Elementi di Calcolo delle Probabilità

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1 Element d Calcolo delle obabltà Coso d Calcolo delle obabltà ed Infeenza a.a. 2015/ mo Semeste of. Flppo DOMM Coso d Lauea Magstale n Economa pplcata Dpatmento d Economa, Statstca e Fnanza Unvestà della Calaba

2 Calendao - Lezon: dal 28/9/2015 al 19/12/ Esam (sctt): 1 appello 15 Gennao 2016 oe 9:00 2 appello 12 Febbao 2016 oe 9:00 3 appello 22 Gugno 2016 oe 9:00 4 appello 15 Luglo 2016 oe 9:00 5 appello 19 Settembe 2016 oe 9:00 2

3 - Oao delle Lezon: Lunedì, Matedì e Mecoledì dalle 9 alle 11 n E2 - Oao d Rcevmento Student: Govedì dalle 11 alle 13 (Studo docente: Cubo 0C, ultmo pano) - Modaltà esame: Sctto (Oale facoltatvo) 3

4 ova, Evento e obabltà Concett mtv: nozon ognae ed ntutve. ova (o espemento): è qualsas attvtà svluppata n condzon d ncetezza. Gl espement d cu s occupa l Calcolo delle obabltà sono quell ne qual sultat non sono cet peché non unvoc. Evento: è uno de possbl sultat della pova. obabltà: è un numeo assocato al pesentas d un ceto evento e soddsfa alcune popetà fondamental dett assom del Calcolo delle obabltà. 4

5 Def.1. Spazo de Campon. E la totaltà d tutt possbl sultat d un espemento concettuale. Veà ndcato con W. Def.2. Evento Ceto. Evento Impossble. L evento ceto è quello che s vefca sempe, W. L evento mpossble è quello che non s vefca ma, f. Def.3. Spazo degl Event ( o algeba d Boole). E l nseme d tutt possbl sottonsem d W. 5

6 Dagamm d Venn W UNIONE INTERSEZIONE B NEGZIONE EVENTI INCOMTIBILI EVENTI NECESSRI 6

7 opetà Unone Intesezone Commutatva B B B B Idempotenza ssocatva ( B) C (BC) ( B) C (BC) Dstbutva (BC) (B) (C) (BC) (B) (C) Inolte, s ha: f f f W W W W f 7

8 Legg d De Mogan (1) B B B B (2) B B B B atzone dello Spazo Camponao S dce che gl event 1,, k appatenent ad W fomano una patzone dello spazo camponao se: (1) j f j 1,..., k k (2) W 1 coè se sono a due a due ncompatbl e necessa. 8

9 Eseczo 1 Sano,B e C te event che s dentfcano ne sottonsem ={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} d un geneco spazo W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Detemnae seguent sottonsem: E 1 (BC) E 2 BC E 3 B C E4 B E 5 B E 6 C C Eseczo 2 Un espemento casuale consste nell estae contempoaneamente due pallne da un una contenente 1 pallna ossa, 3 pallne banche e 2 nee. Descvee lo spazo de campon elatvo all espemento e costue sottonsem n cu s dentfcano seguent event: 1. Le due pallne estatte sono d coloe dffeente; 2. Le due pallne estatte sono dello stesso coloe; 3. Le due pallne estatte sono entambe osse. 9

10 Eseczo 3 Un espemento casuale consste nel lanco contempoaneo d due dad da goco; posto che le facce d cascun dado sano state contaddstnte con gl nte dall 1 al 6, costue lo spazo de campon e sottonsem che appesentano seguent event: 1. I nume potat dalle facce supeo de due dad sono ugual; 2. La somma de due nume potat dalle facce supeo de due dad è 5; 3. Il numeo potato dalla facca supeoe d un dado è doppo d quello potato dalla facca supeoe dell alto. Eseczo 4 Un espemento casuale consste nel lanco contempoaneo d una moneta e d un dado da goco. S costuscano lo spazo camponao elatvo all espemento e sottonsem a cu s dentfcano seguent event: 1. Testa pe la moneta e numeo pa pe l dado; 2. Coce pe la moneta e numeo nfeoe a 5 pe l dado. 10

11 Eseczo 5 Da una accolta d te volum contassegnat con,b e C ne vengono scelt a caso due. Costue lo spazo degl event assocato allo spazo camponao n questone. Eseczo 6 Un espemento casuale consste nel levae l numeo d teste e delle coc che s possono pesentae nel lanco contempoaneo d te monete. Costue lo spazo camponao e lo spazo degl event ad esso assocato. Eseczo 7 Nel lanco d un dado da goco, le facce sano numeate dall 1 al 6, sa l evento la facca supeoe pota l numeo 3 e B l evento la facca supeoe pota un numeo dspa. e B sono event dsgunt? Eseczo 8 S lanca due volte una moneta; sa l evento testa al pmo lanco e B l evento ne due lanc non appae la stessa facca. e B sono dsgunt? 11

12 ssom del Calcolo delle obabltà. Rcodando che un assoma (o postulato) è una poposzone che è consdeata vea e non vene dmostata nel contesto n cu è svolta la teoa n questone, Il C.. pesenta seguent assom: W 1 3. Sano e B due event ncompatbl B f alloa B B 12

13 Teoem fondamental del Calcolo delle obabltà Teo.1. Teo.2. f 0 1 Teo.3. Teo.4. B B B B B Le dmostazon de teoem sono lascat pe eseczo. 13

14 Defnzone d pobabltà. Def. 4. Classca La pobabltà d un evento è l appoto ta l numeo d cas favoevol d e l numeo d cas possbl, ammesso che quest sano equpobabl. Def. 5.. Fequentsta (o legge empca del caso). In una see d pove d un dato espemento, petuto un gan numeo d volte n ccostanze pù o meno sml, cascuno degl event possbl s manfesta con una fequenza che è cca uguale alla sua pobabltà. L appossmazone s duce al cescee del numeo d pove. Def. 6. Soggettvsta. La pobabltà è la valutazone che l sngolo ndvduo può coeentemente fomulae, n base alle pope conoscenze, del gado d avveabltà d un evento. 14

15 Eseczo 9 Dato un espemento tale: 1 1 () 0.5 (B) 3 ( B) 4 Calcolae: B B B B B Eseczo 10 Sano e B due event tal che: () 0.8 (B) 0. 7 ( B) 0. 6 Calcolae: B B B

16 Eseczo 11 Supponamo d avee un una che contene 8 pallne osse (R), 9 pallne banche (B), 13 pallne nee (N) e 3 pallne galle (G). Effettuamo la seguente pova: estazone d due pallne con poszone. Calcolae la pobabltà che: a) entambe le pallne sano osse; b) la pma sa ossa e la seconda banca; c) la pma galla e la seconda non-ossa; d) la pma sa nea e la seconda non-banca; e) che almeno una sa ossa. 16

17 Dpendenza. ssom e Teoem fondamental. Quando s ha motvo d cedee che l vefcas d uno o pù event nfluenzano l vefcas d alt event, alloa s paleà d event dpendent (condzonat). Così, la pobabltà dell evento dato che s è gà vefcato l evento B (ovveo l evento B condzona l evento ), è: B / B pe B 0 B In tal caso, B dventa l nosto nuovo spazo de campon; coè s assume che la pova abba dato luogo a qualche sultato n B. 17

18 S può vefcae che valgono gl assom del Calcolo delle obabltà: 1. / B W/ B 3. Se 1 e 2 sono ncompatbl alloa B / B / B 1 2 / 1 2 Le vefche d (1), (2) e (3) sono lascat pe eseczo. 18

19 Valgono anche teoem fondamental del Calcolo delle obabltà nel caso n cu esste un evento condzonante Teo.5. f / B 0 Teo.6. / B 1 / B Teo.7. B / B 1 / / B Teo.8. B / B / B 1 2 / Le dmostazon de teoem sono lascat pe eseczo. / B 19

20 Il teoema d Bayes e llustae l teoema, consdeamo l seguente esempo: supponamo d avee due une, la pma, U 1, contene 4 pallne banche e 6 nee, la seconda, U 2, contene 3 pallne banche e 5 nee. S estae a caso un una e, successvamente, da questa s estae una pallna. mmesso che la pallna estatta sa banca, c s chede qual è la pobabltà che essa povenga dall una U 1, se la pobabltà d selezonae cascuna delle une è d 0.5? Sml poblem s pesentano ogn volta che un evento può essee vsto come l sultato - EFFETTO - d uno ta K possbl event - CUSE - C 1, C 2,,C K ncompatbl e tal che uno d ess deve vefcas, e nteessa valutae la pobabltà che, avveatos, sa C j la causa che lo ha podotto. 20

21 Supponamo che gl event C 1,,C K fomno una patzone d W, coè W K 1 C e C C j f j L evento può essee sctto nel seguente modo W K C K 1 1 C Ossevando che K 1 C C f K 1 21

22 s ha: K 1 K 1 C C Rcodando che C C C / C / C C S può scvee: K 1 K 1 C / C C 22

23 La domanda nzale ea la seguente: noto l effetto, qual è la pobabltà che tale effetto sa dovuto alla causa C j? C j / C j K 1 C / C j C / C j L ultma pate è l teoema d Bayes, dove [C j /] è chamata pobabltà a posteo, coè la pobabltà che l evento, gà vefcatos, sa dovuto alla causa C j ; mente, la pobabltà [C j ] è chamata pobabltà a po della causa C j (nel nosto esempo è la pobabltà d estae l una U 1 ). Infne, [/C j ] sono dette pobabltà pobatve o veosmglanze, appesentano la pobabltà con cu le sngole cause C 1,, C K geneano l evento. Esse sono detemnate empcamente dall espemento. 23

24 Rtonando all esempo nzale, se ndchamo con [U ]=0.5 pe =1,2 le pobabltà a po, la pobabltà a posteo è: U 1 / B B/ U1 U1 B/ U U B/ U U

25 Ossevazone: l teoema d Bayes può essee vsto come un meccansmo che pemette d coeggee le nfomazon a po [C j ] sulla base delle ossevazon spemental [/C j ] fonendo pe l appunto la pobabltà a posteo. In questa fomula, nfatt, s combnano nfomazon a po e veosmglanze, e quanto pù la pobabltà a posteo [C j /] è dvesa dalla pobabltà a po [C j ], tanto pù la veosmglanza ha modfcato le nfomazon a po sulle cause C j. 25

26 Defnzone d Indpendenza. Se l vefcas d un evento non modfca la pobabltà del vefcas d un alto evento alloa è lecto pensae che due event sano ndpendent; questo può essee fomalzzato con la seguente: Def. 7. Dat due event e B, s dce che sono ndpendent se e solo se s vefca una delle seguent condzon: B B / B B/ B 26

27 Teo. 9 Se e B sono ndpendent alloa 1. B B B B B B La dmostazon del teoema è lascata pe eseczo. 27

28 Eseczo 12 Supponamo d avee un una che contene 5 pallne osse (R), 4 banche (B),3 nee (N) e 6 gall (G). Effettuamo la seguente pova: estazone d due pallne senza poszone. Calcolae la pobabltà de seguent event: a) la pma ossa e la seconda ossa; b) la pma banca e la seconda ossa; c) la pma galla e la seconda non-ossa; d) la pma non-nea e la seconda banca; e) la pma galla e la seconda ossa o banca; f) la pova gene almeno una pallna ossa. 28

29 Eseczo 13 S è fatto uno studo pe detemnae l effetto de pogamm televsv su bambn. d un guppo d bambn composto da un numeo uguale d masch e femmne è stato chesto se sono ma stat spaventat da un pogamma televsvo. Il 25% de bambn e l 44% delle bambne spondono d s. Sceglendone uno a caso nel guppo, detemnae la pobabltà che: 1. l bambno sa stato spaventato; 2. venga scelta una bambna, sapendo che l selezonato/a è stato/a spaventato/a; 3. sa scelta una bambna, sapendo che l bambno/a scelta/o non è stata/o spaventato/a; 4. sa scelto un bambno sapendo che l bambno scelto non è stato spaventato. 29

30 Eseczo 14 Un costuttoe vene fonto pe gl stess tp d pezz sa dalla dtta che dalla dtta B. Tal pezz vengono po depostat asseme nello stesso magazzno. e l passato s è ossevato che podott d eano pe l 5% dfettos, mente quell d B lo eano nella msua del 9%. La dtta fonsce 4 volte pù pezz della dtta B. vendo scelto un pezzo a caso dal magazzno ed avendo scontato che non è dfettoso, qual è la pobabltà che sa stato fonto da? 30

31 Eseczo 15 Sano e B due event dello spazo camponao tal che: 0. 7 B 0. 8 Detemnae [B] se: a) e B sono dsgunt ; b) e B sono ndpendent ; c) [/B]=0.6 31

32 Eseczo16 La pobabltà d essee malato d canco n uno stado nzale è 0.1 pe una pesona n una ceta classe d età. Il test sulta postvo nel 99% de cas n una pesona malata e nel 5% de cas n una pesona sana. a) Qual è la pobabltà d una coetta dagnos con l test nella data classe d età? b) Qual è la pobabltà che una pesona sa malata se l test è negatvo? 32

33 Rfement Bblogafc. - G. Ccchtell (1984), obabltà e Statstca. Maggol Edtoe. Rmn. [C]. ag M.Mood, F. Gaybll e D.C. Boes (1988), Intoduzone alla Statstca, McGaw-Hll, Mlano. [MGB]. ag D. ccolo e C. Vtale (1984), Metod Statstc pe l anals economca. Il Mulno, Bologna. [V]. ag R. Os (1995), obabltà ed Infeenza Statstca, Il Mulno, Bologna. [O] D. ccolo (2000), Statstca, l Mulno, Bologna. []. ag