Magnetostatica e magnetoquasistatica nel vuoto

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1 Unvestà degl tud d Cassno Magnetostatca e magnetoquasstatca nel vuoto Antono Maffucc, Fabo Vllone Ve. - aple 004

2 . Le equazon della magnetostatca. Le equazon della magnetostatca sono: H tˆ dl () nˆ d 0 Σ () Σ dove H è l campo magnetco (msuato n A/m, ampèspe/meto) e è l campo nduzone magnetca (msuato n T, tesla), è una qualsas lnea chusa ( tˆ l suo vesoe tangente), e Σ una qualsas supefce chusa (nˆ l vesoe nomale uscente). La gandezza è la coente concatenata con la lnea chusa, ossa la quanttà: J nˆ d (3) dove è una qualsas supefce avente pe olo, e n è la nomale ad essa, scelta con la egola della mano desta (ossa n modo da vedee l oentamento d n senso antoao), ved Fg.. nˆ s Fg.. Intepetazone della legge d Ampèe Rcodamo che la () s ottene dalla Legge d Ampèe nel lmte stazonao, mente la () espme la cosddetta solenodaltà del campo d nduzone magnetca : pe effetto della (), l flusso d attaveso una qualsas supefce apeta dpende solo dall olo d tale supefce. Pe povalo basta consdeae due supefc Σ e Σ che s appoggano allo stesso olo ed applcae la () alla supefce chusa ottenuta dall unone d Σ e - Σ (pe potae n conto l veso della nomale a Σ che sulta entante), ved Fg.. Pe tale agone s pala d flusso concatenato con la cuva. ˆn Σ Σ ˆn Fg.. Il flusso d concatenato con una cuva è ndpendente dalla supefce apeta (d olo ) scelta pe calcolala Un dentco agonamento petuto sulla denstà d coente pemette d concludee che la quanttà defnta dalla (3) non dpende dalla patcolae supefce scelta.

3 upponendo d tovac nel vuoto (ovveo nell aa, che dal punto d vsta della magnetostatca s compota n manea molto smle), l legame ta H e (la cosddetta elazone costtutva) sulta: µ 0 H (4) dove µ 0 è detta pemeabltà magnetca del vuoto, che è una costante spementale che nel stema Intenazonale vale 7 H µ 0 4π0. (5) m I sultat desctt nel seguto s possono fomalmente estendee al caso n cu vengano consdeat mezz mateal caattezzat da una elazone ta H e del tpo µ H µ µ 0 H, (6) nella quale la quanttà admensonale µ è detta pemeabltà magnetca elatva.. Campo magnetco d alcune confguazon. Campo podotto da un flo d coente Affontamo pelmnamente l calcolo del campo magnetco dovuto ad un flo ettlneo ndefnto pecoso da una coente (Fg. 3). () ϕ 0 (a) (b) Fg. 3. a) Campo d un flo ettlneo ndefnto pecoso da coente; b) andamento del modulo del campo n funzone della dstanza. Intodotto un sstema d femento clndco (,z,ϕ), l cu asse z concde con l flo, pe motv d smmeta l campo magnetco H deve essee detto n ogn punto dello spazo lungo l vesoe ϕ d fgua, ed l suo modulo può dpendee solo dalla coodnata : H H() ϕ (7) futtando la (7), la elazone () applcata alla cconfeenza d fgua (centata sull asse del flo, ad esso otogonale, e d aggo geneco) pemette d scvee: H ( ) π H ( ) (8) π n quanto l vesoe tangente alla cconfeenza concde con ϕ, e lungo d essa (e qund H) sulta essee costante. In defntva: 3

