Elementi di Calcolo delle Probabilità

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1 Element d Calcolo delle obabltà Coso d Calcolo delle obabltà ed Infeenza a.a. 2011/ mo Semeste of. Flppo DOMM Coso d Lauea Magstale n Economa pplcata Facoltà d Economa UnCal

2 Calendao - Lezon: dal 3/10/2011 al 22/12/ Sesson Esam: dal 09/01/2012 al 18/02/2012 (due ppell) dal 28/05/2012 al 14/07/2012 (due ppell) dal 03/09/2012 al 22/09/2012 (un ppello) F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 2

3 - Oao delle Lezon: Lunedì, Matedì e Mecoledì dalle 9 alle 11 n O/SG1 - Oao d Rcevmento Student: Govedì dalle 11 alle 13 (Studo docente: Cubo 0C, ultmo pano) - Modaltà esame: Sctto ed Oale F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 3

4 ova, Evento e obabltà Concett mtv: nozon ognae ed ed ntutve. ova (o (o espemento): è qualsas attvtà svluppata n n condzon d d ncetezza. Gl Gl espement d d cu cu s s occupa l l Calcolo delle obabltà sono quell ne ne qual sultat non non sono cet cet peché non non unvoc. Evento: è uno uno de de possbl sultat della pova. obabltà: è un un numeo assocato al al pesentas d d un un ceto evento e soddsfa alcune popetà fondamental dett dett assom del del Calcolo delle obabltà. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 4

5 Def.1. Spazo de de Campon. E E la la totaltà d d tutt tutt possbl sultat d d un un espemento concettuale. Veà ndcato con con Ω. Ω. Def.2. Evento Ceto. Evento Impossble. L evento ceto è quello che che s s vefca sempe, Ω. Ω. L evento mpossble è quello che che non non s s vefca ma, ma, φ. φ. Def.3. Spazo degl Event (( o algeba d d Boole). E E l nseme d d tutt tutt possbl sottonsem d d Ω. Ω. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 5

6 Ω Dagamm d d Venn Venn UNIONE INTERSEZIONE B NEGZIONE EVENTI INCOMTIBILI EVENTI NECESSRI F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 6

7 opetà Commutatva Unone B B Intesezone B B Idempotenza ssocatva ( B) C (B C) ( B) C (B C) Dstbutva (B C) ( B) ( C) (B C) ( B) ( C) Inolte, Inolte, s s ha: ha: φ φφ Ω Ω Ω Ω φ F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 7

8 Legg Legg d d De De Mogan (1) (1) B B B B (2) (2) B B B B atzone dello dello Spazo Spazo Camponao S dce che gl event 1,, k appatenent ad Ω fomano una patzone dello spazo camponao se: (1) (1) j 1,..., k j φ k (2) (2) Ω 1 coè se sono a due a due ncompatbl e necessa. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 8

9 Eseczo 1 Sano Sano,B,B e C te te event event che che s s dentfcano dentfcano ne ne sottonsem sottonsem {1,2,3,8}, {1,2,3,8}, B{2,3,5,7,8} B{2,3,5,7,8} e C{3,6,7,9,10} C{3,6,7,9,10} d d un un geneco geneco spazo spazo Ω{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Detemnae Detemnae seguent seguent sottonsem: sottonsem: E 1 E4 (B C) B C B C B E 2 E5 B E 3 E 6 C C Eseczo 2 Un Un espemento espemento casuale casuale consste consste nell estae nell estae contempoaneamente due due pallne pallne da da un una un una contenente contenente 1 pallna pallna ossa, ossa, 3 pallne pallne banche banche e 2 nee. nee. Descvee Descvee lo lo spazo spazo de de campon campon elatvo elatvo all espemento all espemento e costue costue sottonsem sottonsem n n cu cu s s dentfcano dentfcano seguent seguent event: event: Le Le due due pallne pallne estatte estatte sono sono d d coloe coloe dffeente; Le Le due due pallne pallne estatte estatte sono sono dello dello stesso stesso coloe; coloe; Le Le due due pallne pallne estatte estatte sono sono entambe entambe osse. osse. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 9

