Magnetostatica e magnetoquasistatica nel vuoto

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1 . Le equazon ea magnetostatca. Unvestà eg tu Cassno Le equazon ea magnetostatca sono: H tˆ () nˆ Σ () Σ ove H è campo magnetco (msuato n A/m, ampèspe/meto) e è campo nuzone magnetca (msuato n T, tesa), è una quasas nea chusa ( tˆ suo vesoe tangente), e Σ una quasas supefce chusa (nˆ vesoe nomae uscente). La ganezza è a coente concatenata con a nea chusa, ossa a quanttà: J nˆ (3) ove è una quasas supefce avente pe oo, e n è a nomae a essa, sceta con a egoa ea mano esta (ossa n moo a veee oentamento n senso antoao), ve Fg.. nˆ s Magnetostatca e magnetoquasstatca ne vuoto Antono Maffucc, Fabo Vone Fg.. Intepetazone ea egge Ampèe Rcoamo che a () s ottene aa Legge Ampèe ne mte stazonao, mente a () espme a cosetta soenoatà e campo nuzone magnetca : pe effetto ea (), fusso attaveso una quasas supefce apeta pene soo a oo tae supefce. Pe povao basta conseae ue supefc Σ e Σ che s appoggano ao stesso oo e appcae a () aa supefce chusa ottenuta a unone Σ e - Σ (pe potae n conto veso ea nomae a Σ che suta entante), ve Fg.. Pe tae agone s paa fusso concatenato con a cuva. Σ ˆn Σ ˆn Fg.. I fusso concatenato con una cuva è npenente aa supefce apeta ( oo ) sceta pe cacoaa Ve. - ape 4 Un entco agonamento petuto sua enstà coente pemette concuee che a quanttà efnta aa (3) non pene aa patcoae supefce sceta.

2 upponeno tovac ne vuoto (ovveo ne aa, che a punto vsta ea magnetostatca s compota n manea moto sme), egame ta H e (a cosetta eazone costtutva) suta: µ H (4) ove µ è etta pemeabtà magnetca e vuoto, che è una costante spementae che ne stema Intenazonae vae 7 H µ 4π. (5) m I sutat esctt ne seguto s possono fomamente estenee a caso n cu vengano conseat mezz matea caattezzat a una eazone ta H e e tpo µ H µ µ H, (6) nea quae a quanttà amensonae µ è etta pemeabtà magnetca eatva.. Campo magnetco acune confguazon µ H ϕ ϕ (9) π π e qun possamo assee che campo magnetco un fo ettneo nefnto s avvoge ntono a fo con a egoa ea mano esta: aneano poce a femento coente, campo s avvoge secono veso ncato ae manent ta, se a coente è postva secono femento sceto. Le nee e campo magnetco sono unque ee cconfeenze centate su asse e fo; suo mouo vaa n manea nvesamente popozonae aa stanza a asse e fo stesso, che vuo e che, ne mte fo sezone tascuabe, campo vege, Fg. 4a. Chaamente, questa stuazone è a ntenes come un caso mte, n quanto un fo a sezone nua non è fscamente eazzabe. Conseamo, aoa, un fo avente sezone non nua ( aggo a), ne potes sempfcatva che a enstà coente J sa unfome nea sezone e fo e sa etta ungo asse e fo stesso, Fg. 4a. avà, qun, banamente Jπa.. Campo pootto a un fo coente Affontamo pemnamente cacoo e campo magnetco ovuto a un fo ettneo nefnto pecoso a una coente (Fg. 3). () J () µ πa ϕ a ϕ a (c) Fg. 4. a) Campo un fo ettneo nefnto a sezone non nua pecoso a coente; b) sezone e conuttoe; c) anamento e mouo e campo n funzone ea stanza. Fg. 3. a) Campo un fo ettneo nefnto pecoso a coente; b) anamento e mouo e campo n funzone ea stanza. Intootto un sstema femento cnco (,z,ϕ), cu asse z conce con fo, pe motv smmeta campo magnetco H eve essee etto n ogn punto eo spazo ungo vesoe ϕ fgua, e suo mouo può penee soo aa coonata : H H() ϕ (7) futtano a (7), a eazone () appcata aa cconfeenza fgua (centata su asse e fo, a esso otogonae, e aggo geneco) pemette scvee: H ( ) π H ( ) (8) π n quanto vesoe tangente aa cconfeenza conce con ϕ, e ungo essa (e qun H) suta essee costante. In