Analisi delle componenti principali

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1 UNIVERSIÀ DEGI SUDI DEA BASIICAA FACOÀ DI INGEGNERIA CORSO DI AUREA IN INGEGNERIA MECCANICA ESINA IN COMPEMENI DI PROBABIIÀ E SAISICA 3 cedt Anas dee comonent nca DOCENE: Pof.: EVIRA DI NARDO SUDENE: D ANDRIA PARIZIA 673 ANNO ACCADEMICO 005/006

2 Indce Anas dee comonent nca Intoduzone..... g. 3 Desczone de metodo g. 5. a vaanza dee comonent nca......g.7. Pocedua d estazone dee comonent nca dea matce d covaanza......g.8.3 Poetà dee comonent nca g..4 I ango dea matce d covaanza... g..5 a sceta de numeo dee comonent nca.... g.3.6 Standadzzazone dee vaab d ogne g.5.7 Inteetazone dee comonent nca g.6.8 Inteetazone geometca dee comonent nca g.8.9 e comonent nca ne caso d camone mutvaato gaussano... g..0 Sntes dee caattestche dee comonent nca.... g. Esem g. 3. Esemo n..... g.3. Esemo n g.8 Aendce Acune defnzon...g. 33 Anas dee comonent nca

3 ANAISI DEE COMPONENI PRINCIPAI Intoduzone ʹanas dee comonent nca (detta ue PCA oue CPA) è una tecnca utzzata ne ambto dea statstca mutvaata e a semfcazone de dat d ogne. o scoo mao d questa tecnca è a duzone d un numeo ù o meno eevato d vaab (aesentant atettante caattestche de fenomeno anazzato) n acune vaab atent. Cò avvene tamte una tasfomazone neae dee vaab che oetta quee ognae n un nuovo sstema catesano ne quae e vaab vengono odnate n odne decescente d vaanza: etanto, a vaabe con maggoe vaanza vene oettata su mo asse, a seconda su secondo asse e così va. a duzone dea comesstà avvene mtandos ad anazzae e nca (e vaanza) ta e nuove vaab. Dvesamente da ate tasfomazon (nea) d vaab atcate neʹambto dea statstca, n questa tecnca sono g stess dat che detemnano vetto d tasfomazone. a PCA è una tecnca statstca adoeata n mot ambt: ne astonoma, nea medcna, n camo ago-amentae, ecc... fno anche aa comessone d mmagn; questo eché quando c s tova a semfcae un obema, ducendo a dmensone deo sazo d aesentazone, s ha ao stesso

4 temo una edta de nfomazone contenuta ne dat ogna. a PCA consente d contoae egegamente tade-off ta a edta d nfomazon e a semfcazone de obema (basta scegee numeo aoato d autovetto). I esente eaboato ma a descvee tae metodooga da unto d vsta sa matematco che quatatvo. Anas dee comonent nca 4

5 . Desczone de metodo anas dee comonent nca con femento a vaab,,,...,,..., con,,..., (vettoe casuae mutvaato), consente d ndvduae atettante vaab (dvese dae me),,,...,,..., con,,..., (vettoe mutvaato), ognuna combnazone neae dee vaab d atenza. obettvo dea PCA consste ne ndvduae ootune tasfomazon nea dee vaab ossevate facmente nteetab e caac d evdenzae e sntetzzae nfomazone nsta nea matce nzae. ae stumento suta ute soattutto aoquando s ha a che fae con un numeo d vaab consdeevoe da cu s vogono estae e maggo nfomazon ossb u avoando con un set ù stetto d vaab. I dat d atenza vengono oganzzat n una matce, ndcata con : M M M O M con,,..., e,,..., dove: e coonne aesentano e ossevazon effettuate; e ghe sono e vaab consdeate e fenomeno n anas. S uò notae come a matce de dat d ogne vene sntetcamente aesentata con un vettoe casuae mutvaato ( ( K ) ). Anas dee comonent nca 5

