7 DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

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1 7 DINAMICA DEL CP IGID Pe copo gdo s ntende un sstea d punt ateal caatteat dal fatto che le loo utue dstane s antengono costant nel tepo ndpendenteente dalle eventual sollectaon a cu è soggetto l sstea Sebbene tale sstea costtusca un astaone esstono nueos cas patc che soddsfano le popetà d un copo gdo n cospondena d pccole sollectaon Pe sste costtut da un nueo olto gande d punt coe nel caso de cop sold sulta oppotuno ntodue una gandea che caatte la dstbuone delle asse nel copo Consdeao un eleento d volue nfnteso dv del copo e sa d la assa contenuta n tale volue; s defnsce denstà del copo la quanttà: d ρ dv dove l volue dv deve essee suffcenteente gande da contenee un nueo elevato d olecole costtuent l copo a abbastana pccolo peché le popetà del copo s possano tenee patcaente unfo n esso Dalla pecedente defnone segue che la assa del copo può espes coe: = ρ dv V In patcolae se ρ è unfoe la assa vale ρv e petanto: ρ = V dv d Le denson della denstà sono l appoto ta una assa ed un volue e nel sstea SI s sua 3 n kg 7 Moto d un copo gdo Tattandos d un copo esteso l oto d un copo gdo è detenato dalle foe estene che agscono su d esso e sono n geneale applcate n punt dves del copo L nsee delle foe ( ext ) agent è caatteato da una foa sultante F e da un oento sultante τ ( ext) ndpendent ta loo Inolte antenendos nvaate le utue dstane ta le patcelle che lo copongono l lavoo delle foe ntene al copo gdo è nullo pe cu è solo l lavoo delle foe estene a podue la vaaone dell enega cnetca del copo gdo Petanto n quest abto d studo non è necessao dstnguee le foe ntene da quelle estene essendo solo queste ulte a detenae la dnaca del copo gdo e s faà a eno dell ndcaone " ext " n cospondena de vetto che stablscono la dnaca del copo

2 7- Dnaca del copo gdo S defnsce oto gdo d un sstea d punt un oto duante l quale esta nvaata la dstana ta le coppe d punt che lo costtuscono Gl spostaent gd eleenta sono la taslaone e la otaone Pe taslaone d un copo gdo s ntende l oto gdo che lasca nvaata la tena 'x'y'' soldale al copo spetto a quella d un feento fsso xy Ne segue che l vettoe spostaento è lo stesso pe ogn punto del copo e d conseguena la veloctà e l acceleaone d tutt punt sono le stesse ad ogn stante Lo studo d questo oto può petanto condus allo studo del oto d un qualsas punto del sstea o eventualente al oto del cento d assa anche se tale punto non appatene fscaente al sstea a counque s antene fsso spetto ad esso Pe otaone d un copo gdo s ntende l oto che lasca nvaata la posone de punt d una etta denonata asse d otaone In tale caso lo spostaento subto dal geneco punto P del sstea dpende dalla sua dstana dall asse d otaone uu Se quest asse è fsso la taettoa d P saà un aco d cconfeena otogonale all asse d otaone e d aggo pa alla dstana del punto dall asse Se la posone d P è feta ad un punto dell asse uu edante l vettoe d posone lo spostaento nfnteso d detenato da una otaone d vettoe dϑ è: dj f u u dj P d v d = d ϑ così ntodotta la veloctà angolae ω pa a d ϑ dt dalla elaone (8) la veloctà del punto s scve: d dϑ v = = = ω dt dt e ntodotta l acceleaone angolae α pa a d ω dt dalla elaone (30) l acceleaone del punto s scve: dv d a = = ( ω ) = α + ω v = α + ω ( ω ) dt dt n cu α è l acceleaone tangenale e ω ( ω ) è l acceleaone centpeta d odulo ω snφ dove φ è l angolo ta la deone dell asse uu e quella del vettoe Se s consdea l oto gdo d un copo spetto ad un feento fsso xy detto 'x'y'' un sstea d feento con ogne nel punto del copo ed appatenente all asse non fsso d otaone pe la legge d coposone delle veloctà la veloctà v d un geneco punto d posone spetto ad vale: v = v + ω y y x x y' x' y' x' x' y' x' y' Il vettoe dϑ assocato alla otaone è un vettoe d odulo pa allo spostaento angolae nfnteso dϑ deone concdente con l asse d otaone e veso detenato dal senso d otaone n base alla egola della ano desta

3 Dnaca del copo gdo 7-3 coè lo spostaento eleentae vdt che caattea cascun punto del copo è coposto da una taslaone con veloctà v ed una otaone d veloctà angolae ω Le equaon che descvono l oto d un copo gdo sono le elaon (49) e (434): dp = F dt dl = τ dt dove p ed L appesentano spettvaente la quanttà d oto totale del sstea ed l suo oento angolae totale ente F è la sultante delle foe estene e τ è l oento sultante delle foe estene Sa L che τ sono fet allo stesso polo genealente l cento d assa che può essee fsso oppue n oto spetto ad un oppotuno sstea d feento neale Se la assa del copo è costante dall equaon (49) e (65) segue: dove v dv dt = F è la veloctà del cento d assa Esepo: Stablao l oento angolae d un anello sottle oogeneo d assa e aggo che uota con veloctà angolae ω attono ad un asse passante pe l cento dell anello e pependcolae al suo pano L espessone del oento angolae nel caso dsceto: n L = v = ( ) vene genealata al caso contnuo dentfcando la assa con l eleento nfnteso d assa d dell anello Se e v sono spettvaente l vettoe posone e la veloctà d d spetto ad un sstea d feento neale con ogne nel cento dell anello l oento angolae s scve: L = v d ; w v d vetto e v sono pependcola ta loo così L è detto lungo l asse; nolte pe cascun eleento d l odulo de vetto e v è costante e n patcolae sulta: = v = ω = ω così l odulo del oento angolae vale: L= d = d = ω ω ω La quanttà è una popetà dell anello elatva al patcolae asse d otaone scelto Vettoalente la elaone pecedente s espe: L = ω