4 µ 0 H ϕ ϕ (9) π π e qund possamo assee che l campo magnetco d un flo ettlneo ndefnto s avvolge ntono al flo con la egola della mano desta: allneando l pollce al femento d coente, l campo s avvolge secondo l veso ndcato dalle manent a, se la coente è postva secondo l femento scelto. Le lnee del campo magnetco sono dunque delle cconfeenze centate sull asse del flo; l suo modulo vaa n manea nvesamente popozonale alla dstanza dall asse del flo stesso, l che vuol de che, nel lmte d flo d sezone tascuable, l campo dvege, Fg. 4a. Chaamente, questa stuazone è da ntendes come un caso lmte, n quanto un flo a sezone nulla non è fscamente ealzzable. Consdeamo, alloa, un flo avente sezone non nulla (d aggo a), nell potes semplfcatva che la denstà d coente J sa unfome nella sezone del flo e sa detta lungo l asse del flo stesso, Fg. 4a. avà, qund, banalmente Jπa. () J µ 0 πa ϕ a 0 a (a) (b) (c) Fg. 4. a) Campo d un flo ettlneo ndefnto a sezone non nulla pecoso da coente; b) sezone del conduttoe; c) andamento del modulo del campo n funzone della dstanza. Nelle potes n cu c samo mess, valgono le stesse consdeazon d smmeta che, nel caso d coente flfome, c potano a concludee che l campo magnetco H deve avee la stuttua evdenzata n (7). Pe tale agone, se consdeamo un punto qualsas fuo dal conduttoe (qund ad una dstanza > a ) s possono svolgee le stesse consdeazon del caso flfome e concludee che l campo è dato dalla (9). Pe punt all nteno del conduttoe < a, alla ccutazone del campo H contbusce solo la coente concatenata con una cconfeenza d aggo (ved Fg. 4b): H ( ) π Jπ H ( ) (0) πa da cu: µ 0 H ϕ ϕ. () π a π a Qund l campo cesce lneamente all nteno del conduttoe, aggunge l massmo pe a e decesce come a pe > a, assumendo lo stesso valoe che s avebbe consdeando una coente concentata sull asse (Fg. 4c) 4

5 . Campo podotto da una spa d coente Calcolamo oa l campo podotto da una spa ccolae pana pecosa da coente, Fg. 5a. In Fg. 5b ne mostamo una sezone, n cu supponamo lo spessoe del flo non tascuable, e che l femento della coente esca dal foglo nel flo d snsta ed ent n quello d desta. In questo caso, possamo assee che, n punt molto possm alla spa stessa (ntendendo con cò punt la cu dstanza dalla spa è molto mnoe del aggo d cuvatua locale della spa), la spa appae, al lmte, come un flo ettlneo ndefnto. Petanto, n possmtà della spa, le lnee d campo saanno delle cconfeenze centate sull asse della spa; questa geometa delle lnee d campo vene defomata man mano che c s allontana dalla spa stessa. (a) (b) Fg. 5. Campo magnetco podotto da una spa ccolae pana Il campo magnetco ha dunque una confguazone a fontana, la cu dezone può essee ancoa tovata con la egola della mano desta: allneando le a al veso d femento della coente, la dezone del campo è ndcata dal pollce. La dpendenza spazale del campo magnetco è qund ben pù complessa d quella del caso pecedente; n geneale, possamo comunque scvee che, nel geneco punto P, s ha: ( P) K( P) () dove K è una quanttà vettoale che vaa da punto a punto dello spazo, ma non dpende dalla coente. Con una oppotuna espessone d K, la () può descvee l campo podotto da una spa nel caso geneale, qund anche muovendo l potes che la spa sa ccolae pana. Fg. 6. Campo magnetco dovuto a N3 spe 5

6 C ponamo oa l seguente poblema: cosa accade se avvcnamo un ceto numeo d spe ugual, pecose dalla stessa coente? In Fg. 6 potamo un sultato qualtatvo pe 3 spe: ossevamo che l campo sulta essee nfozato, e pessoché unfome, nella egone d spazo ntena alle spe stesse, mente s ndebolsce nella egone estena, e negl ntestz ta una spa e l alta assume un andamento assa poco egolae. Da questa semplce ossevazone taamo l suggemento d costue un oggetto fatto avvolgendo un unco flo (n modo da gaante sempe la stessa coente) n un numeo N d spe molto elevato e molto avvcnate ta d loo: un solenode. N N Veso uscente Veso entante (a) (b) Fg. 7. olenode ettlneo costtuto da N spe: (a) sezone; (b) campo magnetco podotto In Fg. 7b è mostato l campo magnetco podotto da un sffatto oggetto, avendo fatto l potes semplfcatva che le spe fosseo talmente vcne da pote tascuae del tutto gl ntestz e consdeae un conduttoe masscco al posto degl N fl (Fg. 7a). Ossevamo che l campo magnetco podotto dal solenode è pessoché unfome e detto assalmente nella egone ntena ad esso, e patcamente nullo n quella estena. Queste consdeazon valgono goosamente nel caso d un solenode ettlneo ndefnto; poché nella patca non è chaamente possble ealzzae un oggetto sffatto, s coe spesso a solenod toodal, ossa con le sue estemtà chuse a cambella. Con femento alla Fg. 7, ossevamo che è possble dentfcae una egone del solenode (quella supeoe) da cu le lnee d campo escono, ed una egone (quella nfeoe) n cu le lnee d campo entano. La pma vene detta polo nod del solenode, la seconda polo sud. Calcolamo oa l campo magnetco podotto da un solenode d lunghezza l, composto da N spe, facendo l potes semplfcatva d consdeae tale campo unfome e detto assalmente all nteno, e nullo all esteno. Appl-cando la () alla lnea l mostata n Fg. 8, s ha: N N H l N H, µ 0 (3) l l dove H e sono le component d H e n dezone assale, e è la coente ccolante n ognuna delle N spe, coscché l podotto N (le cosddette ampéespe del solenode) è la coente complessvamente concatenata con la lnea. Fg. 8. Calcolo del campo magnetco d un solenode 6

