Professor Mario Dente, Professoressa Giulia Bozzano

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1 Pofesso Mao ente, Pofessoessa Gula Bozzano patmento d Chmca, Mateal e Ingegnea Chmca "Gulo Natta" Sezone Chmca Industale e Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano Pazza Leonado a Vnc, Mlano (MI)

2 Pemessa. Questa spensa è ognata da des potagonst, sa soggett che oggett. Anztutto l ttolae del Coso, e l Consglo d Coso d Stud (C.C.S.) competente hanno aggunto la conclusone (molto azonale, n età) che l Coso n consdeazone non potesse essee consdeato la somma atmetca d due: petanto sa n temn d esposzone degl agoment duante le lezon, che nella pepaazone d mateale ddattco dee essee adottato l cteo della untaetà. conseguenza, le due dffeent dspense pepaate lo scoso anno accademco pe un coso che tanstoamente nascea con un tplce poposto, cospondeano (adtamente) al dscutble cteo della addttà : pe l poposto del molto pù coeente Coso con l nome della attuale dspensa ea pecò necessao mettee mano non solo alla tpologa della esposzone ddattca del pof. ente, ma anche alla stuttuazone delle dspense dell anno pecedente. Quelle eano costate noteole mpegno alla pofessoessa Gula Bozzano, agl student Vncenzo Teenzo e Rccado Stun (la cu atttà dee essee codata, pe aee solto un laoo utle anche alla stesua attuale). Collaboato ed estenso della esone attuale, che non è mea addzone d pezz esstent, e ntepolazone d ess, ma anche dlgente opea d tasfomazone pe sctto d cò che l pof. ente spega e acconta duante le sue lezon, sono stat gl alle Matta Gulo Bessan e Andea Montebell a qual dee andae un plauso d conoscmento. Pof. Mao ente - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

3 Coso: MECCANICA EI FLUII CON PRINCIPI I INGEGNERIA CHIMICA. Pesentazone coso: In questo coso engono ntodott te fenomen d taspoto pù mpotant che detemnano l compotamento d base n molte appaecchatue, chmche e non, ed a pocess elementa da ess goenat. Poché, pe caattezzae sa l taspoto d matea che d caloe, è quas sempe necessao dspoe d una adeguata conoscenza del campo d moto del fludo n possmtà delle supefc sulle qual, o attaeso le qual aengono gl scamb, una patcolae attenzone dee essee dedcata agl aspett fludodnamc. Oamente faanno eccezone quelle stuazon nelle qual taspot d caloe e matea, eentualmente n pesenza d eazon chmche, hanno luogo n assenza d moment conett de flud. conseguenza un leo patcolae nel coso ene dedcato alla tattazone de pncp fondamental su cu s fonda la meccanca de flud (nclusa oamente la loo condzone statca ), che dunque costtuà pate essenzale del coso. Il coso s sluppa attaeso la pesentazone de pncp d base, su scala macoscopca e po su scala d equazon ndefnte e sull uso d alcun poblem-tpo, genealzzat po a stuazon molteplc gaze a consoldat cte sem-empc (es. smltudne estesa,estensone d gandezze geometche, combnazone d compotament asntotc, ecc.). La pesentazone è concepta pe un coso d pmo lello. Pù n dettaglo gl agoment sono: blanc genealzzat d matea, enega e quanttà d moto; legg elementa d taspoto d quanttà d moto, matea, caloe (Newton, Fck e Foue spettamente); scostà, dffustà mateale e dffustà temca; teoa delle popetà d taspoto ne gas e ne lqud semplc, stato lmte mateale e temco; moto ntono a bolle e gocce solate, defomazone d bolle e d gocce e moto d scam; popetà d sospenson ed emulson; flud newtonan e cenn a flud non newtonan; condzon alle supefc d ntefase (ad esempo capllatà, mensch, etc.); equazon fondamental che goenano l moto de flud; statca de flud; blanco d enega meccanca: teoema d Benoull pe flud deal; momento de flud omogene: moto n condotte e pedte d caco dstbute e concentate; moto ntono ad oggett: stato lmte, sua stabltà e suo dstacco; nnesco d otc; foza su oggett mmes nel fludo e fatto d attto; ntoduzone alla tubolenza (medazone delle equazon ndefnte e pofl unesal d eloctà ne tub).. Stuttua de pocess e funzon delle opeazon untae. Un pocesso ndustale, d tpo chmco o anche d alto tpo (pe esempo nel campo della poduzone d alment, d sostanze famaceutche, d poduzon metallugche, d mateal non metallc, n quello de pocess legat alla salaguada dell ambente, ecc., coè della ndusta d pocesso n genee) appesenta un sstema la cu funzone essenzale è quella d modfcae alcune Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

4 sostanze, consdeate matee pme del pocesso, n alte, consdeate suo podott, e nseme/oppue modfcane le loo popetà. La compensone d una pate almeno de fenomen e del compotamento delle appaecchatue e dell nteo mpanto è essenzale non solo pe la loo coetta pogettazone, ma anche pe la loo coetta conduzone, pe la loo efca nelle usual condzon d maca, pe l loo mgloamento qualoa sultno edent utltà nelle modfche, pe lo sluppo d nuo pocess o mpant ne moment d nnoazone tecnologca. La compensone alla quale s fa femento è connessa, anche se non concdente, con la capactà d quantfcae cò che accade ento e ta le appaecchatue dell mpanto. In alte paole, la compensone del pocesso chmco e del elato mpanto è anztutto qualtata e d tpo desctto de fenomen conolt, ma la sua azonalzzazone s aale, laddoe possble, n modo essenzale del calcolo. Esstono moltssm pocess d poduzone, che dagl nz del 900 sono stat agguppat n base alle azon da ntapendee su mateal; ta queste azon dell ndust d pocesso le pù mpotant sono quelle d tpo chmco e fsco (aazon d tempeatua e pessone, spesso usate pe faoe le tasfomazon chmche). Questo agguppamento da mglaa d pocess dffeent a poche opeazon fondamental (cca un centnao), applcabl a poduzon dstant ta loo, ha potato ad una noteole semplfcazone dello studo connesso all ngegnea chmca e non solo. Ad esempo: scaldamento e affeddamento condott negl scambato d caloe sono opeazon opposte, ma engono consdeat la stessa opeazone fondamentale condotta n dezon dffeent. Inolte, la stessa opeazone può esgee dese appaecchatue a seconda della dezone, delle dmenson e de podott desdeat: gl scambato d caloe s possono sudddee n apozzato, condensato, ebollto, Complessamente s può affemae che l ntea mpantstca chmca s basa sulle opeazon fondamental o untae. Va nolte aggunto che queste stesse opeazon s basano, a loo olta, su alcun pncp (estemamente elementa, ma unesalmente conoscut: PRINCIPIO BILANCIO o Pncpo della conseazone della matea blanco mateale o masso; o Pncpo d Newton (II legge): F m a blanco d foze o della quanttà d moto; o Pncpo d conseazone dell enega blanco d enega; Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano Quest te pncp sono mpescndbl da una desczone accuata del sstema che s desdea analzzae. I te blanc fno ad oa menzonat sono de blanc pop, ossa sono fondat su un pncpo e ogn addendo è scble n temn apostc. A quest possono essee affancat alcun blanc mpop (che contengono temn non sempe alutabl apostcamente) ad esempo: o Blanco entopco (non sempe è quantfcable tutta la geneazone d entopa); o Blanco economco; o Blanco d enega meccanca (non è sempe esattamente alutable l enega dsspata). Assegnae tpo, foma, dmenson e condzon opeate d un appaecchatua (coè satuae gad d lbetà nten) sgnfca assegnane le pestazon: alloa le aabl che caattezzano lo stato delle sostanze uscent sultano funzone genealmente unoca delle sole aabl che caattezzano lo stato delle sostanze entant e delle condzon opeate mposte al sstema.