4 7-4 Dnaca del copo gdo v d Esepo: Valutao l oento angolae d un dsco sottle oogeneo che uota nelle stesse condon del pecedente esepo Sa l suo aggo ed la sua assa In tal condon l oento angolae eleentae dl dell eleento d del dsco vale: dl = v d dove e v sono spettvaente la dstana dall asse e la veloctà dell eleento d Qund sccoe v = ω s ha: dl vd ωd ω d ω σds = = = = dove σ è la denstà supefcale del dsco pa a: σ = = S π L eleento d supefce ds può espes coe: ds = dφd così sosttuendo: df ds d 3 dl ω σdφd ωσ dφd = = Integando questa espessone s ha: = ω π π πω 4 πω 4 4 π o o L = ω σ ds = ωσ dφd = dφ ωσ d = πωσ d = πωσ = σ = = S Lo stesso sultato poteva consegus a pate da quanto ottenuto nell esepo pecedente consdeando l dsco coe coposto da nfnt anell d assa d Il oento angolae d cascun anello è: dl = d ω ds dove d può espes tate la denstà supefcale σ coe: d = π σ d così sosttuendo s ottene: d 3 dl πσ ω d πσ ω d = = che pota a quanto gà tovato 7 Cento d assa d un copo contnuo V Consdeao un copo gdo d assa e denstà ρ Estendendo a tale copo la defnone d cento d assa pe un sstea d punt ateal possao espee tale gandea coe la soa d nfnt vetto dassocat all eleento nfnteso d assa d spetto ad un oppotuno sstea d feento dvsa pe la assa x y d

5 Dnaca del copo gdo 7-5 Petanto: d = ρ dv d V essendo d pa a ρ dv Se l copo è oogeneo ovveo se ρ è ndpendente dalla posone la posone del cento d assa non dpende dalla assa del copo a solo dalla sua foa cò n quanto è la eda del vettoe calcolata sul volue V del copo: ρ = ρ dv dv dv = = V V V V essendo ρ unfoe Così ad esepo pe una sbaetta oogenea l cento d assa è stuato nel punto edo Inolte pe un copo oogeneo setco spetto ad un punto un asse o un pano l cento d assa concde con l cento d seta o è un punto del pano o dell asse d seta Infne se esstono pù ass o pan d seta l cento d assa è stuato sulla loo nteseone Ad esepo n un tangolo c sono te ass d seta costtut dalle te edane così l cento d assa è stuato all nteseone d quest te ass Esepo: Consdeao una sbaetta oogenea d lunghea l seone a e denstà lneae λ La assa d tale copo vale qund: = λ l; d x l x l eleento d assa d s scve: d = λ dx così: l l l x = x d x dx x dx = λ λl = l = = l 0 0 l coè n accodo con quanto antcpato l cento d assa della sbaetta è stuato nel suo punto edo Esepo: Consdeao una lana tangolae oogenea d assa altea h e base b La denstà supefcale vale: y σ = S = bh h dove S è la supefce del tangolo Dalla geoeta del sstea segue che l odnata y dell eleento d supefce ds vale: dy ds y h y = x b così l eleento d s scve: b σ b d = σds = σxdy = σ y dy = ydy h h - b x b x

6 7-6 Dnaca del copo gdo e l odnata y del cento d assa vale: h h 3 b h σbh bh h h h 3 3 S 0 0 y = yd = yds = y ydy = y dy = = h ; ovvaente sulta x = 0 73 otaon gde attono ad un asse fsso Consdeao un copo gdo n otaone attono ad un asse fsso n un sstea d feento neale Sccoe punt dell asse sono fss convene adopeal pe l calcolo de oent; consdeao qund un sstea d feento neale con l asse concdente con l asse d otaone n odo che l vesoe ẑ valga ω ω Il oento angolae d un geneco punto P del copo è: L w J p -J P v y L = v ; ( ) x tale vettoe è otogonale al pano defnto da e v e la sua deone foa con l asse un angolo pa a π ϑ dove ϑ è l angolo copeso ta la deone d e quella dell asse L angolo ta le deon de vetto e v è d π nolte dalla (8) l vettoe v può espes attaveso la veloctà angolae coe ω pe cu n odulo vale sn ω ϑ = ω dove snϑ è la poeone d x + y La poeone del oento angolae L lungo l asse d otaone è detta oento angolae assale e s espe coe: pependcolaente all asse pa a ( ) π L = L cos ϑ = Lsn ϑ = sn ϑ ω = ω Petanto l oento angolae assale totale del copo è dato da: L = L = ω = Iω dove la gandea (7) ( ) (7) I = x + y pende l noe d oento d nea del copo spetto all asse Tale quanttà che espe la elaone d popoonaltà ta l oento angolae assale e la veloctà angolae dpende sa dalla assa de sngol punt che dalla loo dstana dall asse d otaone

