A3 - Coordinate curvilinee, cilindriche, sferiche

Transcript

1 A - Coonate clnee clnce sfece A. Sstem coonate clnee Un sstema coonate clnee nello spao R è efnto con femento a n sstema catesano a fnon scala el tpo: Le fnon scala sopa sctte o n altenata la fnone ettoale: : ttscono n cambamento coonate. s s s û û û Fga Geneco sstema coonate clnee Cameemo spefc coonate le spefc eqaon: c c c oe c c e c sono elle tant abtae. S osse ce s na spefce coonata aano solo coonate. A esempo slla spefce coonata c aano solo le coonate e mente è fssata. Cameemo lnee coonate le lnee ce s ottengono ntesecano a e a e le spefc coonate. Lngo tal lnee aa solo na coonata. A esempo la lnea coonata assocata alla coonata è efnta all nteseone elle spefc coonate c e c : lngo tale lnea aa solo la coonata mente e sono fssate. S efnscono po eso fonamental e elat al geneco pnto P coonate û û û : ess sono eso tangent alle te lnee coonate passant pe P nel pnto P stesso. P P P

2 I eso nqe sono n geneale fnon el pnto e n patcolae elle coonate clnee coè la loo eone e eso aano a pnto a pnto. S not la ffeena spetto alle coonate catesane oe eso fonamental sono tant coè anno sempe la stessa eone e lo stesso eso. S conse oa la fnone ettoale: ce cameemo cambamento coonate neso. Dffeenano qesta fnone s a: Le ganee ettoal ttscono na base n geneale non otogonale pe l sstema coonate clnee conseato. Tal etto non sono necessaamente a noma ntaa tttaa s pò mostae faclmente ce l geneco ettoe -esma lnea coonata. Pecò etto fonamental a meno n fattoe scala. Rslta petanto: slta essee tangente alla sono paallel a spett eso e qn: oe: Le qanttà sono ette coeffcent metc. Meante tal fomle è possble caae faclmente le espesson e eso fonamental n fnone elle coonate clnee el pnto P. Un sstema coonate clnee s ce otogonale se eso û û e û sono mtamente otogonal n ogn pnto. Se tale conone è efcata eso fonamental ttscono qn na base otonomale pe l sstema coonate clnee conseato Se nolte tal eso fomano nell one na tena otonomale estosa coè slta: s paleà sstema otogonale estoso.

3 In n sstema coonate clnee otogonal l geneco esoe fonamentale û slta essee sempe otogonale alla spefce coonata eqaone tante. In alt temn: c Cò sggesce n metoo altenato pe la etemnaone e eso fonamental. Infatt è noto all anals ce l gaente ella fnone scalae è sempe otogonale pe efnone alla spefce tante. E qn mmeato conclee ce slta: Le fomle possono essee qn mpegate solamente pe sstem coonate clnee otogonal pe la etemnaone e eso fonamental n altenata alle. Il sstema fonamentale eso û û e û è patcolamente mpotante pecé meante esso s possono caae le component n geneco ettoe ello spao spetto al sstema coonate clnee. Le component n ettoe nel femento otogonale efnto a eso s ottengono poettano tale ettoe lngo cascno e eso fonamental: 4 In n sstema otogonale geneco se s ncementa la coonata na qanttà nfntesma sena aae le alte e coonate l pnto P s sposteà n aco elementae lngea s n geneale non gale a come n coonate catesane ma a esso popoonale. Cameemo s s s gl ac elementa lngo le lnee coonate. S pò mostae ce coeffcent popoonaltà sono ancoa na olta coeffcent metc efnt peceentemente: s 5 I ac nano na cella elementae o paalleleppeo elementae s ea la fga c ess fomano spgol. L aco elementae totale nell ntono el pnto P slta qn : s s s s e è pa oamente alla lngea ella agonale el paalleleppeo elementae. Le facce el paalleleppeo ce gaccono slla spefce efnta agl ac s s s anno aea spettamente: S S S s s ss s s 6

4 Infne l olme el paalleleppeo elementae saà: V s 7 ss La fomla 7 è patcolamente tle nella solone ntegal olme come s eà nel segto: f V V S pò mostae ce n espessone pe l olme el paalleleppeo elementae eqalente alla 7 è la segente: V è l etemnante Jacobano assocato alla tasfomaone coonate oe. Pe qanto appena etto ee sltae oamente:. L'elemento olme pò essee qn etemnato n es mo ttt eqalent: Calcolano l pootto e coeffcent metc. Calcolano l pootto ettoale tplo Calcolano l etemnante: J Esemp patcola coonate clnee otogonal estose sono oamente qelle catesane ettangola le coonate clnce e qelle sfece. Tal sstem coonate sono pù sat nelle applcaon. Nel caso elle coonate catesane s a banalmente: ; ; I coeffcent metc sltano oamente ttt nta: A. Sstema coonate clnce ; ; S a e fga : ; ; è l molo ella poeone s n pano t el aggo ettoe ce na l geneco pnto P. φ è l angolo n aant ce tale poeone foma con l asse msato n senso antoao. conce con l omonma coonata catesana.

