Dinamica del Corpo rigido

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1 Dnamca del Copo gdo Defnzone Un copo gdo è un sstema d punt mateal n cu le dstanze elatve NON cambano ed è un oggetto esteso. Le foze ntene (foze d coesone che mantengono nvaate le dstanze fa punt) hanno le seguent caattestche: ( ) ( ) hanno sultante nulla R 0 hanno momento sultante nullo M 0 l lavoo totale è nullo W ( ) 0 Le foze estene sono esponsabl del moto del Cento d Massa R (E) R ma CM moment delle foze estene sono esponsabl delle otazon ntono ad O M (E) O dl dt O ( m v ) d dt l lavoo delle foze estene vaa l enega cnetca del sstema W (E) ( A B) Ek,B Ek, A A. Romeo Dnamca V - Copo gdo

2 Dal sstema d punt al Copo gdo un copo gdo è fomato da un nseme contnuo d punt mateal. Pe estendee cò che s è vsto pe un sstema d punt al copo gdo bsogna passae delle sngole masse all elemento nfntesmo, consdeae la denstà ρ e passae dalle somme agl ntegal m dm ρ Se la denstà è costante dm dv m dm v ρdv S possono anche defne le denstà supefcal e lnea (usate ad esempo pe lasta sottle d metallo e pe flo d accao ) la denstà Kg/m 3 Kg/m acqua 0 3 s msua n la supefcale n La lneae Kg/m, ρ ρ ρ s l ρ m V dm ds dm dl ; m m m ρv S l ρ s ρ dl, l ds

3 A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 3

4 CM dm Cento d massa d un copo gdo Cento d massa d un sstema d punt mateal: m CM Pe un copo gdo, coè contnuo: m m CM dm dm dm m Pe tene conto d come la massa è dstbuta all nteno del copo s utlzza la gandezza denstà : dm ρ dove dv è l elemento d volume nfntesmo occupato da dm dv Tamte l concetto d denstà CM può essee defnto come: CM ρ dv Vol m Se ρ è costante: CM Vol ρ dv m ρ m Vol dv V Vol dv 4

5 Poszone del cento d massa Se ρ è costante: CM V Vol dv Se la denstà è costante, la poszone del cento d massa, data da CM, è la meda della funzone vettoale (x,y,z) nel volume V. Non dpende dalla massa ma solo dalla sua foma Se un copo è smmetco spetto ad un punto, un asse o un pano, l cento d massa concde con l cento d smmeta o è un punto dell asse o del pano d smmeta Se esstono pù ass e pan d smmeta, l cento d massa è poszonato sulla loo ntesezone A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 5

6 M Foza peso e cento d massa Ho copo contnuo sottoposto alla foza peso. Su cascun elemento agsce la foza gdm. df gdm La sultante d tutte queste foze paallele fa d loo è F ed è applcata nel CM : ( ) dm g M gdm F gdm g dm l momento della foza peso spetto a un polo fsso (ad esempo l ogne dell asse delle coodnate) è dato da: mg dm dm dm dm CM CM ( ) dm g m g mg CM CM CM M CM mg A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 6

7 Enega potenzale e Cento d massa Analogamente a quanto vsto n pecedenza pe l calcolo dell enega potenzale pe la foza peso s deve ntegae de p : ma: z CM E p zdm dm gzdm g zdm zdm z CM dm E p gzdm g zdm gz CM dm mgz CM E p mgz CM Se l copo è lbeo ed agsce solo la foza peso la taettoa del CM è vetcale ettlnea o paabolca a seconda delle condzon nzal. A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 7

8 Moto d un copo gdo Pe studae l moto d un copo gdo è possble concentas sullo spostamento globale, natualmente conducble al moto del cento d massa. Tuttava va punt del copo gdo possono descvee taettoe dvese ta loo e da quella del cento d massa. Pma d avae a consdeae l moto pù geneale d un copo gdo, nzamo ad analzzae due tp d moto: Moto d taslazone del copo gdo Moto d otazone del copo gdo Moto d taslazone e l moto d otazone sono gl unc tp d moto da studae peché s dmosta che l moto pù geneale d un copo gdo è un moto d ototaslazone A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 8