7 Dnaca del copo gdo 7-7 In geneale l vettoe oento angolae del copo gdo L non è paallelo al vettoe w ω a è caatteato da un oto n cu l esteo lbeo uota attono alla deone d ω ossa L cope un oto d pecessone La coponente paallela all asse d otaone è detta coe ω e può vaae solo n odulo e L J L non dpende dal polo scelto; la coponente pependcolae all asse d otaone vaa n deone può vaae n odulo dpende dalla scelta del polo e n odulo vale Lcosϑ = ωcosϑ L ^ Quando l copo pesenta un asse d seta e la j otaone avvene attono a tale asse pe ogn eleento del copo l cospondente vettoe L ha un vettoe setco L j assocato all eleento L L j daetalente opposto a quello dato spetto l asse In questo caso l vettoe oento angolae del copo è oentato lungo l asse d otaone e petanto sulta paallelo a ω S può dostae che pe ogn copo ndpendenteente dalla foa esstono te deon utuaente pependcola tal che l oento angolae è paallelo all asse d otaone Queste deon sono denonate ass pncpal d nea ed cospondent oent d nea sono dett oent pncpal d nea Gl ass pncpal concdono con alcun degl ass d seta qualoa l copo posseda qualche seta Ad esepo n una sfea tutt gl ass passant pe l cento sono ass pncpal o n un copo a seta clndca sono ass pncpal l asse d seta e tutt gl ass ad esso pependcola La elaone scalae (7) nel caso d otaon ntono ad un asse pncpale può essee espessa nella foa vettoale L = Iω n cu I è l cospondente oento pncpale d nea In questa ccostana se L è vaable la devata dl dt è paallela a ω e sccoe tale devata dalla (434) è uguale al oento delle foe estene τ che causa la vaaone d L l oento τ è detto coe l vettoe ω Se nvece L è costante anche ω lo è; natualente nel caso eale sul sstea agsce un oento d attto che tende ad annullae la otaone pe cu affnché L est costante è necessao che sul sstea agsca un oento uguale ed opposto a quello detenato dalle foe d attto Esepo: Consdeao l sstea d fgua n cu due sfee ugual d assa sono collegate da un asta gda d lunghea Supponao che nalente l sstea uot attono ad un asse passante pe l punto edo le sfee pependcolae all asta gda con veloctà angolae ω Il oento angolae d cascuna sfea vale: L = ( v ) L = v ; ( ) quest vetto sono ugual così dalla (8) sccoe v = ω s ha: essendo ω = 0 L = L = ( v ) = ( ω ) = ( ) ω ( ω) = ω (73) poché è pependcolae a ω ; qund l oento angolae è un vettoe d odulo pa a ω e paallelo alla veloctà angolae ovveo l sstea uota attono ad un asse pncpale ed l oento d nea vale Supponao che l sstea sa odfcato n odo che l asta fo un angolo ϑ con l asse d otaone In questo caso l oento angolae del sstea dventa: v L w v

8 7-8 Dnaca del copo gdo L = L = ( v ) = ( ω ) = ( ) ω ( ω) = = cos ; ω ω ϑ n tale ccostana sccoe vetto e ω non sono pependcola ( ϑ π ) l secondo addendo d questa espessone non è nullo pe cu L e ω non sultano paallel Il odulo del oento angolae totale può essee dedotto dalla elaone pecedente essendo: L = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ω ωcosϑ ω cos ϑ ω sn ϑ che concde col valoe pecedente se ϑ = π Il fatto che L e ω non sono paallel ndca che la otaone non avvene attono ad un asse pncpale In questo caso la coponente d L nella deone d ω (asse ) ha odulo: π ϑ ϑ ω ϑ L = Lcos = Lsn = sn così ndcato con I l oento d nea del sstea spetto all asse sulta: I = sn ϑ Nel oto d otaone delle due sfee n questo secondo caso l oento angolae pecede attono alla deone del vettoe ω e a dffeena del caso pecedente non è costante Dalla elaone (434) dl = τ dt F F t t t cò plca che sul sstea agsce un oento τ Su cascuna assa sono pesent sa la foa peso che la foa centpeta tuttava la pa detena un oento totale nullo così l oento τ è ognato dalle sole foe centpete Questo vettoe è detto pependcolaente all asse d otaone l suo esteo lbeo descve una taettoa ccolae se ω è costante e l suo odulo vale ω snϑcosϑ L effetto d tale oento è quello d antenee fsso l asse d otaone coè la deone d ω petanto l sstea che gaantsce questo tpo d oto deve essee n gado d fone questo oento ovveo l suppoto dell asta deve pote esstee alla sollectaone detenata da τ Ad esepo pe evtae questa sollectaone le uote delle autoobl chedono una equlbatua che fa sì che l asse d otaone concda con un asse pncpale d nea vvaente se l sstea fosse n quete esso saebbe n equlbo puché la eaone del vncolo sa esattaente uguale e contaa al peso; cò spega peché l equlbatua delle uote delle autoobl va fatta quando le uote sono n ovento Se ad esepo l suppoto che antene nclnata l asta vene a opes ossa l sstea cessa d fone l oento τ dalla (434) l oento angolae dvene costante e l sstea s pone n otaone ntono ad un asse pependcolae all asta coe nel caso pecedente Nella elaone (434) decoponendo l oento angolae L coe: L = L + L L w v segue: τ dl dl dl dt dt dt = = + ; d alta pate sccoe L è costante sulta dl dt = 0 così: J dl τ = dt v dove L ha l odulo costante e pa a ω snϑcosϑ e l esteo lbeo n otaone attono all asse

9 Dnaca del copo gdo Calcolo del oento d nea Il oento d nea spetto ad un asse (asse ) d un sstea d punt ateal n post alle dstane n dall asse è dato dalla elaone (7) attaveso la quale è possble dedue che tale gandea calcolata spetto ad un asse d un copo fonsce una sua d quanta assa del copo dsta dall asse Consdeao un copo contnuo d denstà ρ volue V e assa ; l contbuto d un eleento d del copo al calcolo del oento d nea spetto ad un asse (asse ) è d dove è la dstana dell eleento dall asse D alta pate la assa dell eleento d è pa a ρ dv così l oento d nea del copo contnuo può espes coe: x y 4 x 4 y I = dµ = ρdv V e poché = x + y s ha anche: ( ) I = x + y ρdv V v Dal fatto che l oento d nea vene defnto attaveso soatoe o ntegal segue che s tatta d una gandea addtva petanto se l copo sulta costtuto da pù pat l oento d nea totale spetto ad un asse è pa alla soa de oent d nea paal calcolat tutt spetto allo stesso asse Fssato un asse l calcolo del oento d nea d un copo pocede n anea analoga a quanto vsto elatvaente al cento d assa x y d x y dl Esepo: Consdeao un anello sottle d aggo e assa Se λ appesenta la denstà lneae dell anello pa a: λ = π l eleento nfnteso d assa d può espes coe λ dl petanto l oento d nea dell anello spetto ad un asse passante pe l suo cento e pependcolae al suo pano è: π 3 I = dµ = λdl = π λ = π = π 0 Esepo: Consdeao un gusco clndco sottle d aggo altea h e assa Se σ appesenta la denstà supefcale del gusco pa a: ds σ = π h h l eleento nfnteso d assa d può espes coe σ ds petanto l oento d nea del gusco spetto al suo asse è:

