posizione, velocità, quantità di moto, energia cinetica, momento angolare, ecc.

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1 Unvestà a Sapena FONDAMENTI DEA MECCANICA QUANTISTICA Pma delle legg ( Postulat vedamo concett Vaabl dnamce Funone d onda o d stato 3 Opeato Vaable Dnamca S tatta d una qualsas vaable ce defnsce l moto d una patcella posone, veloctà, quanttà d moto, enega cnetca, momento angolae, ecc. In meccanca quantstca l tempo è un paameto S tatta delle medesme popetà della meccanca classca Vedemo n seguto ce compaanno ance nuove popetà ce non anno cospondena n meccanca classca ( SPIN a funone d onda Nella fomulaone della Meccanca Ondulatoa è un concetto centale Nell ntepetaone statstca d Bon: (,,,,,,,,,, t (,,,,,,,,,, t dτ Dove n n n n n n valoe assoluto d d d d d * ( eale e postvo n n d n Dpatmento d Cmca

2 Unvestà a Sapena ψ dτ è la pobabltà ce al tempo t s abba ce patcella n d patcella n d patcella n n n n d n Questo sgnfcato fsco dellaψmpone ce le funon d onda accettabl sano a buon compotamento well beaved la pobabltà deve essee defnta sena ambgutà ad un sol valoe sen( SI dato f( è unco acsen( NO contnua con devata pma contnua lm f( f(a ( a meno d ecceon a 3 fnta nel senso d quadato ntegable l ntegale del quadato del valoe assoluto della funone deve essee fnto Dpatmento d Cmca

3 Unvestà a Sapena e e e 4 d d NO e d π attenone: l campo d defnone della funone è mpotante SI 0 e SI se θ π e NO se a condone d quadato ntegable consente la NORMAIZZAZIONE la patcella deve essee da qualce pate la pobabltà su tutto lo spao deve essee la pobabltà elatva (ntegale fnto deve pote essee condotta alla pobabltà assoluta ( 0 la nomalaone è la dvsone pe N / N * N dτ S può dmostae ce, una volta nomalata, la ψ mane nomalata col passae del tempo * N dτ non dpende dal tempo Dpatmento d Cmca 3

4 Unvestà a Sapena Non tutte le funon d onda possono essee nomalate ψ è la denstà d pob. elatva a a b b d d è la pobabltà ce la patcella sa n a a spetto a quella ce sa n b b Opeato S tatta d enttà matematce ce tasfomano una funone f n un alta funone g g ˆ f ˆ β ˆ f ˆ β g l odne d applcaone degl opeato è mpotante: ˆ f ˆ Dpatmento d Cmca 4 ˆ ( ˆ ˆ β f ˆ f ˆ β f (moltplcae pe (elevae a f (elevae a (moltplcae pe f pe esempo: ˆ ˆ β 4 ˆ ˆ β f 4 f f ˆ βˆ f 4 f ˆ ˆ β ˆ βˆ ˆ Gl opeato e βˆ non commutano f

5 Unvestà a Sapena E, qund, mpotante l opeatoe composto ( ˆ β ˆ βˆ ˆ COMMUTATORE [ ˆ, ˆ β ] è una enttà centale a tutto lo svluppo della meccanca quantstca Se g ˆ βˆ ˆ βˆ ˆ f f ˆ g ˆ è l ecpco d ˆ β ˆ ˆ β Un opeatoe è INEARE se [ f g ] ˆ f ˆ g ˆ ˆ k f k ˆ f Valgono alcune popeta ( ˆ ˆ β ˆ ˆ ( ˆ β ˆ γ γ ˆ γˆ ˆ βγˆ ˆ β ˆ γˆ d/d e lneae ep non sono lnea [ ˆ, ˆ βγˆ ] [ ˆ, ˆ β ] ˆ γ ˆ β[ ˆ, ˆ γ ] [ ˆ ˆ, β ˆ γ ] [ ˆ, ˆ γ ] ˆ β ˆ [ ˆ, β ˆ γ ] ( ˆ ˆ β ˆ γ ˆ ( ˆ βγˆ Dpatmento d Cmca 5

6 Unvestà a Sapena In geneale g ˆ f Φ ˆ dove g ed f sono lneamente ndpendent Autofunon ed Autovalo (c f c f... c n f n 0 lneamente dpendent quando pe una patcolae funone f ˆ f a f autofunone ˆ d autovaloe cospondente (numeo complesso N.B.: n questo caso g a f ed f sono ln. dpendent c f c f 0 - g a f -a f a f 0 D noma esstono molte autofunon d un opeatoe ˆ a ogn autofunone d ˆ è unca nel senso d essee lneamente ndpendente dalle alte Il sstema desctto da una d queste ψ è n un AUTOSTATO pe l opeatoe ˆ V possono essee pù autofunon con l medesmo autovaloe s a DEGENERAZIONE pe esempo: pù autofunon con la medesma enega totale pù stat d moto con la stessa enega Dpatmento d Cmca 6

7 Unvestà a Sapena e autofunon possono essee nfnte e costtue un nseme contnuo oppue dsceto d d e k d d k ke sn n n sn n Podotto Scalae ed Otogonaltà a defnone d podotto scalae è: π 0 Φ * * ( ( d Φ (,, (,, π 0 0 Φ * (, θ, ϕ (, θ, ϕ n foma pù compatta τ Φ * dτ snθddθdϕ ddd oppue usando la NOTAZIONE d DIRAC Φ ba(cket s possono mmagnae queste cospondene ( a snsta della baetta: complesso conugato Dpatmento d Cmca 7

8 Unvestà a Sapena o spao de ket Consdeamo uno spao vettoale complesso la cu dmensonaltà è ndvduata dalla natua del sstema In meccanca quantstca lo stato fsco è appesentato da un vettoe d stato n uno spao vettoale complesso (detto spao d Hlbet. In base alla notaone d Dac questo vettoe è un ket e s ndca con I ket possono essee consdeat vetto d base dello spao d Hlbet. S a ce β γ la somma d due ket è un nuovo ket Se moltplcamo pe un numeo complesso c l podotto c è ancoa un ket. S postula ce e c appesentno lo stesso stato fsco. c e un nuovo ket nella stessa deone ma d gandea (modulo dvesa Solo la deone è mpotante pe descvee lo stato d un sstema e non l modulo Dpatmento d Cmca 8

9 Unvestà a Sapena Opeato Una ossevable è appesentata da un opeatoe A nello spao vettoale consdeato. S a ce un opeatoe agsce su un ket (da snsta dando ogne ad un alto ket (o vettoe A γ Un opeatoe è nullo se A 0 D solto tutt gl opeato utlat n meccanca quantstca sono lnea (a pate l opeatoe nvesone tempoale pe cu dato un opatoe lneae X: X (c c β c X c β β X β Podotto d opeato: XY X ( Y Coè pe gl opeato non vale la popetà commutatva coè XY XY Vale nvece la popetà assocatva delle moltplcaon ta opeato: X(YZ ( XY Z XYZ Dpatmento d Cmca 9

10 Unvestà a Sapena Autoket, autovalo, autostat In geneale A non è l podotto d una costatnte pe l ket. Peò esstono de ket not come autoket dell opeatoe A, ce ndcamo con, ', ' ' tal ce A a ' A ' ' ' dove a, a, a. sono de nume. nseme de nume {a, a, a.} s ndca con {a } ed è camato l nseme degl autovalo dell opeatoe A. o stato fsco cospondente ad un autoket è detto autostato. In geneale se consdeamo uno spao vettoale N dmensonale, gl N autoket della ossevable A fomano una base. Ogn ket abtato può essee sctto come: N c dove c a è un numeo complesso. Dpatmento d Cmca 0

11 Unvestà a Sapena o spao de ba o spao de ba è uno spao duale dello spao de ket. S postula ce pe ogn ket ba ce appatene a tale spao de ba. Una base nello spao de ba è costtuta dagl autoba Qund { ' } c sa un a ce cospondono agl autoket { } CD CD cospondena duale, ', ' '... CD, ', ' ' S postula ce l ba duale a c è c * Il podotto nteno d un ba pe un ket (o podotto scalae è defnto come β ( β ( è UN NUMERO Dpatmento d Cmca

12 Unvestà a Sapena Postulat fondamental de podott nten C sono due postulat fondamental de podott nten: I β * β II 0 Seve pe l ntepetaone pobablstca della meccanca quantstca β I ket e sono otogonal se β 0 ance se nella notaone appae l ba Ovvamente n base alla I s a ance ce β 0 Un ket nomalato ˆ è defnto come ˆ dove ˆ ˆ Dpatmento d Cmca

13 Unvestà a Sapena Opeato nello spao de ba Un opeatoe agsce su un ba a desta ( A A β e s ottene ancoa un ba Il ket A e l ba A NON SONO n geneale uno duale dell alto. Se ndcamo con l opeatoe ce ende A A CD A alloa A s dce opeatoe aggunto d A. Un opeatoe è HERMITIANO se A A coè un opeatoe emtano è autoaggunto Abbamo vsto ce le opeaon d moltplcaone degl opeato non sono commutatve ma sono assocatve. S a alloa ce ( XY Y X s a nfatt ce XY CD X ( Y ( Y X Y X Dpatmento d Cmca 3

14 Unvestà a Sapena antcpamo oa ce tutt gl opeato utl della meccanca quantstca posseggono queste due caattestce: sono nea ed Hemtan se pe e βˆ lnea ed emtan vale ce [ ˆ, ˆ β ] 0 (coè commutano alloa ance l loo podotto β è lneae ed emtano Dpatmento d Cmca 4

15 Unvestà a Sapena Podott esten Il podotto esteno esste ed è un opeatoe nfatt pe la popetà assocatva β ( β γ β ( γ c β coè l podotto esteno ce agsce su un ket dà ogne ad un alto ket pe cu può essee consdeato un opeatoe. S not ce l opeatoe β uota l ket γ lungo la deone d β È facle vedee ce se X β alloa X β Invece podott A e A non anno alcun senso e vengono dett podott llect. Pe la popetà assocatva della moltplcaone s a ce ( β ( X ( β X Vene alloa usata l espessone compatta β X Pe un opeatoe emtano X vale la elaone β X X * β Dpatmento d Cmca 5

16 Unvestà a Sapena POSTUATI I Postulato Secondo la meccanca ondulatoa: o stato d un sstema fsco è defnto da una funone d onda ψ delle coodnate e del tempo. Tutte le nfomaon sullo stato del sstema sono contenute n questa funone Esste una ( q,t ce deve essee : - ad un sol valoe - contnua - quadato Integable Funone d Stato Funone d onda Vettoe d Stato Secondo la notaone d Dac Tutte le nfomaon sullo stato fsco d un sstema sono contenute nel ket d stato (o vettoe d stato D noma assumeemo ce la ψ sa nomalata Dpatmento d Cmca 6

17 Unvestà a Sapena II Postulato Ad ogn ossevable fsca è assocato un opeatoe lneae ed Hemtano In geneale ad ogn funone classca della posone e del momento A, p Samo usando la cosddetta ( cosponde un opeatoe lneae Hemtano A, ( appesentaone delle poson Esste ance la p appesentaone de moment p Dpatmento d Cmca 7

18 Unvestà a Sapena Vedamo l dettaglo delle egole Alle vaabl dnamce classce vengono assocat degl opeato medante egole postulate Dpatmento d Cmca 8 Quest opeato vengono usat nelle espesson classce ( ( p

19 Unvestà a Sapena ( ( m m m T p p p m v v m v T E cn ( ( V t V V E pot,,,,, cost V Enega Cnetca Nabla quado Enega Potenale Rotatoe Rgdo Dpatmento d Cmca 9 cos k V t V T V T V E E H E T V E E E cn pot totale cn pot totale p M V dpende dal poblema fsco Oscllatoe Amonco V V Enega totale è lneae ed Hemtano Momento Angolae momento angolae classco

20 Unvestà a Sapena ( ( ( p p k p p j p p p p p k j p Momento Angolae momento angolae classco p M Dpatmento d Cmca 0

21 Unvestà a Sapena Pe l momento vedamo una see d conseguene (dmostabl d quest postulat ce cameemo coolla coollao a Gl autovalo d un opeatoe emtano sono eal coollao b Gl autoket cosondent ad autovalo dstnt sono otogonal Dmostaone: Rcodamo ce A a ' Pocé l opeatoeaèemtano abbamo ce a '' A '* ' dove a e a sono autovalo da Se moltplcamo entamb memb della pma equaone pe ' da snsta ed entamb memb della seconda equaone pe da desta e sottaamo, ottenamo: ( -'* ' 0 Oa a e a possono essee scelt ugual o dves. Se l pendamo ugual cavamo la condone d ealtà (coollao a * Se assumamo ce a e a sono dves: dato ce sa a ce a sono eal (lo abbamo appena dmostato ne segue ce ( -'* (-' 0 e qund necessaamente ' 0 e questo pova l otogonaltà de due ket (coollao b. Dpatmento d Cmca

22 Unvestà a Sapena Il coollao appena dmostato gaantsce la ealtà degl autovalo d un opeatoe emtano. E uso coente nomalae n modo ce gl autoket fomno un nseme completo otonomale ' δ ' δ δ ' ' pe ' 0 pe ' δ delta d Konecke coollao Due autofunon degene d un opeatoe (coè con l medesmo autovaloe possono essee combnate lneamente pe ealae funon otogonal ed ancoa autofunon dell opeatoe (questa popetà dscende dalla lneatà degl opeato d nteesse n meccanca quantstca coollao 3 Gl autoket (autofunon d ogn opeatoe quantomeccanco cospondente ad una vaable ossevable costtuscono un nseme completo e otonomale. CONSEGUENZE: ogn combnaone lneae d un nseme d autoket (autofunon degene è ancoa un autoket (autofunone con l medesmo autovaloe Il coollao c consente d dedue l effetto d un opeatoe su d un ket ce non è uno de suo autoket (autofunon Dpatmento d Cmca

23 Unvestà a Sapena Abbamo vsto ce gl autoket nomalat d un opeatoe A fomano un nseme completo otonomale. Un ket abtao nello spao de ket può essee svluppato n temn d autoket d A. In alt temn gl autoket d A sono analog a vetto unta otogonal usat come base d vetto nello spao eucldeo. Dato un ket abtao questo può essee svluppato come c Moltplcando pe dello svluppo ' da snsta e usando la popetà d otogonaltà s tovano coeffcent c coè da cu elaone d completea o d cusua opeatoe IDENTITA a elaone d cusua a un mpotana fondamentale n meccanca quantstca. Data una catena d ba o d ket moltplcat n odne lecto, posamo nsee n ogn posone l opeatoe denttà. Consdeamo ad esempo Questo mosta ce se elaone: ; nseendo l opeatoe denttà ottenamo: ( è nomalato alloa coeffcent dello svluppo devono soddsfae la c ' a ' a Dpatmento d Cmca 3

24 Unvestà a Sapena III Postulato a A In un sstema gl unc valo ce una vaable dnamca può assumee sono gl autovalo dell opeatoe cospondente opeatoe assocato alla vaable dnamca, pe esempo: T T dove T sono valo della enega cnetca Msue n Meccanca Quantstca Una msua fa sempe saltae l sstema n un autostato della vaable dnamca ce s msua Supponamo d avee un sstema l cu stato è appesentato dal ket ossevable A, l sstema è appesentato dalla combnaone lneae:. Pma d fae una msua della c Quando vene fatta la msua l sstema cade n uno degl autostat, ad esempo della ossevable A. Coè msua A d Quando la msua detemna l cambamento d n s dce ce a è l sultato della msua. Dpatmento d Cmca 4

25 Unvestà a Sapena Dato un sstema ce s tova n uno stato fsco desctto dal ket pma della msua, non sappamo n antcpo n quale de va stat l sstema pecpteà come sultato della msua. S postula comunque ce la pobabltà d saltae n qualce stato è data da: pucè sa nomalato. IV Postulato Il valoe medo d una see d msue della vaable su d un nseme d sstem cascuno de qual è esattamente nel medesmo stato è fonto dalla elaone A A a * dτ N.B. alte denomnaon: valoe atteso attendble d aspettaone pe esempo: ˆ p E pˆ m V Da notae ce ψ può non essee autofunone d Dpatmento d Cmca 5

26 Unvestà a Sapena Dato un sstema ce s tova n uno stato fsco desctto dal ket ossevable A vene defnto ance valo medo pecé: l valoe d aspettaone della A A ' c ' ' A - Ogn sngola msua della vaable cospondente allo opeatoe A fonà uno degl autovalo a - Il valoe medo delle msue è una meda pesata su c a * c a degl autovalo a - Ogn c a è la pobabltà ce venga msuato l cospondente autovaloe a - c a è la pobabltà ce l sstema venga tovato n uno stato desctto dal ket Da notae ce ogn sngola msua fonà come sultato uno degl autovalo a dell opeatoe pe esempo: a 4a a3 0 3 a4 natualmente pecè l valoe d <> sa attendble l numeo d msue deve essee gande Dpatmento d Cmca 6

27 Unvestà a Sapena V Postulato la dpendena tempoale della funone d stato ψ è fonta dall equaone dffeenale H t Equaone d Scoednge dpendente dal tempo Pe una patcella Alt Postulat m V (,,, t t vedemo ce saanno necessa ulteo postulat pe tattae lo SPIN Dpatmento d Cmca 7

28 Unvestà a Sapena coollao 4 Se l enega potenale d un sstema non dpende esplctamente dal tempo la denstà d pobabltà non dpende dal tempo e l enega totale è cavable dall equaone H 3n E 3n ( ( Equaone d Scoednge ndpendente dal tempo D quest ultmo vedamone l pecè pe una patcella Pe solvee l equaone d Scoednge dpendentedal tempo funone d onda complessva sa espmble come: f (,, t (,, Φ( t H f f t H Φ Φ t ΦH Φ t dvdendo pe Φ H Φ Φ t H costante Φ Φ t H t stamo cecando d sepaae le vaabl sono funone d vaabl ndpendent f ( coodnate f ( tempo supponamo ce la H E E dφ E d Φ Equaone d Scoednge ndpendente dal tempo ( Stato Staonao t

29 Unvestà a Sapena Vedamo la dpendena tempoale Complessvamente f f f f (,, Φ( t (,, * ψψ non dpende dal tempo Pù n geneale H E * c, Ae dφ Φ Φ ( t E t E t (, e E d t Ae E t Ae E t A pe avee ƒ nomalata A nglobato nella costante d nomalaone d (,, f (, t,, t c costant abtae complesse tutte le soluon sono espmbl come somma d stat staona Dpatmento d Cmca 9

30 Unvestà a Sapena Coollao 5 E possble conoscee contempoaneamente e con pecsone valo d due vaabl dnamce soltanto se gl opeato cospondent commutano INFATTI Se entambe le vaabl devono essee note con pecsone deve esstee una funone d stato ψ pe la quale β a b β β β a b aβ b ab ba QUINDI β β β β 0 [, β ] VICEVERSA abbamo gà vsto ce non tutt gl opeato della quantomeccanca commutano p p ( Dpatmento d Cmca 30

31 Unvestà a Sapena ( p p [ p ] l commutatoe d e p vale, tutto cò dffesce dalla meccanca classca s pala d Gandee (vaabl CONIUGATE NON CONIUGATE A tutto cò è legato l Pncpo d ndetemnaone d Hesenbeg Pe un sstema n uno stato abtao ψ le genece ossevabl fsce e β non possono essee detemnate smultaneamente con pecsone se e β non commutano Una msua della mpecsone d e β è la vaana de sultat a e b S può dmostae ce σ aσ b β β σ aσ b [, β ] σ aσ b [, β ] Se e β commutano s possono conoscee con pecsone entambe le vaabl Se e β non commutano non s può scendee al d sotto del lmte pecedente Dpatmento d Cmca 3

32 Unvestà a Sapena ( p p σ σ σ σ e p β pe Pocè è sempe possble conoscee con pecsone una delle vaabl, l alta è detemnata ne lmt ndcat Vedamo le popetà d commutaone e, qund, le eventual lmtaon nella msua de moment angola Dpatmento d Cmca 3 quanto vale l commutatoe d ed?

33 Unvestà a Sapena 0 genealando Invece pe l Momento angolae totale è possble conoscee l momento angolae totale ed una delle component non è possble conoscee l momento angolae totale e due component Esste ance una lmtaone elatva alla enega ed al tempo ce, pealto, è d natua dvesa. Pe vedela saebbe necessao affontae l poblema d n conclusone Dpatmento d Cmca 33 come vaa nel tempo l valoe d aspettaone e la conseguente Indetemnaone Enega-Tempo Il tempo non è una vaable smle a posone, momento, enega: è un Paameto - nella nosta appesentaone (quella d Scoednge non esste un opeatoe tempo - la ncetea n tempo non è espmble come un ntevallo de valo d aspettaone

34 Unvestà a Sapena - pe una geneca vaable cu sa assocato l opeatoe β s può dmostae σ E t è l ntevallo d tempo nel quale l valoe d aspettaone d β camba d una quanttà pa alla sua devaone standad l ncetea sull enega dpende dalla natua della vaable assocata a β.se camba poco nel tempo l ncetea su E saà pccola e vcevesa l tutto puo, pu semplcemente, essee espesso dcendo ce se t è l tempo d vta d un detemnato stato d un sstema alloa la ndetemnaone della enega d questo stato è tale ce σ E t n lnea d pncpo, pe uno stato staonao t e la enega è nota con esattea Il caso d maggo nteesse è quello della Spettoscopa nella quale s msua una dffeena d enega cospondente ad una fequena E ν σ t σ t E σ t 4π ν ν In patca t dpende dal tempo d pemanena nello stato ecctato ( s σ ν σν s cm Dpatmento d Cmca 34

35 Unvestà a Sapena Coollao 6 Se due opeato a e β anno un nseme completo d autofunon smultanee alloa due opeato commutano Se due opeato a e β commutano possamo tovae un nseme completo d funon ce sono autofunon smultaneamente d entamb gl opeato Dpatmento d Cmca 35