Matematica e Fisica Classe 5G Introduzione alla teoria dei campi. 2.1 La Forza...4

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1 Intoduzone alla teoa de camp IIndccee BRV STORIA DL CAMPO... DSCRIVR UN CAMPO (TRATTAZION LMNTAR) La Foza...4 L Intenstà del campo L analoga ottca Sogente Intenstà Flusso Il poblema geneale del campo Il Flusso Flusso d una sogente puntome Il teoema d Gauss Intenstà d campo n buone geomete L nega potenzale Il valoe assoluto dell enega potenzale L espessone matematca dell enega potenzale Geometa d sogente puntome Caso gavtazonale, o della oza attattva ta sogent ugual Caso elettostatco, o della oza epulsva ta sogent ugual Geometa d sogente pana Caso gavtazonale Caso elettostatco Il Potenzale Il pncpo d sovapposzone....7 La Ccutazone....8 Il caso del campo elettomagnetco... 3 DSCRIVR UN CAMPO (TRATTAZION GNRAL) Il Gadente La Ccutazone Il Flusso e la Dvegenza: pesenza d sogent Il Rotoe: camp consevatv Il caso del campo elettomagnetco...4 Fancesco Fontana le Camp.doc pagna d 4

2 BRV STORIA DL CAMPO L dea d un campo d oze nasce nello studo della dnamca della gavtà con Descates. Pe Astotele e pe tutto l Medoevo la gavtà ea la tendenza ad un luogo natuale senza bsogno d ntemeda sc. In Galleo sopavvve la natualtà del moto natuale ccolae che occulta l poblema dell ogne del campo. Nel mondo antco comunemente le oze agscono pe contatto. Descates ntoduce la sua teoa de votc d etee pe spegae la gavtà, ma la sua sca-geometa, che mette al cento dell nteesse della sca l estensone spetto alla massa (gavtazonale), s vela poco pocua. Nel Secento s dmosta la possbltà del vuoto, conto l hoo vacu medevale. Newton ntoduce l azone a dstanza nel vuoto ta Sole e panet e nel suo Hypotheses non ngo sntetzza la sua poszone sulla nspegabltà d tale azone. Nel XVIII secolo, conto l catesanesmo ancese, anche nel Contnente tona l newtonansmo nglese: l azone a dstanza nel vuoto è studata con l solo uso della oza, eclssando votc d etee. La necesstà d descvee le azon a dstanza nel vuoto d Newton pota, nel XIX secolo, l suo connazonale Faaday, sco e chmco spementale, studando l campo elettco, a ntodue le lnee d oza che sono peò solo un atco matematco. L azone a dstanza s può manestae ancoa stantaneamente. L anals matematca del XIX secolo è gà penamente n gado d descvee le caattestche delle azon a dstanza con l ntoduzone d un campo (gavtazonale o elettco), spesso sull analoga del compotamento de lud (da cu s mpotano temn d sogente e lusso e gl opeato matematc coelat) e delle sogent lumnose. Il campo è un ente matematco, un modello astatto, che descve la pesenza d petubazon dello spazo podotte da sogent d un ceto tpo d oza. Le lnee d oza dvengono lnee d campo. Matematc come l tedesco Gauss ne studano le popetà matematche. Il campo è accompagnato da una enega (potenzale) d campo. Nella seconda metà del XIX secolo l nglese Maxwell, matematzzando l lavoo spementale e le dee del connazonale Faaday, scope che un campo (astazone matematca), uncamente vaando, può dventae sogente ( eale ) d un alto campo. L opeazone chedeva che camp vaasseo su qualcosa, come avvene pe le onde mateal, e qund l nglese deve coee allo statagemma del ancese scontto un secolo pma: l azone a dstanza è tasmessa dall etee. Inolte Maxwell tova che la veloctà d tasmssone delle vaazon d campo è quella della luce: l azone a dstanza non è pù stantanea. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna d 4