5 Le elazon quanttate ta le aabl che defnscono lo stato delle sostanze uscent ed entant n ogn opeazone sono naant spetto al tpo d poblema; ta d esse fanno spcco, come costtuent essenzal, le equazon global d blanco: mateale, enegetco e d quanttà d moto. Tuttaa, nella tattazone d alcune opeazon, uno o pù d quest blanc possono non essee pes n consdeazone: ad esempo, nelle opeazon nelle qual non aa la composzone, blanc mateal non sono equazon sgnfcate, così come non lo sono quell d quanttà d moto n tutt quelle opeazon nelle qual le aazon d eloctà e d pessone ta uscte ed entate sono tascuabl. S può faclmente ntue che le elazon d blanco, n quanto espment pncp d aldtà estemamente geneale qual sono pncp conseat, pescndono dal tpo patcolae d opeazone ed appaecchatua cu sono applcat. Mente le equazon costtute (elazon d equlbo, equazon d stato d flud e sold, legg che egolano le eloctà de fenomen elementa, legam ta fluss e gadent d gandezze che geneano fluss), pe loo natua, sono sempe d aldtà locale ed eccezonalmente possono espmee popetà global. Le equazon d blanco, pu mantenendos nella sostanza sempe le stesse, quando engono sctte pe la caattezzazone locale de sstem, assumono un aspetto fomalmente deso (dentano, coè, equazon ndefnte d blanco). In questa foma espmono sempe le popetà d blanco (locale), ma sctte pe la geneca untà d olume del sstema. Anche queste equazon ndefnte fanno pate de pncp basla su cu è fondata la fenomenologa dell ngegnea chmca. 3. Le equazon d blanco globale Le equazon d blanco globale (dette anche ntegal o macoscopche) sono elazon quanttate, ndspensabl pe ogn tpo d calcolo elato all mpanto, la cu foma geneale è naante spetto al tpo d calcolo, d appaecchatue ed alla scala d mpostazone (con l esclusone della scala nucleae): nfatt, blanc espmono pncp d aldtà estemamente geneale, qual sono pncp d conseazone, e engono utlzzat pe detemnae le potate, le composzon, le tempeatue e le eloctà delle coent che entano n goco n un detemnato sstema. Ess engono espess pe sstem (temodnamc) apet agl scamb d matea e d enega, qual possono sultae omogene o eteogene (oeo costtut da pù fas dffeent). Il sstema geneco peso n consdeazone saà una egone d spazo (o domno), eentualmente anche non contnua, d olume V, delmtata da una supefce d contollo chusa S (o fontea) e contenente n spece, cascuna caattezzata da un ndce geneco ; attaeso la supefce d contono S del domno spazale potanno flue matea, enega e quanttà d moto con le popetà ad esse assocate. S M V,tot W,tot Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

6 Il sstema da analzzae potà essee omogeneo o eteogeneo e s doà suppoe defnble n ogn punto del olume e della supefce ogn aable d stato e del moto sgnfcata: tempeatua, composzone, eloctà e pessone. In tal modo è anche defnble ogn popetà globale sgnfcata (quanttà d matea, d enega ntena, cnetca, potenzale, etc.) che s toeà ad nteene ne blanc. Saà utle dstnguee ta popetà global attbubl dettamente al olume (tasfomazon ed accumul) e popetà global attbubl alla supefce che lo delmta (taspot e tasfement); taspot potanno, po, essee d tpo conetto o dffuso (legato al moto molecolae o d aggegat spetto al moto d nseme del fludo). La foma pmta e geneale delle equazon d blanco, feta all untà d tempo, è la seguente: quanttà sultante taspotata o tasfeta accumulo nel olume geneazone complessa ento + nell' untà d tempo nel domno nell' untà d tempo l sstema nell' untà d tempo attaeso S o flusso netto totale nel domno S assume la conenzone d segno d consdeae post gl appot entant e negat quell uscent. Gl appot sultant (dffeenza ta appot entant ed uscent), costtuscono la quanttà totale netta entante nel domno scelto. Anche pe le tasfomazon, la conenzone oa è quella d consdeae post gl appot che accescono la quanttà su cu s è fatto l blanco. I te blanc essenzal (quello mateale, quello enegetco e quello ettoale d quanttà d moto) petono l concetto espesso nell equazone geneale, facendo femento alle gandezze omogenee pope d cascun blanco. 4. Il blanco d matea La stesua del blanco d matea pe un geneco componente può essee fatta, ndffeentemente, con femento a gandezze masse o gandezze mola. In geneale, l secondo femento è pù usato del pmo, sopattutto quando blanc engono sctt pe descee l compotamento de eatto chmc: nfatt le eloctà d eazone sono espesse soltamente n temn mola, così come le stechomete delle eazon fanno femento alle mol. Tuttaa, la popetà essenzale (dal punto d sta conseato) d naanza della massa nelle eazon chmche non è spettata, come oo, nel blanco molae (le mol total non s conseano, soltamente, nelle eazon chmche). Conenzonalmente, s ndcheanno con le lettee mnuscole dell alfabeto latno le gandezze con untà masse (pe esempo kg), mente con quelle mauscole le gandezze con untà mola (s pens alle kmol). E nteessante leae che l eo pncpo d conseazone guada le sole spece atomche, le sole che, conseandos nalteate nelle eazon chmche, hanno eloctà globale d geneazone nulla. In base al pncpo geneale de blanc, dunque, è possble scee, pe l componente, l seguente blanco d matea (con femento masso): dm dt,tot w - 6 -,tot +,tot Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

