Forze conservative. GMm. GMm r L AB. = r. Definizione di forza conservativa

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1 oze conevatve Defnzone d foza conevatva In bae alla defnzone, l lavoo computo da una foza è calcolato tenendo conto della taettoa eguta; n geneale, dunque, l lavoo computo pe potae l punto d applcazone dalla pozone nzale, a quella fnale, camba, e camba taettoa. Un eempo eplcto d tale ccotanza è l lavoo computo dalla foza d attto adente cnematco. Pe alte foze, tuttava, accade l contao: l lavoo non camba e camba taettoa. E queto l cao, ad eempo, della foza peo. Queta oevazone è pemea alla defnzone d foza conevatva 1 : una foza dce conevatva e l lavoo computo nello potae l punto d applcazone da a non dpende dal cammno eguto, né dalle modaltà dello potamento, ma ecluvamente da punt e. Eemp d foze conevatve Il calcolo eplcto del lavoo computo da una foza è cuamente l metodo pù detto pe valutae e tatt d una foza conevatva, o meno. Se nel ultato compaono ecluvamente le coodnate d e, la foza è cuamente conevatva. In tabella ono potat ultat gà not, elatv alle foze elementa che, n bae alla defnzone, ultano conevatve. oze conevatve oza cotante ( x x ) + ( y y ) x y Peo P mg ĵ mg y mg y oza elatca x - kx 1 1 k x k x Gavtazone unveale M m G ˆ GMm GMm oza d Coulomb Q q k ˆ k Q q k Q q Condzon peché una foza a conevatva Nella fca claca, aume che le foze ano cotant, o che poano dpendee eplctamente da quete ole vaabl cnematche: l tempo t ; la pozone ; la veloctà v. 1 Non c lac tae n nganno da temn: è baglato penae a una foza conevatva come a una foza che conev qualcoa!

2 In foma mbolca, potebbe cvee: ( t,, v) d eempo, la foza elatca, la foza d gavtazone, la foza d Coulomb dpendono dalla pozone del punto mateale. a foza d attto adente cnematco, ad un anal attenta, ulta nvece dpendente dalla veloctà attaveo la ua dezone, pu eendo ndpendente dal modulo. In modo mplcto, aume qund che le legg d foza non poano dpendee eplctamente dall acceleazone d un copo. Cò è coetto n tutt poblem d meccanca claca; tuttava, etono nella fca modena delle eccezon (che eulano dal pogamma del coo d fca geneale). Tonando alla quetone delle foze conevatve, n bae alle oevazon opa potate, emege che: tutte le foze dpendent eplctamente dal tempo non ono conevatve; tutte le foze dpendent eplctamente dalla veloctà non ono conevatve. Infatt, nel pmo cao l lavoo può cambae, a econda d quando lo potamento ha luogo; nel econdo, camba a econda d come pota l punto; ma n entamb ca, dpende dalle modaltà dello potamento e, dunque, non dpende ecluvamente dalla pozone d e d. In alt temn: Condzone neceaa affnché una foza a conevatva è che ea a cotante o che dpenda ecluvamente dal vettoe pozone. In effett, tutte le foze conevatve opa potate n tabella ono cotant o dpendono eplctamente dalla pozone del punto mateale. 3 Calcolo del lavoo e veo della taettoa Coa accade e, anzché pocedee da veo, l punto mateale egue l cammno da veo, ulla tea taettoa? Se la foza dpende eplctamente dal tempo, o dalla veloctà, non può de nulla d geneale. Se peò la foza dpende ecluvamente dalla pozone, ea mantene n ogn punto lo teo valoe, quale che a l veo dello potamento. lloa l unca dffeenza, nel egue l cammno nveo, è che a cacuno potamento elementae è ottuto lo potamento oppoto: ( ) e n concluone: - a dezone della veloctà è l veoe tangente tˆ ; e la foza d attto adente cnematco è epea dalla elazone a a tˆ 3 Nel cao della foza elatca, la dpendenza da è lmtata alla dpendenza dalla componente x d.

3 avoo computo u un cclo Pe l eguto, è patcolamente mpotante pendee n condeazone patcola taettoe, dette ccuto ccl. Un ccuto è una cuva chua. Se l punto mateale P pecoe un ccuto, evdentemente eo pate da un ceto punto e tona nello teo punto. In modo fomale, l ntegale d lnea eteo a un ccuto vene ndcato da un mbolo pecale, detto ccutazone: d Γ e legge: è la ccutazone d cala d ulla cuva chua Γ. Il ccuto è una cuva oentata, nel eno che eo è caattezzato da un veo d pecoenza potvo, ndcato dalla fecca e copondente al veo nel quale l punto mateale è moo. Seconda defnzone d foza conevatva Una volta ntodotta la ccutazone della foza, può dae una defnzone altenatva d foza conevatva: una foza dce conevatva e è nullo l lavoo computo u un qualunque cclo : d Γ cuva chua Γ e due defnzon ono evdentemente equvalent. Pe vefcalo, è neceao dmotae che dalla pma defnzone egue la econda, e vcevea. tale copo, conde un qualunque ccuto, e u d eo due punt e. Il ccuto può eee vto come l unone della taettoa Γ 1, che pota da a, alla taettoa Γ, che pota da ad. Pe la pma defnzone d foza conevatva, l lavoo 1 calcolato pe andae da a ulla taettoa Γ 1 è uguale al lavoo, calcolato pe andae da a ulla taettoa Γ : 1 Il lavoo, calcolato nvece pe andae da ad ulla taettoa Γ, è nvece l oppoto: Dunque, l lavoo totale ul cclo è nullo: 1 + 0

4 dal che egue la econda defnzone. Sccome queto agonamento può eee faclmente nvetto, dmota n modo analogo che dalla econda defnzone egue la pma. Eemp d foze non conevatve Sulla bae delle condeazon potate, è poble complae una tabella contenente alcune foze elementa non conevatve. ttto oze non conevatve Tenone d una fune oze eplctamente dpendent dal tempo oze eplctamente dpendent dalla veloctà oze motc T a a tˆ a l Pe compendee come ma la tenone d una fune a una foza non conevatva, bata penae a queta tuazone. Una fune olleva dal punto al punto un eccho contenente acqua; po l acqua vene cacata e l eccho, oetto dalla fune, tona n. Il pecoo computo è un cclo. Se la tenone foe una foza conevatva, l lavoo totale dovebbe eee nullo. Invece, l lavoo totale è potvo, peché all andata la tenone è maggoe che al tono. Con un agonamento analogo vefca che tutte le foze motc ono non conevatve. ttolo d eempo, conde la foza epea dal motoe d un auto. auto pate da e pecoe un tatto n alta fno a aggungee ; qu l motoe vene pento e l auto tona n n folle. Evdentemente l pecoo è un cclo, ma l lavoo computo dalla foza non è nullo, ma maggoe d zeo. Infne, è mpotante notae che non tutte le foze che dpendono ecluvamente dalla pozone ono conevatve. S conde, ad eempo, l cao d un punto mateale vncolato a pecoee una cconfeenza e ottopoto all azone d una foza tangenzale d modulo cotante. Pe ealzzae patcamente queta tuazone può, ad eempo, legae un pccolo azzo a un dco lbeo d uotae ntono al popo ae, come n cet goch potecnc. Come vede nella fgua a deta, la foza dpende ecluvamente dalla pozone e può eee epea dalla elazone tˆ n cu tˆ è l veoe tangente alla cconfeenza. Il lavoo computo dalla foza, quando l azzo pecoe un nteo go, è maggoe d zeo:

5 tˆ π a foza, dunque, non è conevatva. Queto contoeempo mette n evdenza che: ffnché a una foza conevatva, è neceao che dpenda ecluvamente dalla pozone; tale condzone, peò, non è uffcente. 4 4 o tudo delle condzon uffcent eula dal pogamma del coo.