al campo magnetico terrestre.

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1 Il campo magnetco statco Sn dall antchtà è noto che alcun mneal contenent feo hanno la popetà d attae alt cop contenent anch ess feo. Quest mneal s dcono calamte o magnet pemanent natual. I cop feos, nelle vcnanze d un magnete, dventano anch ess de magnet atfcal tempoane. Molt mateal n accao, avvcnat a magnet, s magnetzzano pemanentemente, dventando magnet atfcal pemanent. Questa nteazone magnetca, esectando essa delle foze su oggett nello spazo, può essee appesentata tamte un campo vettoale. Nel caso dell nteazone elettostatca, passae dal campo vettoale d foze elettche, al campo vettoale del campo elettco E, è stato facle pe la semplce elazone qe fa foza elettostatca e campo elettco. Nel caso dell nteazone magnetostatca le cose non sono così semplc, peché pe defne l effetto del campo magnetco bsogna specfcae su cosa esso agsce. Abbastanza mmedato è defne la dezone e veso del campo magnetco, nell ntono d un magnete. Consdeamo un ago magnetco, coè una baetta magnetzzata lbea d uotae ntono ad un asse fsso (bussola). Sulla tea, n assenza d campo magnetco locale, esso s oenta puntando una delle sue estemtà (quas) n dezone del polo Nod geogafco teeste. Questo è dovuto 1 al campo magnetco teeste.

2 l campo magnetco statco 2 Pe questo motvo, n un ago magnetco, chamamo polo nod magnetco (N), l estemtà che punta veso l Nod geogafco, polo sud magnetco (S), l estemtà che punta veso l Sud geogafco. In tutt magnet s tovano sempe quest due pol magnetc (spezzando un magnete n 2, s fomano pol n modo tale che ogn toncone abba entamb pol: non è ma stato tovato un monopolo magnetco!) Avvcnando due magnet fa d loo, vedamo che pol omologh s espngono, mente pol oppost s attaggono. (Qund l Nod geogafco della tea è n effett un polo Sud magnetco!) Avvcnamo un ago magnetco ad un magnete. In ogn punto dello spazo, nell ntono del magnete, l ago magnetco s oenta n una ceta dezone. Defnamo le lnee d foza del campo magnetco come quelle lnee tangent, n ogn punto, alla dezone assunta dall ago magnetco. Il veso è quello Sud- Nod dell ago magnetco stesso: S N S N N S 2

3 Vettoe Campo Magnetco Abbamo defnto pe l campo vettoale dezone e veso. Pe defne completamente l vettoe campo magnetco (che l lbo chama vettoe nduzone magnetca) occoe defnne l modulo. Saebbe possble falo sempe con l auto dell ago magnetco, ma è consuetudne (ed è pù coetto, n quanto s vela l ntma elazone fa nteazone magnetca ed nteazone elettca) defne l campo magnetco B tamte la foza che esso esecta su una caca elettca q n moto con veloctà v. Supponamo che veloctà e B sano nelle dezon dsegnate. Loentz tovò che la pesenza del campo magnetco B causa una deflessone della taettoa d q otogonale sa a v che a B, secondo la legge: v B uscente dal foglo v ( ) q B Relazone d Loentz 3

4 vettoe Campo Magnetco 2 La elazone d Loentz può essee pesa a defnzone del modulo d B. Il modulo del campo magnetco è dato dalla elazone: B B qvsnθ Il Campo magnetco s può msuae n N C -1 m -1 s e tale untà d msua (dell S.I.) è detta Tesla (T). Sccome 1T è un valoe puttosto gande spesso s usa l gauss (G) che vale 10-4 T. Dove q è la caca della patcella d test mmessa nel campo magnetco B, v è la sua veloctà e θ è l angolo che v fa con la dezone e veso d B defnta dalle lnee d foza d B. Dalla elazone d Loentz, gaze alla pesenza del podotto vettoale, s ha che B è sempe otogonale alla veloctà v e qund allo spostamento della patcella. Notamo che l campo magnetco statco non compe alcun lavoo: ( ) dl ds vdt qv B vdt ma è ( ) v B v dl 0 4