7 doe: m,tot massa del componente contenuta nel olume consdeato, all stante t geneco; w,tot flusso netto ( potata) del componente, n massa, entante nel sstema attaeso S e nell untà d tempo;,tot quanttà netta n massa del componente geneata nell untà d tempo all nteno del olume consdeato, pe effetto d tutte le eazon chmche pesent; ndce del geneco componente,,.., N c. Ogn blanco mateale non è alto che la petzone patcolae e dettaglata del pncpo sopa esposto. Nel caso n cu, all nteno del domno, le condzon (paamet d stato) aasseo da luogo a luogo, l blanco totale non see pe solee l poblema (qualunque esso sa) e bsogna usae una elazone dffeenzale e qund ntegae. Il blanco della massa totale, coè della somma d tutte le spece pesent m tot m Nc,tot, daà luogo, dal momento che la massa totale geneata dalla totaltà delle eazon chmche pesent nel Nc sstema, nell untà d tempo, è nulla (coè tot,tot 0), alla seguente espessone: dm dt tot w. tot Tal fomule hanno caattee estemamente geneale: sono alde oamente pe sstem fomat da uno solo o pù component e engono utlzzate nel calcolo delle pù saate appaecchatue. Nel d caso d sstem stazona, l addendo è soppesso e, con esso, tutte le (elate) dffcoltà neent dt alla necesstà d ntegae equazon contenent deate tempoal; nel caso d sstem pefettamente mscelat (o d dmenson suffcentemente dotte), nece, la composzone può essee consdeata unfome: n tutt punt e, n patcolae, sulle sezon d uscta, ogn fase ha alo unfom d fazone massa ω, che, petanto, concdono con la meda ento l olume. Qualoa nel sstema sano pesent eazon chmche, tuttaa, potebbe pesentas l poblema d usce a condue calcol facendo femento a sole popetà mede global, n patcolae a composzon mede. E oppotuno leae che solamente nel caso d eatto pefettamente mscelat s può assumee che la eloctà d eazone sa unfome, peché dpendente dalla composzone e tempeatua, anch esse unfom. A questo punto sulta conenente dstnguee ta fluss conett e fluss dffus che attaesano la supefce S, specfcando meglo la natua d quest fluss, con femento alle eloctà n goco. Consdeamo un olumetto molto pccolo d fludo, ntono al geneco punto P, nel quale sono contenute N (numeo molto gande) molecole o patcelle della spece, ognuna (k) delle qual possede eloctà, k. Pe eloctà meda locale d momento della spece nel punto P, s consdea la meda seguente: k N - 7 -, k. Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

8 La eloctà meda d massa o eloctà fludodnamca (che è quella che soltamente s ntende pe eloctà) ene a sua olta defnta così: ρ ρ ω ρ ρ doe la sommatoa è estesa a tutte le spece molecola pesent nel fludo e ρ è la denstà locale del fludo. Fntanto che non s consdeano fenomen dffus, des component d una mscela mangono ndffeenzat (macoscopcamente) ed nteessa la sola eloctà, che è quella nomalmente utlzzata dalla Meccanca de Flud. Pe un fludo s può anche defne una eloctà meda molae: doe appesenta la fazone molae del componente Questa eloctà è desa spetto a quella fludodnamca, ma questa dffeenza è elatamente molto pccola sa ne lqud (alcun mcon al secondo), sa ne gas (alcun decm d mllmeto al secondo), mente denta eleata n condzon d plasma. La dffeenza sta a appesentae l contbuto, dato da fenomen d dffusone molecolae, che s soappone al taspoto, dcamo così, ndffeenzato desctto dal solo ettoe. Il temne è detto eloctà d dffusone o dffusonale e può aggungee al pù mm/s ne gas e mcon/s ne lqud. Complessamente l flusso mateale locale del componente può essee sctto come segue: ρ ρ + ρ, coè è dato dalla somma del flusso dffuso (n molt test ndcato con l ettoe j ρ ) e d quello conetto. a una apda anals della pecedente equazone sulta semplce notae che, anche n assenza d mot pù faclmente msuabl (conett), ne sstem chmc possono essee pesent fenomen dffus. In un qualsas sstema s ha che: ρ ρ + ρ j +ρ ρ j +ρ j 0, A B Setto dsoe Coè fluss dffus s autocompensano. Nel caso d un sstema con un solo componente, esso non è sottoposto a fluss d dffusone molecolae, mente gà n un sstema a component j A j B 0. ato l sstema n fgua: potzzando che esso sa omotemo e omobaco (coè non c sano dffeenze d tempeatua o d pessone a causa delle qual s manfesteebbe uno spostamento conetto del fludo), toglendo l setto dsoe l moto caotco delle molecole le poteebbe a mescolas; e cò mente s può affemae che non s manfesteebbeo mot conett Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

9 leabl (ad es. con tubo d Ptot). unque la mscelazone n questo sstema dealzzato saebbe douta a sol fluss dffus causat dal caos d scala molecolae, assocato alla pesenza delle dffeenze d composzone. Cò è coeente con le egole mposte dal Pncpo della temodnamca al guado della ceazone d entopa ne fenomen chmco-fsc ad eoluzone spontanea: tale dee tenes anche l elemento d fludo nel quale esste un gadente d composzone chmca. Così che, alle due dese scale mco e maco, l fenomeno appae come: MOTO CAOTICO (alla scala mco) IFFUSIONE (alla scala maco) La eloctà taslazonale delle molecole è n geneale paagonable alla eloctà d popagazone del suono nel mezzo mateale, ma la eloctà d dffusone è molto mnoe (d des odn d gandezza) peché l moto è casuale, c sono degl ut, che etocedono, casualmente, cop molecola quando colldono. Ta una collsone e quella successa, nel caso d gas lontan dalle condzon ctche, l moto molecolae è pessoché ettlneo ed unfome. Inece, e sempe pe gas n possmtà d condzon non deal l moto non è pù ettlneo n possmtà delle collson 7 molecola a causa delle foze d attazone delle molecole, cca popozonal a Tonamo al blanco globale d matea. In esso, dopo ae defnto l flusso netto globale conetto come:. () () Δ w w w, sulta comodo dstnguee, n molte appaecchatue o loo pat, ta le supefc attaeso le qual pealgono taspot conett e le supefc attaeso le qual sono pepondeant fluss dffus; così facendo, l equazone d blanco mateale pe l componente potà essee sctta come segue: dm dt,tot Δw,tot + w (m),tot + con w,tot (m) flusso dffuso totale attaeso la supefce S (m),tot ( m S ) ( m) j ds. W () S W (m) S (m) (fgua ) S W () Nel blanco d massa, pe l sstema consdeato (fgua ), attaeso le supefc S e S, s suppone che l contbuto (d tasfemento) dato dalla sa tascuable spetto a quello (d Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