10 7-0 Dnaca del copo gdo 3 I = dµ = σ ds = πh σ = π h = π h S Esepo: Consdeao un dsco oogeneo d aggo spessoe h e assa La denstà (voluetca) vale: ρ = π h dv h così l eleento nfnteso d assa d del dsco può espes coe ρ dv e petanto l oento d nea del dsco spetto al suo asse è: π π µ φ ρ ρ φ ρ π π 4 π h I = d = hd d = h d d = h = h = (74) Esepo: Consdeao un asta sottle d lunghea d e assa La denstà lneae λ dell asta vale d pe cu l oento d nea spetto ad un asse pependcolae all asta e passante pe l suo cento vale: d d d d d I = dµ = λd = λ + = = d 4 4 d d (75) Nella tabella seguente è ndcato l oento d nea d alcun cop d assa elatvaente a specfcat ass Copo Asse Moento d nea Asta sottle unfoe Asta sottle unfoe Foglo ettangolae sottle d lat a e b Foglo ettangolae sottle d lat a e b Foglo ccolae sottle d aggo Foglo ccolae sottle d aggo Anello ccolae sottle d agg e Anello ccolae sottle d agg e Sfea d aggo Gusco sfeco sottle d aggo edo Clndo ccolae etto d aggo e lunghea l Clndo ccolae etto d aggo e lunghea l Pependcolae all asta e passante pe un esteo Pependcolae all asta e passante pe l cento Passante pe l cento e pependcolae a b Passante pe l cento e pependcolae al foglo Passante pe l cento e pependcolae al foglo Passante pe un qualsas daeto Passante pe l cento e pependcolae al pano dell anello Passante pe un qualsas daeto Passante pe un qualsas daeto Passante pe un qualsas daeto Passante pe l asse longtudnale Passante pe l daeto tasveso l 3 l a a b l + 4

11 Dnaca del copo gdo 7-75 Teoea d Huygens-Stene Il calcolo del oento d nea d un copo spetto ad un asse può sultae patcolaente coplesso qualoa l asse n questone non è un asse d seta S ossev coe negl esep pecedent l calcolo del oento d nea sulta seplce n quanto l asse passa pe l cento d assa de va cop Tuttava oent d nea spetto ad ass paallel ad uno passante pe l cento d assa sono legat attaveso una foula patcolaente seplce Consdeao un copo d assa e calcolao l oento d nea spetto ad un asse (') passante pe l cento d assa Pe un eleento d assa del copo posto a dstana dall asse ' l oento d nea spetto a tale asse vale x + y essendo spetto al cento d assa l elatvo oento d nea del copo I vale: ovveo ( ) ( ) (76) I = = x + y Con feento alla fgua l oento d nea spetto all asse paallelo a ' è dato dalla elaone (7); d alta pate poché y può espes coe y + d dove d è la dstana dell ogne del sstea xy dal cento d assa del copo e nolte x è uguale a x la elaone (7) può espes coe: pa a ( ) ( ) ( ) ( x y ) d y d I = x + y = x + y + d = x + y + yd + d = = x + y ; petanto In questa elaone dalla (76) l po addendo è l oento d nea spetto al cento d assa; l secondo addendo è nullo essendo pa alla coodnata y del cento d assa y spetto al sstea d feento del cento d assa; nfne l ulto addendo vale d petanto: x x x' d ' x P y º y yº y' I I d = + ; (77) da tale sultato che pende l noe d teoea d Huygens-Stene segue che una volta noto l oento d nea I spetto ad un asse passante pe l cento d assa è possble cavae l oento d nea spetto ad un qualsas asse ad esso paallelo S not nfne che l oento I è sepe aggoe d I Esepo: Facendo uso del sultato ndcato dalla elaone (75) attaveso l applcaone del teoea d Huygens-Stene è possble detenae l oento d nea d un asta sottle spetto ad un asse pependcolae all asta e passante pe un suo esteo Indcando con I l oento d nea spetto all asse passante pe l cento d assa ( ) d dalla (77) segue: d + 3 I = I + = d + d = d = d 4 3 d

12 7- Dnaca del copo gdo 76 Equaon del oto d un copo gdo Il oento angolae totale d un sstea d patcelle e l oento della sultante delle foe agent su d esso entab calcolat spetto ad un punto n quete spetto ad un sstea d feento neale sono legat ta loo dalla elaone (434): dl =τ dt La valdtà d tale espessone s estende ovvaente anche al caso n cu la utua dstana delle patcelle che costtuscono l sstea ane nvaata duante l oto ovveo se l copo è gdo Supponao che l copo gdo sa posto n otaone attono ad un asse pncpale pe cu vale la elaone (73) alloa sosttuendo nella (434) s ottene: d I dt ( ω) = τ Se l asse esta fsso duante l oto l oento d nea I non vaa pe cu: dω I = τ dt e ndcando con α l acceleaone angolae d ω dt segue: Iα = τ (78) Questa elaone appesenta l equaone del oto d otaone d un copo gdo S not l analoga con l equaone del oto d una patcella (4) dove tuttava a dffeena d I non appesenta una popetà ntnseca del copo a dpende dalla posone dell asse d otaone Se τ è nullo l podotto Iω s antene costante e se I è costante ne segue che anche ω è costante coè n assena d oent esten un copo gdo che uota attono ad un asse pncpale s uove con veloctà angolae costante Tale popetà costtusce pe l oto otatoo un analogo della legge d nea S ossev nfne che n assena d oent esten se I è vaable ω deve vaae n sua tale che l podotto Iω s antenga costante; coè se ad esepo I auenta ω deve dnue e vcevesa Qualoa l oto non avvenga attono ad un asse pncpale vale la elaone (7) n cu l asse appesenta l asse d otaone ( ẑ = ω ω) pe cu dalla poeone della (434) lungo l asse d otaone dl dt = τ segue: ( ω) d I dt = τ e se l oentaone dell asse è fssa spetto al copo n odo che I est costante s ha:

13 Dnaca del copo gdo 7-3 I dω = τ dt ovveo I α = τ che s dstngue dall espessone (78) n quanto τ è la coponente del oento totale delle foe estene nella deone dell asse d otaone e non l oento totale τ In questo caso l alta poeone dell equaone (434) nella deone otogonale all asse d otaone dl dt = τ non povoca alcuna vaaone d α a detena l oto d pecessone del vettoe L gà desctto Se l cento d assa non è stuato sull asse d otaone tale punto descve una cconfeena sul pano pependcolae all asse con cento nell nteseone ta tale pano e l asse Dalla elaone (3) l acceleaone del cento d assa vale: α ˆ ω ˆ a = t + n dove è la dstana del cento d assa dall asse d otaone w 77 Enega cnetca d otaone L enega cnetca pe un sstea d patcelle vale: E = v k n patcolae pe un copo gdo n otaone attono ad un asse () con veloctà angolae ω la esa patcella è caatteata da una veloctà v pa a ω dove è la dstana d tale patcella dall asse Petanto: ( ) Ek = v = ω = ω così facendo uso della elaone (7) se I è l oento d nea del copo spetto all asse d otaone s ha: E k = I ω (79) nfne se l oento angolae L è paallelo a ω dalla (73) segue:

14 7-4 Dnaca del copo gdo E k L = I altent vale la sola elaone (7) e qund Ek = L I Dal teoea dell enega cnetca segue che l lavoo nfnteso dw che occoe copee pe vaae l enega cnetca del copo d una quanttà de k è pa a de k stesso petanto dalle elaon (30) e (79) s ha: dϑ dw = dek = d I ω = I ωdω = I αdt = I αdϑ = τdϑ; dt n patcolae l lavoo della coponente lungo l asse d otaone τ del oento delle foe estene τ necessao pe uotae l sstea da un angolo ϑ ad un angolo ϑ vale: W ϑ = τ dϑ ϑ Pe l teoea dell enega cnetca tale lavoo è pa alla vaaone d enega cnetca: W = Ek = Iω Iω Se vale la (73) alloa τ = I α pe cu dw è pa a τ dϑ Infne se le foe estene sono consevatve l lavoo W può espes coe vaaone Ep dell enega potenale totale e l enega eccanca totale E = I ω + E p esta costante duante l oto Se l asse d otaone del copo d assa è posto a dstana d dal cento d assa sosttuendo l espessone (77) del teoea d Huygens-Stene nella elaone (79) s ottene: E ( ) ( ) k = Iω = I + d ω = Iω + ωd ; d alta pate l podotto ω d è pa alla veloctà del cento d assa v petanto: Ek = Iω + v Coè se l cento d assa non è stuato sull asse d otaone ovveo se d 0 e qund v 0 n accodo col teoea d Köng l enega cnetca del sstea è soa dell enega cnetca E pa a ( ) I pa a ( ) v Infne se le foe sono consevatve la quanttà: ω del oto spetto al cento d assa e dell enega cnetca del cento d assa E k k

15 Dnaca del copo gdo 7-5 Ek = Iω + v + Ep s antene costante Esepo: Un dsco d aggo pa a 05 e assa d 0 kg può uotae lbeaente attono ad un asse passante pe l suo cento Stablao l acceleaone angolae e la veloctà angolae dopo s dall applcaone d una foa d 98 N tate una cngha avvolta attono al bodo del dsco supponendo che la veloctà angolae nale sa nulla Con feento alla fgua s osseva che le foe estene agent sono la foa d taone F l peso Mg e le eaon de vncol F Calcolando oent spetto al cento d assa s tova che solo F ha oento τ dveso da eo petanto sccoe l asse ' è un asse pncpale segue: τ = Iα dove l odulo del oento τ vale: τ = F e dalla elaone (74) l oento d nea I del dsco vale: a F F F M g ' I = M così: F α = M 96 ad s Dopo s dall applcaone della foa sccoe α = dω dt e la veloctà angolae nale è supposta nulla s ha: ω = ω + α dt = αt 39 ad s 0 t 0 Poché l cento d assa è fsso la sua acceleaone è nulla petanto dal blanco delle foe agent sul sstea segue che: F F g = 0 e qund F = ( F + Mg) 09 N Esepo: Nelle stesse condon dell esepo pecedente calcolao l acceleaone angolae del dsco nell potes che alla cngha sa applcato un copo d assa pa a kg L equaone del oto della assa è: a = g F dove F è la taone esectata sul dsco dal copo e d conseguena F è la eaone che l dsco esecta sul copo L acceleaone a può espes coe α ; nolte l equaone del oto del dsco è: a F F F g F M g '

16 7-6 Dnaca del copo gdo Iα = τ dove ( ) I = M e τ = F così sosttuendo s ha: da cu segue: α = g Mα g α = + M ad s 80 S not che sebbene l peso g valga 98 N l acceleaone angolae che s ottene è noe spetto al pecedente sultato Cò n quanto l copo nel suo oto esecta una foa F sul dsco che d conseguena esecta una foa F uguale sul copo a detta veso l alto Sccoe l copo cade con oto acceleato deve sultae: F < g = 98 N e qund l oento agente sul dsco è noe L acceleaone del copo veso l basso ha odulo pa a: g a = α = s + M 090 e l ntenstà della foa F vale: F = ( g a) = 89 N nfne le eaon del vncolo hanno ntenstà pa a: F = ( F + Mg) = 04 N Esepo: Un dsco con le stesse caattestche d quello dell esepo pecedente è dsposto coe n fgua Stablao l acceleaone angolae e quella veso l basso del cento d assa Anche n questo caso l asse d otaone ' è un asse pncpale qund sulta: Iα = τ dove ( ) I = M e τ = F così sosttuendo s ha: a F ' F = Mα M g Il cento d assa n questo caso non è feo a s uove d oto acceleato soddsfacendo all equaone: dove a = g F a = α Qund sosttuendo nell equaone del oto s ottene:

