d. V B = m 3) L altezza massima dal suolo raggiunta dalla biglia vale

Transcript

1 Facoltà d Ingegnea Pova Sctta d Fca I 5 Febbao 00 Queto n Una olla deale d cotante elatca k e d lunghezza a poo d, è pota all nteno d un cannoncno eccanco lungo L e nclnato petto all ozzontale d un angolo θ, coì coe otato nella Fg Le paet ntene della canna del cannoncno ono pefettaente lce Una pccola bgla, alable ad un punto ateale d aa, vene neta nella canna e la olla vene nteaente copea, n odo tale che la bgla venga A M k L Sa θ=30, L =00, d =00, k=300 /, =000 Kg a tova popo al fondo del cannoncno, che è poto al uolo nel punto A La olla vene lacata e la bgla vene poettata fuo dal cannoncno, copendo, dal oento n cu ece dalla canna dal punto B, un oto paabolco Tenendo conto della geoeta del poblea n odo coetto, calcol: a) la vaazone d enega potenzale gavtazonale della bgla, quando queta uove dal punto A al punto B; b) l odulo della veloctà d ucta V B della bgla dal cannoncno; c) l altezza aa dal uolo aggunta dalla bgla; d) l tepo pegato dalla bgla, calcolato dal oento n cu ea ece dal cannoncno eccanco, pe aggungee l uolo; e) la dtanza ta l punto d patto della bgla al uolo e l punto A ) la vaazone d enega potenzale gavtazonale della bgla, quando queta uove dal punto A al punto B, cve coe egue U ( B) = gd nθ U ( B) = glnθ U ( B) = gl coθ U ( B) = gd coθ ) Il odulo della veloctà d ucta V B della bgla dal cannoncno è V B = gl nθ kd V B = gl nθ k V B = d θ FIGURA B V B = kd gl nθ 3) L altezza aa dal uolo aggunta dalla bgla vale H = H = H = 9 H = 9 ) Il tepo pegato dalla bgla, calcolato dal oento n cu ea ece dal cannoncno eccanco, pe aggungee l uolo è

2 t v = 5 0 t v = 5 t v = 6 t v = 6 5) La dtanza ta l punto d patto della bgla al uolo e l punto A vale x = 0 5 x = 3 6 x = x = 9 Queto n FIGURA ω 0 M, R θ è θ=30, ponda alle eguent doande Un dco oogeneo d aa M e aggo R otola enza tcae u d un tatto d upefce pana con veloctà angolae cotante ω 0, coì coe otato nella Fg Dopo ave pecoo un tatto ozzontale, l dco nconca a ale, uovendo ancoa d oto d puo otolaento, u d un pano nclnato d un angolo θ petto all ozzontale Se la aa del dco vale M =00 Kg, l aggo R=0500, la veloctà angolae ω 0 =00 /, e l angolo che l pano nclnato foa con l ozzontale 6) Il odulo V CM della veloctà del cento d aa del dco, quando quet ulto uove ulla upefce pana, vale: V CM = 5 00 V CM = 55 V CM = 00 V CM = ) Il odulo del oento angolae del dco, calcolato petto al punto d contatto con la upefce pana, può eee epeo coe egue: 3 L P = MR ω0 L P = MR ω0 L P = MRVCM 3 L P = MRVCM 8) L enega cnetca del dco, calcolata petto al uolo, vale K = M V CM 3 K = M V CM 3 K = M V CM K = M V CM