7 3. Flusso; coeffcente d auto e mutua nduzone defnsce flusso concatenato con una lnea chusa la quanttà: Φ nˆ d (4) dove è una qualsas supefce che ha pe olo la lnea, e n è la nomale ad essa oentata con la egola della mano desta. Come gà evdenzato, questa quanttà non dpende dalla patcolae supefce scelta (puché abba pe olo ). Questa defnzone vale del tutto n geneale; n patcolae, possamo applcala nel caso n cu la lnea chusa concda con l asse d un conduttoe chuso pecoso da una coente, ed l campo nduzone magnetca sa dovuto a tale coente (Fg. 9). ossev che la lnea chusa è oentata con lo stesso femento scelto pe la coente. n Φ L Fg. 9. Valutazone del coeffcente d autonduzone pe un ccuto d coente Rcodando la (), abbamo: Φ nˆ d K( P) nˆ d L (5) dove la quanttà L, detta coeffcente d autonduzone o nduttanza della spa, dpende solo da paamet geometc ed è ntnsecamente postva (s cod nfatt che sa n che s oentano entamb con la egola della mano desta), pe cu l loo podotto scalae è postvo n ogn punto della supefce. Quest agonament valgono evdentemente anche nel caso del solenode; n questo caso, la supefce su cu calcolae l flusso deve avee pe contono una lnea che s avvolge a spale, seguendo l conduttoe con l quale ealzzamo l avvolgmento. Invece d fae l calcolo pe questa complcata supefce elcodale, faccamo l seguente agonamento appossmato. Pma d tutto, se le spe sono molto avvcnate (come n effett sono n patca), possamo suppoe che tatt d supefce d accodo ta una spa e l alta dano un contbuto assa pccolo all ntegale, che qund dventa appossmable come: Φ nˆ d N k k nˆ d N nˆ d (6) 7

8 dove k è una supefce che ha pe olo la k-esma spa, e dove abbamo sfuttato l fatto che, essendo l campo unfome, l ntegale su una qualsas supefce k è uguale a quello sulla geneca sezone del solenode. Rcodando l espessone (3) del campo magnetco del solenode, s ha: µ 0N µ 0N Φ nˆ d N N L (7) l l Petanto l valoe dell nduttanza s può aumentae, a patà d dmenson geometche, aumentando l numeo d spe oppue avvolgendo le spe su un clndo d mateale magnetco caattezzato da una elazone del tpo (6): n tal caso L aumenta d un fattoe pa alla pemeabltà magnetca elatva µ. N n M Φ 0 Fg. 0. Valutazone del coeffcente d mutua nduzone ta due spe. upponendo, oa, d consdeae due spe pecose da coent e spettvamente (Fg. 0), possamo scvee, gaze alla lneatà delle equazon ()-(3), che l campo nduzone magnetca totale è pa alla somma de camp geneat dalle sngole coent agent sepaatamente: (P) (P) + (P) K (P) + K (P) (8) Il flusso concatenato con la pma spa sulta qund dato dalla somma del flusso del campo podotto dalla stessa spa ( Φ ) e del flusso del campo podotto dall alta spa ( Φ ): Φ nˆ d ( K( P) + K ( P) ) nˆ d Φ + Φ L + M Analogo sultato s otteà pe l flusso concatenato con la seconda spa: Φ nˆ d ( K( P) + K ( P) ) nˆ d Φ + Φ M + L. (9). (0) Nelle (9) e (0) abbamo ntodotto coeffcent d popozonaltà ta fluss e coent: L e L sono coeffcent d autonduzone delle spe e pma defnt (ntnsecamente postv), mente M e M sono dett coeffcent d mutua nduzone delle due spe, che possono essee d segno qualsas, e sultano (come dmosteemo pù avant) ugual ta loo. 8

9 4. Magnetoquasstatca: l passaggo da camp a ccut C ponamo, oa, l poblema d ealzzae patcamente un oggetto che possa compotas, almeno n modo appossmato, come l bpolo nduttoe ntodotto nella Teoa de Ccut, Fg.a. Consdeamo, alloa, un solenode costtuto avvolgendo n numeose spe un conduttoe pefetto (quas flfome), e dcamo A e mosett del solenode (punto d nzo e d fne del flo), come n Fg. b. In condzon stazonae, tale dspostvo può essee studato con le legg della magnetostatca, come fatto fnoa. upponendo d ntodue una vaabltà tempoale lenta delle gandezze n esame (dscuteemo n seguto n che senso s debba palae d vaazon lente ), le equazon che occoe solvee sono ovvamente quelle della magnetoquasstatca: E tˆ dl Σ d J nˆ d 0 Σ nˆ d nˆ d 0 Σ (3) Σ con le elazon costtutve che descvono mezz mateal, coè l aa ed l conduttoe pefetto µ 0 H, E ηj ( η 0). (4) Rcodamo che, mente le () e (3) valgono n condzon geneal, la () è appossmata e vale solo nel lmte quas-stazonao magnetco (quando s può tascuae la vaazone tempoale della caca contenuta all nteno della supefce Σ). () () A nt d v L v L est est est (a) (b) Voglamo dmostae l seguente: Fg.. a) bpolo nduttoe; b) ealzzazone d un nduttoe con un solenode Teoema. upponendo valde le elazon della magnetoquasstatca ()-(4), l solenode d Fg.b, vsto a mosett A-, s compota come un bpolo nduttoe, con nduttanza pa al coeffcente d autonduzone del solenode (7), Fg. a. Dmostazone. In pmo luogo, dmostamo che l dspostvo da analzzae s compota come un bpolo, ossa soddsfa le seguent condzon: a) la tensone ta punt A e è ndpendente dalla lnea scelta pe une due punt, puché questa lnea non ntesech l bpolo; b) la coente entante nel mosetto A è uguale alla coente uscente dal mosetto ; c) esste un legame (caattestca) ta tensone e coente. La popetà b) è cetamente vefcata, n quanto la denstà d coente sulta essee solenodale, come pescve la (). La popetà a) è pù delcata, n quanto nel pesente caso l campo elettco, 9

10 secondo la (), sulta non essee consevatvo. In patcolae, con femento alla Fg., sceglendo la lnea chusa data dall unone d due cuve che s svluppno all esteno dell oggetto, est ( est ) (adottando un unco veso pe ccolae su due tatt) s ha: A est E tˆ dl A' est E tˆ dl d est nˆ d ccome le lnee est e est s svluppano all esteno del solenode (come chesto dalla popetà a), ed n quella egone d spazo l campo nduzone magnetca sulta essee tascuable, possamo concludee che è ben defnta la tensone ta mosett A-: V A A est (5) d E tˆ dl E tˆ dl nˆ d E tˆ dl (6) A ' est est A' est Pe quanto guada la popetà c), consdeamo la lnea chusa nt ( est ) ottenuta dall unone d un tatto che s svluppa all esteno ed un tatto che s svluppa all nteno del conduttoe, adottando come veso quello entante spetto al mosetto A (Fg. b). Applcando la (): E tˆ dl d nˆ d d dφ E tˆ dl d dl ( est ) nˆ E tˆ nt U est (7) dove abbamo sfuttato l fatto che l tatto nt s svluppa n un conduttoe pefetto, dove l campo elettco sulta essee nullo, ed abbamo chamato Φ l flusso concatenato con l solenode. Rcodando la (6) e la defnzone (0) d coeffcente d autonduzone, s ha: dφ d V A L (8) dove è la coente che flusce nel solenode secondo l femento scelto pe nt e L ha, pe l solenode, l espessone (7). Povamo oa a muovee alcune delle potes che c hanno consentto d cavae l sultato. e, ad esempo l flo con cu ealzzamo l solenode non è un conduttoe pefetto, l unca cosa che camba è che nella (7) l tatto nt fonsce un contbuto non nullo, che, con facl passagg, s dmosta uguale a: nt con R esstenza del flo stesso. Petanto, n questo caso sulta: E tˆ dl R (9) d V A L + R (30) ossa l ccuto equvalente d un solenode ottenuto avvolgendo un flo d esstvtà non nulla è la see d un esstoe e d un nduttoe. Pù delcata è l ntepetazone dell potes d quas-stazonaetà, coè d vaazon lente delle gandezze n esame, che è alla base delle appossmazon ntodotte nelle () e (6). e pe semplctà c feamo alla stuazone n cu le gandezze elettche sono pue snusod a fequenza assegnata f, è evdente che temn che tascuamo nelle () e (6) dpendono lneamente da f, vsto che tal temn convolgono le devate tempoal delle snusod. Pe stable l lmte d valà delle appossmazon n cu abbamo cavato l sultato occoe, alloa, vefcae che f << f c, dove f c è una fequenza caattestca che dpende da va paamet fsc del solenode, ta cu le dmenson assolute e l appoto ta sezone e lunghezza. E possble contollae quest paamet n modo da ealzzae ndutto pe qual f c può essee anche dell odne delle centnaa d MHz. Pe fequenze maggo entano n goco fenomen qual la adazone elettomagnetca che non descvbl dal modello magneto-quas-statco: l avvolgmento s compota da antenna. 0

11 Consdeamo oa due solenod vcn, cascuno accessble da una coppa d mosett (A- e C- D n Fg. ), ealzzat n conduttoe pefetto. Rpetendo agonament analogh a quell fatt n pecedenza, è facle convnces che pe cascuna coppa d mosett possono essee defnte tensone e coente (dcamole v, e v, ). M A C v L L v v v (a) (b) D Fg.. a) Doppo-bpolo ccut mutuamente accoppat ; b) ealzzazone del doppo-bpolo con due solenod Cca la caattestca, codando la defnzone d coeffcent d auto e mutua nduzone, s ottene, con passagg analogh a quell vst n pecedenza: d d v L + M d d v M + L Dunque, l oggetto n questone è accessble tamte due coppe d mosett, pe cascuna delle qual valgono le potes che ende lecta le defnzone d tensone e d coente, ed esstono due elazon che collegano le quatto gandezze v, e v,. Esso è dunque una genealzzazone del bpolo nduttoe, che defnamo doppo bpolo (n quanto genealzzazone d bpolo) ccut mutuamente accoppat (n quanto genealzzazone dell nduttoe). 5. Aspett enegetc Valutamo oa, dal punto d vsta del campo, gl aspett enegetc dscuss a suo tempo sull nduttoe deale nteso come bpolo della teoa de ccut. appamo nfatt che l nduttoe è un bpolo passvo, pe l quale s può defne enega posseduta ad un ceto stante t la quanttà: () t L () t 0 W (3) n funzone della quale la potenza (stantanea) p ( t) v( t) ( t) assobta (avendo fatto la convenzone dell utlzzatoe) dal bpolo sulta: dw p () t (33) La vaazone d enega nfntesma n un ntevallo d tempo sulta qund: dφ dw p v dφ (34) dove abbamo sfuttato la (8). Rcodando la (3) e la (7), valde pe l solenode, abbamo: (3)

12 l dw dφ H N d H d V (35) N dove H e sono modul del campo magnetco ed nduzone magnetca, e V è l volume della egone d spazo n cu è pesente l campo magnetco (ossa la egone ntena al solenode). Possamo dunque defne una vaazone d denstà d enega (enega pe untà d volume): e qund una denstà d enega del campo magnetco: dw H d (36) w µ 0H (37) µ 0 Dunque, un nduttoe è n gado d mmagazznae enega nel campo magnetco che s nstaua al suo nteno (fenomeno d caca), pe po eventualmente esttula a tempo debto (scaca). Pe tale agone s pala d bpolo passvo consevatvo, pe dstnguelo da bpol passv dsspatv come l esstoe. Pe quanto guada l doppo bpolo ccut mutuamente accoppat, c aspettamo d dove tovae sultat analogh, n quanto l meccansmo fsco d mmagazznamento dell enega è lo stesso. La potenza assobta dal doppo bpolo sulta: p () t v () t () t + v () t () t d L + L d L + M d + M M + d d + M d + L Affnché valga la (33) (ossa la potenza possa essee espessa come devata tempoale d una funzone che defnamo enega posseduta dal sstema), deve sultae M M M. In questa potes, dalla (38) s desume che l enega posseduta dal doppo bpolo sulta: W L + L + M (39) Pe evdent motv fsc (passvtà), anche oa deve sultae W 0, l che mplca che: L + L + M L + L y + M y y (40) d 0 0, dove s è supposto 0 (altment scegleemmo ). Con semplc agonament sul dscmnante del tnomo, s desume che affnché valga la condzone (40) y eale, deve sultae: La stuazone lmte: (38) M L L (4) M LL (4) s defnsce condzone d accoppamento pefetto. In questo caso, è possble tovae un valoe eale d y (ossa del appoto ta le coent) tale da annullae l enega posseduta dal doppo bpolo, ossa tale da annullae l campo magnetco n ogn punto dello spazo. E facle convnces che, affnché cò sa possble, tutte le lnee d campo magnetco che s concatenano con un avvolgmento s devono concatenae anche con l alto.