17 Dnaca del copo gdo 7-7 Mα = Mg Mα da cu segue g α = = 36 ad s 3 e l acceleaone a vale a s = α = 653 che è ndpendente dalla assa e olto noe dell acceleaone d caduta lbea Il cento d assa s uove qund d oto unfoeente acceleato 78 Moto d puo otolaento Consdeao un copo d foa clndca stuato su un pano e n ovento spetto ad esso Tale oto può esplcas secondo te odaltà: Moto d taslaone: Le veloctà d tutt punt del copo sono ugual ta loo e paallele al pano; n questo caso s dce couneente che l copo n questone stsca sul pano Moto ototaslatoo: Il copo otola sul pano e punt d contatto hanno veloctà dvesa da eo spetto al pano 3 Moto d puo otolaento: I punt d contatto ta copo e pano pesentano una veloctà nulla spetto al pano In questo abto affontao lo studo del teo caso cospondente ad esepo al oto d una uota In tale ccostana l oto può essee consdeato coe un oto d otaone seplce ntono ad un asse paallelo all asse della uota e concdente ad ogn stante con la lnea d contatto con l pano (asse stantaneo d otaone) P v Coe evdena la pa fgua le veloctà de punt della uota sono n cascun punto noal alla congungente l punto con la tacca dell asse d otaone ed hanno ntenstà pa a ω P Questa dstbuone stantanea d veloctà s può ottenee sovapponendo una dstbuone unfoe n cu tutt punt s uovono con veloctà v popa dell asse della uota ed una otaone ntono all asse della uota con veloctà angolae ω Affnché stante pe stante l punto est feo sulla uota deve age una foa; sccoe l punto è feo la foa è una foa d attto statco che s esecta ta l pano e la uota La veloctà d un punto P del copo posto a dstana dal cento d assa s scve coe:

18 7-8 Dnaca del copo gdo v = v + ω P ovveo coe soa della veloctà del cento d assa e della veloctà d P spetto al cento d assa La condone affnché s abba un oto d puo otolaento è che la veloctà v de punt stuat sull asse stantaneo d otaone sa nulla; alloa dalla elaone pecedente che è valda pe ogn punto del copo segue: v = ω n cu l vettoe ha ogne nel cento d assa ed ha l esteo lbeo n un punto dell asse stantaneo d otaone Petanto nel oto d puo otolaento esste una elaone defnta ta la veloctà con cu tasla l cento d assa e la veloctà angolae coè tal gandee non sono ndpendent In odulo sccoe e ω sono pependcola s ha: w v = ω v w e d conseguena l acceleaone a del cento d assa vale: a = α Il oto testé desctto può aves o pe l aone sull asse d una foa oontale costante o attaveso l applcaone sull asse d un oento costante oppue nel caso pù geneale pe l aone contepoanea sull asse sa d una foa che d un oento Consdeao la pa ccostana coè supponao che l copo otol sena stscae su una supefce pana oontale pe effetto d una foa oontale costante F applcata all asse Sul copo agscono nolte la foa peso g e la eaone F del pano Tale eaone s decopone n una coponente noale N ed una tangenale f (foa d attto statco) Poché F è oentata nel veso postvo delle x affnché l punto d contatto est feo la foa f deve essee opposta a F ovveo oentata nel veso negatvo delle x L equaone del oto del cento d assa è: a = F + F + g che decoposta lungo gl ass coodnat è: a = F f (70) 0 = N g y F f g N F x

19 Dnaca del copo gdo 7-9 dalla seconda delle qual segue edataente N = g L equaone del oto d otaone scelto l cento d assa coe polo s scve: Iα = f sccoe delle foe agent f è l unca ad avee oento spetto al cento d assa dveso da eo Poché ed f sono ta loo pependcola segue: Iα = f ; d alta pate l acceleaone α vale a così sosttuendo segue: I a f = ; (7) sosttuendo f da tale espessone nella elaone (70) s ottene: a Ia = F ovveo: a F = I + e petanto dalla (7) l ntenstà della foa f vale: f Ia I F F F = = = = I I I I Affnché non s abba lo stscaento ovveo l punto est feo l ntenstà della foa f non può supeae l ntenstà della assa foa d attto statco µ S N pa a µ g S Qund dovendo sultae f µ N segue: S F µ SN + F I ax y petanto se l ntenstà della foa F supea l valoe asso F ax l copo otola e stsca contepoaneaente Consdeao oa la ccostana secondo cu all asse del copo è applcato un oento τ ad esepo attaveso un otoe In questo caso affnché non s abba slttaento la foa f deve avee l veso d fgua L equaone del oto del x f F f g N t

20 7-0 Dnaca del copo gdo cento d assa è: a = F + g che decoposta lungo gl ass coodnat è: a = f (7) 0 = N g dalla seconda delle qual segue ancoa N = g Scelto l cento d assa coe polo l equaone del oto d otaone è: Iα = τ + f e sccoe ed f sono pependcola s ha: Iα = τ f f f t Sosttuendo ad α la sua espessone e ad f l valoe ottenuto dalla (7) s ha: a I = τ a ovveo: a τ = I + petanto sosttuendo tale espessone nella elaone (7) s ottene: τ f = a = I + Infne affnché non s abba lo stscaento deve essee f µ N dove N vale g ovveo: S I τ µ Sg + τ ax così se τ supea l valoe asso τ ax l copo olte a otolae stsca S not che a dffeena della ccostana pecedente n cu la eaone tangente f s oppone al oto detenato dalla foa F n questo caso n cu l oto è ognato dall aone del oento τ è la foa f a causae l acceleaone del cento d assa (dalla elaone (7)) coè quando un otoe fa gae una uota è l attto col suolo che lo spnge n avant