9 Moto d un copo gdo Taslazone Quando l copo gdo compe un moto d sola taslazone tutt punt descvono taettoe ugual, n geneale cuvlnee, pecose con la stessa veloctà v, che concde con v CM. Le gandezze sgnfcatve n una taslazone sono: Quanttà d moto: Enega cnetca P mv CM E E k k,cm mv CM Con R: sultante delle foze estene L equazone dnamca alla base del moto d taslazone è: R ma CM l momento angolae: L L mv P CM CM CM CM A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 9

10 ω Moto d un copo gdo Rotazone Quando l copo gdo compe un moto d otazone tutt punt descvono un moto ccolae, le taettoe sono ach d cconfeenze dvese che stanno su pan ta loo paallel e hanno l cento su uno stesso asse, l asse d otazone Tutt punt uotano con la stessa veloctà angolae ω. Le veloctà v de sngol punt sono dvese a seconda della dstanza R dall asse d otazone v ωr L equazone dnamca alla base del moto è: dl M dt A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 0

11 Rotazon ntono ad un asse fsso punt dell asse attono cu avvene la otazone sono fss e dunque possono essee utlzzat come pol pe l calcolo de moment. π ω θ θ Caattestche del vettoe veloctà angolae ω: - dezone è quella dell asse d otazone ed è fssa - veso ndca l veso della otazone ω - modulo n genee vaable Se ω vaa alloa l vettoe acceleazone angolae α 0 α è anch esso paallelo all asse d otazone dω α dt Assumamo, come n fgua: - l asse z come asse d otazone - l punto O, qualsas punto sull asse z, come polo pe l calcolo de moment A. Romeo Dnamca V - Copo gdo

12 Rotazon ntono ad un asse fsso Angolo ta l aggo vettoe e l asse z: θ Angolo ta l aggo vettoe e v : π/ π ω θ θ Dstanza d P dall asse: R sen θ Momento angolae del punto P spetto ad O: L m v ω L sulta: Otogonale al pano ndvduato da vettoe e v : Foma un angolo pa a π/-θ con l asse z Ha modulo pa a: L m v mr ω L,v Poezone del momento angolae L sull asse d otazone: Momento angolae assale L,z : L,z π Lcos( -θ ) Lsenθ ω mr ωsenθ m R A. Romeo Dnamca V - Copo gdo R

13 Momento d neza Momento angolae totale del copo L L π ω θ θ Poezone sull asse z: L z L,z ( m R ) ω Se defnamo l momento d neza del copo spetto all asse, la gandezza: z m R L z ( m R ) ω L z z ω z m R m (x + y ) l momento d neza dpende dalle masse e dalla loo poszone spetto all asse d otazone. Dpende dalla foma del copo e dalla poszone dell asse spetto al copo A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 3

14 π/ θ ω θ Momento angolae se l asse d smmeta concde con l asse d otazone Abbamo cavato che: Momento angolae totale del copo Componente del momento angolae // z L L L z z ω La componente otogonale del momento angolae n geneale non è nulla ma è data dalla somma vettoale de temn: L, L cos( θ ) m R ωcosθ Se l asse d otazone concde con un asse d smmeta del copo L è nullo, poché pe ogn L esste un L j smmetco spetto all asse. L 0 L L // Nel caso geneale n cu S ha un moto ntono all asse d otazone detto Moto d pecessone ( tottola ) L 0 ω L z L è paallelo a ω 4

15 Equazon del moto del copo gdo Caso : L è paallelo a ω L z ω M dl dt dl dt z dω dt α z M z α Questa è l equazone del moto d otazone α e M sono paallel all asse d otazone coè a ω La conoscenza delle foze estene e del loo punto d applcazone pemette d calcolae l acceleazone angolae, se è noto l momento d neza. A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 5

16 Equazon del moto del copo gdo Caso : L è paallelo a ω Le elazon tamte cu s può cavae la legge oaa sono: M α z ωω0 + αdt t 0 θ(t) θ0 + ωdt t 0 Se M0, l copo esta n quete o s muove d moto ccolae unfome M 0 α 0 ω ω0 θ( t) θ0 + ω0t Se Mcostante, l copo s muove d moto ccolae unfomemente acceleato αcostante ωω 0 + α t θ( t) θ α 0 + ω0t + t Se M è geneco αα(t) l moto è ccolae vao 6

