1. Integrazione di funzioni razionali fratte

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1 . Integazone d fnzon azonal fatte P S songa d vole calcolae n ntegale del to: d Q ove P e Q sono olno nell ndetenata d gado assegnato. Sonao ce: P a n n a n n a a Q b b b b oleent s etod d ntegazone I coeffcent a e b aatengano al cao eale e a n e b sano dves da zeo n odo da non abbassae l gado de olno. S ossono esentae te cas: gp > gq; gp gq; gp < gq... I aso: gp > gq Pe ote calcolae l'ntegale s esege la dvsone ta olno P e Q e s sosttsce l sltato nell ntegale stesso. sstono de etod e esege la dvsone ta olno: - I etodo: s esege l sale dvsone. - II etodo: s tlzza l nco d denttà de olno. seo Sa d S not ce gp gado del olnoo al neatoe e ce gq gado del olnoo a denonatoe. S ò esege la dvsone: e slta: e nd : ozente esto d log actg c d d d d S evene al edeso sltato tlzzano l nco d denttà de olno. Ossevando ce :

2 oleent s etod d ntegazone g g Q g P g Q P g l olnoo ò essee sctto nel odo segente: d c b a ove: a b è l olnoo ozente e c d è l esto della dvsone. gaglando abo eb, s cava: a b c d a c s ò detenae l valoe d a, b, c, e d, onendo l egaglanza ta l olnoo del I ebo e ello del II ebo. S cava: a a b b c d a b a c b d a c: d b c a b a d c b a Sosttendo valo tovat s evene allo stesso sltato ottento a:.. II aso: gp gq In esto caso non s sege na egola ben defnta: le oeazon da esege dendono da olno n goco; è cone ossble esege ancoa la dvsone ta olno. seo: c d d d d d log.. III aso: gp< gq Va codato ce l Teoea Fondaentale dell lgeba affea ce n olnoo d gado n aette esattaente n adc nel cao colesso; tale oetà veà sfttata e decooe l olnoo Q n fatto dcbl. Le adc d Q ossono essee o eal o colesse congate a de a de, con oltelctà aggoe o gale a no. Sonao ce l olnoo Q aetta la segente decooszone: Q α α α

3 oleent s etod d ntegazone dove α,, α sono adc eal e olno cosondono alle coe d adc colesse congate. Gl odn d oltelctà sono:,,, e le adc eal,,,, e le adc colesse congate, e devono soddsfae alla elazone: n gado d Q. Pe selctà consdeeeo n odo dffeente cas elatv a adc eal dstnte, a adc colesse congate e cas con adc eal o colesse congate con oltelctà aggoe d no. Radc eal dstnte S cecano le adc d Q. Il denonatoe della fazone s ò decooe nel segente odo: α α α Q Le adc: α,, α sono e otes eal e dstnte d oltelctà no. S ceca d scvee la fnzone nteganda nel segente odo: P P Q α α α α ove,,, sono costant eal da detenae n base a olno assegnat. Pe detenae l valoe delle costant,,, c s avvale d de etod dstnt e fa d loo evalent: I Metodo: Passaggo al lte. Moltlcando d volta n volta abo eb e α,,,, s ottene: α P α α α α α α α α α α Retendo esta oeazone e ttte le adc s ottengono lt da calcolae seaataente: α l α Q P Tale elazone deve valee e ogn scelta d,,,. S ossev ce d volta n volta al denonatoe anca l tene α. al calcolo de lt così ottent, s cava l valoe delle costant,,,. seo alcolae l segente ntegale: S cecano le adc del olnoo a denonatoe d 6 Q 6 e 6 Qnd s dentfca la fnzone nteganda con la segente: 6

4 Moltlcando abo eb e s ottene: 6 segendo l assaggo al lte, s cava: ossa: 6. l l oleent s etod d ntegazone Moltlcando oa e abo eb s cava: 6 segendo l assaggo al lte, s ottene: l l ossa:. S ò oa ocedee al calcolo dell ntegale: 6 d d d d 6 S ottengono così de ntegal ce aettono coe tve delle fnzon d to logatco. II Metodo: Medante l nco d denttà de olno. Qesto etodo eette d calcolae ttte le costant,,, n blocco, senza coee al calcolo d lt seaataente, a edante la solzone d n sstea lneae d eazon n ncognte. Sonao ce la fnzone nteganda s ossa scvee nel segente odo: P Q α α α S esege la soa de ten a secondo ebo e s cava: P Q [ α α ] [ α α ] α α È ossble elnae denonato n anto gal. S ottene: P [ α α ] [ α α α ] [ α α α ]. Pe l nco d denttà de olno, s ottene n sstea d eazon nelle ncognte,,,. seo : Metodo altenatvo e calcolae l valoe dell ntegale esentato nell eseo. S cecano le adc d Q: gà calcolate nell eseo