5 φ è etta amt o longtne è etta qota. Fga Lnee coonate e eso fonamental el sstema coonate clnce Le fomle pe l cambamento coonate sono: actan < < π Valgono nolte le tasfomaon nese: sn Le spefc coonate sono spettamente s ea la fga : e cln a seone ccolae aent pe asse l asse t. e sempan etcal passant pe l asse φ t. e e pan oontal coè otogonal all asse t.. Le lnee coonate sono nell one elle semette sl pano passant pe l ogne e pe l geneco pnto P elle cconfeene sl pano centate nell ogne e passant pe P aent aggo pa a e elle ette paallele all asse. La coonata ene spesso ncata ance con. Le coonate clnce ttscono n sstema coonate clnee otogonal e coeffcent metc assmono alo: ; ; Meante conseaon geometce oppe tlano le fomle e s possono caae le component catesane e eso clnc n fnone elle coonate φ. S a: sn sn

6 Le elaon nese sono: sn - sn In foma matcale: sn sn Inesamente: sn sn - Osseano la fga è facle notae ce eso fonamental sopa efnt sosfano eqst tpc e sstem coonate clnee otogonal. S conse a esempo l esoe : esso è tangente alla secona lnea coonata coè alla cconfeena sl pano centata nell ogne e passante pe P e otogonale alla spefce φt. coè al sempano etcale passante pe l ogne e pe P. L elemento olme n coonate clnce s ea la fga è: V mente l elemento spefce clnca è: s s S S Fga Elemento olme n coonate clnce

7 Sa n geneco ettoe applcato n P espesso meante le se component catesane: Attaeso le 4 s possono ottenee faclmente le component nel sstema femento clnco. In foma ettoale s a: Ttte le opeaon ettoal ntootte ne captol peceent con femento a sstem catesan s possono faclmente estenee a sstem coonate clnee otogonal e n patcolae alle coonate clnce. S conseno nfatt etto e le c component sono espesse nel femento clnco. A esempo pe l pootto scalae slta: e pe l pootto ettoale: A. Sstema coonate sfece o pola nello spao S a e fga 4: ; ; φ In qesto caso è l molo el aggo ettoe ce na l geneco pnto P e non la sa poeone s n pano t come nel caso elle coonate clnce. è etta eleaone o colattne mente φ è ancoa l amt o longtne come n coonate clnce. Fga 4 - Lnee coonate e eso fonamental el sstema coonate sfece

8 Le fomle pe l cambamento coonate sono: actan actan < π < π Valgono po le fomle nese: sn sn sn Le spefc coonate sono spettamente e fga 4: elle sfee centate nell ogne t. e con aent come etce l ogne e pe asse l asse t. e e sempan etcal passant pe l asse φ t.. Le lnee coonate sono nell one elle semette passant pe l ogne e pe l geneco pnto P elle cconfeene centate nell ogne passant pe P e pe l asse aent aggo pa a e elle cconfeene sl pano centate nell ogne e passant pe P aent aggo pa a sn. S osse ce qaloa la coonata slt tante gl nsem cconfeene etcal e oontal ce s ottengono al aae e φ concono con mean e paallel el femento geogafco teeste. Le coonate sfece ttscono n sstema coonate clnee otogonal e coeffcent metc assmono alo: ; ; Meante conseaon geometce o tamte le fomle e s possono caae le component catesane e eso sfec n fnone elle coonate φ. S a: sn sn Relaon nese: sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn

9 In foma matcale: Inesamente: sn - sn sn sn sn sn sn sn sn - sn - sn - sn Osseano la fga 4 è facle notae ce eso fonamental sopa efnt sosfano eqst tpc e sstem coonate clnee otogonal. S conse a esempo l esoe : esso è tangente alla pma lnea coonata coè al segmento ce congnge l ogne con l pnto P e otogonale alla spefce t. coè alla sfea centata nell ogne passante pe P. L elemento olme n coonate sfece s ea la fga 5 è: mente l elemento spefce sfeca è: V sn S S s s sn Fga 5 Elemento olme n coonate sfece

10 Ance n qesto caso meante la conoscena e eso sfec e le elaon 4 è possble espmee le component el geneco ettoe nel sstema femento sfeco: Pootto scalae: Pootto ettoale: A.4 Conseaon conclse Conclamo qesto captolo con alcne mpotant osseaon: E mpotante non fae confsone fa le coonate n pnto n n sstema femento clneo e le component n ettoe nel meesmo sstema femento pecé s tatta concett completamente es. A ttolo esempo s conse ce le coonate clnee possono essee coonate angola es. e φ e sstem sfeco e clnco mente le component n ettoe pe efnone sono sempe elle lngee. S è etto ce nel sstema catesano eone e eso e eso fonamental non aano con l pnto petanto pe comotà ess possono essee pensat fss e applcat nell ogne. Come consegena cò n geneco ettoe n component catesane pò pensas applcato n n qalnqe pnto ello spao e n patcolae nell ogne pocé le se component non aano con l pnto. Qesto non è eo pe n geneco sstema coonate clnee! In geneale nfatt tanto eso fonamental qanto le component el ettoe sono fnone el pnto applcaone P el ettoe. In fomle: A esempo nel sstema femento clnco s a: e nel sstema femento sfeco:

11 S osse ce sa le coonate clnce sa qelle sfece non sono efnte pe pnt appatenent all asse. In patcolae esse non sono efnte nell ogne pocé gl angol e φ sono netemnat: come consegena nemmeno eso fonamental sono efnt pe c n qest sstem non a senso pensae etto applcat nell ogne come s fa salmente pe le coonate catesane. In qalce caso pò essee comoo espmee n ettoe meante n femento clneo otogonale ance n pnt n c na o pù coonate non sono efnte assegnano a esse e alo abta. S pens a esempo al femento sfeco: se s ole espmee n ettoe n component sfece n ttt pnt na spefce sfeca occoe conseae l fatto ce a pol ella sfea eso non sono efnt pocé φ è netemnato. S pò tttaa oae al poblema assmeno a esempo φ. Meante tale assnone eso e sltano ì efnt a pol φ ella sfea: a. Polo no: ; ; φ b. Polo s: ; ; φ e φ