm dell vrle d +d l vrle y h un ncremento dy che possmo pprossmre con dy d derenzle. Allor l lunghezz nntesm dell curv dl può essere scrtt ttrverso l teorem d Ptgor: d + dy d + ' d d ' dl + Ne segue: lunghezz + ' d + d dl d dy + d

33 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Crconerenz d rggo ' L lunghezz del qurto d crconerenz d rggo vle: l + ' d + d d d [ rcsen ] rcsen rcsen π Es. Lunghezz Arco d Prol + y dy ' l + ' d + 4 d y + y + SettSh y 5 + ln ~.47894

34 Integrle Dento: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Ctenr curv lungo l qule s dspone un une pesnte omogene, nel cmpo d grvtà, sst gl estrem. Ch ' Sh l + Sh d Ch d Sh Sh Sh e e 4

35 Integrle Dento: Volum sold d rotzone dv π [ ] d d V π [ ] d Es. Volume Cono P h, R h rett : y V R h h R R π d π h h h πr h V π R h 5

36 Integrle Dento: Volum sold d rotzone Integrle Dento: Volum sold d rotzone Es. Volume Ser R R R ser d R R d R V π π d R dy R y R y 6 [ ] 4 R R y y R dy y R π π π π

37 y y' Studo Funzone Fre l grco qulttvo dell unzone e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto Asntot vertcle : - e + y'' d d d + + ln d + c Asntot Olquo : y + [ ] ln + [ln ln] + ln 5, 5 9

38 Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e e y' e e e y'' 4 e e t e e d e t dt d t e t t d t dt dt t + t + Punto tngente vertcle nell orgne Flesso per ln + d t t + dt + dt t t dt + t rctn t + c e rctn e + c

39 Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e [ ] [ ] e d e rctn e [ ] [ ] e rctn,78 e