10 taspoto) data dalla fludodnamca; s suppone, nece, che cò non aenga attaeso la supefce d contatto S (m), peché nteessata da una potata dffusa. Le supefc nteessate da fluss dffus sono ad esempo le supefc ntefase: s pens pe esempo all assobmento d un gas n un lqudo o d un componente pesente n fase lquda che ene taspotato n una fase gassosa. In tal cas l fenomeno d scambo aene attaeso l ntefacca d sepaazone fa le due fas che, pe defnzone, non può essee nteessata da potate conette (che ne detemneebbeo nfatt la dstuzone ). In altenata al blanco n temn d massa, è possble, e spesso utle ne poblem che guadano l ngegnea chmca, scee l blanco d matea totale n temn mola sa pe l sngolo componente, che pe l nseme de component (oamente tenendo conto che, n geneale, Nc TOT R,tot 0 R ): dm dt,tot dm TOT W,TOT + R,TOT WTOT + R TOT dt, con oo sgnfcato de smbol. al momento che le eloctà d eazone sono quas sempe date come funzon delle composzon (e non delle potate), è conenente chae come s detemnno le fazon masse e mola mede, sulle sezon attaesate da fluss conett o ento l olume del sstema: ω m m,tot,tot ρ ρ M,tot. M Solamente se le composzon sono unfom (nel olume o sulla supefce), c è concdenza ta aloe locale e aloe medo. La defnzone d concentazone, nece, sulta ben nota e ale la popetà: c C, doe C è la concentazone totale: C c.,tot Nc 5. Legam ta gandezze global e gandezze local specfche. È a questo punto necessao, pe meglo chae l sgnfcato delle gandezze che nteengono nelle equazon d blanco globale, defne legam che ntecoono ta le gandezze global (masse, potate, etc.) e quelle specfche (fete coè all untà d olume o d supefce, qual denstà, potata specfca, etc.), aabl localmente da punto a punto. Quest semplc legam, poché caattezzano attbut d olume e d supefce, sono espmbl, nella loo foma geneale, medante ntegal d olume o d supefce. V sono due egole semplc, ma basla e comun a a blanc, utl nella stesua delle espesson degl ntegal: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

11 a) Quanttà globale all nteno del olume ntegale d olume applcato alla quanttà specfca feta all untà d olume; b) Flusso globale che enta attaeso la supefce ntegale d supefce applcato alla quanttà specfca (flusso specfco) che enta attaeso l untà d supefce. Il flusso specfco entante nel olume attaeso l elemento d supefce ds è assocato alle potate che attaesano detta untà d supefce. Poché la conenzone che s assume (stablta da Gauss) pe l esoe n che dà la nomale alla supefce è d dgelo eso l esteno del olume, la componente nomale entante della eloctà (che è uguale pecsamente alla potata olumetca entante nell elemento d supefce ds ed è la sola che a no nteessa) è data comunque da,n n (s tatta d un podotto scalae). Seguendo queste egole, d aldtà geneale, le gandezze del blanco mateale possono essee espesse nel seguente modo: w,tot m,tot ρ dv, S V dv,,tot ρ V ( m) n ds j nds ( m S ) doe,tot appesenta la massa d geneata nel olume, nell nteallo d tempo t. ρ ρ + ρ j + ρ appesenta l flusso mateale locale del componente che ene scomposto ne due contbut conetto e dffuso. Nel caso d utlzzo d gandezze mola s ha nece: W,tot S M,tot V c R c n ds,tot R V S dv dv c n ds (m) S J nds doe R (mol d geneate / olume tempo) non è la eloctà d eazone nel senso stetto della chmca fsca, dacché ad essa possono contbue dese eazon e con dffeent coeffcent stechometc (s cod che, n condzon soteme, le eloctà d eazone dpendono soltanto dalle concentazon delle ae spece chmche pesent). S ha petanto - - N ν R, doe N è l numeo d eazon, ν j l coeffcente stechometco del componente -esmo nella j-esma eazone, R j la eloctà della j-esma eazone. Nel caso n cu tempeatua, pessone e composzone sano unfom nel domno, ad eccezone d alcun luogh lmtat, sa olumetcamente che supefcalmente, le pecedent elazon possono essee semplfcate: R j J J Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

12 m,tot ρ dv ρ V, V,tot dv V, Il Teoema d Gauss-Jodan, o della degenza, consente d tasfomae gl ntegal d supefce n ntegal d olume: S AdS V V d ( A) dv AdV doe: A: geneca gandezza scalae o ettoale; è un opeatoe matematco denomnato Nabla che ha l sgnfcato d una degenza quando applcato ad un ettoe e d un gadente quando applcato ad una gandezza scalae. A A y A z Se A è un ettoe s ha: A da + + ; y z A A A Se A è uno scalae: A gada + j + k (doe, j,k sono eso degl ass y z catesan, y e z). Edenzando oa nell equazone d blanco fluss conett e quell dffus, e sosttuendo nell equazone d blanco gl ntegal sctt, s ottene la seguente espessone: Facendo tendee a zeo l olume, s ottene: d dt ρdv ( ρ) dv - j dv + dv V V V V V ρ t ρ j +, Che appesenta l equazone ndefnta d blanco mateale (eq. d contnutà). Essendo l opeatoe nabla (degenza quando applcato a ettoe,gadente quando applcato a scalae) elato a fluss conett così defnto: ρ ρ + ρ y y + ρ z z Rassumendo le equazon fn qu ottenute sono le seguent: ρ ρ j + equazone d contnutà pe l sngolo componente (blanco masso t geneco, ndpendente dal componente conolto). - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

13 ρ ρ equazone d blanco pe la globaltà delle component (equazone pù semplce t pe la meccanca de flud, pe la globaltà delle component). C C J + R equazone d blanco molae (è una appossmazone agoneole t spetto al blanco d matea feto al sngolo componente ). 6. La pma legge d Fck. stnguendo fluss conett entant ed uscent da quell dffus mateal (quell, coè, che tubano l equlbo del sstema n esame), l equazone d contnutà o equazone ndefnta d blanco d matea pe l sngolo componente assume la seguente foma: ρ t j ( ρ ) +. Nc I fluss dffus, ncapac d geneae mot d nseme del fludo (nfatt j 0), poseguono sempe da zone a concentazone pù eleata eso alte meno concentate; nolte, pe un sstema a due component ( j A jb ), fluss dout a dffusone tendono a compensas cendeolmente, s pala coè d contodffusone delle spece. Coè,come gà detto, fluss dffus n defnta nascono dalla necesstà del sstema d soppee ad un dsequlbo d composzone n esso pesente. I fluss dffus attaeso la pozone d supefce S (m) dpendono da gadent local d composzone chmca, qual, essenzalmente, appesentano le cause che pomuoono fenomen d dffusone. La legge d Fck stablsce un legame d semplce popozonaltà ta l ettoe flusso j, n un punto geneco, e la foza motce: j ρ ρ,m,m ω, doe,m appesenta l coeffcente d dffusone o dffustà del componente nella mscela (untà d msua: L /T, pe esempo m /s). Tale legame è stato efcato nella patca ed è unesalmente conoscuto: la legge d Fck appesenta qund la popensone del componente a dffondee nella mscela degl alt component. Se nell equazone ndefnta d blanco d matea s sosttusce la denstà elata del componente con l podotto ρ ρω, s ha: ρω t j ( ρω ) + Elaboando come segue temn contenent la denstà, s ha: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