17 Equazon del moto del copo gdo Caso : L non è paallelo a ω L z z ω dl dt z z dω dt α z M z dl dt z M z z α Da questa s cava la legge oaa con le stesse fomule pma desctte α non dpende dalla componente pependcolae L ma solo da L z dl M A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 7 dt Dalla componente pependcolae s cavano nfomazon sul moto d pecessone che non nflusce sull andamento d α

18 Calcolo dell enega cnetca L'enega cnetca del copo gdo n un moto d otazone è data da: Ecn mv ω m R zω z m R L enega cnetca dpende dal momento d neza del copo spetto all asse d otazone Nel caso n cu L è paallelo a ω ω L z E cn L z Nel caso n cu L non è paallelo a ω L z z ω E cn L z z A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 8

19 Calcolo del lavoo Quando un copo con veloctà angolae nzale ω n vene potato a uotae con veloctà angolae ω fn, n seguto all applcazone d un momento esteno, l enega cnetca subsce una vaazone ed è dunque stato computo un lavoo n foma nfntesma s ha: dw de cn d( z ω W E cn ) dw ωdω NOTA: Nel caso n cu L è paallelo a ω z z ω fn M z dθ W W dθ z dω dt θ 0 Mdθ θ 0 z ω n dθ z αdt z αdθ dt M z d θ M z dθ Relazone ta momento e lavoo dw dt Potenza stantanea: M z M zω A. Romeo Dnamca V - Copo gdo dt 9 dθ

20 Momento d neza dal dsceto al contnuo dm l momento d neza pe un copo contnuo è dato da: R dm ρr dv ρ( x + y ) dv m Nel caso dsceto Sgnfcato del Momento d neza Nelle otazon gde l momento d neza ha un uolo fondamentale, analogo a quello della massa nella legge d Newton: M z α A patà d momento applcato un copo assume un acceleazone angolae maggoe o mnoe a seconda del valoe del momento d neza spetto all asse d otazone NOTA: Dffeenza fondamentale ta massa e momento d neza: m: caattestca che può essee assocata ad ogn copo : dpende da come è dstbuta la massa attono all asse d otazone A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 0

21 Cospondenza fomale ta l moto ettlneo e quello ccolae. Spostamento. Veloctà 3. Accel. 4. Massa 5. Foza 6. Lavoo 7. En. Cn. 8. Potenza Moto ettlneo 9. Q. d moto v v v a m v F W v d dt v d dt Ek P Q v ma v F mv v v F v mv v ds Moto ccolae. Spostamento. Veloctà 3. Accel. 4. Mom neza 5. Mom.Foza 6. Lavoo 7. En. Cn. 8. Potenza 9. Mom.Angolae ϑ ω v α v M d ϑ dt d dt ϑ α v kˆ kˆ W M dϑ E P L k M z z ω ω ω

22 mρsd Eseczo - Calcolo del momento d neza Detemnae l Momento d neza spetto ad un asse otogonale all asta e passante pe l cento d una sottle asta omogenea: dmρsdx Massa: m Lunghezza: d Sezone: S Elemento d massa dm, d dmenson dx che s tova alla dstanza x dall asse z d d x dm ρs d d x dx ρ 3 z md Sd Momento d neza d una asta omogenea spetto asse otogonale passante pe l cento Se l asse passa pe un estemo dell asta: z d 0 x dm ρs d 0 x dx ρ Sd 3 3 md 3 Momento d neza d una asta omogenea spetto A. Romeo z Dnamca V - Copo gdo ad un asse otogonale passante pe un estemo

23 mρ l πr Eseczo - Calcolo del momento d neza dl Detemnae l momento d neza d un anello omogeneo ( dmenson) spetto ad un asse passante pe l cento dell anello e otogonale al pano dell anello: Massa: m Raggo: R dmρ l dl massa dm che s tova nell aco dl, con ρ l : denstà lneae z R dm ρl R dl ρ R l dlρ R l πr mr z Momento d neza anello omogeneo Momento d neza d un gusco clndco Un gusco clndco sottle s può consdeae come un nseme d anell sovappost, chamando m la massa degl anell e m la massa totale: A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 3 z m mr R

24 Alcun moment d neza Tovae d clndo peno A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 4

25 Raggo gatoe l tutte le fomule tovate l momento d neza ha un espessone del tpo: fmd Dove: f: fattoe numeco legato alla stuttua del sstema (foma copo, poszone asse d otazone) m: massa del copo d: dmensone sgnfcatva Qund l momento d neza s può scvee come: mk Con: k f d m k è detto aggo gatoe del copo Sgnfcato del aggo gatoe: Dato un copo d momento d neza spetto ad un asse. mmagnamo d concentae tutta la sua massa n un punto. k appesenta la dstanza dall asse a cu bsogna poe questo punto pe avee lo stesso momento d neza. E utlzzato pe scvee fomule n modo pù geneale A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 5

26 Teoema d Huyghens-Stene Ne calcol del momento d neza sulta chao come ess sano molto semplc se s scelgono come ass d otazone ass patcola coè ass d smmeta passant pe l cento d massa. Se s scelgono alt ass e le condzon d smmeta non vengono soddsfatte, l calcolo degl ntegal può dvene complcato l teoema d Huyghens-Stene pemette d semplfcae l poblema affemando che: l momento d neza d un copo d massa m spetto ad un asse che s tova ad una dstanza a dal cento d massa del copo è dato da: C + ma Momento d neza calcolato spetto all asse passante pe l cento d massa A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 6

27 Teoema d Huyghens-Stene dmostazone Pe dmostae l teoema d Huyghens-Stene s consdeano due ass z e z ta loo paallel dstanzat d a. L asse z passa pe l cento d massa. xx yy +a zz Calcolamo l momento d neza spetto a z ( x y ) m + x' + ( y' a) z m ( ) m ( x' + y' ) + ma + a + m y' z c ma y CM 0 + ma z C A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 7

28 Esempo eseczo π/ Calcolae l momento d neza d un sstema costtuto da un asta omogenea d lunghezza d e massa m, con agl estem due sfee omogenee d massa M e aggo R spetto ad un asse passante pe l cento C dell asta e a questa otogonale Momento d neza d una delle due sfee: S spetto ad un dameto SC mr /5 Pe l teoema d Huyghens-Stene: + Ma S SC Dstanza ta cento asta e cento sfea S 5 MR + M d + R Momento d neza dell asta: a : Momento d neza totale: T a + S a md + M R 5 A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 8 T md + d + R

29 Calcolo del momento d neza Detemnae l Momento d neza spetto al popo asse d un clndo peno omogeneo d Massa: m Lunghezza: L e aggo R mρπr L dm ρπ d L Elementno d massa dm, che s tova alla dstanza dall asse z R R 3 dm ρπ Ld ρπl d ρ 0 0 R 0 R Lπ 4 4 z mr Se l asse passa pe una geneatce del clndo uso l teoema d Stene: g z + mr mr + mr 3 mr Momento d neza d clndo peno spetto ad una geneatce A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 9

30 Moto d Rotolamento puo Un copo d foma clndca o sfeca s muove spetto sopa un pano Se l copo otola sul pano, le veloctà de punt del copo non sono tutte ugual. Se l punto d contatto ha veloctà nulla spetto al pano s ha un moto d puo otolamento n ogn ntevallo d tempo dt è come se l copo uotasse ntono ad un asse fsso passante pe l punto d contatto C, con veloctà angolae ω. L asse d otazone non è un asse mateale, bensì un asse geometco che s sposta nseme al copo. n un ntevallo d tempo dt successvo l contatto avvene n un C nfntamente vcno a C e s pete la otazone ntono un nuovo asse. Ma che foza agsce pe mantenee femo l punto C nell ntevallo dt? Una foza d attto statco esectata ta l pano e l copo A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 30

31 Moto d Rotolamento puo Se l copo uota attono ad un asse passante pe l punto d contatto C, la v d ogn punto del copo è otogonale alla congungente del punto con C ed è n modulo popozonale alla dstanza da C: v ω PC Dalla fomula del teoema delle veloctà elatve: v v' + v + ω ' OO' La veloctà d C dstante dal cento d massa può essee espessa come: v v + ω C CM veloctà del cento d massa veloctà d C spetto al cento d massa La condzone d puo otolamento è: vc 0 v ω CM n modulo: v CM ω a CM α ω v CM v CM A. Romeo 3 C v CM