3 9) la aa vaazone d quota H ubta dal cento d aa del dco ul pano nclnato pa che queto conc a dcendee è H = 5 0c H = 0 3c H = 0 c H = 30 6c 0) l odulo ω della veloctà angolae del dco quando queto è ceo d un tatto pa alla età del tatto pecoo n alta vale ω ω = 0 ω = ω 0 ω 0 ω = ω = ω0 Queto n 3 Il quado a nta della Fg 3 ota un FIGURA 3 occhetto foato da due dch oogene, d aa M e d aggo R, gdaente conne ad un clndo cavo ottle d ω aa e aggo Queto occhetto può F uotae enza attto petto ad un ae M, R ozzontale paante pe l cento d aa d ogn uo eleento Sul clndo nteno R A del occhetto è avvolto del flo netenble e d aa tacuable e, ad B una delle etetà d queto flo, è appeo un blocco d aa (la tea del C clndo cavo ottle) Inzalente l blocco è poto alla quota A e l tea è feo All tante d tepo t=0 l tea vene lacato lbeo d evolvee e l blocco nza a cendee Quando l blocco è alla quota B, pota a dtanza d da A, azona un tea F, che è capace d applcae una coppa fenante d oento M 0 cotante al occhetto, tale da peettene l aeto quando l blocco tova alla quota C, dtante d da A Sapendo che M ==00 Kg, R==00 c, d=00, ponda alle eguent doande ) Il valoe del oento d neza del tea appeentato nel quado nto della Fg 3 (due dch + clndo cavo ottle) calcolato petto all ae d eta è I CM = ( MR + ) 3 I CM = ( MR + ) ICM MR = + I CM = MR + ) L acceleazone angolae del occhetto pa che l blocco aggunge l punto B vale α = 850

4 α = 980 α = α = ) Il odulo T della tenone nel flo quando l tea fenante ancoa non è entato n azone è: T = 5 T = 5 7 T = 8 8 T = 5 7 ) La veloctà angolae ω B del blocco quando queto è nella pozone B è ω B = 0 ω B = 5 0 ω B = 5 0 ω B = ) Il odulo M 0 del oento della coppa fenante vale M 0 = 86 M 0 = 5 60 M 0 = 3 9 M 0 = 68 Alte doande 6) In peenza d foze d attto, l enega eccanca d un tea d patcelle che evolve da una confguazone nzale A ad una confguazone fnale B E = ane cotante ( ) A E B auenta ( E ) A < E B dnuce ( E ) A B doppa ( E = ) E > B E A 7) Una uota oogenea ha aa M, aggo R e oento d neza I petto all ae paante pe l uo CM Se la uota cope un oto d puo otolaento, con l CM che pota con veloctà d odulo v CM, l enega cnetca della uota ulta Mv CM I Mv CM + v CM R I v CM R Mv CM + Iv CM 8) Un oto ettlneo (pozone x, veloctà v, acceleazone a) è aonco quando l acceleazone è a = cotante a = kx con k=cotante potva a = kx con k=cotante potva

5 a = kv con k=cotante potva 9) Il oento d neza d un copo gdo dceto, foato da patcelle d aa, che uota ntono ad un ae fo ha epeone ( è la dtanza della aa dall ae) I = = = = I I I = = = = = 0) Un punto ateale d aa ha pozone petto ad un polo O e veloctà v Su d eo agce una foza F Il uo oento angolae petto ad O è L = v L = F L = v L = F ) Il teoea d Koeng dell enega cnetca dce che L enega cnetca d un tea d patcelle è epe nulla L enega cnetca d un tea d patcelle è uguale all enega cnetca del CM del tea L enega cnetca d un tea d patcelle è uguale all enega cnetca del CM del tea pù l enega cnetca del tea petto al tea del cento d aa L enega cnetca d un tea d patcelle è uguale all enega cnetca del tea petto al tea del cento d aa ) Un punto ateale decve una taettoa ccolae con veloctà angolae cotante ω Sul punto agce una foza nulla, peché ω è cotante d odulo popozonale ad ω e detta veo l cento della cconfeenza d odulo popozonale ad ω e otogonale al pano della cconfeenza d odulo popozonale ad ω 3) Un oggetto vene ollevato da tea fno ad un altezza d 0, po abbaato d e qund potato nuovaente all altezza d 0 La foza d gavtà cope un lavoo coplevo ullo Potvo egatvo D egno dpendente dal cano eguto ) Un ao vene lancato ozzontalente da una toe Il uo oto è unfoe n dezone ozzontale ed unfoeente acceleato n dezone vetcale unfoeente acceleato n dezone ozzontale ed unfoe n dezone vetcale unfoeente acceleato a n dezone ozzontale che vetcale unfoe a n dezone ozzontale che vetcale 5) Sano a e b due vetto e a θ l angolo no ta d e Il odulo della dffeenza a b vale a + b ab co θ a + b + ab co θ a b a b

