Lavoro meccanico. definiamo lavoro elementare dl: segue che:

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1 avoo eccanco ds denao lavoo eleentae d: d d s ds cos x dx y dy z dz d ds segue che: ds d

2 avoo eccanco A ds B d d s denao lavoo coputo da una oza a A e B: AB B d s A B ds A B A x dx y dy z dz M l t U.M.: Joule

3 AB B d s A B A cosds B A x dx y dy z dz cas patcola: ) costante e unoe AB B d s A B A ds s.) costante e unoe con // A ds s B AB s

4 Esepo: Tazone su pano ozzontale con scvolaento 5 N 45 M kg s 5 v cost a R n g v s =? AB B d s A B A x dx y dy z dz = unoe l lavoo coputo da saà: s s cos 768 J questo ea una caso patcolae!

5 ) lavoo della oza peso P P g g ds P g g g dx g dy g x z y g z x dz P g dz gz g z z z z

6 ) lavoo della oza peso P P P g g z z gh z g z z x Esepo: scatoe M = 7 kg, scende da un altezza d h = :

7 ) lavoo della oza elastca el kx ds dx el k x dx el k xdx kx k x x x se, coe accade spesso: x = alloa: el kx k l

8 3) lavoo della oza d attto a 3.) attto statco ds ds (se l pano non s uove tangenzalente)

9 3) lavoo della oza d attto a 3.) attto dnaco d dr N d // ds d ds R d N ds d R N s sepe negatvo

10 3.) attto dnaco Pe uno spostaento ozzontale: A R n v B a s AB d R N s BA d R N s ABA R N s d x x

11 4) lavoo della eazone noale R N R n v a s R N ds R N R N ds (se l pano non s uove noalente)

12 Teoea del avoo e dell Enega Cnetca d ds a ds dv ds dt d ds v dt d vdv vdv v v T T T T v Enega Cnetca

13 Teoea del avoo e dell Enega Cnetca se c sono pù oze agent: tot v v T T T

14 scvolaento senza attto: R N tot T h g v tot P gh T v v v v gh v gh ndpendente dal pecoso!

15 Esepo ): = kg, v = /s K = N/? l k l v l v k el l v v v v v v T.3 v k Δ l v k l

16 Esepo 3): = kg, h = K = N/ v l? k h v l l

17 Esepo 4): = kg, v = /s K = N/ h? v l v k h l

18 Esepo 4): = kg, v = /s K = N/ v s? h v d s

19 Es. 5): = kg, R =.5, v = v? R N R N R N g g a n v R v R R N v g P gr v v gr R N g gr R 3g 94.3 N

20 Es. 6): l pendolo seplce T? T T g g sen a an v l v h T g l T g sen v l P gh gl sen v v glsen T gsen gsen 3gsen

21 9 Settebe Un autooble d assa M ena, a pate dalla veloctà nzale v, no ad aestas. Sapendo che a causa del scaldaento de dsch la oza enante dnusce con la dstanza pecosa (calcolata dal punto n cu nza la enata) secondo la legge (x) = exp(-kx), detenae la dstanza d aesto. a vettua s aesteebbe pe qualsas valoe d v? Peché? Esegue calcol pe: M = kg, v = /s, = 8 N, k =.3 -.

22 3.7. Un punto ateale d assa è stuato sul pano d una sltta, asslable a un paalleleppedo d assa M (ved gua) che s sta uovendo con veloctà v su un pano ozzontale lsco e senza attto. Il punto ateale è eo spetto alla sltta e qund s uove spetto al pano con la stessa veloctà della sltta. a punto ateale e pano della sltta v è un coecente d attto statco s. Ad un ceto stante la sltta colpsce l esteo d una olla ozzontale d costante elastca k ssata ad un vncolo che a deceleae l sstea no a ealo. Detenae l asso valoe d k anché l punto ateale est eo spetto alla sltta duante la deceleazone Eettuae calcol pe M =.8 kg, =. kg, s =.6, v = /s. M S v k

23 Potenza svluppata da una oza P d dt ds dt v v P Ml t 3 U.M.: Watt

24 Da zeo a cento 3 kg v v 7.8 /s t 4s P d dt? T v P t 9.8 kw CV

25 n salta a veloctà costante (senza attt) 3 kg v /s cost 3 v g v cost s g sen P 49. v gsen v 49. kw 67 CV.735

26 ) lavoo della oza peso P z P g z z z z gz gz non dpende dal pecoso x ) lavoo della oza elastca el el kx kx x x non dpende dal pecoso pe queste oze: U x U x

27 non è sepe così! pe esepo, abbao vsto che: 3.) attto dnaco Pe uno spostaento ozzontale andata e tono: A R n v v B a s ABA R N s d x x

28 oze consevatve: ds ds ovveo: non dpende dal pecoso U x, y, z Ux, y, z U U U U(x,y,z) Enega Potenzale della oza con U x, y, z ds U U

29 oze consevatve U(x,y,z) Enega Potenzale della oza U U U Ux, y, z ds U Ux, y, z cost pe la oza peso: P gz gz U U U x, y, z gz cost

30 lavoo della oza peso P z U gz cost U gz cost x U gz cost U gz cost g z z

31 oze consevatve U(x,y,z) Enega Potenzale della oza s d z y x,, U cost,, U U z y x U U U pe la oza elastca: k k el x x cost k,, U x z y x U U

32 peché «oze consevatve»? z y x z y x,, U,, U U U nolte: T T T T U U U T U T cost cost E E U T E Enega eccanca totale

33 «Se n un sstea agscono solo oze consevatve l enega eccanca s conseva» E cost U T E E U T U T cost Teoea della consevazone dell enega (eccanca) v T,, U U z y x