6 Anas dee comonent nca 6 Data a matce, che contene vaab coeate ta oo, s vuoe ottenee una matce d nuov dat, comosta da vaab ncoeate ta oo, che sutano essee combnazone neae dee me. E qund s ha: ) ( ) ( ) ( (.) n foma estesa è: M O M M M O M M M O M M (.) Una geneca comonente d, ad esemo a ma, s esmeà come: K K,,, ),,, ( (.3) In sntes, s ha che -esma comonente d è data da: (.4) a cu cosonde una vaanza a a: Va Σ ) ( (.5) e una covaanza d: Cov Σ ), ( (.6) è a matce caattestca dea tasfomazone neae, mente e sono dette comonent nca.

7 I vettoe mutvaato ) ( K è tae che mo eemento comenda a maggoe vaabtà ossbe (e qund maggo nfomazon) dee vaab ognae, e che aesent a maggoe vaabtà dee doo a ma comonente, e così fno a che tene conto dea ù ccoa fazone de ognaa vaanza. Pecò e comonent nca sono quee combnazon nea dee vaab aeatoe a noma untaa che ne endono massma a vaanza e che sono ncoeate.. a vaanza dee comonent nca S è defnta a vaanza dee comonent nca secondo esessone (.5), ossa: Va ( ) Σ Occoe eò oe un vncoo su vettoe de coeffcent. Suonendo d ave tovato un vettoe che massmzz a vaanza d, tae vaanza otà essee uteomente ncementata utzzando anzché vettoe aena tovato, un nuovo vettoe c, con c >. Con tae agonamento s otteanno un nfntà d souzon, note a meno d un fattoe d oozonatà c. Petanto e avee un unca souzone è necessao oe un vncoo sug eement de vettoe, esesso nea seguente condzone: ovveo vettoe deve avee noma untaa. Anas dee comonent nca 7

8 Pe ndvduae a ma comonente ncae bsogneà sovee seguente obema d massmo vncoato: Va( ) Σ max con (.7). Pocedua d estazone dee comonent nca dea matce d covaanza Data a matce d covaanza Σ, dovendo esegue obettvo stabto daa (.7), s defnsce come funzone obettvo da massmzzae a funzone d angange: P Σ λ ( ) dove λ è motcatoe d agange. Massmzzae a funzone obettvo setto a sgnfca tovae ootuno vettoe d es da assegnae ae vaab esent nea matce n modo tae che a nuova vaabe ottenuta,, segh a massma quota ossbe dea vaabtà totae, Σ. attandos d un obema d massmo vncoato, a souzone s tova uguagando a zeo a devata, setto a vettoe, dea funzone agangana: P Σ λ ( Σ λi) 0 (.8) Anas dee comonent nca 8

9 dove I è a matce denttà. Da teoema d Rouchè-Cae, equazone (.8) ndvdua un sstema neae omogeneo che ammette souzon se e soo se a matce ( Σ λi) è sngoae, ovveo: det( Σ λ I) 0 (.9) e souzon dea (.9) sono g autovao dea matce Σ, e cu a souzone dea (.9) comota a ceca de ango dea matce ( Σ λi). Poché Σ ha dmensone ( ), s avanno a massmo souzon. Odnando e souzon λ n senso decescente, s ha: λ λ K λ 0 Pesa a massma souzone λ dea (.9), s toveà vettoe cosondente sovendo seguente sstema: ( λ I ) 0 (.0) Σ e qund: Σ λ (.) Ne deva che obema de massmo vncoato s taduà n un obema d autovao e autovetto, n quanto vettoe non è ato che autovettoe d noma untaa dea matce Σ assocata a autovaoe λ. Motcando entamb memb dea (.) e Σ λ, s ha: Anas dee comonent nca 9

10 essendo vettoe d noma untaa, s ottene: Σ λ Va ( ) a vaanza dea ma comonente ncae saà dunque massmzzata n quanto s è sceta e λ ù gande deg autovao d Σ. Pe tovae e comonent successve aa ma s deve segue un ocedmento anaogo che dovà tene conto dee comonent gà vautate. utto questo dscoso vene sntetzzato ne seguente teoema: EOREMA: Sa Σ a matce d covaanza assocata a vettoe casuae ( K ). Indcat con λ λ K λ 0 autovao dea matce Σ e con e e K e ) settv autovetto, a -esma ( comonente ncae è data da: e con,, K, con questa sceta, suta Va ( ) λ e,, K, e Cov, ) 0 e (. COROARIO : σ + σ + + σ Va( ) λ + λ + + λ Va( ) P P I P I P dove: Va ( ) è a vaanza totae dea ooazone; I P Va ( ) è a vaanza totae dee comonent nca. I Anas dee comonent nca 0

11 ae cooao sta ad ndcae che a vaanza de dat d atenza s dstbusce n quea dee comonent nca..3 Poetà dee comonent nca a) Pe ogn, s ha che, che equvae aa condzone 0 (essendo Σ smmetca, g autovetto saanno a due a due otogona). Qund a matce d covaanza d è una matce dagonae, etanto s ha Cov, ) 0, e. ( b) a somma deg autovao è uguae aa tacca d Σ λ t( Σ) σ. Va evdenzato che estazone dee comonent nca uò essee effettuata anche daa matce d coeazone R (con a medesma ocedua vsta e Σ ). In ta caso, s avà: λ t( R). c) I odotto deg autovao è uguae a detemnante dea matce Σ : λ det(σ) oue λ det(r), se s avoa con a matce d coeazone. d) È seme ossbe scomoe una matce d covaanza o una matce d coeazone n un numeo d comonent nca ma sueoe a numeo d vaab ossevate. Anas dee comonent nca

12 e) e comonent nca non sono ndendent da untà d msua dee vaab. Se s motca una vaabe ossevata e un vaoe costante, a matce d covaanza camba detemnando una cosondente vaazone dee comonent nca. f) e comonent nca non vaano e vaab standadzzate, mente non è necessao standadzzae vao ecentua o aot ta gandezze che vaano n nteva mtat. g) Essendo Σ una matce smmetca, g autovao λ assocat sono ea. h) I ango dea matce Σ concde con numeo d autovao λ non nu..4 I ango dea matce d covaanza Bsogna a questo unto ae una aentes su ango dea matce Σ. a matce d covaanza Σ ha o stesso ango dea matce de dat ed è smmetca, e cu suo ango saà a a numeo d autovao non nu. Inote s dmosta che a matce Σ è sem-defnta ostva; cò comota che suo autovao sono seme o ostv o nu. Qund: se e ghe dea matce de dat sono neamente ndendent (ossbe soo se numeo d ossevazon, ad esemo n, è maggoe d ), Σ avà ango, ed suo autovao saanno tutt ostv. Anas dee comonent nca

13 Se quache autovaoe suta nuo (onamo k autovao nu), aoa Σ avà ango k, e s otanno detemnae k autovao ostv. In concusone, s uò assee che se Σ ha ango (ovveo se è defnta ostva) s otteanno autovao ostv, autovetto cosondent e qund comonent nca. Se Σ è sem-defnta ostva e d ango k, s detemneanno k autovao non nu e k comonent nca..5 a sceta de numeo dee comonent nca S è att da vaab ( K ), con obettvo d sntetzzae n un numeo nfeoe d vaab atfca. A seconda de ango dea matce Σ, s otanno tovae fno a comonent nca. I comto dea PCA è queo d anazzae un numeo d dat nfeoe a queo d atenza, a tae scoo vengono eencat, d seguto, cte adoeat e due numeo dee comonent nca da a k, con k. I cte adoeat e a sceta de numeo d comonent sono te (Cte Eustc), e sono:. Pendee soo quee comonent che aesentano 80-90% dea vaabtà comessva, ovveo: λ + + λ λ + λ + + λ k 80 90% (.) Anas dee comonent nca 3

14 dove numeatoe aesenta a vaanza dee me k comonent nca, mente denomnatoe aesenta a vaanza d tutte e comonent nca.. Segue a Regoa d Kase : endee soo quee comonent che hanno un autovaoe maggoe o uguae ad uno, oue, equvaentemente, e comonent che hanno vaanza maggoe d quea meda (ottenuta come meda dee λ ); 3. a sceta de numeo d comonent (suffcent a odue con una buona aossmazone dat d atenza) uò essee fatta attaveso gafco deg autovao o Sceen Pot. A nteno de gafco s scege numeo d comonent cosondente a unto d gomto dea sezzata. o Sceen Pot è costuto onendo su asse dee ascsse nume d odne deg autovao (,, K, k ) e n odnata g autovao ad ess cosondent ( λ, λ, K, λ ). I unt d coodnate (, λ ), con k,, K, k, vengono unt con segment. I numeo d comonent nca da utzzae saà dato da ù ccoo k tae che a snsta d k andamento de λ sa fotemente decescente, mente a desta andamento deve essee essoché costante, o comunque debomente decescente. Anas dee comonent nca 4

15 .6 Standadzzazone dee vaab d ogne Sesso uò accadee che dat d ogne, che s hanno a dsoszone, sano caattezzat da untà d msua non aagonab ta oo oue da amezze de sottocamon moto dvese. In ta condzon, non è ossbe avoae con camone noto ma è necessao standadzzae e vaab aeatoe. A ate da camone d ogne, ( K ), e note a meda e a devazone standad dee ooazon d aatenenza dee vaab, ocesso d standadzzazone emette d nomazzae e vaab: µ µ,, K, σ σ µ σ ed ottenee così un nuovo camone, ( Z Z K Z ), che avà meda nua e vaanza untaa. Pe questo nuovo camone, s avà che a matce d covaanza dee Z concde con a matce d coeazone de camone d ogne: Σ R Z (.3) Petanto, quando s ha un camone d coeazone, R. non omogeneo s adoea a matce S deve sottoneae che g autovao ottenut con a matce d coeazone R sono dves da que dea matce d covaanza Σ eatva a camone d ogne. Anas dee comonent nca 5

16 .7 Inteetazone dee comonent nca nteetazone dee comonent nca è una fase de metodo assa decata. Attbue un sgnfcato semantco ae è sesso egato aa caactà, a eseenza e aa sensbtà de cecatoe. Da questo unto d vsta non è ossbe fomazzae statstcamente ta caattestche. Esste, d ato canto, un modo e ndvduae sgnfcato nsto nee vaab atent (dette così n quanto non è ossbe effettuae una detta msuazone d ta aamet nascost ). S è detto che ogn comonente ncae s uò esmee ne seguente modo: con,, K, Petanto geneco coeffcente aesenta eso che a vaabe nea detemnazone dea comonente ncae (con ha,, K, ). Quanto ù gande è (n vaoe assouto), tanto maggoe saà eso che vao (,, K, ) hanno ne detemnae a comonente ncae -esma. Cò sgnfca che a comonente ncae saà maggomente caattezzata dae vaab a cu cosondono coeffcent ù gand n vaoe assouto. In ta modo sono oo coeffcent a confee un sgnfcato aa comonente ncae. Infomazon agguntve sono fonte da coeffcent d coeazone ta e vaab e -esma comonente ncae. S dmosta che: Co ) e (, (.4) σ λ Anas dee comonent nca 6

17 dove a (.4) aesenta coeffcente d coeazone, e e è un autovettoe. È chao che ù vaoe d tae coeffcente è eevato tanto maggoe saà egame ta e. Cò sgnfca che a detemnae sgnfcato dee comonent nca saanno e vaab con cu è maggomente coeata. Inote, questo to d anas uò essee comuta anche gafcamente, ovveo: se s consdea ne ano dee me due comonent nca un cecho d aggo untao, è ossbe vautae coeffcente d coeazone ta e e, e ta e. Ogn vaabe veà ottata a nteno de cecho, con e seguent coodnate: Co(, ), Co(, )). In questo modo, s avà ( un ndcazone gafca d qua vaab detemnno maggomente una, ata o entambe e comonent nca; d qua sano coeate ostvamente e qua negatvamente e così va. Petanto nteetazone dee comonent nca ndvduate vene d soto effettuata sua base de ossevazone dea matce d coeazone ta e vaab ognae e e comonent stesse nonché deg autovetto d cascuna comonente. Pobabmente uno de maggo unt debo d tae stumento statstco è oo questo: nteetazone de outut suta estemamente soggettva oché detemnat vao de coeffcent d coeazone ossono sutae sgnfcatv e acun, non sgnfcatv e at. NOA: Se s avoa con e vaab standadzzate Z Z K Z ), s avà ( un dveso vaoe de coeffcente d coeazone (n quanto g autovao dea matce Σ non concdono con g autovao dea matce R ). Anas dee comonent nca 7

18 .8 Inteetazone geometca dee comonent nca Da unto d vsta geometco, a matce de dat è aesentabe come unt neo sazo dmensonae R. S è amamente detto che a PCA ma a due numeo d vaab da anazzae, cò s taduce, da un unto d vsta geometco, ne oettae unt n un sottosazo k R, ndvduato n modo tae che a nuvoa de unt n R sa defomata meno ossbe. e comonent nca ndvduano un nuovo sstema d coodnate che è tae da avee su mo asse ( ) a massma vaabtà de sstema, su secondo s ha una vaanza nfeoe aa ma ma massma setto ae ate, e così va. Petanto, s avà che: sega a massma vaanza su duzone un-dmensonae; {, } segano a massma vaanza su duzone b-dmensonae; K KKKKKKKK {,, K, } segano a vaanza totae. e mmagn che seguono emettono d comendee a mego sgnfcato d quanto detto. IMMAGINE : I Dat d atenza sono ottat ne ano ndcat sono te autovetto dea matce d covaanza. 3 R, ed te segment Anas dee comonent nca 8

19 IMMAGINE : S ota ano dee due comonent nca scete. Anas dee comonent nca 9

20 IMMAGINE 3: Raesentazone vsva dea edta d nfomazone eatva aa ma comonente ncae. IMMAGINE 4: Raesentazone vsva dea edta d nfomazone eatva aa seconda comonente ncae. Anas dee comonent nca 0

21 .9 e comonent nca ne caso d camone mutvaato gaussano Se camone d atenza K ) è dstbuto secondo una ( vaabe aeatoa nomae N ( 0, Σ), aoa a matce d covaanza è defnta ostva ed è dunque nvetbe. Aoa x Σ x c descve un essode d cento ne ogne. Essendo Σ e e λ, s ha che: c ( e x) λ y λ (.5) a (.5) fonsce un essode ne sstema d coodnate con ass y e dezon e. Inote, e comonent nca sono ndendent. Passae da camone casuae nzae mutvaato a queo dee comonent nca, equvae a uotae g ass coodnat fno a quando ess concdono con g ass de essode d concentazone costante. Pe cu, e un camone mutvaato gaussano s ha un nteetazone gafca dffeente. Anas dee comonent nca

22 .0 Sntes dee caattestche dee comonent nca e comonent nca (CP) saanno: ta oo ncoeate Co, ) 0, e ; ( odnate n agone dea vaabtà comessva che esse ossono sntetzzae: λ λ K λ 0 ; a vaabtà de due sstem d vaab, è tae che: P I Va ( ) Va( ) ; P I Inote, se s ha λ λ, aoa e e. Se λ λ, aoa è seme ossbe scegee e e e ta che e e. Anas dee comonent nca

23 . Esem. Esemo n 6 sctto d omanz sono stat vautat da un camone d etto qua hanno esesso onon su to d contenuto e su modo n cu sono state sctte dee oee de sctto ndcat n base a aamet otat (ved tab. ): : gudzo, : eggbtà, 3: otca, 4: fantasa, 5: ettua, 6: the, 7: attuatà. S vuoe condue unʹanas dee comonent nca. Camone casuae mutvaato gud eggb otc fantast ettu th attua Faac oken Rowng Hadt Conwe Came Mazzantn Aende Nasa Eco Gadda Gass Kng Mags Mshma ucae tab. : Dat d atenza. Anas dee comonent nca 3

24 Medante comando coeazone d Exce, s ottene a seguente matce d coeazone: Matce dea coeazone d tab. : Matce d Coeazone. Attaveso comando d Matab svd è ossbe detemnae g autovao e g autovetto assocat aa matce d coeazone, che sono otat d seguto: Autovetto dea matce d coeazone d e e e3 e4 e5 e6 e tab. 3: Matce deg autovetto assocat aa matce d coeazone. Anas dee comonent nca 4

25 Autovao dea matce d coeazone tab. 4: Matce deg autovao assocat aa matce d coeazone. A questo unto, bsogna adoeae uno de te cte eustc e a detemnazone de numeo d comonent nca che dovanno aesentae camone nzae. CRIERIO: In base a mo cteo (esosto ne.5), s scege un numeo d comonent nca a a numeo d autovao che escono a coe 80-90% dea vaabtà totae. Petanto d seguto s oone una tabea n cu sono ndcate e ecentua d cascuna λ, e anche e cumuate: ecent cumuata λ % 46.83% λ % 7.08% λ % 8.58% λ % 90.% λ % 97.4% λ % 98.77% λ % 00.00% tot % tab. 5: Pecentua deg autovao. Anas dee comonent nca 5

26 S uò notae come g autovao λ sano odnat n manea decescente ed note ess cosondano ae stme dee vaanze camonae dee. Daa tabea 5, s evnce che m due vao dee λ coono 7% dea vaanza totae, mente se s consdea anche tezo autovaoe s ava fno a 8,58%. S decde d adoeae soo e me due vaanze, λ e λ, e cu e comonent nca s esmeanno ne seguente modo: ( gud) ( eggb) ( otc) ( fantas) ( ett) ( th) ( attua) ( gud) ( eggb) ( otc) ( fantas) ( ett) th) ( attua) (.) I coeffcent dee combnazon nea concdono con e comonent deg autovetto cosondent a due autovao scet. In base a es otat e queste combnazon nea, s ha: Comonente : tene conto soattutto de contenuto ndcando una ceta efeenza e seguent tem: otca, fantasa, the e attuatà. Comonente : tene conto ncamente de modo n cu è stato sctto omanzo, esmendo a efeenza e: gudzo, a eggbtà e a ettua. Anas dee comonent nca 6

27 CRIERIO: Secondo a egoa d Kase, andebbeo es m due autovao n quanto oo vaoe suta essee maggoe d. λ λ.7679 λ λ λ λ6 0.4 λ tab. 6: G autovao. 3 CRIERIO: Dao Sceen Pot, s evnce che numeo d autovao deve essee d 3, n quanto n cosondenza d que vaoe s ha busco cambamento d endenza. Gafco decescente deg autovao fg. : Sceen Pot deg autovao. Poché due metod su te esttuscono o stesso sutato, s decde che e comonent nca sono soo due, e sono quee ndcate dae (.). Anas dee comonent nca 7

