d(t) y (t) e(t) u(t) y(t) = 0 per il segnale di riferimento y o (t) = sca(t); s s

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1 EERCIZIO : cone l tema etoazonato l cu chema a blocch è motato n fgua. pogett l egolatoe analogco atto a ofae le eguent pecfche: a) e ( ) 0 pe l egnale femento y o (t) ca(t); y b) e ( ) 0, 02 pe un tubo (t) n(ωt) con ω 0,03 a/ec; c) la pulazone ctca ω C a tale che 0,2 ω C 0,5 a/ec; ) la fae magne ϕ m a tale che ϕ m 50. y (t) e(t) u(t) + (t) + y(t) La nte el egolatoe analogco avente funzone tafemento attene al ofacmento el equto tatco elatvo alla pecone a egme, epea come mamo eoe tatco, e a equt namc che attengono al gao tabltà el tema etoazonato nonché alla veloctà epea attaveo l valoe ella bana paante ello teo tema etoazonato. Petanto, l egolatoe è nteo come un tema cottuto al blocco R ( n gao ofae le pecfche tatche, n cacata con l blocco R D ( atto al ofacmento elle pecfche elatve alle petazon namche chete al tema. Conegue che l egolatoe è efnto alla funzone tafemento epea alla elazone eguto eplctata: R ( RD ( n cu, nella genealtà e ca, le ue funzon tafemento ono efnte alle elazon: R ( R D µ ( ( + τ ) ( + T ) µ R ( ; R D ( ( + τ ) ( + T ) Qun, noma, l pogetto tatco etemna l tpo el egolatoe nonché l uo guaagno µ. A) Pogetto tatco. Il pogetto tatco pefgge l obettvo ofae la conzone elatva al mamo valoe ammeo pe l eoe tatco e( ) ; petanto l equto tatco è epeo alla pecfca ncata al punto a) elle chete pe la nte el egolatoe. La funzone tafemento fa l eoe E( L[e(t)] e l egnale femento Y ( L[y (t)], ncata con la funzone tafemento a anello apeto, è efnta alla elazone eguente: E( Y ( + R ( + n cu è: R µ 0 ( + 0 Dato che l tema a contollae NON ha pol nell ogne, è coè tpo zeo, (g 0) e ato che è cheto un eoe nullo a egme ne confont el egnale et-pont y (t) è evente che l egolatoe ovà, n pma tanza, nee un polo nell ogne, ovveo eee tpo. Vefchamo la valtà ell aeto calcolano l valoe ell eoe a egme e y ( ). e y ( ) lmy ( 0 ottene, petanto che: lm e 0 y + µ µ ( ) + 0µ 0 ( + 0 lm 0 µ lm µ

2 Al fne non enee ffcoltoo l ofacmento el equto ella fae magne ϕ m, ato che ogn polo ubcato nell ogne contbuce con una fae pa a -90, convene aumee pe l tpo el egolatoe l mno valoe n gao gaante la pecone tatca cheta; petanto cegle, pe avee l eoe a egme nullo ne confont y, l valoe, a cu conegue che: R µ ( ) µ Col pogetto tatco è etemnato oltanto l tpo el egolatoe mente l valoe el guaagno µ R ovà eee etemnato col pogetto namco affeente le pecfche epee ne punt b), c) e ) ella tacca. B) Pogetto namco. In pma tanza e pe comotà cegle µ R e tacca l agamma Boe el moulo e ella fae ella funzone tafemento a anello apeto R ( ; ottene, petanto, quanto egue. µ R ( + 0 ( + 0 ( + 0 g ; µ 20 log0 20B ; ω ( T ) ( 0) 0,a B a / P penenza nzale 20 g B/ec 20 B/ec; penenza fnale (m n) 20 B/ec 40 B/ec fae nzale g (π/2) 90 ; fae fnale (m n) (π/2) (0 2) (π/2) 80 La fae ctca ϕ C, come evnce al agamma Boe ella fae, aume l,valoe ϕ C 74, a cu copone la fae magne ϕ m 6, valoe aa nfeoe al valoe mnmo ammeo alla pecfca cheta al punto ). La vefca analtca el calcolo tanto ella fae ctca, quanto ella fae magne, pe ω ω C a/ec. poge le cttue eguent: ϕ c g ( π 2) actan(0 ωc ) 90 actan(0) ϕ m 80 ϕc << 50 Inolte, è neceao etemnae quale valoe el guaagno µ R, tale che µ 0µ R, vefch n foma aeguata, l ofacmento ella eezone el tubo nuoale gà epea al punto b) elle tee pecfche namche.