14 ρω t + ρ t ω t ( ρω ) ω + ρ + ( ρω ) ω + ρ + ω ρ + ρ ω ρ t ω t + ( ) + + ρ ω ω ω ρ ρ ρ ω t t t oe l ultmo temne cosponde al podotto ta la denstà della mscela e la deata sostanzale o (...) (...) lagangana ( + (...) )della fazone massa della spece spetto al tempo (è la t t eloctà d aazone della quanttà della componente msuata da un osseatoe soldale con una lnea d flusso della coente). L equazone ndefnta d blanco d matea può essee qund sctta, n temn d deate sostanzal, come: ρ t j +, che, consdeando la globaltà delle component assume la foma: ρ ρ t Nelle coodnate otogonal,y,z s ha: ρ ρ t Nel caso d flud ncompmbl s ha y + y z + z ρ 0 0 t Passando alle concentazon mola, le due fomule pecedent assumeanno le seguent fome caattestche: J,m c e c t J + R. Sosttuendo J nella seconda espessone, e potzzando che la dffustà sa costante ( coè, ngegnestcamente palando, sa poco aable )ottenamo la degenza d un gadente ( opeatoe d Laplace d(gad)) e quella che è a tutt genealmente nota come II equazone d Fck: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

15 c t c R,m +. oe + +. S ottene così un sstema, che n condzon soteme è autonomo n y z quanto c sono tante equazon dffeenzal quant sono component. Pe toae la soluzone occoe nolte mpoe le condzon nzal ed al contono. Le dffcoltà d soluzone aumentano con l accesces della complesstà della foma geometca de conton e con le complesstà delle cnetche d eazone. Pe tutto cò s adotteanno cte d semplfcazone e metod semteoc d estapolazone da cas pù semplc a quell pù ealstc (anche se pù complcat ). Pe pote solee n geneale l equazone occoe conoscee anche l campo d moto (a causa del temne nella deata sostanzale contenente la eloctà), bsogna coè pote ndduae l poflo d eloctà. A questo poposto c saanno alcune eccezon come pe esempo è l caso de eatto deal CSTR (Contnuous Sted Tank Reacto), Batch e PFR (Plug Flow Reacto). Tonando sempe al blanco globale,è l caso d popoe alcun esemp d uso : Attaeso la supefce S (m), d nomale n, e lungo la dezone y, l flusso specfco entante (pe untà d supefce) ale: J,y,m ( m) ( m ) S S dc dy (s not la fote analoga con la Legge d Newton, che lega gl sfoz scos con gadent d d eloctà: τ μ y μ γ& ). dy La dffeenza locale sgnfcata che agsce qual ea foza motce, e sotto la quale aene, n un geneco punto d S (m), l taspoto ento S (m), è la dffeenza ta l aloe d concentazone locale n cospondenza d S (m) (ma sempe dal lato nteno) e la concentazone meda d mscela, alutata n un oppotuna sezone nomale ad S (m). Tutte le supefc ntefase sono pealentemente nteessate da fluss dffus e solo da quest, n quanto oamente solo n queste condzon è possble mantenee una supefce d sepaazone d fase. Cecando d accennae al poblema teoco pù geneale: l flusso dffuso molecolae d matea J dee essee consdeato sultante d quatto tp des d contbuto: dffusone odnaa: pe gadent d composzone, o meglo pe gadent d atttà chmca o potenzale chmco; dffusone temca: pe gadent d tempeatua, nfatt quest ultma agsce n manea dffeente sulle molecole d desa massa, coè, a patà d tempeatua le molecole pù pccole subscono un effetto cnetco temco maggoe d quelle pù gand; dffusone pe pessone (pe gadent d pessone); dffusone fozata: pe camp d foze estene, dffeenzat spece pe spece (campo elettostatco, elettomagnetco, ecc. ). In pma appossmazone ognuno d quest contbut è popozonale alla foza ( gadente col segno cambato) che lo pooca: (m) (T) (P) (G) J J + J + J + J ; d tutt quest contbut, quello Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

16 soltamente pù sgnfcato è la dffusone odnaa. La cospondente legge d Fck, con gandezze mola, ale: J Al d là della stuazone pù comune cospondente alla dffusone odnaa eanno da segnalae contbut d alta ogne n foma d esemp. Un esempo n cu non è possble tascuae coeffcent d dffusone pe gadente d pessone è costtuto dal pocesso, non cataltco, pe la poduzone del poletlene a bassa denstà (la pessone nzale può aae a cca 3000 atm e quella fnale è d gan lunga nfeoe). Allo stesso modo non saebbe possble tascuae la temodffusone n sstem ne qual fosseo pesent eleatssm gadent d tempeatua (ad es. 0 6 C/m ). Infne sulteà d mpotanza domnante la dffusone fozata n sstem qual ple, accumulato, battee, bagn elettoltc, plasm elettomagnetc, tutt sstem caattezzat da eleate foze d campo elettco o magnetco o entamb. c Tona utle petee che l espessone t se l coeffcente d dffustà camba n funzone dello spazo peché le aazon n odn d gandezza sono modeste (le aazon pe pedte d caco sono spesso tascuabl).,m c,m c + R ale con buona appossmazone anche 7. Il flusso dffuso e la foza motce. Nel tattae blanc macoscopc, le espesson che fanno uso de gadent non sono molto conenent poché chedono la conoscenza dell nteo poflo d concentazone nella fase esamnata. Il pù delle olte, s pefesce alutae le component de fluss (mateal e temc) attaeso le supefc d scambo come podotto d coeffcent d scambo (mateal e temc) e dffeenze d potenzal genealzzat (tale potenzale cosponde alla concentazone stessa c, da ntendee, a goe, come msuazone n ambente deale dell atttà temodnamca del componente ). La foza motce locale sotto cu aene l taspoto dffuso (dezonato), nece, appesenta l gadente del potenzale (gad c ). Indcando con Δ c tale dffeenza locale d potenzale, l flusso locale entante nel domno ene altenatamente espesso nel seguente modo: s c B dc J,y,m K ( m) c Δ S d R c, Bulk del gas doe K c appesenta l coeffcente locale d scambo d matea, msuato pe esempo n m/s (tale espessone, ad esempo, può essee applcata pe c I detemnae l flusso dffuso all ntefacca fa un lqudo ed un gas). s è lo spessoe n cu s concenta la aazone d composzone. Esso è funzone della fludodnamca che s ha nella fase Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

17 nella quale aene la dffusone. Natualmente, c > 0 ndca un flusso uscente, mente un c < 0 ne ndca uno entante. E mpotante notae che sono fequent stuazon n cu la supefce d sepaazone d fase (o d tasfemento d matea) S (m) non è faclmente alutable o, comunque, non è comodo ntodula esplctamente ne blanc (s pens alle appaecchatue a fas mmscbl, gas-lqudo o lqudolqudo): n tal cas, è d uso comune ntodue un coeffcente d scambo d matea feto all untà d olume (nece che all untà d supefce), defnto come l podotto d K c pe l fattoe S ( m). V Se s appossma l andamento effetto del poflo d concentazone, dalla supefce ntefaccale a quella d bulk, con una lnea spezzata, s è gado d sosttue la deata pazale con la aazone Δ c c I c B. Tutte le ae equazon che abbamo sn qu dedotto a pate dall equazone geneale d blanco mateale cospondono a delle sue semplfcazon, gustfcate almeno n pma appossmazone, assa utl pe la soluzone d patcola class d poblem. E chao che poblem che possono essee solt completamente con le sole equazon global d blanco mateale appatengono a class puttosto stette: occoe, ad esempo, che tempeatue e pesson non sano ncognte, che la fludodnamca del sstema sa completamente caattezzata, che l poblema sult agoneolmente a paamet concentat (coè che le aazon spazal sano tascuabl o tutt al pù undezonal), che sano assegnat coeffcent global d scambo d matea e così a. In geneale, un equazone smle a quella pecedentemente esposta è applcable anche utlzzando alte foze motc: ad esempo J K p Δ p pe fluss d gas, doe s utlzzano delle pesson pazal (o pù coettamente le fugactà), J K ω Δω, o ancoa J K Δ. In ogn caso, K c, K p, K ω, K appesentano che alo d K sono assocat ad un detemnato tpo d foza motce. Sapendo che n tutt cas J è sempe lo stesso, s desume che anche tutt sano ta loo popozonal, comunque K c esta l pù utlzzato e spesso è ndcato dalla sola lettea K. 8. Ragguppament admensonal: l numeo d Shewood. I nume admensonal appesentano l appoto ta le gandezze che caattezzano l mpotanza delle ae foze genealzzate che nteengono nel fenomeno analzzato. Pe ogn tpo d flusso (d matea, d quanttà d moto, d caloe) attaeso l contono, s possono ntodue des nume admensonal. I nume admensonal non sono, oamente, tutt ndpendent fa loo, dal momento che costtuscono appezzament su msue degl addend d equazon: n alte paole, alcun nume admensonal sono tpcamente dpendent da alt, che sono, pe conto, tpcamente ndpendent (Re, Sc, Ф, etc). Un agguppamento utle a endee admensonale l coeffcente d scambo d matea, è appesentato dal numeo d Shewood: Sh K C L,m Il numeo d Shewood eà peso n seguto e sluppato nella soluzone d poblem tpo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

18 9. Un agguppamento admensonale: l numeo d Thele. Nel caso d cnetche semplc del pmo odne, n cu R k c, assume una ceta leanza anche l numeo o modulo d Thele, così defnto: Φ V S p p k eff doe: V p olume del copo nteessato dalla dffusone d matea S p supefce del copo nteessato dalla dffusone d matea eff coeffcente d dffusone effcace nella stuttua poosa Anche l modulo d Thele eà peso n seguto e sluppato nella soluzone d poblem tpo. 0. Ragguppamento admensonale: l numeo d Schmdt. Un alto mpotante agguppamento admensonale che lega le due gandezze omogenee,m e ν è l numeo d Schmdt, l quale appesenta la capactà d taspotae e tasfee quanttà d moto molecolae elata al taspotae la quanttà d matea (pe lqud odna Sc >> ): Sc ν,m. Il pncpo d smltudne estesa. S tatta d un pncpo semempco che asscua che legam ta gupp admensonal s mantengono al aae della geometa consdeata puché s usno delle oppotune lunghezza caattestche. Qund le soluzon ottenute pe geomete e cnetche pù semplc possono essee estese anche a cas pù compless dal punto d sta geometco e della cnetca.. I poblem tpo de pocess d taspoto: ntoduzone. Rcaptolando quanto sto fnoa, sulta mpotante bade che, con l nseme delle equazon sctte (blanc global, equazon ndefnte, ecc), s sono poste le bas pe solee, almeno n lnea d pncpo, anche poblem pù compless guadant fenomen che hanno luogo n un gande numeo d appaecchatue. Nell affontae la maggo pate de poblem s utlzzeanno le fome geometche pù semplc possbl pe conton, confdando che l cosddetto pncpo d smltudne estesa conceda un accettable estapolazone de sultat così ottenut ad alte stuazon geometche; nolte, eanno ntodotte anche alte semplfcazon sulle equazon (ben gustfcate, oamente), allo scopo d due al massmo le dffcoltà analtche Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

19 3. Alcun poblem tpo de pocess d taspoto: dffusone stazonaa senza moment conett e senza eazone ntono a cop sfec e attaeso laste pane. Ta des poblem capostpt d una see d poblem eal (qu defnt come poblemtpo ) comncamo con l pù semplce pe l taspoto d matea. Nel caso d pocess dffus stazona ( deata tempoale nulla) e senza moment conett e n assenza d eazon chmche, la a legge d Fck subsce una noteole semplfcazone c 0 c + R(c) / / c 0. t La foma geometca d cu c s occupeà n questo poblema-tpo saà d tpo sfeco o, comunque, suffcentemente appossmable ad una sfea: sulla supefce o ento tal cop, pe la maggo pate de cas d dmenson dotte, possono aee luogo eazon che consumano la spece chmca n esame. Tale è l caso pe esempo d eazon d combustone sulla supefce d una patcella oppue al suo nteno (pe dae un esempo collocato ad un estemo); o pe un esempo, collocable ad alto estemo delle poblematche possbl, pe la dffusone d spece molecola almenta eso la supefce d un ogansmo monocellulae, suffcentemente solato dagl alt suo sml. Suppoemo, nolte, che la concentazone n supefce sa nfeoe a quella d Bulk (l sultato a cu s peeà, tuttaa, aà aldtà geneale), e che l sstema sfeco sa solato (se non lo fosse saebbe suffcente che gadent fosseo estes n una zona abbastanza pccola paagonata alla dstanza meda ta due oggett adacent ) e che l campo s estenda dal aggo R della sfea sno all nfnto. In tal potes, la dffusone sulta essee goenata dall equazone dffeenzale c 0, la quale appesenta una degeneazone della legge d Fck, assa pù semplce da maneggae. ata la smmeta sfeca n goco, saà necessao ntodue delle coodnate sfeche e fae n modo che anche l opeatoe Laplacano sa espesso n funzone delle nuoe coodnate spazal. Come condzon al contono del poblema oggetto d studo, dal momento che c c() e che R, possamo poe le seguent che sono le unche fscamente sgnfcate : c c c c S pe R pe + La seconda condzone ndca una dstanza suffcentemente lontana dalla supefce sfeca. Rscendo l equazone dffeenzale del secondo odne pecedente ed ntoducendo le coodnate sfeche: c d d dc ( ) d d dc ( ) 0 d d dc dc A A seguto d una pma ntegazone, otteemo: A (con A costante d d abtaa fnta), espessone dalla quale è facle caae la soluzone completa dell equazone d patenza: C B + A Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