efntva: ee potes n cu c samo mess, vagono e stesse conseazon smmeta che, ne caso coente ffome, c potano a concuee che campo magnetco H eve avee a stuttua evenzata n (7). Pe tae agone, se conseamo un punto quasas fuo a conuttoe (qun a una stanza > a ) s possono svogee e stesse conseazon e caso ffome e concuee che campo è ato aa (9). Pe punt a nteno e conuttoe < a, aa ccutazone e campo H contbusce soo a coente concatenata con una cconfeenza aggo (ve Fg. 4b): H ( ) π Jπ H ( ) () πa a cu: µ H ϕ ϕ. () π a π a Qun campo cesce neamente a nteno e conuttoe, aggunge massmo pe a e ecesce come a pe > a, assumeno o stesso vaoe che s avebbe conseano una coente concentata su asse (Fg. 4c) 3 4

3 . Campo pootto a una spa coente Cacoamo oa campo pootto a una spa ccoae pana pecosa a coente, Fg. 5a. In Fg. 5b ne mostamo una sezone, n cu supponamo o spessoe e fo non tascuabe, e che femento ea coente esca a fogo ne fo snsta e ent n queo esta. In questo caso, possamo assee che, n punt moto possm aa spa stessa (nteneno con cò punt a cu stanza aa spa è moto mnoe e aggo cuvatua ocae ea spa), a spa appae, a mte, come un fo ettneo nefnto. Petanto, n possmtà ea spa, e nee campo saanno ee cconfeenze centate su asse ea spa; questa geometa ee nee campo vene efomata man mano che c s aontana aa spa stessa. C ponamo oa seguente pobema: cosa accae se avvcnamo un ceto numeo spe ugua, pecose aa stessa coente? In Fg. 6 potamo un sutato quatatvo pe 3 spe: ossevamo che campo suta essee nfozato, e pessoché unfome, nea egone spazo ntena ae spe stesse, mente s nebosce nea egone estena, e neg ntestz ta una spa e ata assume un anamento assa poco egoae. Da questa sempce ossevazone taamo suggemento costue un oggetto fatto avvogeno un unco fo (n moo a gaante sempe a stessa coente) n un numeo spe moto eevato e moto avvcnate ta oo: un soenoe. Veso uscente Veso entante Fg. 5. Campo magnetco pootto a una spa ccoae pana I campo magnetco ha unque una confguazone a fontana, a cu ezone può essee ancoa tovata con a egoa ea mano esta: aneano e ta a veso femento ea coente, a ezone e campo è ncata a poce. La penenza spazae e campo magnetco è qun ben pù compessa quea e caso peceente; n geneae, possamo comunque scvee che, ne geneco punto P, s ha: ( P) K( P) () ove K è una quanttà vettoae che vaa a punto a punto eo spazo, ma non pene aa coente. Con una oppotuna espessone K, a () può escvee campo pootto a una spa ne caso geneae, qun anche muoveno potes che a spa sa ccoae pana. Fg. 7. oenoe ettneo costtuto a spe: (a) sezone; (b) campo magnetco pootto In Fg. 7b è mostato campo magnetco pootto a un sffatto oggetto, aveno fatto potes sempfcatva che e spe fosseo tamente vcne a pote tascuae e tutto g ntestz e conseae un conuttoe masscco a posto eg f (Fg. 7a). Ossevamo che campo magnetco pootto a soenoe è pessoché unfome e etto assamente nea egone ntena a esso, e patcamente nuo n quea estena. Queste conseazon vagono goosamente ne caso un soenoe ettneo nefnto; poché nea patca non è chaamente possbe eazzae un oggetto sffatto, s coe spesso a soeno tooa, ossa con e sue estemtà chuse a cambea. Con femento aa Fg. 7, ossevamo che è possbe entfcae una egone e soenoe (quea supeoe) a cu e nee campo escono, e una egone (quea nfeoe) n cu e nee campo entano. La pma vene etta poo no e soenoe, a secona poo su. Cacoamo oa campo magnetco pootto a un soenoe unghezza, composto a spe, faceno potes sempfcatva conseae tae campo unfome e etto assamente a nteno, e nuo a esteno. App-cano a () aa nea mostata n Fg. 8, s ha: H H, µ (3) ove H e sono e component H e n ezone assae, e è a coente ccoante n ognuna ee spe, coscché pootto (e cosette ampéespe e soenoe) è a coente compessvamente concatenata con a nea. Fg. 8. Cacoo e campo magnetco un soenoe Fg. 6. Campo magnetco ovuto a 3 spe 5 6

4 3. Fusso; coeffcente auto e mutua nuzone efnsce fusso concatenato con una nea chusa a quanttà: nˆ (4) ove è una quasas supefce che ha pe oo a nea, e n è a nomae a essa oentata con a egoa ea mano esta. Come gà evenzato, questa quanttà non pene aa patcoae supefce sceta (puché abba pe oo ). Questa efnzone vae e tutto n geneae; n patcoae, possamo appcaa ne caso n cu a nea chusa conca con asse un conuttoe chuso pecoso a una coente, e campo nuzone magnetca sa ovuto a tae coente (Fg. 9). ossev che a nea chusa è oentata con o stesso femento sceto pe a coente. ove k è una supefce che ha pe oo a k-esma spa, e ove abbamo sfuttato fatto che, esseno campo unfome, ntegae su una quasas supefce k è uguae a queo sua geneca sezone e soenoe. Rcoano espessone (3) e campo magnetco e soenoe, s ha: µ µ nˆ L (7) Petanto vaoe e nuttanza s può aumentae, a patà menson geometche, aumentano numeo spe oppue avvogeno e spe su un cno mateae magnetco caattezzato a una eazone e tpo (6): n ta caso L aumenta un fattoe pa aa pemeabtà magnetca eatva µ. n L n M Fg.. Vautazone e coeffcente mutua nuzone ta ue spe. Fg. 9. Vautazone e coeffcente autonuzone pe un ccuto coente Rcoano a (), abbamo: nˆ K( P) nˆ L (5) ove a quanttà L, etta coeffcente autonuzone o nuttanza ea spa, pene soo a paamet geometc e è ntnsecamente postva (s co nfatt che sa n che s oentano entamb con a egoa ea mano esta), pe cu oo pootto scaae è postvo n ogn punto ea supefce. Quest agonament vagono eventemente anche ne caso e soenoe; n questo caso, a supefce su cu cacoae fusso eve avee pe contono una nea che s avvoge a spae, segueno conuttoe con quae eazzamo avvogmento. Invece fae cacoo pe questa compcata supefce ecoae, faccamo seguente agonamento appossmato. Pma tutto, se e spe sono moto avvcnate (come n effett sono n patca), possamo suppoe che tatt supefce accoo ta una spa e ata ano un contbuto assa pccoo a ntegae, che qun venta appossmabe come: nˆ k k nˆ nˆ (6) 7 upponeno, oa, conseae ue spe pecose a coent e spettvamente (Fg. ), possamo scvee, gaze aa neatà ee equazon ()-(3), che campo nuzone magnetca totae è pa aa somma e camp geneat ae sngoe coent agent sepaatamente: (P) (P) + (P) K (P) + K (P) (8) I fusso concatenato con a pma spa suta qun ato aa somma e fusso e campo pootto aa stessa spa ( ) e e fusso e campo pootto a ata spa ( ): ˆ ( K( P) + K ( P) ) nˆ + L + M n. (9) Anaogo sutato s otteà pe fusso concatenato con a secona spa: ˆ ( K( P) + K ( P) ) nˆ + M + L n. () ee (9) e () abbamo ntootto coeffcent popozonatà ta fuss e coent: L e L sono coeffcent autonuzone ee spe e pma efnt (ntnsecamente postv), mente M e M sono ett coeffcent mutua nuzone ee ue spe, che possono essee segno quasas, e sutano (come mosteemo pù avant) ugua ta oo. 8

5 4. Magnetoquasstatca: passaggo a camp a ccut C ponamo, oa, pobema eazzae patcamente un oggetto che possa compotas, ameno n moo appossmato, come bpoo nuttoe ntootto nea Teoa e Ccut, Fg.a. Conseamo, aoa, un soenoe costtuto avvogeno n numeose spe un conuttoe pefetto (quas ffome), e camo A e mosett e soenoe (punto nzo e fne e fo), come n Fg. b. In conzon stazonae, tae spostvo può essee stuato con e egg ea magnetostatca, come fatto fnoa. upponeno ntoue una vaabtà tempoae enta ee ganezze n esame (scuteemo n seguto n che senso s ebba paae vaazon ente ), e equazon che occoe sovee sono ovvamente quee ea magnetoquasstatca: ˆ E t nˆ () t J nˆ Σ () Σ nˆ Σ (3) Σ con e eazon costtutve che escvono mezz matea, coè aa e conuttoe pefetto µ H, E ηj ( η ). (4) Rcoamo che, mente e () e (3) vagono n conzon genea, a () è appossmata e vae soo ne mte quas-stazonao magnetco (quano s può tascuae a vaazone tempoae ea caca contenuta a nteno ea supefce Σ). v L t v L Fg.. a) bpoo nuttoe; b) eazzazone un nuttoe con un soenoe Vogamo mostae seguente: Teoema. upponeno vae e eazon ea magnetoquasstatca ()-(4), soenoe Fg.b, vsto a mosett A-, s compota come un bpoo nuttoe, con nuttanza pa a coeffcente autonuzone e soenoe (7), Fg. a. Dmostazone. In pmo uogo, mostamo che spostvo a anazzae s compota come un bpoo, ossa sosfa e seguent conzon: a) a tensone ta punt A e è npenente aa nea sceta pe une ue punt, puché questa nea non ntesech bpoo; b) a coente entante ne mosetto A è uguae aa coente uscente a mosetto ; c) esste un egame (caattestca) ta tensone e coente. La popetà b) è cetamente vefcata, n quanto a enstà coente suta essee soenoae, come pescve a (). La popetà a) è pù ecata, n quanto ne pesente caso campo eettco, est A est nt est 9 secono a (), suta non essee consevatvo. In patcoae, con femento aa Fg., scegeno a nea chusa ata a unone ue cuve che s svuppno a esteno e oggetto, est ( est ) (aottano un unco veso pe ccoae su ue tatt) s ha: Aest A' est t est nˆ ccome e nee est e est s svuppano a esteno e soenoe (come chesto aa popetà a), e n quea egone spazo campo nuzone magnetca suta essee tascuabe, possamo concuee che è ben efnta a tensone ta mosett A-: V A Aest (5) nˆ (6) A ' est t est A' est Pe quanto guaa a popetà c), conseamo a nea chusa nt ( est ) ottenuta a unone un tatto che s svuppa a esteno e un tatto che s svuppa a nteno e conuttoe, aottano come veso queo entante spetto a mosetto A (Fg. b). Appcano a (): t nˆ ( est ) t nˆ E tˆ nt U est t (7) ove abbamo sfuttato fatto che tatto nt s svuppa n un conuttoe pefetto, ove campo eettco suta essee nuo, e abbamo chamato fusso concatenato con soenoe. Rcoano a (6) e a efnzone () coeffcente autonuzone, s ha: V A L (8) t t ove è a coente che fusce ne soenoe secono femento sceto pe nt e L ha, pe soenoe, espessone (7). Povamo oa a muovee acune ee potes che c hanno consentto cavae sutato. e, a esempo fo con cu eazzamo soenoe non è un conuttoe pefetto, unca cosa che camba è che nea (7) tatto nt fonsce un contbuto non nuo, che, con fac passagg, s mosta uguae a: con R esstenza e fo stesso. Petanto, n questo caso suta: nt E tˆ R (9) V A L + R (3) t ossa ccuto equvaente un soenoe ottenuto avvogeno un fo esstvtà non nua è a see un esstoe e un nuttoe. Pù ecata è ntepetazone e potes quas-stazonaetà, coè vaazon ente ee ganezze n esame, che è aa base ee appossmazon ntootte nee () e (6). e pe sempctà c feamo aa stuazone n cu e ganezze eettche sono pue snuso a fequenza assegnata f, è evente che temn che tascuamo nee () e (6) penono neamente a f, vsto che ta temn convogono e evate tempoa ee snuso. Pe stabe mte vatà ee appossmazon n cu abbamo cavato sutato occoe, aoa, vefcae che f << f c, ove f c è una fequenza caattestca che pene a va paamet fsc e soenoe, ta cu e menson assoute e appoto ta sezone e unghezza. E possbe contoae quest paamet n moo a eazzae nutto pe qua f c può essee anche e one ee centnaa MHz. Pe fequenze maggo entano n goco fenomen qua a aazone eettomagnetca che non escvb a moeo magneto-quas-statco: avvogmento s compota a antenna.

6 Conseamo oa ue soeno vcn, cascuno accessbe a una coppa mosett (A- e C- D n Fg. ), eazzat n conuttoe pefetto. Rpeteno agonament anaogh a que fatt n peceenza, è face convnces che pe cascuna coppa mosett possono essee efnte tensone e coente (camoe v, e v, ). v L L v Fg.. a) Doppo-bpoo ccut mutuamente accoppat ; b) eazzazone e oppo-bpoo con ue soeno Cca a caattestca, coano a efnzone coeffcent auto e mutua nuzone, s ottene, con passagg anaogh a que vst n peceenza: v L + M t t v M + L t t Dunque, oggetto n questone è accessbe tamte ue coppe mosett, pe cascuna ee qua vagono e potes che ene ecta e efnzone tensone e coente, e esstono ue eazon che coegano e quatto ganezze v, e v,. Esso è unque una geneazzazone e bpoo nuttoe, che efnamo oppo bpoo (n quanto geneazzazone bpoo) ccut mutuamente accoppat (n quanto geneazzazone e nuttoe). 5. Aspett enegetc M Vautamo oa, a punto vsta e campo, g aspett enegetc scuss a suo tempo su nuttoe eae nteso come bpoo ea teoa e ccut. appamo nfatt che nuttoe è un bpoo passvo, pe quae s può efne enega posseuta a un ceto stante t a quanttà: v v () t L () t W (3) n funzone ea quae a potenza (stantanea) p ( t) v( t) ( t) assobta (aveno fatto a convenzone e utzzatoe) a bpoo suta: W p () t (33) t La vaazone enega nfntesma n un ntevao tempo t suta qun: W p t v t t (34) t ove abbamo sfuttato a (8). Rcoano a (3) e a (7), vae pe soenoe, abbamo: A C D (3) W H H V (35) ove H e sono mou e campo magnetco e nuzone magnetca, e V è voume ea egone spazo n cu è pesente campo magnetco (ossa a egone ntena a soenoe). Possamo unque efne una vaazone enstà enega (enega pe untà voume): w H (36) e qun una enstà enega e campo magnetco: w µ H (37) µ Dunque, un nuttoe è n gao mmagazznae enega ne campo magnetco che s nstaua a suo nteno (fenomeno caca), pe po eventuamente esttua a tempo ebto (scaca). Pe tae agone s paa bpoo passvo consevatvo, pe stngueo a bpo passv sspatv come esstoe. Pe quanto guaa oppo bpoo ccut mutuamente accoppat, c aspettamo ove tovae sutat anaogh, n quanto meccansmo fsco mmagazznamento e enega è o stesso. La potenza assobta a oppo bpoo suta: p() t v() t () t + v() t () t L + M + M + L t t t t (38) L + L + M + M t t t Affnché vaga a (33) (ossa a potenza possa essee espessa come evata tempoae una funzone che efnamo enega posseuta a sstema), eve sutae M M M. In questa potes, aa (38) s esume che enega posseuta a oppo bpoo suta: W L + L + M (39) Pe event motv fsc (passvtà), anche oa eve sutae W, che mpca che: L + L + M L + L y + M y y (4), ove s è supposto (atment scegeemmo ). Con sempc agonament su scmnante e tnomo, s esume che affnché vaga a conzone (4) y eae, eve sutae: La stuazone mte: M L L (4) M LL (4) s efnsce conzone accoppamento pefetto. In questo caso, è possbe tovae un vaoe eae y (ossa e appoto ta e coent) tae a annuae enega posseuta a oppo bpoo, ossa tae a annuae campo magnetco n ogn punto eo spazo. E face convnces che, affnché cò sa possbe, tutte e nee campo magnetco che s concatenano con un avvogmento s evono concatenae anche con ato.