Lezione 9. N-poli. N-poli passivi. Pilotato in tensione

Transcript

1 Lezone 9 N-pol 4 Fn oa c samo lmtat a bpol. Esstono peò anche dspostv che non sono conducbl a bpol, nel senso che non nteagscono con l esteno attaveso due sol pol. In fgua è appesentato un quadpolo, ma s può pensae, n geneale, a N-pol. S pone l poblema a questo punto d estendee l concetto d caattestca a tal dspostv. N-pol passv 4 E E E E 4 Plotato n tensone Supponamo d almentae ogn polo con un geneatoe deal d tensone E e supponamo ancoa che l dspostvo (o la ete che possamo mmagnae nella scatola!) sa lneae. In tal caso potemo usae l teoema d sovapposzone e affemae che la coente I nel amo del geneatoe esmo è la somma delle coent I che s ottengono nel amo esmo quando d volta n volta lascamo opeae l solo geneatoe nel amo eesmo.

2 N-pol passv S not che l N polo non può essee almentato n coente. N coent abtae, nfatt, non necessaamente spetteebbeo la LKI al nodo. 4 Non è possble plotalo n coente I I I I 4 N-pol passv I G E D alta pate n ognuna delle et così ottenute, a causa della lneatà, la coente I dovà sultae popozonale alla tensone E. Chamamo G tale fattoe d popozonaltà, che ha appunto le dmenson dell nveso d una esstenza, coè d una conduttanza. 4 I G E I G E E I 4 G 4 E N-pol passv In conclusone sommando l effetto d tutt geneato pesent avemo N elazon (quatto nel nosto esempo!) che legano le N coent alle N dffeenze d potenzale applcate ta pol del dspostvo ed l nodo comune. I G E G E G E G 4 E 4 I G E G E G E G 4 E 4 I G E G E G E G 4 E 4 I 4 G 4 E G 4 E G 4 E G 44 E 4

3 In geneale I G E G E G s G N E N G E G E G s G N E N I N G N E G N E G Ns G NN E N In alt temn l N-polo nvece d essee ndvduato da un solo paameto G come un bpolo, è ndvduato da N paamet Gs coè da una matce d odne N d conduttanze che pende appunto l nome d matce delle conduttanze. Come vedemo, n ealtà, paamet ndpendent da cu ealmente dpende la matce delle conduttanze non sono N, bensì n numeo molto mnoe. Matce delle Conduttanze G G G s G N. G G G s G N. G N G N G Ns G NN Defnzon I G E G E G s G N E N G E G E G s G N E N I N G N E G N E G Ns G NN E N Conduttanze Pope E G E E 0 E Pe oa ossevamo che ta le Gs ve ne sono alcune che s dstnguono dalle alte: quelle del tpo G con pedc egual, e coè gl element della dagonale della matce. Esse nfatt, pe costuzone, sono devate da schem ccutal del tpo mostato. Rsulta evdente che esse sono delle eal conduttanze equvalent del bpolo (questa volta è un veo bpolo) che s ottene pendendo n consdeazone un polo dell n-polo e come alto estemo l nseme d tutt gl alt n - pol collegat n coto ccuto ta d loo. Defnzon I G E G E G s G N E N G E G E G s G N E N I N G N E G N E G Ns G NN E N Conduttanze Inpope o mutue G s E 0 s Natua dvesa hanno nvece le Gs che appesentano semplcemente l appoto ta la coente nel amo e la tensone nel amo s, quando tutt gl alt pol, tanne l essesmo, sono collegat n coto ccuto. S tatta cetamente d gandezze che hanno le dmenson d conduttanze, ma non sono conduttanze mostate dalla ete a patcola coppe d mosett. Pe questa agone s dstnguono le due gandezze con nom dves: conduttanze pope o autoconduttanze, le pme e conduttanze mutue, le seconde. s

4 Le popetà della matce delle conduttanze Conduttanze pope G E E 0 G 0 Vedamo oa d qual popetà godono gl element d una matce d conduttanze. ssevamo n pmo luogo che avendo fatto la convenzone dell utlzzatoe a tutt pol, dovà necessaamente essee, pe la passvtà della ete, G 0, n quanto effettve conduttanze d bpol equvalent. E E Le popetà della matce delle conduttanze Conduttanze mpope G s G s 0 E 0 s Le G s nvece non sono necessaamente postve; anz è possble dmostae faclmente che deve sultae G s 0. Infatt peché s abba Gs > 0 dovebbe essee > 0 con >0; ma n tal caso all nteno della ete, almentata dalla sola ta l nodo s ed l nodo dovebbe esstee un nodo a potenzale mnoe d quello d ; ma cò è mpossble pe l pncpo d non amplfcazone delle tenson. s G s Le popetà della matce delle conduttanze E E 0 s s G s I s E E 0 Recpoctà Ma c è d pù. Se povamo ad applcae l teoema d ecpoctà alle due et che hanno potato all ndvduazone d G s e G s tovamo mmedatamente che esse debbono essee egual. La matce G è necessaamente smmetca. Questo sgnfca che degl N paamet che la compongono, solo N -(N -N)/ sono ndpendent. s s E E

5 Le popetà della matce delle conduttanze Se nfne povamo ad applcae la LKC al nodo tovamo che la somma delle deve essee nulla. Nodo 0 I G E G E G s G N E N G E G E G s G N E N I N G N E G N E G Ns G NN E N Le popetà della matce delle conduttanze Nodo 0 E G E G G s E N G N 0 Il che, essendo le qualsas, compota che G s 0, pe ogn s. E qund anche Gss - s Gs. Una volta note le mutue conduttanze, dunque, lo sono anche le autoconduttanze. s E Es E E G s 0 G ss - G s s In conclusone In conclusone paamet ndpendent nella matce G sono N(N-)/. N N element G 0 G s 0 N - N N N - N - N N (N - ) G s G s G ss - G s s

6 Condzon d fsca ealzzabltà G 0 G s 0 G s G s N (N - ) G ss - G s s Pe assegnae, dunque, una matce d conduttanza non s possono sceglee N nume qualsas, anz l modo pù mmedato pe falo è quello d assegnae N(N-)/ gandezze, negatve natualmente, che appesentano le N(N-)/ mutue conduttanze dell N-polo! In ogn caso queste condzon, che debbono sempe essee soddsfatte, vengono dette condzon d fsca ealzzabltà. nals del N-polo Dato un N-polo detemnae la sua matce delle conduttanze Il pocedmento pe cu, data la ete, se ne detemna la matce delle conduttanze vene detto d anals dell'n-polo. Ne mosteemo una possble soluzone che passa attaveso la sosttuzone dell N-polo d patenza con uno equvalente a polgono. G 0 G s 0 G s G s G ss - G s s N (N - ) Sntes del N-polo Dat N nume che soddsfno le condzon d fsca ealzzabltà tovae un N-polo che abba quella matce delle conduttanze Il pocesso nveso, pende l nome d sntes dell N-polo: data coè una matce quadata N che soddsf alle condzon d cu n pecedenza, che gustamente oa possono pendee l nome d condzon d fsca ealzzabltà, detemnae un N-polo che pesent appunto quella data come matce delle conduttanze. G 0 G s 0 G s G s G ss - G s s N (N - )

7 N pol attv I G E G E G s G N E N I 0 G E G E G s G N E N 0 I N G N E G N E G Ns G NN E N I N0 E facle estendee quanto detto a N-pol che contengano anche element attv. Infatt, applcando la sovapposzone degl effett, come abbamo fatto pe defne la caattestca del N polo passvo, basteà aggungee un ultmo temne che saà la coente podotta da geneato nten quando tutt pol sono cotoccut con l punto. 4 Stella e Polgono Delle nfnte et che possono dae luogo ad un N-polo se ne dstnguono mmedatamente due d tpo patcolae: la ete a polgono, completo o meno, e quella a stella. 4 4 Stella e Polgono L Npolo a stella è costtuto da N lat ognuno collegato ta uno degl N pol ed un nodo nteno comune, come mostato n fgua. Un n-polo a stella, dunque, ha un solo nodo nteno. 4 4 Un N-polo a stella è caattezzato dal fatto d avee un solo nodo nteno e nessuna magla chusa.

8 Stella e Polgono Mente l Npolo a polgono è caattezzato da non ave nod nten. 4 4 Un N-polo a polgono è caattezzato dal fatto d non avee nod nten. Stella e Polgono Se po n un Npolo a polgono tutte le coppe d nod sono collegate con un bpolo, esso pende l nome d Npolo a polgono completo. 4 4 Un N-polo a polgono è caattezzato dal fatto d non avee nod nten. Stella e Polgono È facle vefcae che l numeo d lat d una tale ete è pa ad N(N-)/; le combnazon, coè, d N oggett a due a due senza petzone. 4 4 Se tutt mosett dell N-polo a polgono sono collegat ta loo con un bpolo, alloa l N-polo s dce a polgono completo.

9 N-polo geneco S not che non tutt gl Npol sono o a stella o a polgono, come mosta chaamente l esempo n fgua. Non tutt gl N-pol sono a stella o a polgono. 4 C D Ccuto a ponte R Ω; R Ω; R Ω; R 4 Ω; R 5 Ω. Rcodeete la classca ete a ponte mostata n fgua, che abbamo utlzzato pe mostae come non tutte le et s possono due ad un unco bpolo utlzzando solo accoppament see e paallelo. La dffcoltà ea dovuta alla pesenza nella ete d stuttue del tpo a tangolo o a polgono come,, e, 4, 5 o equvalentemente a stella come,, 4, che non sono conducbl ad un sstema a due mosett e coè ad un bpolo. a samo n gado d solvee l poblema. Es.9. Stella e Polgono Domandamoc, nfatt, n qual condzon due N-pol dello stesso numeo d pol possono consdeas equvalent. Come logca estensone dell equvalenza de bpol, potemo de che ess possono tenes equvalent quando, sottopost alla stessa ennupla d tenson, assobono la stessa ennupla d coent. In patcolae cechamo le concete condzon d equvalenza ta un N-polo a polgono ed uno a stella.

10 Stella V - V o R Comncamo dalla stella. In pmo luogo applcando la LKC all unco nodo nteno cavamo l potenzale d tale nodo n funzone d quell de nod esten, come è semplcemente mostato n fgua. V - V o 0 R V o V R R R Stella I V - V o R I V - R R V R R V I V - R R R Vo V R R Il ché c consente d scvee la geneca coente entante n un nodo n funzone esclusvamente de potenzal a nod esten, vsto che gà abbamo l potenzale del nodo 0 n funzone de potenzal esten. È questa n fondo la caattestca dell N-polo a stella, plotato n tensone. S not che se tamo fuo dalla sommatoa l temne n, che pue è pesente n essa, potemo scvee la caattestca anche n questo nuovo modo, dove la dpendenza da V è esplctata, e è defnta n fgua. V - V ( )- R R R R I V - R R R Polgono completo I V R ( )- Stella R V - V R V R - V R Pe l polgono è pù semplce detemnae la caattestca plotata n tensone, peché ogn coente d polo saà somma delle N- coent (l polgono è completo!) de am che convegono n quel nodo. Sepaando due temn nella sommatoa s ottene la caattestca cecata. Faccamo vedee oa che se sussste la elazone R R R ta paamet del polgon (doppo pedce) e quell della stella (un solo pedce) alloa le due caattestche dventano dentche. R R R

11 V Polgono completo V I - R R R V ( - R R ) - R R R R I V V V R R R - V R V R R R G R 0 - V R R ( ) Infatt sosttuendo l espessone d R assegnata nella caattestca del polgono, l secondo temne dventa mmedatamente dentco al secondo dell alta caattestca (fecca aancone). Con la sosttuzone poposta l pmo temne della caattestca del polgono (ccolo aancone) s tasfoma come mostato e qund le due caattestche concdono. Tasfomazone Polgono - Stella R R R N ( N-) elazon sempe N ( N-) Stella-polgono ncognte N Polgono-stella N ncognte Se dunque s ha un N-polo a stella, è sempe possble costue un N-polo a polgono completo le cu N(N-)/ esstenze d lato R sano date dalle N(N-)/ elazon tovate, che sulta equvalente alla stella d patenza. Il caso opposto, nvece, n cu sano note le N(N-)/ esstenze n un polgono completo, e s vogla costue un polgono a stella equvalente, è solvble solo nel caso n cu l numeo delle equazon, N(N-)/, è pa al numeo d ncognte N, coè solo nel caso N! N N ( N-) N Pe N>, nella tasfomazone Polgono-Stella, l numeo delle equazon è supeoe al numeo delle ncognte ed l poblema, qund, non ammette soluzone! Ccuto a ponte 4 R s R R 4 R R 4 R 5 R s4 R R 5 R R 4 R 5 R s5 R 4 R 5 R R 4 R 5 È facle vedee come l ntoduzone d questa tasfomazone solva anche l poblema del ccuto a ponte. Sosttuendo l tangolo,4,5 con la stella s, s4 ed s5, s ottene un ccuto che s può faclmente due ulteomente. 5 s s5 s4

12 Ccuto a ponte Pmo passo e 4 R e (R R s ) (R R s4 ) R R s R R s4 ) 5 s s5 s4 Ccuto a ponte secondo passo. 4 5 R e (R R s ) (R R s4 ) R R s R R s4 ) R R e R s5 e s5 Ccuto a ponte S poteva anche, natualmente, sosttue la stella,,4 con l tangolo t,t, t4. R t R R 4 R t R R R t4 R 4 R 4 G 0 R R R4 5 t t t4 5

13 N-polo a polgono ssevamo che un Npolo a polgono potebbe anche essee defnto come un Npolo che non possede nod nten. Questo c consente d dmostae che n ealtà ogn Npolo è sempe conducble ad un Npolo a polgono completo. In un N-polo a polgono non sono pesent nod nten N-polo geneco Non tutt gl N-pol sono a stella o a polgono. Pensamo ad un Npolo che non sa né a polgono né a stella. L Npolo mostato nell esempo ha un nodo nteno, e qund non è a polgono. D alta pate non è neanche a stella peché a am ta nod come (,) o (,4) ecc. N-polo geneco Se con successve tasfomazon stella polgono - sempe possbl - elmnamo tutt nod nten, otteemo, evdentemente un Npolo a polgono. Elmnando nod nten. 4

14 N-polo geneco Elmnando nod nten. Come mostato n fgua; eventualmente l pollo a polgono ottenuto, non saà completo, ma questo non ha mpotanza peché saà sempe possble completalo aggungendo ta nod non collegat de bpol a vuoto. 4 Rduzone a polgono E qund l teoema. ttaveso successve elmnazon de nod nten, medante tasfomazon stella polgono, è possble elmnae tutt nod nten n un N-polo e tasfomalo qund n un N-polo a polgono, non necessaamente completo. Rduzone a polgono completo Le coppe d mosett non collegat dettamente ta loo n un N-polo a polgono non completo possono essee mmagnate collegate da bpol ccuto apeto, completando d fatto così l Npolo.

15 Conclusone In defntva, c.v.d. gn N-polo può sempe essee condotto ad un N-polo a polgono completo nals nals e sntes Dato l N-polo cavane la matce delle conduttanze. Nella patca s possono poe due tpologe d poblem pe un Npolo: l anals e la sntes. Natualmente nella sntes la matce delle conduttanze assegnata deve soddsfae le egole d fsca ealzzabltà. Sntes Data la matce delle conduttanze cavane l N-polo La matce delle conduttanze deve soddsfae Le condzon d fsca ealzzabltà! Conduttanze Pope nals G E E 0 0 Nell anals queste condzon saanno natualmente spettate peché s pate da un Npolo assegnato e qund fscamente esstente. Nella sntes nvece esse dovanno essee mposte a dat assegnat. Conduttanze Impope o mutue G s E 0 s 0 Smmeta G s G s LKC al nodo G ss - G s s

16 Sntes d un N-polo a polgono completo. Utlzzando le consdeazon fatte a poposto dell pollo a polgono completo no possamo dae almeno una modaltà pe sntetzzae un Npolo da una matce assegnata d G s che soddsfano le condzon d fsca ealzzabltà. bbamo vsto nfatt come tal condzon consentvano d assegnae le solo conduttanze mutue, peché le alte venvano d conseguenza date. 4 E Sntes d un N-polo a polgono completo. I 4 4 G 4 G 4 - I 4 E E 0 R 4 Dalla defnzone d G s (G 4 nell esempo) s vede che la coente I 4 non può che scoee solo nel amo (4,) peché am (,4) e (,4) non possono essee pecos da coent altment a loo cap nssteebbe una tensone non nulla, l che non è possble peché tal am sono stat cotoccut. Se ne consegue che dsponendo una esstenza, che possamo chamae pe comodtà, R 4 pa a -/G 4 ta nod e 4 s ottene l sultato cecato. Sntes d un N-polo a polgono completo E qund l teoema fondamentale della sntes d un Npolo! Data una matce delle conduttanze d un N-polo, che spett le condzon d fsca ealzzabltà, è sempe possble costue un N-polo a polgono completo che sa compatble con tale matce nseendo ta ogn coppa d mosett ed s una esstenza R s pa a -/G s, dove G s è l elemento d posto ed s della matce assegnata.

17 Esecz Detemnae la matce delle G pe questo tpolo E I R a R c I E I R b E R a Ω; R b Ω; R c Ω. G? G? G? G? G? G? Esecz I R a R c I R E b E I E R a Ω; R b Ω; R c Ω. I G E E 0 I G E E 0 G G G G G G 0,57 S 0,57 S 8 Esecz I R a R c I R E b E I E R a Ω; R b Ω; R c Ω. G E I E 0 G G G G G G 0,57 S 0,57 S 0,8 S 9

18 Esecz I R a R c I R b E E I E R a Ω; R b Ω; R c Ω. I G E E 0 G G G G G G 0,57 S 0,57 S 0,8 S -0,4 S 0 Esecz I R a R c I R E b E I E R a Ω; R b Ω; R c Ω. I G E E 0 G 0,57 S G 0,57 S G 0,8 S G -0,4 S G -0,4 S G Esecz I R a R c I R E b E I E R a Ω; R b Ω; R c Ω. G E I E 0 G 0,57 S G 0,57 S G 0,8 S G -0,4 S G -0,4 S G -0,4 S

19 Esecz: Matce delle G Detemnae G pe questo tpol D C G? E R R C R E Ω; R R D Ω. 4 Esecz: Matce delle G D C E G - /4 S E R R C R E Ω; R R D Ω. 5 Replogo della Lezone Defnzone d N-polo passvo; Matce delle conduttanze; Popetà della matce G. Equvalenza ta N-pol La tasfomazone polgono-stella. nals e sntes dell N-polo; Sntes d un N-polo a polgono completo Esecz