20 I alo delle due costant d ntegazone, A e B, possono essee detemnat aalendos delle due condzon al contono sopandcate: - pe + c c B A - pe R cs c + A R ( c cs ) R Δc (oe Δc ( c cs ) sta a R appesentae la foza motce caattestca del taspoto d matea). È possble a questo punto scee la soluzone completa dell equazone dffeenzale ognaa: R c cb Δc. Natualmente se c s > c la sfea cede del flusso tamte dffusone, altment lo sta assobendo. A questo punto, patendo dalla pma equazone d Fck, s può calcolae l flusso untao d matea che attaesa la supefce nell untà d tempo: c Δc J ; R R questo, peò, è l flusso uscente dalla supefce della sfea, mente no alutamo post fluss entant. E oppotuno, a questo punto, ntodue l coeffcente d scambo d matea K c, l quale, come ben codeemo, ha le dmenson d una L/t (eloctà): dalla sua defnzone s ottene : K C Δc J Δc R K C R. ameto Utlzzando l numeo d Shewood, possamo scee tale equazone n un equalente e pù semplce foma admensonale: Sh K C ameto,m Pe stuazon geometcamente pù complcate, là doe soluzon analtche o numeche sono estemamente complcate da ottenee, sulta utle applcae l pncpo d smltudne estesa, endendo, dunque, possble la genealzzazone a geomete dese da quella semplcemente sfeca pe aae ad una stma comunque agoneole d K c. In tutt quest cas, s fa uso d un coeffcente d scambo d matea medato su tutta la supefce (K c, nfatt, non è unfome sulla supefce e, pe esempo, ha alo pù alt n possmtà de punt angolos d ogn copo) e c s fesce ad una dffeente lunghezza caattestca, che pende l nome d dameto sfeco equalente (esso equale al dameto della sfea che ha lo stesso appoto ta olume e supefce dell oggetto consdeato). Pe defne tale gandezza, ndspensable pe ntodue geomete nuoe altment non studate, occoe calcolae l olume e la supefce della patcella n questone, l cu appoto aà, oamente, le dmenson d una lunghezza: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

21 doe: P K Sh C ameto sfea,m equalente π 3 ameto V sfea P V ameto equalente 6 ametoequalente 6 S π ameto S P P questo è l dameto sfeco equalente d un qualsas oggetto. Oamente la defnzone è stata scelta n modo tale che nel caso d una sfea l s eq cosponda popo al dameto della sfea ; mente esamnando un cubo esso è l aloe del lato; oppue nel caso d un clndo d altezza pa al dameto esso è l aloe del dameto ecc. Qund: 6K S p c V p,m K c V S p p,m 3 Pe tutt quest cas l pncpo d smltudne estesa suggesce che Sh. Questo aloe è tpco d fome geometche caattezzate da dmenson spazal poco aabl nelle te dezon dello spazo. La stuazone s modfca quando le dmenson fondamental sono molto dese ta loo nelle te dezon ( es.fome pseudo-clndche doe Sh 0 o pseudo-pane ) A ttolo d esempo d cò che accade quando c s allontan dalle fome pseudo-sfeche, pendamo n consdeazone un pocesso d dffusone pua e stazonaa nel caso d un clndo nfntamente esteso (così che non c sano dpendenze angola ed effett d estemtà): n questa stuazone, qund, doemo ntodue delle coodnate catesane d tpo clndco e scee la legge d Fck nel seguente modo: d dc c ( ) 0. d d c c Assocata alle condzon a smmeta clndca c c S pe R pe + A seguto della pma ntegazone, s aà che: soluzone completa dell equazone d patenza: dc d A, dalla quale s caa l espessone della C B Aln È, petanto, oo che, affnché la soluzone ottenuta sa fnta, la costante d ntegazone A sa dentcamente nulla e, qund, che c B cs c : cò mplca che, pe oggett suffcentemente allungat ed n egme stazonao, la foza motce tende a zeo e, conseguentemente, s annullno tutt fluss ed coeffcent d scambo d matea: J K C Δc con Δc cs c 0 J Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

22 Concludendo s può affemae che n geneale solo la sfea, o gl oggett con dmenson fnte n ogn dezone dello spazo, sono n gado d mantenee taspot d matea n condzon stazonae (scamb mateal sono possbl anche n oggett con punt mpop, ma solo n assenza d stazonaetà. Pecò s può -affemae che l numeo d Shewood, nel caso della dffusone stazonaa n assenza d eazon chmche e d moto elato è costantemente cca uguale a, ndpendentemente dalla geometa, a patto che le dmenson lungo le ae dezon non sano toppo dese ta loo. (Pe un qualsas oggetto, ndpendentemente dalla foma, è possble dstnguee te dmenson pncpal assmlabl a damet, una massma una meda e l alta mnma. Ad esempo pe ndduae queste dmenson s scegle un punto qualsas dell oggetto e s msua la lunghezza della secante nomale al pano tangente locale, petendo tale opeazone pe tutt punt s nddueanno te segment (mnmo, medo e massmo) desdeat. Ad esempo:n una sfea te damet concdono ta loo e con l dameto dell oggetto, n un clndo allungato l dameto massmo concde popo con la lunghezza, mente quello mnmo con l dameto della supefce d base; n un cubo, nece, l dameto maggoe cosponde alla dagonale pncpale, quello medo alla dagonale d una facca e quello pù pccolo allo spgolo. In ogn caso paamet che hanno la maggoe mpotanza sono l dameto mnmo e quello ametomax massmo: dal momento che è untao pe tutt cop sfec, tale appoto può ametomn agoneolmente essee assunto come ndce della lontananza della geometa n esame spetto a quella semplcemente sfeca: d conseguenza, pe alo molto des da, s commette un eoe non tascuable nell appossmae l oggetto ad una sfea. Conseguentemente a quanto sctto fno ad oa, una genealzzazone appossmata del numeo d Shewood è la seguente: 4 Sh ameto + ameto Pe fae un esempo concluso, un clndo peno è con buona appossmazone assmlable ad una sfea ogn olta che la sua altezza è cca uguale al dameto d base; solo n questa ccostanza, nfatt, s ha che: ma mn 4 4 Sh. ametoma + + ameto mn C y s C Passamo ad un alto poblema tpo d pua dffusone stazonaa, ma oa ento oggett. Talolta pe sepaae flud s usano flt o laste d sepaazone (membane) appesentabl come laste nfntamente estese. C e C sono alo supefcal della spece che dffonde. Pe essec dffusone, natualmente bsogna che C sa dffeente da C e che la lasta (o membana) possa pemettee tale fenomeno (pe poostà ad es.). In condzon stazonae, all nteno della lasta non è pesenza d moto conetto. - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

