= E! Se E ha proprietà di simmetria Enorme semplificazione

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1 pplcazon del teoema d Gauss a dstbuzon d caca smmetche Il teoema d Gauss è utle pe detemnae l campo elettco geneato da dstbuzon d caca che pesentano una qualche smmeta spazale. qn Φ ˆ E E Se E ha popetà d smmeta Enome semplfcazone nd ε S Poché l teoema d Gauss è valdo pe qualsas supefce S s scelga, la scelta delle supefc gaussane su cu calcolae l flusso deve essee effettuata n manea appopata, n modo da avvantaggas della smmeta della dstbuzone d caca al fne d estae E dall ntegale. La supefce da sceglee deve vefcae una ( o pù) delle seguent condzon: 1) Il valoe costate del campo sulla supefce deve essee dedotto dalla smmeta della dstbuzone d caca ( se E cost sulla supefce lo posso tae fuo dall ntegale e l ntegale s duce semplcemente all aea totale della supefce n esame) ) Il podotto scalae ta l campo ed l vettoe supefce d s deve pote espmee come un semplce podotto algebco (E d) facendo n modo che E sa pependcolae alla supefce ( E // E E ) E e 0 nel calcolo dell ntegale 4) S deve pote dedue che l campo è nullo su tutt punt della supefce ttenzone: dffeent pozon della supefce gaussana posso soddsfae una dvesa condzone ta le 4 elencate, puché ogn pozone spett almeno una d esse d

2 Campo elettco geneato da una dstbuzone contnua d caca Ø Quando l campo elettco geneato da un nseme d cache lo s calcola n un punto ad una dstanza molto maggoe della dstanza ta le cache, s può consdeae che l sstema d cache sa contnuo e che l campo sa geneato da caca totale dstbuta unfomemente n un dato volume o su una data supefce Ø Pe detemnae l campo elettco geneato da una dstbuzone contnua d cache s deve suddvdee la dstbuzone d caca n pccol element ognuno de qual contenent la caca Δq e calcolae sepaatamente camp elettc geneat da quest element (assunt come caca puntfome) Ø Il campo elettco geneato dall elemento -smo nel punto P saà qund: ΔE Δq k ˆ Ø Il campo elettco totale saà qund dato dalla somma de camp geneat da sngol element: " " E ΔE k Δq Ø Rducendo le dmenson degl element d dstbuzone fno a lvell nfntesm s ottene: q Campo elettco geneato da una E k ˆ dq ˆ dstbuzone unfome d caca lm Δ q 0 Δ E k Q N: l ntegale è esteso a tutta la caca che cea l campo ed è una gandezza vettoale, che dpende dal tpo d dstbuzone d caca ˆ

3 Campo elettco geneato da una dstbuzone contnua d caca seconda del tpo d dstbuzone d caca (d volume, d supefce, d lnea) la caca nfntesma dq assocata all elemento d dstbuzone veà espessa come: dq ρdv ρ Denstà d caca d volume pe volume nfntesmo dv dq σds dq λdl σ Denstà d caca supefcale pe supefce nfntesma ds λ Denstà d caca lneae pe lunghezza nfntesma dl Se Q è la caca totale unfomemente dstbuta n un volume V, la cospondente denstà d caca saà: Denstà d caca d volume Denstà supefcale d caca denstà d caca saà: Denstà lneae d caca ρ Q V Q l λ [ C] 3 [ m ] [ C] [ m] Caca pe untà d volume Se Q è la caca totale unfomemente dstbuta su una supefce S, la cospondente denstà d caca saà: σ Q S Caca pe untà d supefce Se Q è la caca totale unfomemente dstbuta su una lunghezza l la cospondente [ C] [ m ] Caca pe untà d lunghezza

4 Il campo elettco geneato da una dstbuzone supefcale d caca sfeca (unfome) deve essee adale (pe agon d smmeta) Q O R Poché l teoema d gauss vale pe ogn supefce, sceglamo quelle che c convengono d pù: una sfea d aggo <R centata n O una sfea d aggo >R centata n O Punto nteno alla dstbuzone d caca: Con la scelta della supefce sfeca concentca alla dstbuzone s ha che: 1) ) Esempo: Campo elettco geneato da una caca Q dstbuta unfomemente sulla supefce d una sfea conduttce Sa data una caca Q dstbuta unfomemente su una supefce sfeca d aggo R. S vuole conoscee l campo elettco geneato da questa dstbuzone, n un punto nteno alla sfea (E ) ed n uno esteno alla sfea stessa (E ). pplchamo l teoema d Gauss patendo da consdeazon d smmeta. E / /d n ogn punto della supefce sfeca (vefcato l punto ) Φ E " E ˆnd E d Sfea Φ E " E ˆnd q n ε 0 " q n Sfea E uguale su tutt punt della supefce sfeca Ma la dstbuzone d caca è estena alla supefce d aggo > ε 0 posso potae E fuo all ntegale Φ E E d Sfea ' E ˆnd E d 4π E q n ε 0 q n 0 E 0

5 Esempo: Campo elettco geneato da una caca Q dstbuta unfomemente sulla supefce d una sfea conduttce () Il campo elettco geneato da una caca dstbuta (unfomemente)su una supefce sfeca è nullo all nteno della supefce stessa Poché tutta la dstbuzone d caca è contenuta nella sfea d aggo, la caca totale pesente nella sfea è: S ha qund: Φ E E 4π' Q ε 0 E ' 1 4πε 0 Se <R q n 0 E 0 Punto esteno alla dstbuzone d caca: Con la scelta della supefce sfeca concentca alla dstbuzone, s ava, n modo analogo a quanto vsto pe l punto nteno alla sfea ad avee che: Φ E' E ' d 4π' E ' q n S q n Q Q ' ε 0 Se >R E Q 4πε 0 Il campo elettco geneato da una caca dstbuta (unfomemente) su una supefce sfeca è nullo ntenamente alla sfea e, estenamente ad essa, è equvalente a quello geneato da una caca puntfome Q poszonata nel cento della sfea stessa. 0 pe < R E Q 4πε 0 ˆ pe R Q O R '

6 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca Consdeamo una lamna ( d gand dmenson) pana con denstà supefcale d caca σ unfome. Detemnae l campo elettco n un punto vcno alla lamna e lontano da bod della lamna stessa Detemnamo anztutto la smmeta del campo n modo da pote sceglee la supefce gaussana pù oppotuna pe applcae l teoema d gauss: Il campo elettco, lontano da bod deve essee pependcolae alla lamna ed unfome. Poché la lamna è caca postvamente l campo saà uscente dalla lamna. Sulle due facce della lamna camp elettc avanno qund segn oppost La supefce gaussana che convene sceglee è quella che flette la smmeta del campo ( paallelo alla nomale alla lamna ed uscente da essa n entamb lat) La supefce pù convenente saà: Una supefce clndca che attavesa la lamna, con asse pependcolae alla lamna stessa e con le due bas, d aea, equdstant dal pano caco

7 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca(1) Supefce chusa: Clndo come n fgua ( composto da una supefce lateale e due bas ccola) Con questa scelta della supefce abbamo che: 1 E // alla supefce lateale del clndo E alla nomale alla supefce Il flusso attaveso la supefce lateale è nullo E alle due bas del clndo > E // alla nomale alle due supefc E nd ˆ base Ed base Le due bas soddsfano la condzone pe la scelta della supefce Gaussana Le due bas soddsfano anche la condzone 1 poché l campo è unfome Φ E " Clndo E d E d + E d + E d avant deto lateale #$% E d + E d E avant deto d + E d E 0 avant deto " # $# " # $# Il flusso totale attaveso l ntea supefce clndca saà : Φ E E

8 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca () Pe l teoema d Gauss Φ E ΦE E n E ε 0 dove q n è la caca acchusa nella supefce clndca Quanto vale q n? q Sappamo che la caca sulla lamna ha denstà supefcale σ ( caca pe untà d supefce) La supefce della lamna acchusa nel clndo d gauss è un dsco d aea La caca totale acchusa nel clndo saà qund: q σ n Il campo elettco geneato da una lamna con denstà supefcale d caca σ saà qund: E q σ n ε ε 0 0 E σ ε 0 qn ε 0 campo elettco geneato da una lamna con denstà supefcale d caca σ N: nel campo elettco non compae la dstanza dalla lamna. S può qund dedue che E σ/ε 0 sa l campo elettco a qualunque dstanza dal pano > l campo è unfome ovunque E

9 Condutto n equlbo elettostatco Ø In un conduttoe le cache (eletton) sotto l azone d un campo elettco sono lbee d muoves all nteno del mateale. Ø Un conduttoe s dce n equlbo elettostatco se le cache sono tutte a poso, coè la foza elettca sultante agente su cascuna d esse è nulla. Pe un conduttoe solato da tea, n equlbo elettostatco valgono le seguent popetà: 1) Il campo elettco all nteno del conduttoe è nullo ) Un qualsas eccesso d caca deve essee localzzato necessaamente sulla supefce estena del conduttoe 3) Il campo elettco appena al d fuo del conduttoe è pependcolae alla supefce n ogn punto ed ha ntenstà pa a σ/ε 0 (dove σ è la denstà d caca supefcale) 4) Su un conduttoe d foma egolae la caca s accumula sulle egon d supefce con aggo d cuvatua mnoe

10 Condutto n equlbo elettostatco 1)Il campo elettco all nteno del conduttoe è nullo Se così non fosse le cache all nteno del conduttoe veebbeo acceleate sotto l azone della foza elettca ed l conduttoe non saebbe qund n equlbo elettostatco. Ma peché l campo all nteno d un conduttoe n equlbo elettostatco è nullo? Consdeamo una lasta conduttce neuta nseta n un campo esteno ( come n fgua). Sotto l azone del campo elettco gl eletton del conduttoe, lbe d muoves, s spostano veso snsta ceando un eccesso d cache negatve a snsta ed un eccesso d cache postve a desta. Questa nuova confguazone d caca genea un campo elettco nteno al conduttoe che s oppone al campo esteno. Gl eletton contnueanno a spostas veso snsta fn quando l campo nteno non uguagleà l campo esteno ed l campo totale all nteno del conduttoe sulteà nullo ) Un qualsas eccesso d caca deve essee localzzato necessaamente sulla supefce estena del conduttoe Consdeamo d pendee una supefce gaussana all nteno del conduttoe Il flusso attaveso tale supefce deve essee nullo n quanto l campo elettco è nullo qund n essa la caca totale è nulla. Sceglamo la supefce ntena al conduttoe abtaamente vcna alla supefce anche n essa non c saanno cache n eccesso > tutta la caca n eccesso deve essee poszonata sulla supefce estena del conduttoe

11 Condutto n equlbo elettostatco 3)Il campo elettco appena al d fuo del conduttoe è pependcolae alla supefce n ogn punto ed ha ntenstà pa a σ/ε 0 (dove σ è la denstà d caca supefcale) Utlzzamo ancoa l teoema d Gauss. Ø Consdeamo un conduttoe d foma geneca e sceglamo come supefce gaussana un clndo che abba le bas paallele alla supefce del conduttoe con una delle bas ntena al conduttoe e l alta appena al d sopa della supefce estena. Ø Il campo elettco è pependcolae alla supefce ( se cò non fosse la componente del campo lungo la supefce saebbe dvesa da zeo.> sotto l azone d questa componente le cache s muoveebbeo sulla supefce ed l conduttoe non saebbe n equlbo elettostatco) E // alla supefce lateale del clndo E alla nomale alla supefce lateale Ø Il flusso attaveso la supefce lateale è nullo Ø Il flusso attaveso la supefce d base ntena al conduttoe è nullo peché E0 Ø Il flusso totale attaveso l clndo è pa al flusso attaveso la supefce della base supeoe ( che è pependcolae al campo ed n essa l campo è costante): Φ E qn E nd ˆ Ed E d E ma q n σ > σ E ε ε 0 s 0 E σ ε 0

12 Enega potenzale elettca La foza elettostatca è una foza consevatva. Possamo qund assegnae una enega potenzale elettca al sstema d patcelle cache nel quale agsce la foza elettostatca. Se l sstema vaa la sua confguazone da uno stato nzale ad uno fnale, la vaazone d enega elettostatca è pa al lavoo L e, cambato d segno, computo della foza elettostatca. ΔU U f U L e Poché l enega potenzale elettca è sempe defnta a meno d una costante, s attbusce enega potenzale nulla allo stato n cu le patcelle sono a dstanza nfnta l una dall alta. Consdeamo una caca puntfome q 0 mmesa n un campo elettostatco. La foza elettca agente sulla caca saà: F e F e q E è una foza consevatva poché è data dalla somma d foze consevatve. Quando la caca q 0 s muove soggetta al campo elettco, l campo elettco fa un lavoo sulla caca stessa. Se consdeamo uno spostamento nfntesmo d s della caca q 0 l lavoo nfntesmo computo dal campo saà: dl e F e d s q 0 E d s ΔU U f U L e dl e q 0 E d s f f 0 E U ( ) 0 Integale: Poché l campo elettco è consevatvo, Questo ntegale non dpende dal pecoso effettuato dalla caca elettca pe andae dalla poszone nzale alla poszone fnale, ma dpende solo dallo stato nzale e dallo stato fnale f

13 Potenzale elettco Ø L enega potenzale dpende dall ntenstà della caca d pova. ΔU q 0 Ø Data una egone d spazo n cu è pesente un campo elettco Il potenzale elettco è la gandezza fsca data dall enega potenzale pe untà d caca n una dato punto P del campo elettco stesso Ø Il potenzale è una popetà del campo, che esste ndpendentemente dalla pesenza o meno d una caca pova nel punto dello spazo n cu vene detemnato. Ø Il potenzale elettco n un punto abtao P dello spazo è uguale al lavoo pe untà d caca necessao pe potae una caca postva dall nfnto al punto P. V P f V U q 0 P E d s E d s E d s L e Q Enega potenzale elettca Potenzale elettco

14 Potenzale elettco e Dffeenza d Potenzale elettco Ø Il potenzale è una gandezza scalae ha dmenson d un enega su una caca e nel SI la sua untà d msua è l volt V: V Ø 1V 1J/C > Dato un campo elettco ed una caca da 1C mmesa n esso, pe spostae la caca elettca ta due punt del campo che hanno una dffeenza d potenzale ΔV1V bsogna svolgee un lavoo d 1J dall esteno Ø Elettonvolt: ev 1e 1V J Un elettonvolt è l enega cnetca guadagnata da un elettone acceleato attaveso una dffeenza d potenzale d 1 V(oppue è l lavoo necessao a spostae un elettone ta due punt nel campo che dffescono d 1 Volt) Dffeenza d potenzale elettco: ΔV ΔU q 0 J C 1 Ø S defnsce dffeenza d potenzale fa due punt e, la vaazone d enega potenzale quando una caca d pova s muove ta due punt, dvsa pe la caca d pova stessa (oppue: lavoo, cambato d segno, svolto dal campo pe spostae una caca d pova dal punto al Punto dvso pe la caca d pova stessa). E d s Dffeenza d Potenzale

15 Quando una caca postva s muove nel veso del campo elettco, l enega potenzale elettca del sstema caca-campo dmnusce (analoga con l campo gavtazonale) Dffeenza d potenzale elettco Ø S defnsce dffeenza d potenzale fa due punt e, la vaazone d enega potenzale quando una caca d pova s muove ta due punt, dvsa pe la caca d pova. ΔV ΔU q 0 E d s Dffeenza d Potenzale Dffeenza d potenzale n un campo elettco unfome: q 0 Ø Consdeamo un campo elettco unfome detto lungo l asse y negatvo Ø La dffeenza d potenzale ta due punt e sepaat da una dstanza d (lungo la dezone delle lnee d campo) è data da: ΔV E ds y E cos 0 y Il segno è dovuto al fatto che V < V (V0 all nfnto) ds E y y dy ds E y ( y y ) Ed N: Le lnee d foza n geneale puntano veso una dezone a potenzale elettco mnoe dy y y E ΔV Ed E q 0 d y Ø Se una patcella d caca q 0 s muove dal punto al punto la vaazone d enega potenzale saà: ΔU q0δv q0 Ed Dffeenza d enega potenzale n un campo elettco unfome su una caca q 0

16 Dffeenza d potenzale elettco n un campo elettco unfome Consdeamo un campo elettco unfome detto lungo l asse y negatvo q 0 Ø La dffeenza d potenzale ta due punt e sepaat da una dstanza d lungo la dezone delle lnee d campo è data da: ΔV E d s E cos0 ds y ΔV Ed y y E dy y ds dy E y y y E ( y y ) Ed Dffeenza d potenzale ta due punt post ad una dstanza d lungo la dezone delle lnee d un campo elettco unfome E q 0 d y Il segno s spega con l fatto che V < V (V0 all nfnto) N: Le lnee d foza n geneale puntano veso una dezone a potenzale elettco mnoe Ø Se una patcella d caca q 0 s muove dal punto al punto la vaazone d enega potenzale saà: ΔU q 0 ΔV q 0 Ed Quando una caca postva s muove nel veso del campo elettco, l enega potenzale elettca del sstema caca-campo dmnusce (analoga con l campo gavtazonale)

17 Dffeenza d potenzale n un campo elettco unfome (contnua) bbamo vsto che una patcella d caca q 0 mmesa n un campo elettco che s muove lungo una lnea d foza del campo da un punto ad un punto dstant ta d loo d, subsce una vaazone d enega potenzale ΔU q 0 Ed Consdeamo oa una patcella che s muove fa due punt qualsas e del campo. Sa θ l angolo ta la dezone dello spostamento e le lnee d foza del campo. La vaazone d potenzale saà data da: V E d E d " E Δ EΔ cosθ y x Δy d dx î + dy ĵ dx î+dy ĵ ( ) x dx î + dy ĵ y x y Δxî + Δyĵ Δ d Δ Δx N: Δ cosθ Δx d ( d dstanza ta ed l pano contenente pependcolae al campo ) la componente Δy dello spostamento non pota contbuto alla vaazone d potenzale. S ha nfatt che. E ˆ j E Δy ˆj 0 Muovendos lungo punt che gaccono su una supefce pependcolae al campo non s ha vaazone d potenzale elettco (ΔV0) queste supefce sono equpotenzal Poché U q 0 V se ΔV0 > ΔU -L 0 > pe andae da un punto ad un alto d una supefce equpotenzale non s compe lavoo L ΔU q0 ΔV Il lavoo pe spostae una caca lungo una supefce equpotenzale è nullo ΔV EΔx Ed 0 0

18 Dffeenza d potenzale n un campo elettco unfome (contnua) bbamo vsto che una patcella d caca q 0 mmesa n un campo elettco che s muove lungo una lnea d foza del campo da un punto ad un punto dstant ta d loo d, subsce una vaazone d enega potenzale ΔU q 0 Ed Consdeamo oa una patcella che s muove fa due punt qualsas e del campo e che θ sa l angolo ta la dezone dello spostamento e le lnee d foza del campo. La vaazone d potenzale saà data da: V E d E d E Δ EΔ cosθ y x Δy d dx î + dy ĵ dx î+dy ĵ ( ) x dx î + dy ĵ y x y Δxî + Δyĵ Δ d Δ Δx N: Δ cosθ Δx d ( d dstanza ta ed l pano contenente pependcolae al campo ) ΔV Ed la componente Δy dello spostamento non pota contbuto alla vaazone d potenzale. S ha nfatt che. L ΔU q 0 ΔV E ĵ E Δy ĵ 0 Muovendos lungo punt che gaccono su una supefce pependcolae al campo non s ha vaazone d potenzale elettco (ΔV0) queste supefce sono equpotenzal Poché equpotenzale è nullo ΔU q 0 Ed Dffeenza d potenzale e d enega potenzale n un campo elettco unfome su una caca q 0 Il lavoo pe spostae una caca lungo una supefce

19 Potenzale elettco pe una caca puntfome solata Consdeamo una caca puntfome q postva. Il campo elettco geneato da questa caca è: Dffeenza d potenzale elettco ta l punto ed l punto : ΔV E ds Consdeamo l agomento dell ntegale, se θ è l angolo ta ˆ e ds, s avà: k q ˆ ds avvenuta duante lo spostamento ds q q q E ds k ˆ ds k ds cosθ k Sosttuamo nell ntegale: q ΔV V V k d L ntegale è ndpendente dal pecoso effettuato pe andae da e e dpende solo dalle coodnate adal d e (coè dalle loo dstanze dalla caca q che genea l campo) > la foza elettca è consevatva Ponendo l potenzale a zeo quando s ottene l potenzale elettco n un punto posto a dstanza dalla caca che genea l campo: ΔV d 1 1 V V V kq kq kq 0 E d k q d ds cosθ vaazone nfntesma della dstanza dalla caca q d 1 kq V k q ˆ kq 1 kq 1 d d s ΔV kq 1 1 potenzale elettco dovuto ad una caca elettca puntfome n punto a dstanza da essa

20 Potenzale elettco pe una caca puntfome solata Consdeamo una caca puntfome q postva. Il campo elettco geneato da questa caca è: Consdeamo l agomento dell ntegale, se θ è l angolo ta ˆ e ds, s avà: E k q ˆ Dffeenza d potenzale elettco ta l punto ed l punto : ΔV E d s k q ˆ d s E d s k q ˆ d s k q dscosθ k q d d ds cosθ vaazone nfntesma della dstanza dalla caca avvenuta duante lo spostamento Sosttuamo nell ntegale: ΔV V V k q d kq d kq 1 kq 1 1 L ntegale è ndpendente dal pecoso effettuato pe andae da e e dpende solo dalle coodnate adal d e (coè dalle loo dstanze dalla caca q che genea l campo) > la foza elettca è consevatva Ponendo l potenzale a zeo quando s ottene l potenzale elettco dovuto ad una caca elettca n punto a dstanza da essa: V k q ΔV kq 1 1 kq 1 1 kq1 d d s ΔV kq 1 1 potenzale elettco dovuto ad una caca elettca puntfome n punto a dstanza da essa

21 V k Potenzale elettco pe cache puntfom q potenzale elettco dovuto ad una caca elettca puntfome n punto a dstanza da essa Tutte le cache poste su una supefce sfeca d aggo centata nella caca q hanno lo stesso potenzale pa a V k q Le supefc equpotenzal pe un campo geneato da una caca puntfome solata sono appesentate da una famgla d sfee concentche alla caca N: Le lnee d foza del campo sono sempe pependcola alle supefce equpotenzal

22 Potenzale elettco pe cache puntfom V k q Tutte punt post su una supefce sfeca d aggo centata nella caca pesentano lo stesso potenzale pa a V k q Le supefc equpotenzal pe un campo geneato da una caca puntfome solata sono appesentate da una famgla d sfee concentche alla caca Le lnee d foza del campo sono sempe pependcola alle supefce equpotenzal

23 Potenzale elettco pe un sstema d cache Ø Sstema d cache: Se nvece d avee una sola caca solata abbamo un sstema d cache puntfom l potenzale elettco d questo sstema d cache s ottene medante l pncpo d sovapposzone: Il potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom è uguale alla somma de potenzal elettc n quel punto dovut alle sngole cache V V k q potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom (l potenzale è nullo all nfnto) Ø Dstbuzone contnua d caca: Il potenzale elettco calcolato n un punto P, geneato da una dstbuzone d caca contnua s può detemnae mmagnando d suddvdee la dstbuzone d caca n element nfntesm dq, tal da potel consdeae cache puntfom e qund d sommae tutt contbut al potenzale dovut a cascun elemento d caca V V k dq lm dq 0 V dv k Il potenzale elettco è una gandezza scalae pe cu non sono necessae consdeazon vettoal quando s somma su tutt contbut N: calcolae l potenzale nel punto P è pù facle che calcolae l vettoe campo poché V totale è dato da una somma algebca, mente l valoe totale del campo è dato da una somma vettoale dq k dq potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad una dstbuzone contnua d cache

24 Potenzale elettco pe un sstema d cache Ø Sstema d cache: Se nvece d avee una sola caca solata abbamo un sstema d cache puntfom l potenzale elettco d questo sstema d cache s ottene medante l pncpo d sovapposzone: Il potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom è uguale alla somma de potenzal elettc n quel punto dovut alle sngole cache V V k q potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom (l potenzale è nullo all nfnto) Ø Dstbuzone contnua d caca: Il potenzale elettco calcolato n un punto P, geneato da una dstbuzone d caca contnua s può detemnae mmagnando d suddvdee la dstbuzone d caca n element nfntesm dq, tal da potel consdeae cache puntfom e qund d sommae tutt contbut al potenzale dovut a cascuna caca V V k dq dq 0 V dv k dq k dq potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad una dstbuzone contnua d cache Il potenzale elettco è una gandezza scalae pe cu non sono necessae consdeazon vettoal quando s somma su tutt contbut N: calcolae l potenzale nel punto P è pù facle che calcolae l vettoe campo poché V totale è dato da una somma algebca, mente l valoe totale del campo è dato da una somma vettoale

25 Enega potenzale pe una coppa d cache puntfom Consdeamo una coppa d cache q 1 e q e detemnamo l enega potenzale d questo sstema. Il potenzale elettco dovuto al campo geneato dalla caca q n un punto P dstante 1 da q saà V P kq 1 Il lavoo che deve effettuae l campo geneato da q pe spostae la caca q 1 da P all nfnto è pa alla vaazone d potenzale cambata d segno moltplcata pe la caca q 1 L ΔU U( ) U p U q V k q q 1 P 1 P 0 1 lavoo necessao pe spostae la caca q 1 da P all nfnto L enega potenzale elettca della coppa d cache q1-q s può espmee come: U q 1 V P k q 1 q 1 Enega mmagazznata dal sstema q 1 - q quando le due cache sono sepaate da una dstanza 1 Se q1 e q hanno stesso segno U>0 ( LU>0 > è l sstema che compe lavoo, le cache s allontanano spontaneamente, le due cache nfatt s espngono) Se q1 e q hanno segno opposto U<0 (LU<0 > bsogna compee lavoo sul sstema pe potae q1 all poché q1 e q s attaggono)

26 Quest spostament cospondono a spostament lungo le supefc equpotenzal Rcavae E dal potenzale elettco V bbamo vsto che campo elettco e potenzale sono legat dalla elazone: P V P E d s Questa elazone pemette d cavae l potenzale elettco a pate dal campo elettco. Esempo 1 Campo elettco con lnee d foza paallele V P dv E x dv dx P E d s dv E d s Se: E E x î E E x î dv E d s ( E x î) ( dxî + dyĵ + dz ˆk ) Exdx E x dv dx Se l campo ha un unca dezone, l campo elettco è pa alla devata cambata d segno del potenzale spetto alla coodnata lungo la dezone del campo In questo caso la vaazone del potenzale è nulla spetto a qualsas spostamento pependcolae al campo ( che qund non abba componente lungo x), coè V vaa solo al vaae d x.

27 Rcavae E dal potenzale elettco V () Esempo : Campo geneato da una dstbuzone d caca a smmeta sfeca Il campo elettco dpende solo dalla dstanza adale dal cento della dstbuzone, s ha qund che: dv E d s E d E dv d E dv d Se l campo ha una smmeta sfeca, l campo elettco è pa alla devata cambata d segno del potenzale spetto alla dezone adale del campo Caso patcolae: Campo geneato da una caca puntfome Il potenzale d una caca puntfome è: V k q ( ) E dv d kq d 1 d kq 1 E k q 1 4πε 0 q

28 Caso geneale: Rcavae E dal potenzale elettco V (3) Consdeamo un potenzale elettco che dpende da tutte e te le coodnate spazal x,y,z: V V ( x, y,z) Il campo elettco ( vettoe) s otteà componente pe componente dalle devate pazal del potenzale spetto alle te coodnate: dv E d s E x dx E y dy E z dz E x V x E y V y E z V z

29 Esempo: Tovae l campo elettco assocato al potenzale: E x V x 3x E y V y 3x E z V z 3x ( y + y + yz) x ( y + y + yz) y ( y + y + yz) z V 3x y + y + ( 3x y) x yz x 3y 6xy ( ) ( x y y ) ( yz) 3 3x y y y y ( yz) z y E E x î + E y ĵ + E z ˆk 6xy ( )î 3x y z ( ) ĵ y ( ) ˆk z

30 Enega potenzale pe una coppa d cache puntfom Consdeamo una coppa d cache q 1 e q e detemnamo l enega potenzale d questo sstema. Il potenzale elettco dovuto al campo geneato dalla caca q n un punto P dstante 1 da q saà Il lavoo che deve effettuae l campo geneato da q pe spostae la caca q 1 da P all nfnto ( senza acceleazone) è pa alla vaazone d potenzale cambata d segno moltplcata pe la caca q1 L ΔU U( ) U U q V k q q L enega potenzale elettca della coppa d cache q1-q s può espmee come: U q V k 1 q1q 1 1 Enega mmagazznata dal sstema q 1 -q quando le due cache sono sepaate da una dstanza 1 V k q 1 lavoo necessao pe spostae la caca q 1 da P all nfnto Se q1 e q hanno stesso segno U>0 ( LU>0 > è l sstema che compe lavoo, le cache s allontanano spontaneamente) Se q1 e q hanno segno opposto U<0 (LU<0 > bsogna compee lavoo sul sstema pe potae q1 all poché q1 e q s attaggono)