28 . Esemo n Eʹ stata mostata una ova d confonto ta ebcd e dsebo chmco dea bababetoa da zuccheo. ʹeffcaca d ogn.a. è stata msuata attaveso a ecentuae d comento d se sece nfestant (Poygonum aathyfoum, Chenoodum oysemum, Echnochoa cus-ga, Amaanthus etofexus, anthum stumaum e Poygonum avcuae). S vuoe esmee un gudzo d meto ta e dvese souzon ebcde, consdeando ʹnseme dee sece nfestant evate. I dat ottenut sono otat n tabea: abea - Foa nfestante evata con dves odott dsebant. Ebcda Code POA CHEPO ECHCH AMARE ANS POAV yfusufuon methy + oo yfusufuon methy + henmedham + oo Qunmeac + chodazon + henmedham Phenmedham + etohumesate Phenmedham + etohumesate + chodazon Phenmedham + etohumesate + metamton Phenmedham + desmedham + ethofumesate Phenmedham + desmedham + ethofumesate + chodazon Phenmedham + desmedham + ethofumesate + metamton A B C D E F G H I tab. 7: Dat d atenza. Anas dee comonent nca 8

29 Medante Exce, s vauta a matce d coeazone: Matce dea coeazone d POA CHEPO ECHCH AMARE ANS POAV POA CHEPO ECHCH AMARE ANS POAV tab. 8: Matce d Coeazone. Con auso de softwae Matab, s vautano g autovao e g autovetto: Autovetto dea matce d coeazone d e e e3 e4 e5 e tab. 9: Matce deg autovetto. Autovao dea matce d coeazone tab. 0: Matce deg autovao. Anas dee comonent nca 9

30 S acano, oa, te cte d sceta de numeo dee comonent nca: CRIERIO: Secondo questo metodo, numeo d autovao da scegee è a a due, n quanto m due autovao escono ad esmee 79,9% dea vaanza totae. ecent cumuata λ % 64.30% λ % 79.9% λ % 9.6% λ % 96.3% λ % 99.43% λ % 00.00% tot % tab. : Pecentuae deg autovao. Pe cu, e comonent nca sono: ( oa) ( cheo) ( echch) 0. 34( amae) ( xanst) 0. 48( oav) 0. ( oa) ( cheo) ( echch) ( amae) ( xanst) ( oav) (.) In base a es otat e queste combnazon nea, s ha: Comonente : tene conto soattutto dee seguent sece nfestant: oa, d echch, d xanst e oav. Anas dee comonent nca 30

31 Comonente : tene conto ncamente dee seguent sece nfestant: cheo e amae. CRIERIO: Secondo a egoa d Kase, andebbe eso soo mo autovaoe n quanto suta essee maggoe d. λ λ λ λ λ λ tot tab. : G autovao. 3 CRIERIO: Dao Sceen Pot, s evnce che numeo d autovao deve essee d, n quanto n cosondenza d que vaoe s ha busco cambamento d endenza. Gafco decescente deg autovao fg. : Sceen Pot deg autovao. Anas dee comonent nca 3

32 Poché due metod su te esttuscono o stesso sutato, s decde che e comonent nca sono soo due, e sono quee ndcate nea (.). Anas dee comonent nca 3

33 Anas dee comonent nca 33 Aendce Acune defnzon COVARIANZA: a covaanza ta vaab aeatoe e è a quanttà: ( )( ) [ ] [ ] E E µ µ µ µ σ ), cov( a covaanza è una msua dea eazone neae ta due vaab aeatoe. MARICE DI COVARIANZA: Msua gado d coeazone ta due vaab. σ σ σ M O M M ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( Se a matce d covaanza vene stmata, aoa sngoo eemento dea stessa è così defnto: n k k k x x x x n s ) )( ( dove edce è eatvo ae ghe, mente ae coonne. CORREAZIONE: a coeazone ta vaab aeatoe e è a quanttà: Va Va σ σ σ ρ ) ( ) ( ), cov(

34 MARICE DI CORREAZIONE: Msua gado d coeazone neae ta due vaab. ρ M ρ ρ M ρ O ρ ρ M Se a matce d covaanza vene stmata, aoa sngoo eemento dea stessa è così defnto: s s s dove edce è eatvo ae ghe, mente ae coonne. Anas dee comonent nca 34