23 d c 0 dy C 0 L unco asse sgnfcato è la dezone lungo y, nolte la concentazone C ha un andamento lneae, pe cu: y 0 C C. Cò che c nteessa è l flusso d matea che attaesa l setto: J y dc dc dy dy y 0 y s In questo caso l flusso è unfome: J y dc ΔC dy s La costuzone del agguppamento admensonale, pe laste pane nteessate da flusso dffuso al loo nteno, che ne segue è: K cs Sh. Se la nosta membana ha una foma complessa, ad esempo d clndo cao (s eda la fgua): se due agg sono abbastanza sml, s può appossmae ad una lasta pana e qund agonae n coodnate pane se sono alo molto des bsogna opeae n coodnate clndche ed ntegae ta due agg. Vale oa la pena d spendee qualche paola su un concetto che nel coso ene spesso utlzzato, e coè quello d oggetto solato. In geneale un oggetto s può consdeae solato se suffcentemente lontano da alt,n modo da non subne nfluenza fsca (dee essee al d fuo del campo d nfluenza d alt oggett). La sfea d nfluenza, pe la dffusone s consdea nulla ad una dstanza maggoe d un dameto dell oggetto: l nfluenza ta due cop è tascuable se la dstanza ta due è maggoe della somma de due damet, se è mnoe s ha dstubo della smmeta mente se sono unt s analzza un oggetto unco, cò che conta sono la supefce ed l olume appaent esten. Tonando al dscoso sulle membane, è doeoso codae che po delle stesse deono aee dmenson tal da pemettee l alloggamento della molecola e l suo momento all nteno d ess, ma non dee aee dmenson eccesse peché altment non s ha dffusone seletta. Spesso engono utlzzate delle membane selette polmeche basate sull affntà ta sostanze Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

24 4. I poblem tpo de pocess d taspoto: dffusone stazonaa n pesenza d eazon chmche (appofondmento: metodo d combnazone de compotament asntotc). Ta poblem-tpo d taspoto ento fase statca, este patcolae mpotanza la dffusone stazonaa d matea, accompagnata da eazone: lo studo d questo poblema è essenzale, ad esempo, pe la detemnazone del gado d utlzzazone de catalzzato sold poos. Infatt eagent, pe aggungee dalla supefce estena st d eazone (st att), deono dffondee ento po del soldo, mente podott deono dffondee eso la supefce estena. Vengono pecò a stabls delle dsunfomtà d composzone ento po e su st att, qual danno luogo a eloctà d eazone aabl da punto a punto. Ulteo aazon engono ntodotte dall eentuale non sotemctà del ganulo soldo, dalla quale tuttaa pescndeemo. Genealmente, anche se non sempe, tal dsunfomtà tendono a due la eloctà d eazone andando dalla supefce all nteno, agon pe cu l catalzzatoe esta meno utlzzato all nteno puttosto che sulla supefce. In meda, catalzzato hanno supefc atte d dese decne d m /g; addttua, alcun come slco allumnat, zeolt, cabon att e pemutt, aggungono supefc d alcune mglaa d m /g. Andamento della concentazone d eagent e podott n funzone della dstanza dalla supefce estena del ganulo: - la lnea ossa appesenta la aazone d concentazone de eagent. - la lnea blu appesenta la aazone d concentazone de podott. Schema d eazone: eagent adsobmento su st att eazone deadsobmento podott I st att pù nten sono penalzzat peché engono occupat da podott fomats che deono po deadsobe e contodffondee eso l esteno della stuttua. Il appoto ta la eloctà d eazone meda nel ganulo e quella supefcale (appesentante la supefce d eazone deale ntena n assenza d esstenze alla dffusone) pende l nome d fattoe d utlzzazone o effcenza del catalzzatoe: η R R meda sup efcale C C meda sup efcale V R P S V P R dv, doe V P sta ad ndcae l olume del ganulo soldo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

25 Effcenza catalzzatoe menson catalzzatoe I catalzzato pù pccol sono pù effcent peché eagent aggungono st nten con maggoe facltà. Veloctà d eazone Se la eloctà d eazone è bassa, eagent escono a penetae maggomente nel ganulo e l effcenza aumenta. Coeffcent dffus Maggo sono alo de coeffcent dffus, pù è alta l effcenza. Mente le soluzon ottenute dpendono oamente dalla geometa consdeata, dalle condzon mposte al contono e dalla cnetca d eazone; tuttaa l pncpo semempco della smltudne estesa ( gà pù olte chamato ) c asscua che le soluzon ottenute ( n temn d legam ta gupp admensonal ) con oppotune semplfcazon possono, po, essee estese con buona appossmazone anche a cas pù compless sa dal punto d sta geometco, che delle condzon al contono che anche della cnetca ( puché s tatt sempe d eazone sngola). c S consdeeanno stuazon d dffusone stazonaa e n assenza d moto conetto (coè 0 ) t n cop mono-dmensonal (una sola aable spazale) e, come eazone tpca, quella fomalmente pù semplce, con cnetca del pmo odne (A B) e eloctà d eazone pa a: R k c. In questa stuazone la seconda equazone d Fck assume la seguente foma: c k c, eff S penda n consdeazone (come poblema-tpo) una lasta pana ndefnta, d spessoe s L: alloa l appoto ta l olume e la Poflo d supefce estena del catalzzatoe concentazone (V p /S p ) ale L; n questo caso, l asse d femento conene sa sl fssato, pe agon d smmeta, sulla mezzea. C Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

26 L equazone d Fck, essendo pe l poblema n esame c c(), s tasfoma n un equazone lneae, omogenea ed a coeffcent costant, del II odne: d c d c k eff k c c 0. d d In questo caso, la soluzone analtca è estemamente semplce e del tpo: c ep( λ), da cu s caa che: eff k k λ 0 λ ±. eff eff Le condzon al contono sono: 0 L dc dy c 0 c S (pe smmeta) (all ntefacca) Se s mmagna che le aazon d composzone sano contenute n uno spessoe δ<<l, quest ultmo può essee così detemnato: δ,eff / k ; se, tuttaa, sulta che δ > L, alloa non è pù δ la lunghezza d taspoto sgnfcata, bensì L. Pe δ << L, le aazon total d concentazone sono compese n uno spessoe δ ntono alle due supefc lmtant ( ± L): pecò, sa ne poblem n cu è alta la eloctà d eazone (come gl assobment con eazone), sa n quell n cu è basso l aloe d dffustà, le zone ntene del catalzzatoe dentano sempe meno. Oeo, all aumentae de alo delle esstenze dffuse (k gande o,eff basso), la concentazone meda all nteno del sngolo ganulo d catalzzatoe è noteolmente nfeoe d quella supefcale: la eazone appae, così, sfaota, dal momento che le zone ntene de ganul non engono sfuttate appeno. Uno de pm ad appofonde, ntono agl ann 40-50, gl stud elat alle esstenze dffuse ne flud fu l tedesco Thele, l quale ntodusse, pe la pma, olta l concetto d effcenza de ganul d catalzzatoe: nfatt la geometa d un catalzzatoe è ben congegnata se consente d aee una concentazone de eagent e de podott, n ogn punto, sempe molto cna a quella supefcale. Rtonando alla soluzone dell equazone dffeenzale, s ha: k k c A ep + Bep eff eff (A e B sono le costant d ntegazone) Imponendo le condzon al contono s ha: dc k k - n 0 A B 0 A B; d 0 eff eff Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano