Fisica Generale B. Campo magnetico stazionario. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico Maurizio Piccinini

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1 A.A Fsca Geneale Campo magnetco staonao Scuola d Ingegnea e Achtettua UNIO Cesena Anno Accademco 14 15

2 A.A Il magnetsmo Fenomen magnetc not da lungo tempo (Socate, V secolo a. C.). Popetà d alcun ossd d feo (magnette) d attae alt metall. Uso della bussola dall XI secolo. Solo dal 18 s capsce che fenomen elettc e magnetc sono collegat fa d loo. I magnet sono dpol ed è mpossble solae sngol pol: l monopolo magnetco (l analogo della caca elettca) a tutt ogg semba non esstee n natua. Pe la descone della foa magnetca c s avvale, ancoa una volta, del concetto d campo (magnetco), dentfcato con la lettea. Il campo magnetco è un campo vettoale solenodale. Esso nfatt ha flusso nullo attaveso qualsas supefce chusa, ed ha lnee d campo chuse. È qund caatteato dall equaone:

3 A.A Il magnetsmo John Mchell (5 dcembe aple 1793): msue su agh magnetc lungh e sottl, con pendolo d tosone F p p ˆ Foa ta pol (cache) magnetc d foma smle a quella ta cache elettche, ma non esstono le cache magnetche! S S S N S N S N N S N N S N 3

4 A.A Campo magnetco e coent elettche Il concetto d campo semba patcolamente adatto a descvee fenomen magnetc Anche le coent elettche poducono camp magnetc? 4

5 A.A Campo magnetco e coent elettche Fl ettlne paallel (neut!) pecos da coent, s attaggono se le coent sono concod, s espngono se dscod. Anche le coent geneano camp magnetc Spe pecose da coente nteagscono fa d loo, e s compotano n modo smle agl agh magnetc 5

6 A.A Campo magnetco e coent elettche Oested (1813): nteaone ta coente ed ago magnetco. Ampèe (1814): nteaone ta coent. ot e Savat (18): 6

7 A.A Campo magnetco e coent elettche Gl espement d Oested e d Ampèe pemettono d detemnae deone e veso d. Quanto vale l modulo d? Un flo ettlneo d lunghea l pecoso dalla coente n un campo magnetco è soggetto a una foa : - popoonale a ; - popoonale alla lunghea l del flo; - che dpende dall oentamento del flo spetto a : è nulla se l // ; è massma se l. - pependcolae al pano ndvduato da e l. F max ; F l l Nkola Tesla (Smljan 1856 New Yok 1943) 1 T (tesla) 1N/(A.m); 1 G (gauss) 1-4 T 7

8 A.A Legg elementa d Laplace Gl espement d ot e Savat e d Oested sollectano la seguente domanda: È possble detemnae a pate dalle gandee caattestche d una coente n un conduttoe? k F max f ( ) k F max ( ) f µ π La pecedente espessone, e le ossevaon su deone e veso d, s possono tovae assumendo la seguente espessone pe l campo d n un punto P dello spao, dovuto ad un elemento nfntesmo dl d conduttoe pecoso da una coente : d µ 4π dl ˆ Pe un ccuto flfome chuso µ (pemeabltà magnetca del vuoto) 4π x 1-7 N/A. dl µ 4π. P d dl ˆ Pma legge elementae d Laplace (non vefcable spementalmente) Legge d Ampèe - Laplace (vefcable spementalmente) 8

9 A.A Legg elementa d Laplace Possamo oa agonae all ncontao e, noto l campo n un punto P, chedec: È possble detemnae la foa dovuta a agente su un conduttoe pecoso da coente? (Sogente campo accoppamento) Dalla defnone opeatva applcata ad un tatto d conduttoe d lunghea nfntesma dl df dl Pe un conduttoe fnto dl F dl Γ Seconda legge elementae d Laplace (non vefcable spementalmente) (vefcable spementalmente) 9

10 A.A Elettostatca v/s Magnetostatca: Confonto bas spemental Elettostatca Magnetostatca de( ) 1 ρdv ˆ 4πε d µ 4π dl ˆ df( ) ρdv E( ) df dl Legge d Coulomb Legg d Laplace 1

11 A.A Veso la foa d Loent Foa complessva che un ccuto pecoso dalla coente 1 esecta su un secondo ccuto pecoso dalla coente : µ ˆ dl dl ( ) 1 44 ππ Γ 1 1 Legg elementa d Laplace µ ˆ ˆ F dl dl µ F dl 1 Γ 1 4π dl Γ 1 1 µ dl1 ˆ 1 F1 1 dl 4π Γ Γ Γ 1 ˆ dl 1 dl 1 1 x O 11

12 A.A Veso la foa d Loent l O d Vefca pma legge elementae legge d ot e Savat d µ 4π φ φ 1 θ d φ P Β dl ˆ d µ d sn θ µ cos 4π 4 φ d d φ π µ φ µ cosφdφ 4π d (snφ φ sn φ1 ) 1 4π d Conduttoe molto lungo, φ 1 φ φ π/ A 1 cos φ snθ cosφ d sn d d φ d dφ cosφ cos φ lm l µ π d 1

13 A.A d F Veso la foa d Loent Inteaone ta due fl paallel pecos dalle coent 1 e. l x µ π d j 1 ˆ µ dl1 ˆ 1 F1 dl Γ 1 4π Γ1 1 l l µ µ 1 ˆ F 1 dl j π d ˆ 1 l π d dl j l Β dl F dl l µ ˆ 1 1 π d l F µ l π d 1 ˆ 1 Ampée: ntenstà della coente che, ccolando n due lungh fl paallel dstant 1 m l uno dall alto, poduce su cascuno d ess una foa pe untà d lunghea pa a x 1-7 N/m (cò affnché sa µ 4π x 1-7 N/A ). 13

14 A.A Agh magnetc: Non essendo possble sepaae monopol magnetc, lo spao delmtato da una supefce chusa mmesa n un campo magnetco, se non è vuoto conteà sempe almeno un dpolo magnetco. Veso la foa d Loent Il campo è solenodale φ SC ds : Camp da coent: l campo d della pma legge d Laplace è solenodale, qund, pe l µ dl ˆ d d pncpo d sovapposone, lo è ogn campo 4π podotto da coent elettche. dl µ ˆ ˆ 4π d dl dl N: la legge dscende dalla pma legge elementae d Laplace come la legge E ρ ε deva dalla legge d Coulomb. a b a b a b 14

15 A.A Dffeenal n Coodnate Clndche Volume nfntesmo ds ϕ dv dds d ϕ dϕ d d d d dϕ P dv dd ϕ d x O ϕ k u u t dp Spostamento nfntesmo dp du ˆ dk + ds u ˆ + ϕ ˆt dp duˆ + dϕuˆ + dkˆ t 15

16 A.A Γ C k C Veso la foa d Loent ϕ ϕ Legge d Ampée Andé-Mae Ampèe ( ) Γ NC Il campo è consevatvo? µ dl uˆ t dl d uˆ ˆ ˆ + dϕ ut + d k π µ µ C ˆ 1 C utˆ ˆ π ( ˆ ˆ d u + dϕ ut + d k) π uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t u t 1; ut u ut k C µ ϕ µ dϕ ( ϕ ϕ1) uˆ ˆ ˆ ˆ t π ( d ϕ1 u + dϕ u t + π d k) dϕ Γ µ C ΓC u C ϕ1 + π ϕ 1 ; C µ π Γ µ NC [ 1 1 ] ; NC C ϕ ϕ Γ C π con dl µ non è consevatvo k k u t ( ) k 1 16

17 A.A Veso la foa d Loent La legge della ccutaone d Ampée ha valdtà geneale? Legge d Ampée: scelta una qualsas lnea chusa, alla ccutaone d calcolata sulla stessa contbuscono solo le coent concatenate con la lnea, anche se condutto ne qual ccolano le coent non sono ettlne. con dl µ S k 1 dl µ J ds S dl ds k La genealaone è basata sul pncpo d sovapposone ed è vefcata dall espeena. µ J 17

18 A.A Equaon del campo magnetostatco Replogo Legge d Gauss Legge della ccutaone S ds Foma ntegale con dl dl µ µ J ds k S k 1 µ J Foma dffeenale 18

19 A.A Equaon del campo magnetostatco elettostatco Replogo Legge d Gauss Legge della ccutaone S ds Q S E ds ε Foma ntegale dl µ S J E dl ds l S E Foma dffeenale µ ρ ε E J 19

20 A.A Potenale vettoe È possble, n analoga con l campo elettostatco, defne un potenale che consenta una descone altenatva del campo magnetco? Elettostatca E E V E ερ V ρ ε ε Magnetostatca A µ J A µ J A A A Ax A + A A x x + x x A A A ( A) ( A) ( A )

21 A.A Potenale vettoe Elettostatca Magnetostatca V ρ ε Ax µ J x A µ J A µ A µ J Nella pma equaone sosttuamo V e ρ con due nuov camp scala, A e J, moltplcandola pe µ ε 1 1 c (N.: c è una costante unvesale e ha le dmenson d una veloctà): µ ε V A ; µ ε ρ µ ε cρ µ ε J µ Aε V µ µ εcj ρ ε A µ J ( ), x,, ( ), x,, A A A A A quadpotenale J J J J J quadcoente A A A x A + + 1

22 A.A a b a x a b b a + a b a + x b x a b x b Vetto x ( ab ab ) + ( abx axb ) + ( axb abx ) x x + bx + a b ax + a b b a a b b x + + ax b x a b a a a a a a x x x x bx + b + b + b b b b b b x x x x ax a a x a

23 A.A Vetto ˆ ˆ 3 1 ˆ ˆ 3 c.v.d. 3