3 La funzone tafemento, cambata egno, fa l tubo D( e l eoe E(, nota come funzone entvtà (, è efnta alla elazone eguto potata: E( E( D( ( + D( + Poché la funzone entvtà (, è anche la funzone tafemento ta l tubo D( e l ucta Y(, nonché la funzone tafemento fa l femento Y ( W( e l eoe E(, la tuazone eale pe le petazon el tema contollo aebbe quella n cu foe ( 0, poché ulteebbe nullo l effetto ull eoe e(t) egl nge y (t) e (t). Tuttava la conzone ( 0 è un obettvo ealzzable n quanto chee pe, mente ato che è tettamente popa ulta 0 pe, qun ( pe. La teoa popone che l equto pù ealtco è quello opeae affnché la pota n fequenza ( peent un moulo aeguatamente pccolo nella bana elle pulazon coponent alle component amonche gnfcatve e egnal y (t) e (t). Coneato che l agamma B attavea una ola volta l ae a 0 B n coponenza ella pulazone ctca ω C, n pma appomazone, conapevol che l mamo eoe vefca popo n coponenza ω C, può tenee che: ( + + ω ω ω > ω e qun eue che pe ogn ω ω C l anamento el agamma Boe ( B ottene al baltamento el agamma B petto all ae a 0 B. C C Attea l antotca tabltà el tema etoazonato, a tantoo eauto l eoe e(t) a egme ovuto al tubo (t) n(ω t) aume, n oequo al teoema ella pota n fequenza, la eguente epeone: e t) ( ) n[ ω t + ag ( )] e ( ) ( ) 0,02 ω 0,03 a ( /

4 Poché ω 0,03 a/ec è molto mnoe ella pulazone ctca ω C a/ec appae ecamente ammble e qun lecta la pozone ( ) / ) ; petanto, pe l ofacmento ella pecfca epea al punto b), è neceao che pe ogn ω ω a vefcata la conzone: ) 0,02 / ) 0,02 0,02 ) ) 50 ( Qun, pe ogn ω 0,03 a/ec l agamma Boe e moul ella funzone tafemento a anello apeto eve ofae la conzone eguto potata: B 20 log 20 log(50) 20 log 34 B ω ω La peceente fgua elatva a agamm Boe e moul e ( mota la zona pobta, ovveo la egone ento la quale non può tova l agamma e moul ; nolte appae evente che può effettuae un abbaamento el agamma el moulo almeno 0 B enza volae la zona pobta e, petanto, gaante la eezone un tubo nuoale avente pulazone ω appatenente all ntevallo 0 ω 0,03 a/ec e eponable un eoe a egme e ( ) 0,02. e l agamma Boe el moulo vene abbaato 0 B, alloa l nuovo agamma è caattezzato al guaagno µ* atto a ofae la conzone eguente: µ * 20 log µ * 0B log µ * (0 20) µ * 0 0 3, 6 B Petanto, celto µ* 3,2 e ato che µ* 0 µ R conegue che eta anche etemnato l guaagno µ R el egolatoe; nfatt, ha: µ R (µ*/0) (3,2/0) 0,32. Qun, allo tato attuale el pogetto, le pecfche a) e b) efncono la funzone tafemento a anello apeto eguto potata: R ( µ 0 0,32 0 ( + 0 ( + 0 ( 2) 3,2 ( + 0 Il agamma e Boe e moul elatvo alla pota n fequenza ella nuova è motato nella fgua eguto potata. L attaveamento ell ae a 0 B avvene, oa, alla pulazone ctca ω C 0,55 a/ec a cu fa

5 conto a la fae ctca ϕ C, a la fae magne ϕ m efnte alle elazon eguent: ϕ c g ( π 2) actan(0 ωc ) 90 actan(5,5) ϕ m 80 ϕc << 50 Qun, l equto elatvo alla fae magne ϕ m 50 non è tuttoa ofatto; nolte la cheta concenente l valoe ella pulazone ctca 0,2 ω C 0,5 chee la mofcazone el punto attaveamento ell ae a 0 B. Pe tal motv convene attaveae l ae a 0 B con una etta a penenza 20 B/ec alla pulazone mama cheta ω C 0,5 a/ec. Pe pote po accoae con la etta a penenza 20 B/ec, pota al opa ella zona pobta e elatva al polo nell ogne, è neceao table un tatto ntemeo el agamma Boe e moul caattezzato a una etta a penenza 40 B/ec. Il egolatoe ovà petanto nee un nuovo polo alla pulazone ω P 0,03 a/ec, e cancellae l polo etente alla pulazone ω C 0, a/ec; coì opeano, la etta a penenza 2 nconta la etta a penenza nel punto a pulazone ω Z 0,2 a/ec che, qun, cottuce la pulazone angolae el econo zeo ntootto al egolatoe. Quanto opa epoto e l elatvo ultato coneguto ono motat nella fgua eguto potata. Dal agamma Boe e moul (cuva maone) elatvo alla nuova funzone tafemento a anello apeto L ( evnce che pe la ua epeone vale quanto egue: 3,2 + 0,2 L '( + 0,03 3,2 ( + 5 L'( con: C 0, 5 ( + 33,3 ω a/ec Impoto l ofacmento el equto namco ella pulazone ctca 0,2 ω C 0,5 a/ec eve vefcae la pecfca attnente l valoe ella fae magne ϕ m. Nel cao n eame ottene: ϕ c g ( π 2) + actan(5ω c ) actan(33,3 ωc ) 90 + actan(2,5) actan(6,6)

6 ϕ c 90 + actan(2,5) actan(6,6) ϕ m 80 ϕc > 50 a cu copone la fae magne: I agamm Boe el moulo e ella fae ella funzone tafemento a anello apeto L ( ono motat nella fgua eguto potata. La funzone tafemento el egolatoe è, qun, etemnata alla eguente elazone: L'( L'( 3,2 ( + 5 ( + 33,3 0 ( + 0 Dalla quale pevene alla elazone concluva eguente: 3,2 ( + 5 ( ( + 33,3 3,2 ( + 5 ( + 0 ( + 33,3 0 0,32 ( + 5( + 0 ( + 33,3 OERVAZIONE: l agamma Boe e moul ella funzone tafemento a anello apeto L ( ha una penenza fnale pa a 20B/ecae, mente la funzone tafemento peenta una penenza fnale 40B/ecae. e eea avee anche pe L ( la ctata penenza 40B/ecae, è neceao che l egolatoe neca un ulteoe polo avente una pulazone angolae uffcentemente alla eta ella pulazone ctca ω C. Cò è anche ato al fatto che, cheta una fae magne ϕ m > 50, l attuale egolatoe gaantce una ϕ m 72, che è cetamente maggoe. È qun poble l nemento un polo che pouca una ulteoe fae negatva NON UPERIORE a 2. La nuova funzone tafemento aume la foma: 3,2 ( + 5 L"( actan( ω c T ) 2 ct tan( 2 ) ( + 33,3 ( + T) ω, a cu: ( ω ) tan(2 ) ω ω tan( 2 ) (0,5 0,386464),3 a/ec c ω apt apt c

7 Qun, le nuove funzon tafemento ell anello apeto L ( e el egolatoe R 2 (, atto a gaante una penenza fnale 40 B/ecae, aumono, pettvamente, la foma eguente: 3,2 ( + 5 L"( ( + 33,3 ( + 0,768 0,32 ( + 5( + 0 R2( ( + 33,3 ( + 0,768 Il agamma eale ell anamento el moulo e ella fae elle ue funzon tafemento a anello apeto e L ( è motato nella fgua eguto potata. Nella fgua otto potata ono motat e confontat gl anament el moulo e ella fae pe le te funzon tafemento a anello apeto, L ( e L (.