Soluzione del compito del 5 settembre 2012

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1 del compto del 5 settembe Ottca geometca Un aggo d luce banca ncde su un psma d veto d angolo d apetua φ 6 con un angolo d ncdena 45. A causa della dspesone della luce, l aggo s sepaa n un pennello d agg assocat cascuno ad una fequena lumnosa dvesa. Detto n.5 l ndce d faone della adaone ossa e n.5 quello adaone voletta (cospondent a lmt delle fequene vsbl), detemnae numecamente: a) gl angol d faone, nel punto d entata pe la adaone ossa e voletta; b) gl angol d ncdena, nel punto d uscta pe la adaone ossa e voletta; c) gl angol d faone, nel punto d uscta pe la adaone ossa e voletta; d) l ampea del pennello d agg uscent, ovveo dell angolo ε ndvduato da agg osso e voletto. Suggemento: tovae pelmnamente la elaone ta, e φ. a) Nel punto d entata applchamo la legge d Snell: acsn sn acsn sn n.5 acsn sn acsn sn n.5 b) Dalla elaone φ ottenamo: ' ' c) Nel punto d uscta applchamo d nuovo la legge d Snell: ' ' ( n sn ' ) acsn(.5sn.8 ) 5. ( n sn ' ) acsn(.5sn.47 ) 55. acsn acsn d) Infne l angolo ε è dato dall espessone: ε ' '

2 Ottca fsca Calo e Fancesca voglono studae la luce emessa n deone x da un lase d cu non sanno se la polaaone è lneae ( kx ωt) ˆj + sn( kx t) sn ω, L o ccolae sn ω, C ( kx ωt) ˆj + cos( kx t) Hanno a dsposone un polaatoe ad assobmento e uno schemo su cu levae l ntenstà della luce. Supposto d poe l polaatoe con l asse (nel pano ) nclnato d un angolo geneco α spetto all asse, a) detemnae l campo elettco f,l dell onda al d là del polaatoe nel pmo caso; b) detemnae l campo elettco f,c dell onda al d là del polaatoe nel secondo caso. Calo e Fancesca studano le due fomule cecando d cape cosa fae pe scope qual è la polaaone della luce emessa dal lase. Ad un tatto Fancesca dce: Bsogna age sul polaatoe. c) Qual è l aone da fae sul polaatoe pe pote sceglee ta due cas? Spegae l motvo pe cu l dea funona. a) Al d là del polaatoe sopavvve solo la componente paallela a u, nel pmo caso: f, L {[ ] } ( ) sn( kx ωt) ˆj + sn( kx ωt) { sn( kx ωt) ˆj + sn( kx ωt) }u ˆ, L spmendo u n temn de veso x e : f, L cosα ˆj + snα kx ωt cosα + sn kx ωt, ottenamo { sn( ) ( ) snα} { cosα + snα} sn( kx ωt) u b) Nel secondo caso sn( kx ωt) ( ) {[ sn( kx ωt) ˆj + cos( kx ωt) ] } f, C, C { sn( kx ωt) ˆj + cos( kx ωt) } { sn( kx ωt) cosα + cos( kx ωt) snα} sn( kx ωt + α ) c) Bsogna uotae l polaatoe e ossevae come camba l ntenstà della luce. Nel pmo caso u vaa dal valoe massmo quando u è paallelo a, a eo, quando due vetto sono pependcola. L ntenstà pesenteà qund un massmo e un mnmo n cospondena d tal poson. Nel secondo caso l ampea del campo mane sempe uguale a, e qund l ntenstà non dpende dall oentaone del polaatoe.

3 Magnetsmo È data una spa non pana pecosa da coente I (ved cuva blu n fgua, la fgua ABCDFGH è un cubo d lato L) e mmesa n un campo magnetco unfome detto B B lungo : Tovae: a) la foa agente su lat della spa; b) l momento meccanco agente sulla spa; Calo e Fancesca stanno consdeando l poblema e Calo popone d complcalo un po assumendo che l campo dpenda da secondo l espessone B ( B ) Fancesca c pensa un po su ed esclama: Non è possble, questa espessone è n dsaccodo con una delle legg d Maxwell c) quale legge d Maxwell vola l espessone del campo poposta da Calo? Dmostae tale volaone usando la fomulaone ntegale della legge. a) La foa totale è uguale alla somma delle foe agent su sngol lat d flo: F tot F CH HG GF I contbut de lat AF e CH sono null poché la coente scoe paallelamente al campo; contbut de lat e HG danno foe dette lungo x; contbut de lat e GF danno foe dette lungo : Il modulo d tutte le foe è uguale: F F ˆ ˆj F F ˆ tot HG F ILB, avemo qund: ˆ + ˆj ˆ ˆj ILB F tot GF ( ) b) Il momento è uguale alla somma de moment agent su sngol lat d flo: contbut de lat AF e CH sono null poché le foe cospondent sono nulle; sceglamo po come polo l cento della base FGH, d modo che l momento de lat FG, GH sult pue nullo; l contbuto de lat, è: τ L F L τ F τ IL B ˆj ˆ l momento sultante è ( ) ˆ IL Bj ˆ ˆj IL Bˆ c) La legge volata è quella dell assena d cache magnetche. Se calcolamo l flusso del campo attaveso la supefce del cubo ottenamo nfatt (le facce lateal danno contbuto nullo): Φ Φ ABCD FGH L B coè un sultato non nullo, contaamente al dettato della legge. ˆj ( L) L B( ) L L L FA

4 lettodnamca È data una spa non pana pecosa da coente I (ved cuva blu n fgua, la fgua ABCDFGH è un cubo d lato L) e mmesa n un campo magnetco unfome detto lungo e dpendente da t secondo l espessone B B f ( t) Tovae: a) l flusso del campo concatenato con la spa; b) la fem ndotta nella spa. Calo e Fancesca stanno consdeando l poblema e Calo popone d complcalo un po assumendo che l campo dpenda da secondo l espessone B B ( ) f ( t) ( B ) f ( t) Fancesca c pensa un po su ed esclama: Non è possble, questa espessone è n dsaccodo con una delle legg d Maxwell c) quale legge d Maxwell vola l espessone del campo poposta da Calo? Dmostae tale volaone usando la fomulaone ntegale della legge. a) Pe calcolae l flusso sceglamo come supefce che pogga sul ccuto la supefce unone delle facce ABCD, BCHG, GFAB: Φ Φ ABCD BCHG Gl ultm due temn sono null poché su queste facce l campo è paallelo alla supefce, l flusso Φ Φ L B f t. vale qund ( ) ABCD d fem d GFAB b) La fem vale Φ L B f ( t). c) La legge volata è quella dell assena d cache magnetche. Se calcolamo l flusso del campo attaveso la supefce del cubo ottenamo nfatt (le facce lateal danno contbuto nullo): Φ Φ ( L) f ( t) L B( ) f ( t) L f ( t) L B ABCD FGH coè un sultato non nullo, contaamente al dettato della legge.

5 lettodnamca È data una spa ccolae d aggo a, coente I e momento magnetco m. A dstana suffcentemente gande l campo magnetco geneato dalla spa è dato da B B B B ϕ µ m 4π A gande dstana D dalla spa è posta una seconda spa ccolae, che funge da velatoe della pma, d esstena, aggo b, e asse concdente con la pma (ved fgua). Se I ( t) I sn ωt è la coente ndotta nella seconda spa dalla pma, tovae, a) l espessone della coente nella pma spa. Calo e Fancesca stanno contemplando la soluone del poblema, quando Calo dce: Conoscamo b e, supponamo anche d conoscee a e D, tuttava, pe conoscee completamente la coente nella pma spa, non basta msuae la coente nella seconda. b) A cosa s fesce Calo e peché l velatoe non pemette d detemnae completamente la coente I? a) La elaone ta le coent delle due spe s tova medante la legge d Faada: Nota I, I s tova pe ntegaone: fem dφ d I B da S b d d µ B ddϕ π m S 4 D π µ d µ ( πa I πb ) πa b πd D I ( t) ( ). I t + const I K K I cosωt + const., ωk, d di di K sn ωt + const. b) Calo s fesce al fatto che I s detemna medante un pocesso d ntegaone e qund a meno d una costante abtaa, che nel nosto caso è la eventuale componente contnua della coente I, che non contbusce alla fem della seconda spa e qund a I.