6 SOLUZIOE Queto n ) la vaazone d enega potenzale gavtazonale della bgla, quando queta uove dal punto A al punto B, cve coe egue U ( B) = gl nθ ) Il odulo della veloctà d ucta V B della bgla dal cannoncno cava attaveo conevazone dell enega eccanca cvendo K ( ) ( ) B + U B = K A + U A K B = kd glnθ E petanto, ha kd V B = glnθ = 0 5 3) L altezza aa dal uolo aggunta dalla bgla può calcolae attaveo la cneatca, cvendo: VB n θ H = + Lnθ = 9 g ) Il tepo pegato dalla bgla, calcolato dal oento n cu ea ece dal cannoncno eccanco, pe aggungee l uolo tova ponendo che y=0 nella legge oaa della patcella, cocché y( t) = Lnθ + VB nθ t gt = 0 tv = 6 Da notae che nella oluzone dell equazone algebca d econdo go bogna pendee olo la oluzone potva e non quella negatv 5) La dtanza ta l punto d patto della bgla al uolo e l punto A tova calcolando dappa la dtanza ozzontale x(t v ) pecoa dalla patcella nel tepo t v petto alla poezone del punto B ul uolo: x ( t ) V co t = 0 v = B θ v 5 A queta dtanza oao la dtanza della poezone del punto B da A, ottenendo x = V co θ t + L coθ = B v Queto n 6) Il odulo V CM della veloctà del cento d aa del dco, quando quet ulto uove ulla upefce pana, vale: V CM = Rω 0 = 00 7) Il odulo del oento angolae del dco, calcolato petto al punto d contatto con la upefce pana, può eee epeo coe egue: 3 LP = I Pω0 = MR ω0, ove 3 MR I P = è l oento d neza del dco calcolato petto all ae d tantanea otazone 8) L enega cnetca del dco, calcolata petto al uolo, tova cvendo

7 3 3 K A = I ω = Pω 0 = MR 0 M VCM 9) la aa vaazone d quota H ubta dal cento d aa del dco ul pano nclnato pa che queto conc a dcendee può ottenee attaveo conevazone dell enega eccanca, cvendo K 3V CM ( ) ( ) + U B = K A + U A K A = MgH H = = 30 c g B 6 0) l odulo ω della veloctà angolae del dco quando queto è ceo d un tatto pa alla età del tatto pecoo n alta calcola ancoa attaveo conevazone dell enega, cvendo K B 3 MgH 3 3 ω0 + U ( B) = K M + U ( M ) K M = MR ω = MR ω = MR ω 0 ω = Queto n 3 ) Il valoe del oento d neza del tea appeentato nel quado nto della Fg 3 (due dch + clndo cavo ottle) calcolato petto all ae d eta è I CM = MR + = MR + ) L acceleazone angolae del occhetto pa che l blocco aggunge l punto B può calcolae attaveo le legg della dnaca de cop gd oppue attaveo conevazone dell enega eccanca del te Utlzzeeo queto econdo etodo, cvendo dappa l enega eccanca totale del tea coe egue I CM ω + v gy = 0 ove ω è l acceleazone angolae del occhetto, v=ω è l odulo della veloctà del blocco e y è la quota d cu l blocco cende nel tepo t Rcvendo l equazone d opa coe egue I CM + v = gy e devando petto al tepo entab eb, abbao: I CM + va = gv ove a è l acceleazone del blocco Rolvendo adeo pe a nell equazone d opa e ponendo ottene fnalente g α = = 980 ( I + ) CM a α =, 3) Il odulo T della tenone nel flo quando l tea fenante ancoa non è entato n azone può eee ottenuto edante applcazone della econda legge d ewton al blocco, condeando l DCL e cvendo: