Prova scritta del corso di Fisica con soluzioni

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1 Pova sctta del coso d Fsca con soluzon Pof. F. cc-tesengh 13/02/2013 Quest 1. State ossevando una gosta d quelle con seggoln volant che ga a veloctà angolae costante. Su uno de seggoln è seduto un bambno d massa m = 30 kg e le catene che tengono quel seggolno sono nclnate d θ = 30 o spetto alla vetcale. Calcolate la tensone lungo tal catene (tascuando l peso delle catene e del seggolno). Sapendo nolte che l bambno n questa poszone dsta d = 10 m dall asse d otazone della gosta, calcolate la veloctà angolae con cu la gosta sta uotando. Se l bambno avesse avuto una massa m = 45 kg, quale saebbe stato l angolo d nclnazone delle catene? 2. In uno spazo bdmensonale sono pesent due fl nfntamente lungh e unfomemente cach. Entamb fl sono paallel all asse delle odnate e dstano da tale asse d = 10 cm: quello a snsta dell asse ha denstà lneae d caca pa a λ S = 2 nc/m, mente quello a desta ne ha una pa a λ D = λ S /2 = 1 nc/m. Detemnate l luogo de punt n cu l campo elettco è nullo. Quanto lavoo è necessao compee pe potae un elettone dall ogne degl ass ad uno d quest punt n cu l campo elettco è nullo? 1

2 3. Consdeate l ccuto nella fgua a snsta e calcolate la sua esstenza equvalente ne seguent due cas: (a) = = 6 kω e (b) = 15 kω, = 5 kω. Cecate d ottenee l espessone geneale smbolca n temn d e. A B 4. Consdeate un clndo d aggo = 3 cm unfomemente caco con denstà d caca ρ = 20 nc/m 3, che ha una cavtà clndca d aggo = 2 cm al suo nteno. Gl ass del clndo e della cavtà clndca sono paallel e dstano d = 1 cm ta d loo. La fgua d desta mosta una sezone otogonale agl ass. Calcolate l campo elettco nel cento del clndo e nel cento della cavtà clndca (punt A e B spettvamente n fgua). Calcolate nolte l campo elettco massmo e quello mnmo sulla supefce estena del clndo. 5. Un cavo coassale (ettlneo ed nfntamente lungo) è composto da un flo conduttoe nteno (d dameto tascuable) contenuto n un clndo solante d dameto d = 1 cm. Sulla supefce d questo clndo è qund pesente una magla conduttce d spessoe tascuable (che potete potzzae pefettamente omogenea). Se nel flo conduttoe nteno scoe una coente d = 10 A e nella magla estena un coente d pa ntenstà e veso opposto, calcolate l campo magnetco geneato dal cavo coassale. 2

3 Soluzon 1. Il bambno è sottoposto a due foze: quella d gavtà mg vetcale veso l basso e quella centfuga mdω 2 ozzontale veso l esteno (ω è la veloctà angolae della gosta). La somma delle due deve avee un nclnazone θ spetto alla vetcale ed è pefettamente compensata dalla tensone T lungo le catene. Scomponendo le foze nelle component ozzontale e vetcale abbamo che T sn(θ) = mdω 2, T cos(θ) = mg. Dalla seconda ottenamo la tensone delle catene T = mg/ cos(θ) = 339 N, mente facendo l appoto ta le due equazon ne ottenamo una nuova n cu non compae né la tensone né la massa del bambno tan(θ) = dω2 g. Da questa cavamo la veloctà angolae ω = g tan(θ) = 0.75 s 1, d e notamo nolte che l angolo d nclnazone θ non dpende dalla massa del bambno. Infatt dovebbe essee espeenza comune che quando queste goste gano tutt seggoln hanno la stessa nclnazone ndpendentemente da ch v sa seduto sopa (basta notae che quell vuot hanno la stessa nclnazone!). 2. Gaze alla smmeta delle dstbuzon d caca sa l campo elettco che l potenzale elettostatco dpendono solo dalla coodnata x, e qund possamo gnoae completamente la coodnata y (mmagnate d lavoae solo sull asse delle ascsse). L unca componente non nulla del campo elettco è quella paallela all asse delle x che assume l valoe E x = 1 ( λs 2πε 0 x + d + λ ) D = λ ( S 2 x d 4πε 0 x + d 1 ) = λ S x d 4πε 0 x 3d (x + d)(x d). Il luogo de punt del pano n cu l campo elettco s annulla è qund quello con x = 3d = 30 cm. Al fne d calcolae l lavoo chesto nel questo dobbamo calcolae la dffeenza d potenzale ta l ogne degl ass (x = 0) e un punto con x = 3d. Essendo l potenzale elettostatco la somma de potenzal de due fl, scvamo la dffeenza d potenzale come V = V S + V D. 3

4 La dffeenza d potenzale del sngolo flo può essee calcolata con la seguente fomula V = λ 2πε 0 log( 1 / 2 ), dove 1 è la dstanza dal flo del punto nzale ed 2 quella del punto fnale. La dffeenza d potenzale cecata è qund pa a V = e l cospondente lavoo è pa a λ S 2πε 0 log(1/4) + λ D 2πε 0 log(1/2) = 3λ S 4πε 0 log(1/2) = 37.4 V L = 37.4 ev = J 3. cavamo dettamente l espessone smbolca geneca n temn d e ; n seguto sosttuemo valo specfc pe spondee alle pme due domande. La fgua llusta la scelta de ves delle coent La legge de nod c fonsce le seguent quatto equazon: = 1 + 2, = 3, 2 = 0 + 4, =, delle qual solo 3 sono ndpendent (nfatt la somma delle quatto equazon è dentcamente soddsfatta). La legge delle magle c fonsce nvece le seguent due equazon: = 0, = 0. Infne dobbamo espmee la dffeenza d potenzale a cap del ccuto n temn d quanttà ntene con la seguente equazone V = La esstenza equvalente che dobbamo calcolae è data da eq = V/. 4

5 Puttosto che solvee d foza buta le se equazon appena sctte n temn delle se coent, notamo che la smmeta del ccuto suggesce una soluzone n cu valgano 1 = 4, 2 = 3. È facle vefcae che con queste sosttuzon le equazon d sopa s ducono alle seguent: = 1 + 2, = 2, = 0, la cu soluzone c fonsce te coent n funzone della quata, ad esempo, 0 = + 1, 2 = 2 + 1, = La esstenza equvalente è qund data dalla seguente espessone eq = V = = Sosttuendo valo numec tovamo che nel caso (a) eq = 6 kω, mente nel caso (b) eq = 9 kω. 4. Pe pma cosa cavamo l espessone del campo elettco geneato da un clndo d aggo unfomemente caco con denstà d caca ρ. Il campo elettco è detto adalmente e la sua ntenstà dpende solo dalla dstanza δ dall asse del clndo. Tale espessone può essee ottenuta con l teoema d Gauss, usando come supefce gaussana un clndo d aggo δ coassale al pmo. Il flusso sulta sempe essee pa a Φ = 2πδhE, mente la caca all nteno della supefce gaussana è pa a Q nt = πδ 2 hρ se δ e pa a Q nt = π 2 hρ altment. Qund l ntenstà del campo elettco è pa a { ρ δ/(2ε0 ) se δ, E(δ; ρ, ) = ρ 2 /(2ε 0 δ) se δ >. La sua dezone è uscente se ρ > 0 ed entante se ρ < 0. Il campo elettco geneato dalla dstbuzone d caca dell eseczo è equvalente alla somma de camp elettc geneat da un clndo con denstà d caca ρ e aggo (come quello del questo, ma senza la cavtà!), che chameemo esteno, pú un clndo con denstà d caca ρ e aggo, poszonato esattamente dove s tova la cavtà, che chameemo nteno. Inzamo con l calcolae camp geneat da quest due clnd ne punt A e B della fgua (pe comodtà ntoducamo un sstema d ass catesan n cu l punto A concde con l ogne e l punto B è sul semasse postvo dell asse delle x). Essendo l punto A al cento del clndo esteno, l campo geneato da quest ultmo è nullo, E(0; ρ, ) = 0, mente l campo geneato dal clndo nteno è d ntenstà pa 5

6 a E(d; ρ, ) = 11.3 V/m e detto nel veso postvo dell asse delle x. Nel punto B, nvece, è l campo geneato dal clndo esteno ad essee d ntenstà pa a E(d; ρ, ) = 11.3 V/m e d veso concode all asse delle x, mente l campo geneato dal clndo nteno è nullo peché l punto B è sul suo asse. Qund abbamo tovato che ne punt A e B l campo è lo stesso, ma dveso da zeo. N.B.: l campo elettco ne punt nten A e B saebbe stato nullo se l clndo cavo caco fosse stato conduttoe; n quel caso le cache s saebbeo dstbute nel conduttoe n modo da annullae l campo elettco nella cavtà, ma qu abbamo un copo unfomemente caco (e le cache non possono muoves). Infne, ossevando la smmeta nella dstbuzone d caca, sulta evdente che punt dove l campo elettco è massmo e mnmo sono quell n cu l asse delle x attavesa la supefce estena del clndo esteno: chamamo C l punto a snsta, ossa quello d coodnate ( 3 cm, 0), e D quello a desta, d coodnate (3 cm, 0). In entamb punt camp geneat da due clnd sono paallel all asse delle x, ma con ves dscod: quello geneato dal clndo esteno è sempe d ntenstà maggoe e qund l veso de camp sultant n C e D è uscente. Calcolamo oa le spettve ntenstà: nel punto C abbamo E C = E(; ρ, ) E(2 ; ρ, ) = ρ ρ 2 2ε 0 2ε 0 (2 ) = ρ ( 2 ) 1 = ρ = 22.6 V/m 2ε 0 (2 ) 3ε 0 mente nel punto D abbamo E D = E(; ρ, ) E(; ρ, ) = ρ 2ε 0 ρ 2ε 0 = ρ 6ε 0 = 11.3 V/m. 5. Il calcolo del campo magnetco geneato dal cavo coassale può essee fatto sfuttando l teoema della ccutazone d Ampèe. Consdeando una qualsas lnea chusa estena al cavo coassale, notamo che la somma delle coent concatenate con tale lnea sono nulle e qund l campo magnetco fuo dal cavo coassale è pa a zeo. Qund l unca egone d spazo n cu v può essee campo magnetco dveso da zeo è all nteno della magla: l fatto che n questa egone d spazo v sa un solante non deve fac pensae che non possa essec un campo magnetco; un solante è un mateale che non pemette l movmento delle pope cache elettche ntene, ma nulla veta la pesenza d un campo elettco o magnetco dento un solante (pe convncev, mettete una calamta dento una busta d plastca e vefcate che sa ancoa n gado d attae la lmatua d feo). Dento la magla del cavo coassale l campo magnetco può essee geneato solo dalla coente che scoe nel flo conduttoe nteno (l unca che può concatenas con una lnea chusa ntena alla magla). Il campo magnetco geneato da un flo ettlneo ed nfntamente lungo è dato dalla legge d Bot-Savat B = µ 0 2π pe < d. 6