21 Dnaca del copo gdo 7- Nel caso pù geneale n cu s ha l aone contepoanea della foa e del oento non conoscendo a po l veso della foa f la assuao concode con F (concode con l asse x) alloa le equaon del oto s scvono coe: a = F + f Iα = τ f dove α vale a ; sosttuendo tale gandea nelle equaon del oto e solvendo s tova: a τ F + = I + che coe s può vefcae è ndpendente dal veso d f e nolte: f τ I F = I + dove affnché s abba l oto d puo otolaento deve sultae f µ SN = µ Sg La foa d attto f saà concode o dscode con F a seconda se τ sa aggoe o noe d IF e n patcolae quando τ = IF la foa f è nulla e l acceleaone del cento d assa a vale F Coè pe τ = IF è possble un oto acceleato anche n assena d attto; questo è l otvo ad esepo pe cu occoe spngee un autovettua le cu uote hanno peso adeena coe accade su una supefce ghaccata In tutt cas esanat l oto d taslaone e l oto d otaone sultano entab acceleat coè a e α sono costant se è tale la sollectaone applcata Pe avee un oto acceleato è essenale la pesena dell attto (statco) salvo n cas patcola Tuttava le foe e oent agent devono essee tal che la foa d attto non supe la foa assa d attto statco altent l copo olte che otolae stsca stuaone quest ulta n cu agsce l attto dnaco S not che nel oto d puo otolaento la foa d attto non cope lavoo essendo applcata ad un punto che stante pe stante è feo qund pu essendoc la foa non c è alcuno spostaento; ne segue che n tale ccostana vale la legge d consevaone dell enega eccanca Speentalente s osseva che un copo che otola sena stscae su una supefce oontale n assena d foe e oent applcat dopo un ceto tepo s aesta Cò suggesce l esstena d un alta foa d attto detto attto volvente o d otolaento attbuto alla defoaone locale del pano n cospondena del copo L attto volvente s può scheatae ntoducendo un oento esstente applcato sul copo che otola l cu odulo è popoonale alla coponente noale N della foa d contatto ta l copo e l pano d appoggo: τ = ρ ; v N speentalente s osseva che l coeffcente d attto volvente ρ v è lagaente ndpendente da N dal aggo del copo d foa ccolae che otola e dalla veloctà angolae d otolaento a

22 7- Dnaca del copo gdo dpende dalla natua e dallo stato d lavoaone delle supefc a contatto Pe vncee l oento dovuto all attto volvente s deve applcae al copo d assa e aggo una foa d taone F tale che: ρvn ρvg τ F = = L effetto dell attto volvente sulta soltaente olto pccolo pe cu l suo contbuto vene spesso tascuato Esepo: Valutao la veloctà aggunta da un copo clndco d assa che otola sena stscae lungo un pano nclnato a pate da un stante nale t = 0 n cu è a poso alla quota h Applcando l pncpo d consevaone dell enega s ha: E E E E p+ k = p + k h J = 0 E p dove E vale gh p E è eo essendo l copo n quete all stante nale k E è eo se s assue l lvello d p feento dell enega potenale passante pe l cento del copo quando questo è alla base del pano e nfne E vale k ( ) Iω + ( ) v dove ω e v sono spettvaente la veloctà angolae e la veloctà del cento d assa del copo e I è l oento d nea del copo calcolato spetto al suo asse longtudnale Sosttuendo s ha: da cu segue: v gh = Iω + v = I + v v = gh I + Qualoa l copo scvolasse sena attto l espessone del pncpo d consevaone dell enega saebbe gh = v da cu s ha v = gh Invece quando l copo otola sena stscae l enega potenale nale ( ) gh s tasfoa n enega cnetca d otaone ( ) Iω del oto spetto al cento d assa ed enega cnetca d taslaone del cento d assa ( ) v Pe tale otvo la veloctà fnale del oto lungo l pano nclnato soddsfa la dsuguaglana: v < gh Indcando con f la foa d attto statco ta l copo ed l pano l equaone del oto del cento d assa è: a = g snϑ f e l equaone del oto d otaone attono al cento d assa è: f J g J a f Ia = Iα = da cu segue a = f I che sosttuta nell equaone del oto fonsce l ntenstà della foa d attto:

23 Dnaca del copo gdo 7-3 f g sn ϑ = + I pe cu l acceleaone a vale: a g snϑ = I + In patcolae da tale espessone s tova v attaveso la elaone v = a T n cu T pa a ha snϑ è l tepo necessao a otolae lungo l pano sno alla base patendo dall altea h Sccoe N vale g cosϑ la condone d non scvolaento f µ N s espe coe: S f µ gcosϑ S da cu sosttuendo ad f la sua espessone segue: ϑ µ S + tan I coè affnché s abba un oto d puo otolaento l nclnaone del pano non deve supeae l valoe asso ϑ = actan µ S + I Esepo: Consdeao un clndo peno d assa pa a 0 kg e aggo d 5 c che otola sena stscae su un pano oontale All asse del clndo è applcato un oento pependcolae al pano del foglo ed entante d odulo pa a 30 N ed è contepoaneaente sospeso tate un flo nestensble e d assa tascuable un copo d assa pa a 0 kg Stablao l acceleaone del cento d assa del clndo la tensone del flo e l no valoe consentto pe l coeffcente d attto affnché l clndo otol sena stscae S not che la deone della foa T agente sul clndo e l veso d otaone detenato dal oento τ fanno sì che la foa d attto f deve avee veso opposto spetto a T Assuendo che l veso d a sa concode con quello d f (se po attaveso calcol s tova a < 0 alloa l veso d tale vettoe è opposto a quello abtaaente assunto) segue l equaone del oto del cento d assa del clndo: a f T = T g T a f L equaone del oto d otaone è: Iα = τ f e l equaone del oto pe l copo d assa è: a T g = S not che ave assunto abtaaente a detta coe f plca che l acceleaone angolae α ha veso tale da detenae una otaone nello stesso veso della otaone che s avebbe pe effetto del solo oento τ ; nolte l veso dell acceleaone del copo con la scelta fatta sulta opposto alla foa peso g Se s fosse assunto a

24 7-4 Dnaca del copo gdo opposta a f alloa l oto del cento d assa del clndo saebbe stato desctto dall equaone a = T f l equaone del oto d otaone del clndo saebbe stata Iα = f τ e pe l copo sospeso a = g T I sultat ottenut ovvaente non devono dpendee da questa scelta Dalla tea equaone segue: T = a + g e dalla seconda posto α = a segue: f τ = Ia che sosttute entabe nella pa danno: a τ τ τ g g g = = = I s 055 essendo I = ( ) Se τ > gl oto avvene nella deone d f altent avvene nella deone opposta Sosttuendo tale valoe nell espessone d T segue che tale quanttà vale 035 N ente f è d 45 N Infne dovendo valee f < µ g segue: f µ S 058; g S se µ è noe l attto del pano sulta nsuffcente a gaante l puo otolaento S 79 Ipulso angolae Attaveso la seconda legge d Newton è stata guadata la vaaone nfntesa della quanttà d oto dp coe l pulso eleentae della foa F = dp dt ta tep t e t+ dt In analoga dalla elaone (434) è possble defne la quanttà dl coe pulso angolae eleentae del oento τ Integando tale quanttà ta tep t e t s ottene l pulso angolae del oento τ nell ntevallo t t : t I = τ dt= Lt ( ) Lt ( ); τ t petanto l pulso angolae d τ è pa alla vaaone del oento angolae del copo Così coe pe ettee n oto un copo occoe applcae ad esso una foa pe un beve stante analogaente pe detenae la otaone d un copo attono ad un asse fsso o pe falo otolae bsogna applcagl un oento pe un beve tepo Ad esepo pe poe n otaone un asta gda sospesa ad un esteo è possble applcae una foa ntensa F pe un beve tepo Se è l vettoe che ogna dal punto n cu l asta è vncolata ed ha l esteo lbeo n cospondena punto d applcaone della foa F spetto al polo stuato nel punto d sospensone s ha: F t p p p t

25 Dnaca del copo gdo 7-5 t t t Iτ = τ dt = F dt = F dt = I ( ) t t t se la foa è applcata ta gl stant t e t Il podotto vettoale I vene spesso ndcato coe oento dell pulso I (della foa F ) Nell espessone dell ntegale non copaono le foe d eaone del vncolo peché hanno oento nullo essendo applcate n e s è tascuato l oento della foa peso p peché assunto pccolo spetto al oento d F p Esepo: Consdeao un asta d assa e lunghea l che può uotae n un pano vetcale attono ad un suo esteo Stablao la veloctà del cento d assa quando l asta lascata cadee dalla sua posone oontale aggunge la posone vetcale Quando l asta è n posone oontale l enega totale vale gl ente quando aggunge la posone vetcale l enega vale I ω + g l petanto dal pncpo d consevaone dell enega segue: ( ) ( ) dove l gl = Iω + g v l I = l 3 così sosttuendo s ha: da cu segue: 6 gl = l ω + gl ω = 3 g l Infne sccoe v vale ω l s ha: v = 3gl 4 70 Statca Pe un punto ateale n quete la condone d equlbo è che la sultante delle foe agent su d esso sa nulla Nel caso d un copo gdo tale condone non è suffcente a gaante l equlbo n quanto l copo può essee soggetto ad un oento che ne altea la condone d equlbo Petanto le condon d equlbo statco pe un copo gdo nalente n quete sono: F = 0 τ = 0

26 7-6 Dnaca del copo gdo ovveo pe ottenee l equlbo taslaonale la soa d tutte le foe agent deve essee uguale a eo e pe ottenee l equlbo otaonale la soa d tutt oent deve essee uguale a eo In patcolae se F = 0 s ha l equlbo statco del cento d assa v = 0 ; ente se τ = 0 non s ha oto otatoo ω = 0 In patcolae se sulta F = 0 l oento totale τ è ndpendente dalla scelta del polo così se è nullo spetto ad un polo è tale spetto a qualsas alto polo Consdeao un copo sospeso soggetto alla foa peso Se l cento d t assa non s tova lungo la vetcale passante pe l punto d sospensone g detena un acceleaone angolae l oento della foa peso ( ) del copo In questo caso non può essec equlbo statco a eno che non ntevenga un alto oento a contastae l oento della foa peso Se nvece l cento d assa è stuato lungo la vetcale pe ed ha veloctà nulla la posone è d equlbo Tale condone è soddsfatta sa che l cento d assa s stu al d sopa che al d sotto del punto d sospensone lungo la vetcale Tuttava nel po caso l equlbo è nstable ovveo se ne vene allontanato se ne dstana ulteoente nel secondo caso è d equlbo stable coè se ne vene allontanato tende a tonae nella posone ognaa Infne se l punto d sospensone concde col cento d assa l equlbo è detto ndffeente poché essendo sepe nullo l oento della foa peso l copo peane n qualsas posone n cu vene abbandonato g x x Esepo: Un asta d assa è n quete appoggata a due suppot Stablao le eaon detenate da tal suppot L equlbo taslaonale plca: N g N N+ N = g e assuendo l cento d assa coe polo l equlbo otaonale plca: x N = x N A Facendo l sstea ta tal elaon s ha: x N = x + x N x = x + x g g S not che se x = x alloa N = g = N B Esepo: Una scala d assa e lunghea l è poggata con un esteo A ad una paete vetcale sena attto e con l alto esteo B sul pavento n cu è pesente l attto Stablao le eaon de vncol Sccoe l vncol n A è lsco la eaone s esplca solo noalente alla paete; al contao n B l vncol pesenta attto e qund la eaone foa un angolo dveso da eo con la deone vetcale La condone d equlbo taslaonale plca: y A N A x : N N = 0 A Bx y : N g = 0 By Assuendo B coe polo la condone d equlbo otaonale s scve: g J N By N Bx B x

27 Dnaca del copo gdo 7-7 τ = ( g ) τ N 0 g FA A g ovveo passando a odul: J l g sn α ln A sn β = 0; d alta pate sccoe α π ϑ = e ( ) β = π + ϑ s ha: a g l g sn ϑ ln A cos ϑ = 0 Da questa elaone segue: NA = gtan ϑ N A e qund: N B = NB x + NB y = N A + ( g ) = ( g ) tan ϑ+ ( g ) = g tan ϑ+ 4 4 J b N A La foa F foa con la vetcale un angolo B φ tale che: NBx g tanϑ tanφ = = = tan ϑ ; N g By N B f N Bx N By la scala esta n equlbo se l pavento esce ad esplcae la foa d attto soddsfatta la condone: N pa a ( ) B x g tanϑ e qund se è g tan ϑ µ SNB y = µ Sg ovveo se tanϑ µ S

28 7-8 Dnaca del copo gdo