A) Meccanica Soluzione

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1 A) Meccnc Un uot omogene d ggo R, mss M e momento d nez spetto l popo sse I, otol senz stsce su un pno ozzontle scbo sotto l zone d un momento motoe noto τ. S A l foz d ttto con l suolo, l ccelezone del cento d mss e α l ccelezone ngole. ) Scvee le equzon cdnl del sstem; b) Rsolvee le equzon, tovndo vlo delle ncognte A,, α; c) Tove l mssmo vloe d τ pe cu s h otolmento puo (code l espessone dell foz d ttto); d) Tove l ccelezone mssm che s puo` mpte ll uot senz che quest sltt. Soluzone ) Tovmo nnnztutto l veso dell foz d ttto. Poche l momento motoe e` entnte, l punto d conttto col suolo tende muoves veso snst, ne segue che l foz d ttto e` dett veso dest. Pm equzone cdnle: A M, ovveo l ccelezone n vnt e` dovut ll foz d ttto. In temn d component: A M. Second equzone cdnle, scelto come polo l cento dell uot: τ R A Iα. In component: τ RA Iα. Condzone d otolmento: Rα b) bbmo te equzon n te ncognte; solvendo, tovmo:

2 MR I R M A MR I MR I R τ τ α τ c) l foz d ttto sttco A h un vloe mssmo, cos che mpone un lmtzone l momento motoe: R MR I g Mg A s s τ d) l lmte supeoe dell ccelezone s cv dettmente dll eq. cdnle: g M A s

3 ) Gvtzone Un sstem e` fomto d un stell d mss M e d un pnet d mss m (mnoe d M). stell e` vsble e pecoe un obt ellttc d semsse ed ellttctà e ttono l fuoco C, mente l pnet e` nvsble. Supposto che n un ceto stnte d tempo l stell s tov nel punto S(, θ ), con veloct` v, detemne: ) l poszone Q(, θ ) del pnet llo stesso stnte (defne θ spetto ll stess semett ogne ust pe θ ); b) l veloct` v (modulo, dezone e veso) del pnet. e cosθ Dett l equzone dell obt dell stell, detemne ( e ) c) l equzone dell obt del pnet. Soluzone ) Il pnet deve tovs sull ett congungente l fuoco C ll stell S, dll pte oppost d C, dstnz tle pe cu C s l cento d mss del sstem. M Qund θ θ,. m M b) veloct` del cento d mss dev essee null, qund v v, coe` l m veloct` del pnet h l stess dezone, m veso opposto quell dell stell, ed h modulo mggoe secondo l ppoto nveso delle msse. c) obt del pnet e` un ellsse smle quell dell stell, secondo un fttoe d scl p ll nveso del ppoto delle msse. eccentct` e` l

4 medesm e l ngolo dffesce d quello dell stell d, come g` vsto nel e cos( θ ) e cosθ punto (): e e ( ) ( )

5 C) Temodnmc Un gs dele (n quntt` d n mol) effettu un cclo evesble ACD composto d due soteme ( tempetue T > T ) e due socoe (cclo d Stlng). S detemnno: ) clo ssobt e cedut dl sstem nell potes che l cloe lungo DA s effettvmente cqusto dll mbente e quello lungo C s effettvmente vesto nell mbente; b) l endmento del cclo, n quest potes;

6 c) clo ssobt e cedut dl sstem nell potes che l cloe lungo C mng nel sstem (mednte un meccnsmo d genezone nteno l sstem) e s utlzzto lungo DA; d) l endmento del cclo n quest second potes. Soluzone ) clcolmo l cloe scmbto lungo l sotem A: V V dv V Q δ Q δ pdv nrt nrt > ; A A A V lungo l sotem CD: dv Q nrt < CD nrt ; V V V lungo l soco C: lungo l soco DA: Q Q C DA TC ( T ) nc dt nc T T TA v v < ( T ) nc dt nc T TD v v > b) l endmento e` pe defnzone: η e pe l pmo pncpo, ssume l Q Q Q n out out fom: η. Q Q n n Nel nosto cso Q Q Q, Q Q Q, qund: n A DA out CD C V nrt nc ( T T ) v η V nrt nc ( T T ) v c) n questo cso clo Q C e Q DA non entno nel computo, n qunto non vengono scmbt con l mbente, m sono nten l sstem; ne segue che Q Q n A, Q Q ; out CD d) l endmento e` o Q n ;.

7 V nrt V T A η V nrt T Che e` ovvmente mggoe del pecedente, come s puo` fclmente dmoste e concde con l mssmo endmento possble d un cclo due sogent d cloe (endmento del cclo d Cnot).

8 D) Elettct` Sno dte due sfee conduttc d ggo, dstnt D (d cento cento), ccte con cche ugul e opposte Q, -Q. Supponmo che D>>, d modo che l cmpo elettco s poss consdee ppossmtvmente ugule ll sovpposzone d due cmp coulombn, coe` che l fenomeno dell dstbuzone delle cche pe nduzone s tscuble. ) S scv l espessone del cmpo elettco n un punto qulunque dello spzo esteno lle sfee; b) S clcol l ddp t le supefc delle sfee, sceglendo l cmmno d ntegzone pu` semplce (fe ttenzone che entmbe le sfee contbuscono ll ddp, use l pncpo d sovpposzone); c) S detemn l cpct` elettc del sstem. Soluzone ) Suppost tscuble l nduzone elettosttc, usmo l pncpo d sovpposzone pe due cmp ppossmtvmente coulombn l d fuo delle sfee: Q Q E tot E E ; 4ε 4ε b) l cmmno pu` semplce e` l segmento che unsce le sfee: D Q Q V E dl d tot 4ε ( ) D D Q Q 4 ε D 4 D ε Q D ε ( D ) ; c) dll defnzone d cpct`: Q ( D ) C ε ε. V D D

9 E) Mgnetsmo Qutto fl (solt t loo) sono pecos d coente ugule n modulo e dspost modo che l qudlteo ACD s un qudto d lto. S l ggo de fl, d gndezz tscuble spetto d. ) Detemne l cmpo mgnetco sull supefce del qudto ACD; b) stude l ndmento del cmpo su tle supefce e detemne se v pesent mssm o mnm; c) clcole l flusso del cmpo mgnetco sull supefce del qudto pvt d un conce d spessoe (coe` con l esclusone dell nteno de fl). Soluzone ) Applchmo l pncpo d sovpposzone: 4 3 tot. Dll egol dell mno dest segue che nel qudto ACD qutto cmp hnno ugul dezone e veso (z postvo), qund possmo somme dettmente modul de cmp: tot Dobbmo o espmee le dstnze dl nel nosto sstem d femento: tot

10 b) Pe tove punt esteml esegumo le devte pzl e ponmole ugul zeo: ( ) ( ) tot tot Il sstem h pe soluzone. Questo punto e` l cento del qudto ove l cmpo vle tot 4. Questo e` un punto d mnmo, n qunto l cmpo decesce llontnndos d fl. c) Il flusso e`: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) d d d d dd d ACD ACD tot Φ