Sommario. Corso di Statistica Facoltà di Economia. Le Variabili Casuali o Variabili Aleatorie. Lezione n 16. Francesco Mola. Variabili Casuali (cont

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1 Coso d Statstca Facoltà d conoma Lezone n 6 z Sommao Le Vaabl Casual o Vaabl Aleatoe a.a. - Fancesco Mola a.a. - statstca-fancesco mola Vaabl Casual Vaabl Casual (cont cont.) Una Vaable Casuale è una egola (funzone eale) che assoca ad (evento elementae d S) uno ed un solo numeo eale S 6 la v.c. X assume l valoe eale 5 S a.a. - statstca-fancesco mola R Attenzone: la cosondenza ecedente è UNIVOCA e NON BIUNIVOCA! La ova ha dato quel atcolae sultato La v.c. X ha geneato quel atcolae valoe Saà ossble assocae una msua d obabltà allo sazo numeco della v.c. utlzzando la msua d obabltà defnta su sottonsem dello sazo camonao S. "S vefca l'evento con obabltà P()" "La v.c. X assume l valoe con obabltà P()" a.a. - statstca-fancesco mola

2 Vaabl Casual (cont cont.) Una v.c. X è una vaable che assume valo nello sazo Vaabl Casual de nume eal secondo una funzone d obabltà P(X). S X() P[X()] 6 5 S R R Raesentazone gafca dello schema d costuzone d una v.c. dsceta a.a. - statstca-fancesco mola 5 a.a. - statstca-fancesco mola 6 semo:consdeamo una famgla con fgl S{MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF} /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Defnamo la vaable casuale X numeo de fgl masch { 8} { 5 6 7} { } { } X n /8 /8 /8 /8 X P a.a. - statstca-fancesco mola 7 a.a. - statstca-fancesco mola 8

3 semo: A ttolo d studo Bcondzone occuazonale elementae O occuato M meda D dsoccuato S sueoe S A*B {O, D, MO, MD, SO, SD} /6 /6 /6 /6 /6 /6 Consdeamo la vaable casuale X condzone occuazonale X o occuato { dsoccuato X P.5.5 a.a. - statstca-fancesco mola 9 X P.5.5 O MO SO D MD SD a.a. - statstca-fancesco mola.5 Y Consdeamo la vaable casuale Y stud sueo O S S D MO MD SO SD Y Py Schematcamente semo: lanco d un dado, d una moneta, estazone d un numeo al lotto (a k event sono assocat k valo della V.C.) vent k () k V.c.X k k a.a. - statstca-fancesco mola a.a. - statstca-fancesco mola

4 Schematcamente semo: #fgl, condzone occuazonale. cc. (a k event sono assocat h<k valo della V.C.) T d vaabl casual V.c. vent k () k V.c.X k h con h k (S,A,) sazo d obabltà e A è l nseme d tutt gl event geneabl da S con l unone e la negazone In natua Dscete dscetzzate Contnue a.a. - statstca-fancesco mola a.a. - statstca-fancesco mola vaabl casual dscete Una Vaable Casuale è nota se conoscamo la sua dstbuzone d obabltà Una vaable casuale dsceta uò essee aesentata gafcamente Le ossono essee abtae, mente le obabltà non ossono essee abtae eché:,, k a.a. - statstca-fancesco mola 5 a.a. - statstca-fancesco mola 6

5 Vaabl Casual contnue z Ammette nfnt valo, qund non è ossble attbue le sngole obabltà ad ogn. f() Attenzone, f() non è la obabltà!!!!!! z S assoca ad ogn ntevallo una funzone f() detta funzone d denstà. X _ f() è oozonale (a meno d un nfntesmo) alla obabltà d un ntevallo suffcentemente ccolo a.a. - statstca-fancesco mola 7 a.a. - statstca-fancesco mola 8 Se X è una vaable casuale che assume valo n [a,b], essa è defnta se: f P semo: () : ( a, b) ( X + d) f ( )d o le vaabl casual contnue sono defnte n (, + ) con la conseguenza che la funzone d denstà è nulla e que valo comes n ntevall esten al camo d defnzone! a.a. - statstca-fancesco mola 9 Condzone necessaa affnchè una funzone d denstà f() ndvdu una v.c. X contnua è : () f : < X < + + f () d Nota bene: P ( X ) f ( ) d a.a. - statstca-fancesco mola

6 Funzone d atzone Funzone d atzone (oetà) F La funzone d atzone fonsce la obabltà d un qualsas evento () P( X ) a.a. - statstca-fancesco mola f ( ω) dω Vaabl Casual Dscete Vaabl Casual Contnue ( + ), ) è non decescente < F( ) F( ) ) è seme comesa ta ed F( ) ) s ha che: ) F( ) è contnua da desta a.a. - statstca-fancesco mola lm F () lm F() j + j Gafco della funzone F () X caso X dsceta semo: lanco d un dado X 5 6 P() /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 5 6 a.a. - statstca-fancesco mola a.a. - statstca-fancesco mola

7 < / 6 < / 6 < / 6 < / 6 < 5 5 / 6 5 < 6 6 < Analzzamo la F(X) F() 5/6 /6 /6 /6 /6 Funzone a gadn o ste functon 5 6 a.a. - statstca-fancesco mola 5 caso X contnua P X ) P X ) P( X ) ( F ) F( ) ( ( f ( ) d a.a. - statstca-fancesco mola 6 f () gafcamente F ( ) F ( ) F ) ( gafcamente a.a. - statstca-fancesco mola 7 a.a. - statstca-fancesco mola 8

8 F( ) d d una elazone motante f ( ω) dω F ( ) f ( ) a.a. - statstca-fancesco mola 9 Moment cental Valoe medo; valoe atteso; ectaton ( X ) + ( X ) f ( )d ( X ) V.c contnue V.c. dscete V.c contnue In geneale abbamo: V.c. dscete ( X ) f ()d a.a. - statstca-fancesco mola + Moment cental: cas atcola ( X ) ( X ) a.a. - statstca-fancesco mola Moment scato dalla meda ( ) ( X ) ( ) + ( ) f ( ) V.c. dscete V.c contnue a.a. - statstca-fancesco mola d

9 Moment scato dalla meda: cas atcola ( X ) ( ) Moment scato dalla meda: cas atcola ( X ) ( ) ( + ) + + a.a. - statstca-fancesco mola VAR ( X ) VARIANZA σ a.a. - statstca-fancesco mola Moment standadzzat σ X σ + σ a.a. - statstca-fancesco mola 5 V.c. dscete V.c contnue σ f () d Moment standadzzat: cas atcola X σ σ σ ( ) X σ σ σ σ ( ) a.a. - statstca-fancesco mola 6

10 Moment standadzzat: cas atcola X ( ) σ σ γ coeffcente d asmmeta σ X ( ) σ σ σ γ Coeffcente d Cutos a.a. - σ statstca-fancesco mola 7