3 Le ctche de tedesch Mach e nsten conto l etee, nseme all emegente teoa della elatvtà ndcano che l etee non semba esstee: camp s tasmettono nel vuoto e la teoa della elatvtà specale del 905 spega come una veloctà (quella della luce, coè de camp elettomagnetc) possa essee uguale pe qualsas ossevatoe senza l esstenza del suo suppoto mmagnato da Maxwell. Il XX secolo vede l successo d due teoe ondamental: la teoa geneale della elatvtà e la meccanca quantstca. La loo ncompatbltà mpedsce d unle n un unco omalsmo e d uncae così le oze ondamental della natua. Nel tentatvo d uncazone delle oze nasce una bocazone nella tattazone de camp ta:. la teoa elatvstca de cam che, come nel sogno d Cateso, lettealmente geometzza l azone a dstanza, coè la duce a dmenson spazotempoal. Il veccho appoto sogente campo s nvete: l campo è l soggetto, la sogente è un podotto del campo.. la teoa quantstca de cam che lettealmente matealzza l azone a dstanza, coè la duce a patcelle scambate dalle sogent. () Nel 96 nsten pubblca la teoa geneale della elatvtà con la quale la gavtazone, estando una oza ondamentale, dvene una popetà dello spazo, esdente nelle dmenson agguntve alle 4 dello spazotempo che allo spazo comune sono assocate. Negl ann 0 del XX secolo, l tedesco polacco Kaluza e lo svedese Klen, sull esempo della teoa geneale della elatvtà, suggescono d consdeae l campo elettomagnetco come podotto da ulteo dmenson agguntve dello spazotempo. Nasce l dea che conduà alle teoe delle stnghe e delle supestnghe a pate dagl ann 60 e al tentatvo d uncazone delle oze ondamental, l sogno d nsten. () Negl ann 40 del XX secolo, gl amecan Feynman e Schwnge, l nglese Dyson e l gapponese Tomonaga voluzonano l dea d campo tovando che l azone a dstanza nel vuoto è tasmessa da patcelle vtual la cu ceazone è pemessa dal pncpo d ndetemnazone ntodotto dal tedesco Hesembeg del 97. Nasce l elettodnanca quantstca (QD). Le 4 dmenson spazotempoal, gà dalla teoa della elatvtà specale, non possono pù dsgunges ta loo. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 3 d 4

4 DSCRIVR UN CAMPO ((TTRATTTTAZZIION LLMNTTAR)) Va pemesso che:. c collochamo stocamente alla ne dell 800: la necesstà d descvee un campo deva da quella d tattae l azone a dstanza nel vuoto. consdeamo solo camp elettostatco e gavtazonale e, pe talun aspett, elettomagnetco Il campo è una petubazone dello spazo podotta dalla pesenza d un luogo patcolae che chamamo sogente. La petubazone d cu palamo è ossevable dalla pesenza d una oza ta due sogent poste vcne. L unca gandezza msuable n modo detto n un campo è la oza che agsce ta sogent. Descvee un campo sgnca tovae una gandezza da assocae a punt dello spazo: un campo è una cospondenza unvoca e contnua ta punt dello spazo e valo d una gandezza sca. Se la gandezza è scalae s pala d un campo scalae (esempo: campo d pesson atmoseche, campo d tempeatue) Se la gandezza è vettoale s pala d campo vettoale (esempo: campo d veloctà d un ludo, aa o acqua)... LA FORZA Se abbamo due sogent, pe semplctà puntom, s e s, la oza è data da legg come quelle d gavtazone d Newton (687) o dell elettostatca d Coulomb (785): ss F ±K ˆ dove: K è una costante che dpende dalla oza (elettostatca o gavtazonale), ma pe cascuna oza dpende solo dalle untà d msua utlzzate: cambando le untà d msua convenzonal, ad esempo della dstanza, s potebbe avee K. Poché la dstanza compae n entamb cas, elettostatco e gavtazonale, potebbe essee pù oppotuno sceglee le untà d msua delle sogent che dano K. Tuttava pe agon stoche s mantengono le K dvese dall untà: Nm 9 Nm KG K 9 0 kg 4πε 0 C Così s mantengono l meto, l chlogammo e l Coulomb come untà ondamental d dstanza, sogente gavtazonale e sogente elettostatca. ˆ appesenta l vesoe (vettoe untao) della congungente s s. Il segno dpende dal veso della oza ta sogent (postve) spetto a quello del vesoe. Ad ogn punto dello spazo s assoca uno e un solo valoe della gandezza. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 4 d 4