5 oleent s etod d ntegazone e 6 Qnd s ceca d soddsfae alla elazone: 6 Svolgendo la soa al secondo ebo, e elnando denonato s ottene: da c, alcando l nco d denttà de olno, s costsce l segente sstea lneae d de eazon nelle de ncognte e : 6 oe ea da asettas, s ottengono gl stess valo e le costant e. Una volta calcolat e, s ò ocedee al calcolo dell ntegale coe nell eseo. Radc colesse congate oe nel caso ecedente s decoone l denonatoe Q n fatto dcbl, andando a cecae le adc del olnoo. Il denonatoe della fazone s ò decooe nel segente odo: Q Il olnoo Q aette, n tal caso, adc colesse e le adc colesse congate del to: β α β α ; ; β α β α La fnzone nteganda dventa s ò scvee nella foa: Q P ove le e sono costant eal da detenae tlzzando l nco d denttà de olno. S ossev ce a neatoe aaono olno d I gado e non ù delle costant coe nel caso ecedente. seo : alcolae l valoe del segente ntegale: d Le adc del olnoo a denonatoe sono: ;, ±; ecao d scvee l aoto nella foa: Utlzzando l nco d denttà de olno, s ottene:

6 oleent s etod d ntegazone 6 da c: e nd la fnzone nteganda s scve: Tonando all ntegale d atenza s ottene: d d d d S ottengono così te ntegal faclente calcolabl. Radc dotate d oltelctà S decoone ancoa n fatto l olnoo Q al denonatoe. S cecano le adc del olnoo: Q α α α dove,,,,,,, aesentano gl odn d oltelctà delle adc tovate eal o colesse congate. La fnzone nteganda s ò scvee nel segente odo: α α α α α α Q P dove le vae costant eal, t, s vanno detenate edante l nco d denttà de olno. seo : alcolae d Le adc del olnoo al denonatoe sono : ; e con oltelctà ecao na foa evalente della fnzone nteganda:

7 oleent s etod d ntegazone 7 Le otenze del denonatoe s etono fno a aggngee l'odne d oltelctà. Qnd: nd l ntegale s ò scvee nel segente odo d d d d seo : alcolae d È gq > gp. Pe decooe tale fazone bsogna detenae le adc del olnoo al denonatoe Le adc sono : ; e ± ognna con odne d oltelctà s anno adc colesse e adce eale. Pe l teoea d decooszone de olno la fnzone nteganda s ò scvee nel odo segente: da c s cava l sstea lneae nelle ncognte,,,, : Qnd la fazone s ò scvee coe soa d fazon, nel odo segente:

8 oleent s etod d ntegazone.. Teoea d decooszone de olno N.. La tecnca d decooszone de olno non è fnalzzata all ntegazone, a ò essee sata ogn volta ce s a a ce fae con l ozente d de olno ce settno le otes esoste. Sano P e Q olno eal con coeffcent eal e tal ce gp< gq. Se l olnoo Q s ò fattozzae nel segente odo: α α α Q slta ce :,,,,,,, sono gl odn d oltelctà delle adc del olnoo Q. gq. α,α,,α sono le adc eal dell eazone Q,, sono olno d secondo gado dcbl nel cao eale, ossa aettono de adc colesse congate. P Il aoto s ò esee coe soa d fazon azal nel segente odo: Q P. Q α α α e ogn adce eale e ogn coa d adc colesse congate ove le costant eal,, s detenano edante l nco d denttà de olno. seo. alcolae la tva del segente ntegale: d. Sccoe g e g[ ] 6, sao nelle condzon d ote alcae l teoea ecedente. I asso. alcolo delle adc d. S cava: con oltelctà, con oltelctà, con oltelctà. II asso. ecao d scvee la fnzone nteganda nella segente foa: ate cosondente alle adc eal F ate cosondente alle adc colesse congate 8

9 oleent s etod d ntegazone 9 F III asso: gaglanza ta neato; F IV asso: e l nco d denttà de olno s ottene l sstea F F nd la fnzone nteganda s ò scvee nella foa: etanto l'ntegale d atenza dvene: d d d d I de ntegal sono faclente calcolabl e cosondono settvaente alle fnzon e actg, ente e l tezo ntegale bsogna daa coee al etodo d sosttzone e o all'ntegazone e at, nfatt osto tg s cava d d cos e c: d cos sen sen cos cos s d d da c s ò tonae alla vecca vaable e avee l'ntegale n fnzone della vaable.