32 Moto d Rotolamento puo Nel complesso la successone d otazon nfntesme attono ad un punto d contatto stantaneo equvale ad una oto-taslazone n cu l cento d massa avanza con veloctà v CM mente l copo uota con veloctà angolae ω spetto al cento d massa S suppone d avee un copo d massa m e aggo che otola senza stscae sotto l azone d una foza F applcata all asse. Foze n goco: F: foza applcata all asse mg: foza peso N: eazone vncolae f: foza d attto statco Moto del cento d massa: moto d taslazone F f ma CM N mg 0 dezone x dezone y Moto d otazone, sceglendo l cento d M f α a f α massa come polo pe l calcolo del momento: A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 3 CM

33 A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 33 Moto d Rotolamento puo Dalle elazon ma CM f F a f CM CM a f ma CM f F a CM m F CM m m F m F a + CM m m F a + + m F m m F a f CM + m F f NOTA:La foza d attto f non può supeae la massma foza d attto statco, ovveo: f s N µ mg f s µ mg m F S µ + lm S F m mg F + µ l moto può essee d otolamento puo solo se la foza applcata non supea l valoe lmte F lm, altment l copo otola e stsca contempoaneamente

34 Moto d Rotolamento puo nvece d spngee l copo, pe avee l moto d otolamento puo, s può applcae all asse un momento costante M (ad esempo tamte un motoe). n questo caso l azone del momento tende a fa slttae veso snsta l punto d contatto e dunque la foza d attto f ha come veso quello del moto. f ma CM N mg 0 e: M + f α M f a CM a CM M m + m M f + m Anche n questo caso la foza d attto f non può supeae la massma foza d attto: f µ s N M + m µ S mg A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 34 M µ Smg + M m NOTA: a causa dell azone d M n questo caso f favosce l moto, anz è la foza che causa l acceleazone del cento d massa. Quando un motoe fa gae una uota, è l attto con l suolo che la spnge avant! lm

35 Eseczo - Moto d Rotolamento puo Detemnae la veloctà che aggunge a fne pecoso un copo gdo che otola senza stscae lungo un pano nclnato θ Condzon nzal: pe t0, l copo è n quete all altezza h Consevazone dell enega: mgh E k,fn S cod l teoema d Kong: E E + k CM E' k Utlzzando l teoema d Kong s ottene: CMω mv vcm CM mk + mv CM mgh + Con k: aggo gatoe v CM gh < gh k + A. Romeo 35

36 Eseczo - Moto d Rotolamento puo - contnuazone Sol.: -contnuazone- v CM gh < k gh + θ NOTA: Se l copo scvolasse senza attto, aveebbe n fondo con veloctà maggoe: vcm nvece se otola, l enega potenzale s tasfoma sa n enega cnetca d taslazone sa n enega cnetca d otazone nel moto spetto al cento d massa C ω Pe questa agone la veloctà fnale nel otolamento sulta nfeoe a gh gh mv CM A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 36

37 Eseczo - Moto d Rotolamento puo Detemnae l angolo d nclnazone massmo pe avee un f F moto d puo otolamento θ L acceleazone e la foza d attto statco s ottengono dalle equazon gà vste: F f ma CM f C α C a CM Dove n questo caso F mg senθ mg senθ f ma CM f C α mk a CM Condzone: f µ s N f µ smg cos θ mg senθ f + k µ Angolo d nclnazone massmo: A. Romeo Dnamca V - Copo gdo M S 37 s a CM g senθ k + mg cos θ actg µ + k θ mg senθ f + k tg θ µ S + k

38 Attto volvente Al moto d puo otolamento sotto l azone d foze consevatve, come lo sono le foze costant e n patcolae la foza peso, s può applcae la legge d consevazone dell enega meccanca. nfatt la foza d attto agsce su un punto femo, pe cu lo spostamento è nullo ed è qund nullo l lavoo. Spementalmente s osseva che un copo che otola senza stscae su un pano ozzontale, n assenza d foze o d moment applcat, s aesta dopo un ceto tempo. Deve esstee un alta foma d attto (attto volvente o d otolamento), che vene attbuto alla defomazone locale del pano e può essee appesentato con l azone d un momento: M v hmg Con h: coeffcente d attto volvente [m] Pe vncee l momento dovuto all azone dell attto volvente s deve applcae al copo d foma ccolae una foza d tazone: hmg F Pe spostae clndo d m0 3 Kg se stsca F µ mg 0, 000 9,8 960N s Se otola e ha 0, m hmg F , 3 9,8,5N A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 38