5 .. L INTNSIITÀ DL CAMPO La oza n geneale non è adatta a descvee l campo peché dpende da entambe le sogent. Pe descvee l campo podotto da una sogente s (che consdeamo sogente del campo ) senza dpendee dalla sogente s ( sogente s esploatce ) s ntoduce l vettoe ntenstà del campo, avente P dezone, veso e modulo della oza che saebbe podotta nel punto P su una sogente untaa posta n P. Chamando e G vetto ntenstà G del campo elettostatco e gavtazonale e chamando q e m le sogent de s due camp: F/q [N/C] G F/m [N/kg] q ( P) K m ˆ ˆ G( P) KG L ntenstà è la gandezza assocata al campo e consente una mappatua vettoale del campo, nel senso vsto sopa, pe cu è possble assocae, n modo unvoco e contnuo, ad ogn punto dello spazo uno e un solo vettoe ntenstà. 3 Nella desczone d campo, Faaday ntoduce le lnee d campo dotate delle seguent popetà:. Pe ogn punto passa una e una sola lnea d campo (le lnee d campo non s ntesecano).. In ogn punto la lnea d campo è tangente al vettoe ntenstà. 3. Le lnee d campo ognano o nscono sulle sogent; le lnee d campo possono povene o andae all nnto. 4. In ogn punto la denstà d lnee d campo descve l ntenstà del campo.... L analloga ottttcca L dea d campo deva dall ntenstà lumnosa d una sogente d luce studata n quata. Il campo è l analogo della luce dusa SSooggeennttee In quel caso abbamo una sogente che eoga enega lumnosa nel tempo t con potenza eogata P msuata n W ( J/s): P : [ W ] t La potenza eogata dalla sogente d luce è l analogo della sogente s del campo IInntteennss ttàà S densce ntenstà (lumnosa) la potenza che attavesa una supece untaa: W I : t S m L ntenstà lumnosa è l analogo dell ntenstà del campo. A dstanza da una sogente puntome, sotopa e costante (nel tempo), l ntenstà s ottene ossevando che la potenza emessa s tova spalmata su una supece seca d aggo : P W I t S 4π m 3 Nel lnguaggo palato s usa, poco coettamente, l temne campo pe ntendee l vettoe ntenstà del campo. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 5 d 4

6 Questa va sotto l nome d legge dell nveso del quadato della dstanza e c suggesce che la dpendenza dall nveso del quadato della dstanza nelle legg d Newton e Coulomb deva dal atto, geometco, che la sogente è puntome Fluussssoo Se consdeamo una qualsas supece S mmesa n un campo, attaveso d essa passa una potenza S PS S t La potenza P S attaveso una supece è l analogo del lusso del campo attaveso S. P S Se n patcolae consdeamo una qualsas supece S chusa che acchuda la sogente, attaveso d essa passa una potenza P S,chusa pa alla potenza P eogata dalla sogente. P P S, chusa La potenza P S attaveso S chusa è pa alla potenza P eogata dalla sogente contenuta Se l eogazone è unome nel tempo e se avvene nel vuoto, vale un sultato, che toveemo ta poco, noto come teoema d Gauss: Una qualsas supece chusa che acchuda la sogente è attavesata da un lusso d campo uguale alla potenza eogata dalla sogente. P P S..3 IL PROBLMA GNRAL DL CAMPO Il poblema geneale del campo è quello d descvee l campo (tovae la mappatua del campo ), data la dstbuzon delle sue sogent. Lo stumento è oeto dal lusso del campo...3. IIll Fllusssso Nel seguto chameemo v l vettoe ntenstà del campo (spettvamente e G pe camp elettostatco e gavtazonale). Φ : v S Φ( v) n v S n v S cosϑ La denzone deva dalla ludodnamca e appesenta la quanttà del vettoe d campo che attavesa una supece (n ludodnamca l vettoe d campo è la veloctà del ludo) Fluussssoo dd uunnaa ssooggeennttee ppuunntt oomee Nel caso d una sogente puntome, s ha: s v K Dunque l lusso Φ attaveso una supece seca centata nella sogente vale: s Φ v 4π K 4π 4πKs Nel vuoto o n uno spazo che non nteagsce con l campo, la costante 4πK dpende solo dalle untà d msua scelte. Il lusso n tal caso dpende solo dalla sogente contenuta nella supece chusa...3. IIll tteeoeema d Gaussss È possble dmostae che l sultato s estende: a pù sogent contenute nella supece, anche non puntom e a dstbuzone estesa Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 6 d 4

7 a supec chuse d oma qualsas. Il lusso del campo attaveso una qualsas supece chusa dpende solo ed è dettamente popozonale alla somma d tutte le sogent contenute. q Φ() 4πK q Φ( G) 4πK G m ε sempo. Se la sogente è una lampadna da 00 W (lumnos), attaveso una supece chusa che acchuda la sogente passa un lusso d 00 W IIntteenssttà d ccampo n buonee geeomeettee Con l teoema d Gauss s può cavae l valoe dell ntenstà d campo da una dstbuzone d sogent nota (che chamamo n geneale geometa delle sogent ). Calcolando l lusso attaveso supec chuse semplc n dstbuzone d sogent semplc ( buone geomete ) sa con l teoema d Gauss che con la denzone, e uguaglando le espesson, s ottengono valo d ntenstà d campo n quelle geomete. Geometa d sogente: Puntome Lneae Pana Seca a dstanza da sogente a dstanza da sogente a dstanza da sogente a dstanza dal cento d puntome o dal cento d lneae unome d denstà pana unome d denstà una dstbuzone unome sogente seca unome lneae λ supecale σ d denstà spazale ρ d aggo R < Intenstà d campo q q K K elettco λ q σ q 4 ρq πk σ 4 πε q πk ρq ε 3 3ε Intenstà d campo m K K G λ m 4 gavtazonale G G πk Gσ m πk G ρ m 3 P P P Geometa s l σ ρ P S υ υ υ υ Gaco del campo La geometa d sogente puntome è quella della legge gavtazonale d Newton: panet e l Sole sono assmlabl, a dstanza oppotuna, a see unom e, a gand dstanze, a punt dotat d massa. La geometa d sogente pana è quella della oza peso (P mg) n laboatoo 4. L ntenstà del campo gavtazonale vcno alla supece della Tea (a dstanza h<<r T, laddove la sogente può essee consdeata un pano nnto), non dpende da h e vale 9.8 m/s. La geometa d sogente seca è quella della gavtà all nteno della Tea, a dstanza dal suo cento: s osseva che al cento non c è gavtà. 4 In ealtà, la gavtà g n laboatoo deva dalla dstbuzone seca teeste quando, n punt molto vcn alla supece, c s sposta vetcalmente d quanttà molto mno del aggo teeste. Il campo unome n dezone, veso e modulo tuttava è analogo a quello della dstbuzone pana d massa. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 7 d 4

8 ..4 L NRGIIA POTNZIIAL Chamamo campo consevatvo un campo n cu l lavoo atto pe potae una sogente da un qualsas punto A a un qualsas punto B non dpende dal pecoso scelto, ma solo dalle poszon nzale e nale (olte che dalla sogente taspotata). Camp n cu agscono solo oze espesse da legg con la oma delle ctate legg d Newton e Coulomb sono consevatv. Un campo consevatvo ha popetà semplc che dscendono dettamente dalla denzone:. Il lavoo pe spostae una sogente lungo un pecoso chuso è nullo.. È possble ntodue una gandezza matematca, l enega potenzale, nel modo che segue 5 : Il lavoo L AB svolto dalle oze del campo pe potae una sogente (esploatce) da un punto A ad un punto B è pa all ncemento d enega potenzale cambato d segno, L campo,ab D p A B dove A, B sono le enege potenzal della sogente A esploatce s n A e n B. 3. Se l sstema è solato e s consdeano solo le oze del campo, l enega totale meccanca (potenzale + cnetca) s conseva (da L campo - p s qu l nome d campo consevatvo). B () è una semplce conseguenza della denzone d campo consevatvo. () è un alta detta conseguenza della denzone, gacché l lavoo pe andae da A a B è ssato e dunque s può utlzzalo pe calcolae gl ncement d una gandezza nventata ad hoc. (3) deva dal atto che, pe come ntodotta, l enega potenzale appesenta una seva enegetca che può commutas n enega cnetca (se l sstema è solato e non agscono alte oze) L enega potenzale s msua n J. La ) non ntoduce l enega potenzale ma la deenza d suo valo. C s può endee conto che questo stano modo d ntodue una gandezza la densce a meno d una costante addtva abtaa. 6 La scelta d questa costante è stettamente connessa con la scelta del luogo dello spazo n cu s vuole assumee l enega potenzale uguale a zeo (la scelta è convenzonale e legata a atto d comodo: pe le sogent puntom l lvello d zeo è posto all nnto)...4. IIll vvalloee assssollutto deellll eeneega potteenzzallee Conoscamo l sgncato sco d p, l lavoo atto dalle oze estene conto l campo. sste un sgncato sco d p? Coè, s può palae d un lvello d zeo pvlegato d p? Poché L campo,ab D p A B, se s pota la sogente esploatce da un luogo A n cu la oza è nulla e qund dove ha senso poe A 0 (all nnto pe le sogent puntom) al punto P, l lavoo atto dalle oze del campo è: L campo,ap P. L estene,ap Ne deva un sgncato patcolae d enega potenzale: s 5 Il segno negatvo è coelato con l atto che, se le oze del campo anno un lavoo, l enega potenzale d una sogente esploatce deve dmnue. Non ha nente a che vedee con l segno negatvo che s tova davant all enega potenzale gavtazonale. 6 Lo s è gà vsto n teza con l enega potenzale gavtazonale. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 8 d 4

9 L enega potenzale nel punto P è l lavoo atto dalle oze estene (dunque conto le oze del campo) pe potae la sogente esploatce da uo dal campo nel punto P. L enega potenzale è l enega d costuzone d un sstema: l enega ntena del sstema. Se nella costuzone del sstema le oze estene hanno atto un lavoo postvo, l enega del sstema è postva e dunque l sstema può esttue enega (esempo: due cache elettche postve). Se le oze estene hanno atto un lavoo negatvo (l sstema è stato qund costuto dalle oze del campo), alloa l sstema ha un enega negatva, è legato, e pe dstuggelo occoe che le oze estene accano un lavoo (esempo: due masse)...4. L eesspeessssonee matteemattcca deellll eeneega potteenzzallee La oma matematca d p dpende dalla geometa delle sogent d campo Geeoomeett aa dd ssooggeennttee ppuunntt oomee Nella geometa d sogente puntome, sceglamo l lvello d emento ( p 0) dell enega potenzale all nnto (laddove non esste pù la oza). Immagnamo d spostae qund una sogente (puntome postva) da dstanza nnta alla dstanza dalla sogente (puntome postva) che genea l campo CCaassoo gg aavv t taazz oonnaal llee,,, oo ddeel lll llaa oozzaa aat tt aat tt vvaa taa t ssooggeennt t uugguuaal ll spostamento D asse ascsse asse p 0 G + M m - ss Lcampo K > 0 ss, < 0 p K L,0, campo p p p Cosponde al atto che pe ceae un sstema con due masse l lavoo è atto dal campo. Un sstema con due masse ha enega potenzale negatva: s dce che è un sstema legato. Pe lbeae le due masse devo ae un lavoo esteno. 0 A s B s CCaassoo eel lleet tt oosst taat t ccoo,,, oo ddeel lll llaa oozzaa eeppuul llss vvaa taa t ssooggeennt t uugguuaal ll spostamento D asse ascsse asse p 0 + Q q + 0 L L campo campo ss K < 0 p 0 ss K > 0 Cosponde al atto che pe ceae un sstema con due cache postve devo ae un lavoo L esteno conto l campo. Un sstema con due cache postve ha enega potenzale postva: è un sstema lbeo. Lbeae le due masse esttusce l lavoo L atto pe ceae l sstema. In alte paole, l segno postvo nell espessone dell enega potenzale vale quando l ntenstà del campo ha veso uscente dalle sogent postve (caso elettostatco) o che è equvalente quando la oza ta sogent ugual è epulsva. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 9 d 4

10 Geeoomeett aa dd ssooggeennttee pp aannaa Nella geometa d sogente pana l ntenstà del campo è costante e non dpende dalla dstanza dalla sogente. Dunque anche la oza è costante e l lavoo d una oza costante è dato dal podotto F Ds. Se alloa ponamo l lvello d zeo all nnto, ogn sstema ha un enega potenzale nnta. S scegle nvece l lvello d zeo sul pano della sogente nel caso gavtazonale; nel caso elettostatco, dato che la gande utltà d questa geometa è assocata al condensatoe (dstbuzon pane paallele d uguale denstà d cache, ma d segno opposto, a dstanza d ta loo, s scegle l lvello d zeo sul pano della sogente negatva. In entamb cas la sogente è desctta dalla denstà supecale unome (d caca o massa) σ CCaassoo gg aavv t taazz oonnaal llee Se poto una massa m dal pano d denstà supecale σ a una dstanza h l campo a un lavoo negatvo 7 : L L campo campo mgh < 0 p 0 mgh > 0 p0 P h F Gmg σ CCaassoo eel lleet tt oosst taat t ccoo Il campo ta le due supec pane cache è costante e vale σ/ε, dove σ è l valoe assoluto della denstà supecale d caca posta su due pan paallel e l modulo h F G mg +σ d deva dalla somma de camp (concod n dezone e veso e P ugual n modulo) podott dalle due supec. F qs/e σ h Lcampo q h < 0 σ ε q h > 0 Lcampo p 0 ε p 0 -σ..5 IL POTNZIIAL L enega potenzale dpende dalla sogente s che ogna l campo e dalla sogente esploatce s. Opeando come nell ntoduzone dell ntenstà, s ntoduce l potenzale, uguale all enega potenzale che avebbe una sogente untaa. V p /s Il potenzale consente una mappatua scalae del campo, nel senso che è possble assocae, n modo unvoco e contnuo, ad ogn punto dello spazo uno e un solo valoe d potenzale. Un campo consevatvo ha qund anche una mappatua scalae. Geometa d sogente: Puntome Pana a dstanza da sogente puntome o dal cento d a dstanza h da sogente pana unome d denstà sogente seca unome d aggo R < supecale σ Potenzale elettco V q q K [J/C] [V] 4πε (V 0 a ) σ q π K h h σ q ε Potenzale gavtazonale m K (V 0 a ) V g, [J/kg] [m/s ] G 4 πk gh G σ m h (V 0 sul pano) 4 (V 0 su amatua negatva) 7 Usamo g (acceleazone d gavtà e ntenstà del campo) n luogo d πk Gσ, come è consueto. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 0 d 4

11 ..6 IL PRIINCIIPIIO DII SOVRAPPOSIIZIION La potenza descttva oeta dalle 4 gandezze d campo ntodotte dpende otemente, olte che dalla consevatvtà del campo che consente d ntodue le gandezze scala, sopattutto dal pncpo d sovapposzone: Il campo (l ntenstà o l potenzale) podotto n un punto P da pù dstbuzon d sogent è la somma de camp che cascuna d queste dstbuzon poduebbe sepaatamente dalle alte. Il pncpo vale sa pe l campo vettoale d ntenstà sa pe quello scalae d potenzal. Quando vale un pncpo d sovapposzone s dce che lo spazo è elastco. La deenza ta mappatua vettoale del campo n temn d ntenstà e mappatua scalae n temn d potenzale è che quest ultma, la scalae, n vtù del pncpo d sovapposzone, è pù agle da utlzzae n molt poblem (non sevono 3 equazon scala pe ogn equazone vettoale)...7 LA CIIRCUIITAZIION : v l ( v) n v l n v l cosϑ Sa nel caso elettostatco che n quello gavtazonale, la ccutazone (v) è l lavoo atto pe spostae una sogente untaa lungo un pecoso chuso. La consevatvtà d quest camp s taduce spettvamente n: () 0 (G) 0..8 IL CASO DL CAMPO LTTROMAGNTIICO quazon d Maxwell Φ S, chusa Φ ne mezz mateal qnt ena Φ( ( ) ( ) ε Φ( ) t ( 0 ( εµ + µ t S, chusa concatenate Φ Φ S, chusa S, chusa nel vuoto Φ( ( ) 0 ( ) t Φ( ) ( 0 ( ε 0µ 0 t Fancesco Fontana le Camp.doc pagna d 4