5 vettoe Campo Magnetco 3 Pe l teoema dell enega cnetca sulta qund che l campo magnetco statco non può vaae l enega cnetca della patcella caca su cu agsce v mane costante n modulo, coè l nteazone magnetca agsce solo come deflessone sulla patcella caca. Se camba solo la dezone d v, le patcelle cache n un campo magnetco seguono le legg del moto ccolae unfome: la foza è una foza centpeda, coè (supponendo v B): mv R 2 v q B qvb m R q B v 2π 2π m ω T R m ω B q Coè agg dsegnat dalle patcelle dpendono dalla veloctà, ma peod d otazone sono caattezzat solo dal appoto q /m coè dal tpo d patcella nettata nel campo magnetco. Se olte al campo magnetco sussste anche un campo elettco E, la patcella è soggetta alla foza d Loentz: q v ( E + B) 5

6 Azone d un campo magnetco su una coente Una coente n un conduttoe metallco è costtuta da un flusso odnato d eletton, coè patcelle d caca elementae qe1, C negatva (e - ). Qund un campo magnetco B n possmtà d un conduttoe pecoso da coente esecteà una foza sul conduttoe stesso che saà la somma delle foze agent su sngol eletton n moto. Indchamo n l numeo d eletton pe untà d volume, S la sezone del flo conduttoe, l la sua lunghezza. Gaze alla elazone d Loentz, la foza agente sul sngolo elettone è e n ( S l ) e ( B ) v La coente è data dalla quanttà d caca che attavesa la sezone S del conduttoe nell untà d tempo: q 1secondo e n e e v Qund, la foza agente sul flo è: ( S v 1) 1 ( B) n e S v B uscente lb snθ v e 6 S l

7 ...azone d un campo magnetco su una coente Il veso della coente è opposto a v n quanto gl eletton hanno caca negatva. Se consdeamo la lunghezza l come un vettoe oentato nel veso d, dventa: ( l B) Questa legge vale pe un conduttoe ettlneo mmeso n un campo magnetco B. Pe un conduttoe d foma qualsas, basta consdeae un tatto abbastanza pccolo affnchè s abba: d ( dl B) Queste elazon suggescono un nteessante equvalenza pe l Tesla: 1T N 1 A m Il campo magnetco teeste è dell odne d 0,5G0, T, mente magnet pù fot che s escono a ealzzae (supecondutto) avano a 10 T 7

8 Spa n un campo magnetco Consdeamo una spa gda pecosa da coente : D C θ B B b AB CD BC DA S L L L L û N A a Supponamo pe semplctà che l asse a sa otogonale al campo magnetco B, mente non lo sa l asse b. Qund, se defnsco u N l vesoe otogonale al pano della spa, oentato n modo tale che veda la coente flue n senso antoao, esso dsegna un angolo θ col vettoe B. 8

9 spa n un campo magnetco 2 Dato che a è otogonale a B, le foze agent su lat AB e CD sono egual, opposte e condvdono la medesma etta d azone (l asse a). Tale sstema d due foze (dato che la spa è gda) è ducble e la sultante è nulla. Se la spa non fosse gda, l unco effetto saebbe d defomala. D DA A CD a θ C AB θ Dato che b non è otogonale a B, le due foze BC ed DA costtuscono una coppa d foze. Notae che esse hanno una componente lungo b che tende a defomae la spa ed 9 una componente otogonale a b che tende a fa uotae la spa B û N BC B b AB CD BC DA ( ) AB B ( ) CD B ( ) BC B ( ) DA B

10 spa n un campo magnetco 3 Notae che la spa s compota come un ago magnetco che s oenta a seconda della dezone d B. Il bacco della coppa è dab snθl snθ C b BC AB CD L CD BC DA L d S L L D θ AB BC CD DA ( AB B) ( BC ( CD B) ( DA Dato che BC è otogonale a B, l momento della coppa d foze ha modulo: v M d ( ) BC B AB snθ ( L L ) B snθ S B snθ Suˆ Defnamo l vettoe momento d dpolo magnetco x: N Il momento della coppa M è qund: M B DA A ζ a AB θ ξ B û N B 10