34 a consevazone dell enega nel pendolo seplce E T U cost E U ax gh ax E U ax gh ax h ax E T ax v ax E T U gh v E T U U ax T ax cost

35 a consevazone dell enega nell oscllatoe aonco E T U cost x ax E U ax kx ax k l x E T ax v ax -x ax E U ax kx ax

36 kg, kg, h., v v? h v v E = E T U U T U U T T gh v v gh v g h.8 /s

37 Se n un sstea agscono anche oze non consevatve: E nc E nc U T Pe esepo, n pesenza d attto: E att E U T att U T dss att E E

38 Un punto ateale d assa =. Kg scvola lungo un polo lsco (senza attto) ccolae d = c patendo con veloctà tascuable (v ) da un punto P posto sulla sotà. P

39 Appello del 8.. Un punto ateale d assa è appoggato, nzalente n quete, nel punto A d una guda lsca coposta (ved gua) da un tatto ozzontale AB d lunghezza seguto da un tatto d cconeenza d aggo R posto nel pano vetcale. Nel cento O del tatto ccolae è ssato un esteo d una olla d costante elastca k e lunghezza a poso nulla, avente l alto esteo ssato alla assa. Detenae ) la veloctà con cu la assa gunge n B, ) l punto n cu la assa s stacca dalla guda, ndvduato tate l valoe dell angolo α n gua. Eettuae calcol pe = c, k= 5.88 N/, R= 5 c, = g. A B R O

40 7 ebbao 3 Una assa puntoe è nzalente n quete su un pano ozzontale con coecente d attto dnaco d. Alla assa vene applcata all stante t = una oza ozzontale con dezone e veso costant e l cu odulo vaa nel tepo secondo la legge = cos(kt). S deten, al tepo : a) la veloctà d ; b) l lavoo coputo dalla oza d attto; c) l lavoo coputo dalla oza applcata. Esegue calcol pe: = s, = kg, d =., = 4 N, k = - ad/s.

41 Eseczo Una assa puntoe è nzalente n quete ad un altezza h dall esteo lbeo d una olla a poso dsposta n vetcale su un pano ozzontale. a assa vene lascata cadee sulla olla. Detenae la assa copessone l ax della olla. Esegue calcol pe: = kg, h =., k = N/. h l l ax

42 oza ed Enega Potenzale U d du d d s x dx y dy z dz du du x dx y dy z dz è un deenzale totale se: x y z U x, y, z x Ux, y, z y U x, y, z z

43 oze poszonal z y x,, x,y,z x,y,z x,y,z z z y y x x coè: z x

44 oze poszonal: le oze cental x,y,z x,y,z x,y,z z z y y x x coè: ˆ ) ( con seta adale ) ( O

45 oze poszonal: le oze cental x,y,z x,y,z x,y,z z z y y x x coè: ˆ ) ( con seta adale ) (

46 oze cental ( ) ˆ dbo dt d v dt v M O cost ( ) v O le oze cental consevano l oento angolae

47 oze cental ( ) ˆ A A calcolao l lavoo coputo: B B O AB B d s A B A ( ) d s B A ( ) d ( B ) ( A ) ( ) U( ) le oze cental sono consevatve

48 oze cental a dstanza esepo: oze d gavtazone unvesale, G u, G 6.67,, 3 kg s û,,,

49 oze cental «a dstanza» oze d gavtazone unvesale G, G 6.67,, 3 u kg, s û, v v,, se M esta ea sente una oza centale

50 oze d gavtazone unvesale, G u, v,, M se M esta ea sente una oza centale

51 oze cental «a dstanza» oze d gavtazone unvesale, le soluzon sono delle conche: ) ellss G u, a v a M

52 oze cental «a dstanza» oze d gavtazone unvesale G le soluzon sono delle conche: ) ellss ) paabole M a v M

53 oze cental «a dstanza» oze d gavtazone unvesale G le soluzon sono delle conche: ) ellss ) paabole 3) pebol M a v M

54 oze cental «a dstanza» oza d gavtazone unvesale G le soluzon sono delle conche: ) ellss ) paabole 3) pebol M a v a M counque: G M a a an ˆn

55 oza d gavtazone unvesale G M e te legg d Kepleo: ) le obte de panet sono ellttche ) la veloctà aeolae è costante v cost a v a M 3) T a 3 cost K

56 oza d gavtazone unvesale G M a 3) T a 3 cost K v pe obte ccola: v v b cost M v cost a a n G M T k v 3

57 Peché la luna non cade sulla tea, P G G M M T T a g v v g G M T T 9.8 /s M T pondeabltà

58 oza d gavtazone unvesale: l enega potenzale AB B A B d s A B A M G d s M M G d G B A A O A B B GM GM B A U U A B GM U( ) cost U( ) GM

59 oza d gavtazone unvesale: l enega eccanca totale U( ) GM E T U v G M cost A v G M A v B G M B cost

60 A) enega eccanca negatva E v G M GM all nnto saebbe: U( ) E v G M v assudo, qund: l satellte non ava all nnto, ane su obte chuse coè taettoe ellttche (ccola)

61 B) enega eccanca postva o nulla E v G M GM all nnto saebbe: U( ) E v possble, qund: M G v l satellte ava all nnto con obte apete taettoe paabolche se E = taettoe pebolche se E >

62 v v E M G oza d gavtazone unvesale: la veloctà d uga obte apete, ovveo che avano all nnto: ) U( GM chedono un enega eccanca postva: v M G e qund una veloctà nzale d uga tale che: v v M G

63 veloctà d uga dalla Tea: E v G M T v G M v v GM T. k/s 43 v v k/h T

64 Satellt geostazona G M geos a geos G M T T 4 h geos

65 Satellt geostazona G M geos a geos geos 3 G M T 468 k geos