10 Eseczo 3 Un Un espemento espemento casuale casuale consste consste nel nel lanco lanco contempoaneo contempoaneo d d due due dad dad da da goco; goco; posto posto che che le le facce facce d d cascun cascun dado dado sano sano state state contaddstnte contaddstnte con con gl gl nte nte dall 1 dall 1 al al 6, 6, costue costue lo lo spazo spazo de de campon campon e sottonsem sottonsem che che appesentano appesentano seguent seguent event: event: I I nume nume potat potat dalle dalle facce facce supeo supeo de de due due dad dad sono sono ugual; ugual; La La somma somma de de due due nume nume potat potat dalle dalle facce facce supeo supeo de de due duedad dad è 5; 5; Il Il numeo numeo potato potato dalla dalla facca facca supeoe supeoe d d un un dado dado è doppo doppo d d quello quello potato potato dalla dalla facca facca supeoe supeoe dell alto. dell alto. Eseczo 4 Un Un espemento espemento casuale casuale consste consste nel nel lanco lanco contempoaneo contempoaneo d d una una moneta moneta e d d un un dado dado da da goco. goco. S S costuscano costuscano lo lo spazo spazo camponao camponao elatvo elatvo all espemento all espemento e sottonsem sottonsem a cu cu s s dentfcano dentfcano seguent seguent event: event: Testa Testa pe pe la la moneta moneta e numeo numeo pa pa pe pe l l dado; dado; Coce Coce pe pe la la moneta moneta e numeo numeo nfeoe nfeoe a 5 5 pe pe l l dado. dado. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 10

11 Eseczo 5 Da Da una una accolta accolta d d te te volum volum contassegnat contassegnat con con,b,b e C ne ne vengono vengono scelt scelt a caso caso due. due. Costue Costue lo lo spazo spazo degl degl event event assocato assocato allo allo spazo spazocamponao n n questone. questone. Eseczo 6 Un Un espemento espemento casuale casuale consste consste nel nel levae levae l l numeo numeo d d teste teste e delle delle coc coc che che s s possono possono pesentae pesentae nel nel lanco lanco contempoaneo contempoaneo d d te te monete. monete. Costue Costue lo lo spazo spazo camponao camponao e lo lo spazo spazo degl degl event event ad ad esso essoassocato. Eseczo 7 Nel Nel lanco lanco d d un un dado dado da da goco, goco, le le facce facce sano sano numeate numeate dall 1 dall 1 al al 6, 6, sa sa l evento l evento la la facca facca supeoe supeoe pota pota l l numeo numeo 3 3 e B l evento l evento la la facca facca supeoe supeoe pota pota un un numeo numeo dspa. dspa. e B sono sono event event dsgunt? dsgunt? Eseczo 8 S S lanca lanca due due volte volte una una moneta; moneta; sa sa l evento l evento testa testa al al pmo pmo lanco lanco e B l evento l evento ne ne due due lanc lanc non non appae appae la la stessa stessa facca. facca. e B sono sono dsgunt? dsgunt? F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 11

12 ssom del Calcolo delle obabltà. Rcodando che che un un assoma (o (o postulato) è una una poposzone che che è consdeata vea vea e non non vene dmostata nel nel contesto n n cu cu è svolta la la teoa n n questone, Il Il C.. C.. pesenta seguent assom: [ [ ] 0 Ω ] Sano e B due due event ncompatbl B φ alloa [ B] [ ] [ B] + F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 12

13 Teoem fondamental del del Calcolo delle obabltà Teo.1. [ φ] 0 Teo.2. Teo.3. [ ] 1 [ ] [ ] [ B] + [ B ] Teo.4. [ B ] [ ] + [ B ] [ B ] Le dmostazon de teoem sono lascat pe eseczo. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 13

14 Defnzone d d pobabltà. Def. Def Classca La La pobabltà d d un un evento è l l appoto ta ta l l numeo d d cas cas favoevol d d e l l numeo d d cas cas possbl, ammesso che che quest sano equpobabl. Def. Def Fequentsta (o (o legge empca del del caso). In In una una see d d pove d d un un dato dato espemento, petuto un un gan gan numeo d d volte n n ccostanze pù pùo meno sml, cascuno degl event possbl s s manfesta con con una una fequenza che che è cca uguale alla alla sua sua pobabltà. L appossmazone s s duce al al cescee del del numeo d d pove. Def. Def Soggettvsta. La La pobabltà è la la valutazone che che l l sngolo ndvduo può può coeentemente fomulae, n n base alle alle pope conoscenze, del del gado d d avveabltà d d un un evento. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 14

15 Eseczo Eseczo 9 Dato un espemento tale: 1 1 () 0.5 (B) 3 ( B) 4 Calcolae: { B} { B} { B} { B} { B} Eseczo Eseczo Sano e B due event tal che: () 0.8 (B) 0. 7 ( B) 0. 6 Calcolae: { B} { B} { B} F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 15

16 Eseczo Eseczo Supponamo d avee un una che contene 8 pallne osse (R), 9 pallne banche (B), 13 pallne nee (N) e 3 pallne galle (G). Effettuamo la seguente pova: estazone d due pallne con poszone. Calcolae la pobabltà che: a) entambe le pallne sano osse; b) la pma sa ossa e la seconda banca; c) la pma galla e la seconda non-ossa; d) la pma sa nea e la seconda non-banca; e) che almeno una sa ossa. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 16

17 Dpendenza. ssom e Teoem fondamental. Quando s s ha ha motvo d d cedee che che l l vefcas d d uno uno o pù pùevent nfluenzano l l vefcas d d alt alt event, alloa s s paleà d d event dpendent (condzonat). Così, la la pobabltà dell evento dato dato che che s s è gà gàvefcato l evento B (ovveo l evento B condzona l evento ), ), è: è: [ / B] [ B] [ B] pe pe [ B] > 0 In In tal tal caso, B dventa l l nosto nuovo spazo de de campon; coè coès s assume che che la la pova abba dato dato luogo a qualche sultato n n B. B. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 17

18 S S può può vefcae che che valgono gl gl assom del del Calcolo delle obabltà: [ / B] Ω [ ] 1 / B Se Se 1 e 1 2 sono 2 ncompatbl alloa [( ) B] [ / B] [ / B] 1 2 / Le vefche d (1), (2) e (3) sono lascat pe eseczo. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 18

19 Valgono anche teoem fondamental del del Calcolo delle obabltà nel nel caso n n cu cu esste un un evento condzonante Teo.5. [ φ / B] 0 [ ] [ ] Teo.6. / B 1 / B Teo.7. [ B] ( ) [ / B] + [( )/ B] 1 / Teo.8. [( ) B] [ / B] + [ / B] [( )/ B] 1 2 / Le dmostazon de teoem sono lascat pe eseczo. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 19

20 Il Il teoema d d Bayes e e llustae l l teoema, consdeamo l l seguente esempo: supponamo d d avee due due une, la la pma, U 1, 1, contene 4 pallne banche e 6 nee, la la seconda, U 2, 2, contene 3 pallne banche e 5 nee. S S estae a caso un una e, e, successvamente, da da questa s s estae una una pallna. mmesso che che la la pallna estatta sa sa banca, c c s s chede qual qual è la la pobabltà che che essa povenga dall una U 1, 1, se se la la pobabltà d d selezonae cascuna delle une une è d d ? Sml poblem s s pesentano ogn ogn volta che che un un evento può può essee vsto vsto come l l sultato --EFFETTO --d d uno uno ta ta K possbl event --CUSE --C 1, 1, C 2, 2,,C K ncompatbl K e tal tal che che uno uno d d ess ess deve vefcas, e nteessa valutae la la pobabltà che, che, avveatos,, sa sa C j la j la causa che che lo lo ha ha podotto. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 20

21 Supponamo che che gl gl event C 1,,C 1 K fomno K una una patzone d d Ω, Ω, coè coè Ω K 1 C e e C C j φ j L evento può può essee sctto nel nel seguente modo Ω K C K 1 1 ( C ) Ossevando che che K 1 ( C ) C φ K 1 F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 21

22 F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 22 s ha: s ha: [ ] ( ) [ ] K 1 K 1 C C Rcodando che Rcodando che [ ] [ ] [ ] C C C / [ ] [ ] [ ] C / C C S può scvee: S può scvee: [ ] [ ] [ ] [ ] K 1 K 1 C / C C

23 La La domanda nzale ea ea la la seguente: noto noto l effetto,, qual qual è la la pobabltà che che tale tale effetto sa sa dovuto alla alla causa C j? j [ C / ] j [ C ] j [ ] K 1 [ C ] [ / C ] j [ C ] [ / C ] j L ultma pate è l l teoema d d Bayes, dove [C [C j /] j /] è chamata pobabltà a posteo, coè coèla la pobabltà che che l evento,, gà gàvefcatos, sa sa dovuto alla alla causa C j ; j ; mente, la la pobabltà [C [C j ] j ] è chamata pobabltà a po della causa C j (nel j (nel nosto esempo è la la pobabltà d d estae l una U 1 ). 1 ). Infne, [/C j ] j ] sono dette pobabltà pobatve o veosmglanze, appesentano la la pobabltà con con cu cu le le sngole cause C 1, 1,, C K geneano K l evento.. Esse sono detemnate empcamente dall espemento. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 23