12 Matematca e Fsca Classe 5G Intoduzone alla teoa de camp 3 DSSCCRRIIVVRR UUNN CCAAM MPPO O ((TTRRAATTTTAAZZIIOONN GGNNRRAALL)) 33.. IILL G GRRAADDIINNTT Denzone Gadente d ϕ(x,y,z) ϕ ( x, y, z ) : + j+ k x y z. Dato un campo scalae ϕ(x,y,z) è sempe possble assocagl un campo vettoale desctto dal vettoe ntenstà del campo ϕ :8 υ(x,y,z) ϕ. Dato un campo vettoale υ(x,y,z) non è necessaamente possble assocagl un campo scalae ϕ(x,y,z). Quando è possble, s dce che l campo vettoale è consevatvo. Teoema ϕ dl dϕ Dmostazone Il deenzale d ϕ vale: dϕ dx + dy + dz x y z La devata dezonale d ϕ è: dϕ dx dy dz + + dl x dl y dl z dl Ma: dx cos(l, x) dl dy cos(l, y ) dl dz cos(l, z ) dl e qund: dϕ dl cos(l, x) + cos(l, y ) + cos(l, z ) ϕ dl x y z dl dϕ ϕ dl La devata dezonale d ϕ lungo l è la componente d ϕ lungo l. Denzone Dato un campo scalae ϕ(x,y,z), le supec nello spazo sulle qual ϕ(x,y,z) è costante s chamano supec d lvello, o equpotenzal. Dal valoe d cos( ϕ, dl), s deduce che: ϕ è pependcolae alla supece d lvello (equpotenzale) ϕ ha dezone e veso della massma vaazone d ϕ. 8 Ne camp elettco e gavtazonale occoe cambae l segno pe accodalo alla convenzone de segn sul lavoo: la oza è natt l ntenstà del campo pe una sogente esploatce postva untaa. La oza del campo, pe l pncpo d consevazone dell enega, pota la sogente esploatce veso punt ad enega potenzale mnoe (s cea enega cnetca). Così, dove l lavoo delle oze del campo è postvo, l enega potenzale deve dmnue(samo coè n veso opposto a ϕ). Fancesco Fontana ontana@lceoeas.t le Camp.doc pagna d 4 Rev. 78_7/9/06

13 3.. LA CIIRCUIITAZIION Denzone Integale d lnea lungo l pecoso ta P e P : P P, ( x, y, z) dl L ntegale d lnea dell ntenstà del campo, ne camp gavtazonale ed elettostatco, è l lavoo atto dalle oze del campo dvso pe la sogente spostata. Teoema u consevatvo l ntegale d lnea non dpende da. Dmostazone Se u è consevatvo, l campo vettoale può assocas ad un campo scalae ϕ tale che u (x,y,z) e qund: x, y, z) dl ϕ dl dϕ ϕ( P ) ϕ( P ) ϕ ( P P, P P, P P, ϕ Denzone Ccutazone d u : ( x, y, z) dl Teoema u è consevatvo ( x, y, z) dl IL FLUSSO LA DIIVRGNZA:: PRSNZA DII SORGNTII Denzone dφ : F ds Φ( F ) F ds S Ogne dodnamca: Φ è la massa d ludo attaveso S nell untà d tempo. Denzone Φ Dvegenza d u dv ( x, y, z) : lm V 0 V ds lm V 0 V S In coodnate catesane: x y z dv + + x y z La dvegenza seve a caattezzae la pesenza d sogent attaveso l teoema d Gauss. 9 Teoema d Gauss ds S V dv dv Seve pe passae dalla oma ntegale della legge d Gauss Φ q/ε alla oma deenzale dv ρ/ε. 9 La sca d Bekeley, vol., lettctà e magnetsmo, Pate pma, Zanchell 97, p. 67. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 3 d 4

14 3..4 IL ROTOR:: CAMPII CONSRVATIIVII Invece dell ntegale d supece d F, consdeamo una lnea chusa e la ccutazone d F. Cechamo una popetà che densca l campo ntono al punto. lm dl 0 S 0 Come pe dvu, consdeo: lm dl S 0 S che è una vaable della poszone. Denzone Rotoe d u u : unzone vettoale pe cu dove nˆ è l vesoe d S. ot nˆ : lm S 0 S dl In coodnate catesane: j ot x y z x y z k ot u ha dezone pependcolae a quel pano nel quale la ccutazone è massma 0 Teoema d Stokes dl S ot ds Φ ( ( ot )) Il otoe msua la votcostà del campo (esempo dell acqua che delusce dalla vasca). È usato n ludodnamca. In patcolae: ot u 0 campo u consevatvo 3..5 IL CASO DL CAMPO LTTROMAGNTIICO quazon d Maxwell ne mezz mateal nel vuoto ρ B B dv ot dv 0 ot Fome deenzal ε J è la denstà d coente, [A/m ] dvb 0 otb εµ + µ J dvb 0 otb ε 0µ 0 q Φ( Φ( Φ( ) dl ε Φ( ) 0 dl Fome ntegal Φ( ) Φ( ) Φ( 0 B dl εµ + µ Φ( 0 B dl ε µ La sca d Bekeley, vol., lettctà e magnetsmo, Pate pma, Zanchell 97, p. 87. Fancesco Fontana le Camp.doc pagna 4 d 4