39 mpulso angolae Abbamo gà vsto l Teoema dell mpulso: l mpulso d una foza applcata ad un punto mateale è uguale alla vaazone della sua quanttà d moto t p J Fdt dp p p 0 p 0 p0 Una deduzone analoga s può fae a pate dalla elazone: dl M ( E) dt mpulso angolae t Mdt L(t ) - L(t t ) L L azone d un momento duante un ntevallo fnto d tempo causa una vaazone fnta del momento angolae. A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 39

40 mpulso angolae Un modo pe mette n otazone un copo gdo spetto ad un asse fsso consste nell applcazone, n un punto detemnato del copo, d una foza ntensa pe un tempo beve, ovveo nell applcazone d un mpulso ( F) Mdt dt Fdt J L La gandezza x J s chama momento dell mpulso A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 40

41 Eseczo - Momento dell mpulso Sol.: S consde un asta d massa m e d lunghezza l lbea d uotae attono ad un asse ozzontale, passante pe un suo estemo O. nzalmente l asta è fema n poszone vetcale. S detemn l mpulso J, otogonale all asta, che s deve applcae alla dstanza < l da O pe fa compee all asta una otazone d 90 Momento dell mpulso spetto a O: x J l suo modulo: Jsen90 J L n 0 L fn ω Dalla elazone vsta: J L S ottene: J L ω Con : momento d neza dell asta spetto all asse passante pe O: ml 3 3 3J ω ml J ml ω A. Romeo 4

42 Eseczo - Momento dell mpulso Dopo la otazone d 90, l cento d massa s è sollevato d l/, pe cu l enega potenzale dell asta è aumentata d mgl/ Sol.: -contnuazone - Subto dopo l applcazone dell mpulso l asta nza a uotae con veloctà angolae ω: 3J ω ml L enega cnetca nzale vale dunque: E k ω Pe la consevazone dell enega s ha : ω l mg l 3J ml mg 3 ml A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 4 J m gl 3 3

43 Legg d consevazone nel moto d un copo gdo Rpendamo consdeazon gà fatte sulle legg d consevazone adattandole alle caattestche de mot de cop gd Consevazone della quanttà d moto del sstema: Pmv CM. Se la sultante delle foze estene è nulla, l cento d massa s muove d moto ettlneo unfome, ma non è detto che l moto de sngol punt del copo sa ettlneo unfome. Esemp: un punto d un copo che compe un moto d puo otolamento unfome, oppue un punto d un dsco, posto su un pano ozzontale senza attto, che uota ntono ad un asse vetcale passante pe l cento d massa, e contempoaneamente s muove nel pano con v CM costante Consevazone del momento angolae: Se M0, l momento angolae esta costante n dezone, modulo e veso A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 43

44 Consevazone d L n un sstema d pù cop sfeette d massa m e aggo, sono collegate da un asta d lunghezza vaable e d momento d neza tascuable. Caso: sstema fomato da pù cop gd: la vaazone della poszone elatva delle sngole pat detemna una vaazone del momento d neza del sstema. ω Condzon nzal: Dstanza nzale delle due sfeette: >> Veloctà angolae costante: ω Tutt moment esten spetto al CM sano null M0 m 5 Avvcnamo le sfeette ad una ( + ) + m m dstanza da a con <. m < L s conseva L L ω ω m ω m ω L ω cost ω >ω ω ω > ω ω > ω n geneale ω ω 44

45 ω Momento angolae ed enega Nel caso vsto, anche se L è costante, la vaazone del momento d neza pota ad una vaazone della veloctà angolae ω >ω Questo dmosta: l ndpendenza della legge d consevazone del momento angolae da quella dell enega Nel sstema esamnato L s conseva, peò a dvese confguazon con lo stesso momento angolae cospondono enege dvese: l enega non s conseva C è una vaazone d enega cnetca uguale al lavoo delle foze centpete che può essee espessa come segue: W E k E k,fn E k,n L fn fn L n n A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 45

46 Esempo Un asta d massa m e d lunghezza l può uotae n un pano vetcale attono al suo estemo. Se vene lascata cadee, con veloctà nzale nulla dalla poszone ozzontale, quando aggunge la poszone vetcale ha una veloctà angolae ω e l suo cento d massa ha veloctà v CM ω e v CM s possono calcolae mponendo la consevazone dell enega meccanca: E n mgl E fn ω l + mg E n E l fn ω + mg mgl Con : 3 ml ω 3g l l v A. Romeo CM ω v CM gl

47 Equlbo statco d un copo gdo Pe un punto mateale s ha una condzone d equlbo statco, (coè se è n quete mane n quete) se la foza sultante R che agsce su d esso è nulla. R0 Nel caso d un copo gdo, pe esempo una bacchetta, la condzone che la foza sultante sa nulla è necessaa, ma non suffcente. nfatt l copo può uotae anche se foza sultante che agsce su d esso è nulla. F F F F (a) Le due foze F e F sono ugual ed opposte, ma la bacchetta non è n equlbo statco, peché queste foze tendono a fala uotae n senso oao (M coppa) (b) n questo caso, le due foze hanno la stessa etta d azone e qund non povocano la otazone della bacchetta M 0 A.Romeo Fsca de Ben Cultual-Dnamca 47

48 Equlbo statco d un copo gdo Pe cop estes, olte al modulo e alla dezone della foza, è natualmente mpotante anche l punto d applcazone. Ovveo pe l copo gdo è mpotante l momento esectato dalla foza Pe un copo gdo nzalmente n quete s ha equlbo statco se R 0 M 0 Dove R è la sultante delle foze estene: F R Condzon d equlbo statco pe l copo gdo Con R0 s ealzza l equlbo statco del cento d massa Con M0 non s ha moto otatoo v CM 0 ω 0 NOTA: s coda che se R0, M è ndpendente dal polo, qund se è nullo spetto ad un polo, lo è spetto a qualsas alto A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 48

49 La condzone d equlbo d un copo può essee d te tp: stable, nstable o ndffeente. Equlbo stable.l equlbo stable s ha se le foze o moment d foza sultant che nsogono a causa d un pccolo spostamento del copo spngono l copo ndeto veso la sua poszone d equlbo. P equlbo stable P A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 49

50 Equlbo nstable e ndffeente L equlbo nstable s ha se le foze o moment d foza che nsogono a causa d un pccolo spostamento del copo lo spngono lontano dalla sua poszone nzale. L equlbo ndffeente s ha quando, n seguto ad un pccolo spostamento del copo, non v sono foze o moment d foza sultant che tendano a potalo veso la sua poszone nzale o ad allontanalo da essa. equlbo nstable equlbo ndffeente A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 50

51 Equlbo: l poblema della scala Una scala unfome d 5 m pesa N ed è poggata conto una paete vetcale pva d attto. l pede della scala s tova a 3 m dalla paete. Qual è l mnmo coeffcente d attto ta la scala e l pavmento che mpedsca alla scala d slttae? Qual sono le foze n goco? 5 m N F P N 4 m La foza d gavtà P f La foza F esectata ozzontalmente dalla paete 3 m La foza esectata dal pavmento N La foza d attto f A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 5

52 l poblema della scala - contnuazone Condzone d equlbo: F 0 F 5 m N P N F f N f P N 4 m 3 m Poché non conoscamo né f né F, dobbamo usae la seconda condzone d equlbo e calcolae moment delle foze spetto ad un punto convenente. A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 5

53 l poblema della scala - contnuazone M 0 Sceglamo l punto d contatto ta la scala e l pavmento come polo peché N e f sono entambe applcate a questo punto qund l loo momento è nullo F l momento dalla foza d gavtà è negatvo (veso entante) ed l suo modulo è dato da: P L senθ.5 3/5 8 N m L.5 N θ θ P N 4 m l momento esectato da F postvo con l modulo: f 3 m F L sen(90 - θ ) F L cos θ F 5 4/5 F 4 N m A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 53

54 l poblema della scala - contnuazone M 0 Da ottenamo: F -8 Nm + F 4 m 0 F 4.5 N F deve essee uguale al modulo della foza d attto. F f f 4.5 N P N f Poché la foza d attto è legata alla foza nomale dalla elazone f µ s N s ha µ s f / N 4.5/ dove µ s è l coeffcente d attto statco. l mnmo coeffcente d attto ta la scala e l pavmento è: µ s A. Romeo Dnamca V - Copo gdo 54