11 spa n un campo magnetco 4 Il sultato ottenuto è valdo qualunque sa la foma della spa. Su questo fenomeno s basano molt stument: moto elettc, ampeomet, stument d msua d campo magnetco Rcodamo che pe un dpolo elettco susssteva: Mp E dove p è l momento d dpolo elettco. Qund è gustfcato pe una spa (o pe un ago magnetco) l nome momento d dpolo magnetco pe l vettoe x. Data una spa pecosa da coente, l veso d x può essee defnto dalla egola della mano desta (n.2): x va nel veso del pollce quando le alte dta sono poste nel veso d ccolazone della coente 11

12 Popetà magnetche della matea Abbamo ottenuto qund l equvalenza fa un aghetto magnetco ed una spa pecosa da coente elettca. Il motvo d cò è legato alle caattestche atomche dalla matea. Consdeamo la stuttua d un atomo: l elettone che uota ntono al nucleo è equvalente ad una spa d aggo pa al aggo dell obtale e coente e /T e ω/2π. A questa otazone cosponde un momento magnetco obtale x l. ω ξ l S e π R ob 2π ωr e ob L elettone uota anche su se stesso. Anche a questo movmento cosponde una coente e qund un momento magnetco d spn x s che sulta coelato al pecedente (ma con una espessone pù complcata). 12

13 popetà magnetche della matea 2 Da come, n un atomo o molecola, moment magnetc degl eletton s compongono dpende l compotamento della matea se mmesa n un campo magnetco esteno. Come nel campo elettostatco s defnva polazzazone l momento d dpolo elettco pe untà d volume, così pe l campo magnetostatco defnamo magnetzzazone M l momento d dpolo magnetco pe untà d volume. C sono essenzalmente te class compotamento della matea mmesa n un campo magnetco esteno B: Damagnetsmo: è un fenomeno comune a tutt mateal, anche se spesso mascheato da pocess potat n seguto. Le obte degl eletton vengono petubate n manea tale che la magnetzzazone M della matea è tale da oppos a B. Sono damagnetc l ame, l agento,... I mateal (esclusvamente) damagnetc hanno atom con momento d dpolo atomco nullo 13

14 Paamagnetsmo: popetà magnetche della matea 3 L atomo o molecola, dalla combnazone de sngol moment magnetc degl eletton, possede un momento d dpolo magnetco pemanente non nullo (Allumno, Platno, ). Tal dpol, senza B, sono casualmente oentat. La pesenza d un campo esteno B detemna l oentazone d tal dpol n modo concode col campo B (oentamento dstubato dal moto d agtazone temca) eomagnetsmo: Nella matea, dpol magnetc pemanent sono oentat n domn. La pesenza d un campo esteno B detemna la cescta de domn pessocchè concod con B spetto a quell dscod. Questo detemna un fote oentamento de dpol ed una fote magnetzzazone della matea. Il compotamenteo feomagnetco dpende dalla tempeatua, e al d sopa d una tempeatua ctca, detta tempeatua d Cue, le sostanza feomagnetche dventano paamagnetche Sono feomagnetc l feo, nchel, cobalto, L equvalenza fa ago magnetco e spa pecosa da coente non è qund casuale, ma testmonanza del fatto che anche l campo magnetco d un magnete pemanente è dovuto a cache n movmento (eletton nelle loo obte) nella 14 matea.

15 Campo magnetco geneato da coent stazonae La stetta coelazone fa fenomen magnetc e fenomen elettc è ulteomente testmonata dal fatto che un campo magnetco può essee geneato da un flusso d cache elettche, coè da una coente elettca (stazonaa). Quest stud sono dovut ad Ampèe. Consdeamo un conduttoe pecoso da coente. Ad una dstanza dal tatto nfntesmo dl (da pote tenee ettlneo) s msua un campo magnetco db dato dalla: dl snα dl α db K m ( dl ˆ ) 2 db K dove ho consdeato dl un vettoe oentato come. La costante K m è una costante d popozonaltà che, come nel caso del campo elettco, s pefesce espmee (nel vuoto) come K m µ 0 /4π, con µ 0 detta pemeabltà magnetca del vuoto: µ m 2 T m m A ,26 10 m 1,26 10 heny ( ) db dventa: ˆ 0 dl db µ Legge d Ampèe 4π 2 ˆ 1 Campo magnetco entante 15

16 campo magnetco geneato da coent stazonae 2 db µ 4π ( dl ) 0 ˆ 2 In un mateale geneco bsogna sosttue a µ 0 la pemeabltà del mezzo: µ µ 0µ Pe sostanze damagnetche sulta µ <1 Pe sostanze paamagnetche sulta µ >1 Pe sostanze feomagnetche sulta µ >>1 16

17 Legge della Ccutazone d Ampèe Consdeamo una lnea chusa l c che abbacc de condutto pecos da coente ( 1, 2, 3, ) Consdeamo postve quelle coent che, defnto un veso d pecoenza pe l c, vedano questo veso antoao (negatve, se lo vedono oao) Regola mano desta Pe ogn punto della lnea l c è possble consdeae un tatto ettlneo nfntesmo dl oentato come l c Sa B l campo magnetco sultante geneato dalle vae coent 1, 2, 3, S defnsce ccutazone l ntegale sulla lnea chusa: B cosα dl B dl l c l c La legge della ccutazone d Ampèe sancsce che: 2 3 dl B 1 B dl µ 0 n µ l c 0 dove è la somma algebca delle vae coent concatenate, cascuna con l popo segno dato dalla egola pecedente l c 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0 17

18 Legge d Gauss pe l magnetsmo Consdeamo le lnee d foza del campo elettco d una caca elettca o d un dpolo elettco: La pesenza delle cache costtusce una sogente d campo (caca postva) o un pozzo pe le lnee d campo (caca negatva) S S 3 Una supefce chusa (S 3 ) che non contenga tal pozz o sogent ha tante lnee d campo entant quante uscent, ma una che contenga cache (S 1 o S 2 ) ha delle lnee che nascono da esse (se postve) o muoono n esse (se negatve) - S 2 Il teoema d Gauss pe l campo elettco s gustfca dcendo che l flusso del campo elettco è non nullo quando nella supefce chusa S nglobamo de pozz o delle sogent (coè delle cache, la cu somma algebca sa non nulla). φ ( E) E nˆ ds S chusa ε 0 q 18

19 ... legge d Gauss pe l magnetsmo 2 Il campo magnetco non ha pozz o sogent poché tutte le lnee d campo sono lnee chuse. Pe questo motvo l flusso del campo magnetco B attaveso una qualunque supefce chusa S è nullo: teoema d Gauss pe l magnetsmo φ ( B) B nˆ ds 0 S chusa Un campo sffatto s dce solenodale e l teoema d Gauss pe l magnetsmo sancsce l assenza d monopol magnetc. 19

20 Concluson sul campo magnetostatco Il campo magnetco è un campo Solenodale, coè tutte le lnee d foza sono lnee chuse. Questo è dovuto (o mplca) dal fatto che non esstono cache magnetche (pol) solate. In un magnete sono sempe pesent entamb pol magnetc La legge della ccutazone d Ampèe mplca che l campo magnetco non è un campo consevatvo. Infatt la ccutazone è non nulla su una lnea chusa. l c B dl µ 0 Consdeando dl come uno spostamento, l fatto che la ccutazone sa nulla ea uno de metod pe stable la consevatvtà d un campo (B n effett non è una foza, ma è stettamente legata a B) Questo non vuol de che B sa dsspatvo (l lavoo d B è sempe nullo!), ma che non è possble ntodue una enega potenzale magnetca come nvece s è fatto fnoa pe le alte foze consevatve. Infatt non è possble defne una funzone della sola poszone W() tale pe cu sa: B A v B dl W 20

21 ... concluson sul campo magnetostatco 2 Nel possmo captolo vedemo che campo elettco e campo magnetco sono fotemente legat e che sono aspett d una sola nteazone (elettomagnetca) egolata da delle equazon dette d Maxwell. Pe oa possamo assumee le equazon fnoa vste pe l campo elettco statco e pe l campo magnetco statco, defnendole le equazon del campo elettomagnetco statco nel vuoto: Legge Legge d Gauss pe l campo elettco Legge d Gauss pe l campo magnetco Ccolazone del campo elettco Ccolazone del campo magnetco q E nds ˆ ε S oma ntegale B nds ˆ 0 S E dl 0 L B dl µ 0 L 0 21