24 F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 24 Rtonando all esempo nzale, se ndchamo con [U ]0.5 pe 1,2 le pobabltà a po, la pobabltà a posteo è: Rtonando all esempo nzale, se ndchamo con [U ]0.5 pe 1,2 le pobabltà a po, la pobabltà a posteo è: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] U U / B U U / B U U / B B / U

25 Ossevazone: l l teoema d d Bayes può può essee vsto vsto come un un meccansmo che che pemette d d coeggee le le nfomazon a po [C [C j ] j ] sulla sulla base delle ossevazon spemental [/C j ] j ] fonendo pe pe l appunto la la pobabltà a posteo. In In questa fomula, nfatt, s s combnano nfomazon a po e veosmglanze, e quanto pù pùla la pobabltà a posteo [C [C j /] j /] è dvesa dalla pobabltà a po [C [C j ] j ],, tanto pù pù la la veosmglanza ha ha modfcato le le nfomazon a po sulle sulle cause C j. j. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 25

26 Defnzone d d Indpendenza. Se Se l l vefcas d d un un evento non non modfca la la pobabltà del del vefcas d d un un alto alto evento alloa è lecto pensae che che due due event sano ndpendent; questo può può essee fomalzzato con con la la seguente: Def. Def Dat Dat due due event e B, B, s s dce dce che che sono ndpendent se se e solo solose se s s vefca una una delle seguent condzon: [ B] [ ] [ B] [ / B] [ ] [ B / ] [ B] F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 26

27 Teo. Teo. 9 Se Se e B sono ndpendent alloa { B} { } { B } { B} { } { B} { B} { } { B} La dmostazon del teoema è lascata pe eseczo. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 27

28 Eseczo Supponamo d avee un una che contene 5 pallne osse (R), 4 banche (B),3 nee (N) e 6 gall (G). Effettuamo la seguente pova: estazone d due pallne senza poszone. Calcolae la pobabltà de seguent event: a) la pma ossa e la seconda ossa; b) la pma banca e la seconda ossa; c) la pma galla e la seconda non-ossa; d) la pma non-nea e la seconda banca; e) la pma galla e la seconda ossa o banca; f) la pova gene almeno una pallna ossa. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 28

29 Eseczo S è fatto uno studo pe detemnae l effetto de pogamm televsv su bambn. d un guppo d bambn composto da un numeo uguale d masch e femmne è stato chesto se sono ma stat spaventat da un pogamma televsvo. Il 25% de bambn e l 44% delle bambne spondono d s. Sceglendone uno a caso nel guppo, detemnae la pobabltà che: 1. l bambno sa stato spaventato; 2. venga scelta una bambna, sapendo che l selezonato/a è stato/a spaventato/a; 3. sa scelta una bambna, sapendo che l bambno/a scelta/o non è stata/o spaventato/a; 4. sa scelto un bambno sapendo che l bambno scelto non è stato spaventato. F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 29

30 Eseczo Un costuttoe vene fonto pe gl stess tp d pezz sa dalla dtta che dalla dtta B. Tal pezz vengono po depostat asseme nello stesso magazzno. e l passato s è ossevato che podott d eano pe l 5% dfettos, mente quell d B lo eano nella msua del 9%. La dtta fonsce 4 volte pù pezz della dtta B. vendo scelto un pezzo a caso dal magazzno ed avendo scontato che non è dfettoso, qual è la pobabltà che sa stato fonto da? F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 30

31 Eseczo Sano e B due event dello spazo camponao tal che: { } 0. 7 { B} 0. 8 Detemnae [B] se: a) e B sono dsgunt ; b) e B sono ndpendent ; c) [/B]0.6 F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 31

32 Eseczo16 Eseczo16 La pobabltà d essee malato d canco n uno stado nzale è 0.1 pe una pesona n una ceta classe d età. Il test sulta postvo nel 99% de cas n una pesona malata e nel 5% de cas n una pesona sana. a) Qual è la pobabltà d una coetta dagnos con l test nella data classe d età? b) Qual è la pobabltà che una pesona sa malata se l test è negatvo? F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 32

33 Rfement Bblogafc. - G. Ccchtell (1984), obabltà e Statstca. Maggol Edtoe. Rmn. [C]. ag M.Mood, F. Gaybll e D.C. Boes (1988), Intoduzone alla Statstca, McGaw-Hll, Mlano. [MGB]. ag D. ccolo e C. Vtale (1984), Metod Statstc pe l anals economca. Il Mulno, Bologna. [V]. ag R. Os (1995), obabltà ed Infeenza Statstca, Il Mulno, Bologna. [O] D. ccolo (2000), Statstca, l Mulno, Bologna. []. ag F. DOMM Calcolo delle obabltà ed Infeenza 33