TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
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- Daniele Piccolo
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1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Intodione Una tasfomaione dello spaio è na fnione geneia he tasfoma n pnto p in n alto pnto p : p χ ( p) Essendo p (,,) e p (,, ) Pe il momento non faiamo alna ipotesi slla foma della fnione; ipotieemo soltanto he in ttto il dominio spaiale esistano e siano ontine le deivate paiali: i Dal pnto di vista appliativo islta tile onosee alne aatteistihe assoiate ad na tasfomaione geneia, qali ad esempio: vaiaione di lnghea, vaiaione d aea e vaiaione di volme. Ripotiamo nelle taspaene he segono alni isltati notevoli. j Appnti di Disegno Tenio Indstiale
2 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Matie jaobiana La matie jaobiana A di na tasfomaione è definita nel modo he sege: A Appnti di Disegno Tenio Indstiale 9 Matie jaobiana - esempio Sia data la segente tasfomaione dello spaio: ( ) ( ) os sin : χ La matie jaobiana è la segente: ( ) ( ) sin os A
3 Vaiaione di volme Consideiamo na geneia tasfomaione he pota il pnto p in p : Si dimosta he, pntalmente, la vaiaione del volme infinitesimo di mateiale, espessa da dv /dv è data dal deteminante della matie jaobiana: dv det dv ( A) Se det(a) in ttti i pnti dello spaio la tasfomaione si die isooa. Appnti di Disegno Tenio Indstiale Vaiaione d aea Consideiamo na geneia tasfomaione he pota il pnto p in p e de spefii infinitesime da e da nell intono dei pnti p e p. Siano n ed n le nomali alle de spefii nei de pnti p e p. Si dimosta he il appoto ta le aee delle de spefii infinitesime è dato dalla segente elaione (fomla di Nanson): n da [ det( A) ] BNdA dove B è la matie jaobiana della tasfomaione invesa: B Appnti di Disegno Tenio Indstiale
4 Vaiaione di lnghea. Moti igidi. Consideiamo anoa na geneia tasfomaione he pota il pnto p in p e de vettoi infinitesimi ds e ds senti dai pnti p e p. Si dimosta he ta le lnghee dei segmenti infinitesimi esiste la segente elaione: ds ds T ( A A) dove india il podotto salae, mente appesenta il vettoe nitaio ollineae a ds. Condiione neessaia e sffiiente affinhè la tasfomaione non ompoti vaiaioni di lnghea è he la matie jaobiana sia otogonale: T A A I Qando qesta elaione è valida pe iasn pnto dello spaio la tasfomaione è n moto igido. Appnti di Disegno Tenio Indstiale Tasfomaioni lineai. Le elaioni intodotte nelle peedenti taspaene sono valide a pesindee dalla foma fnionale assnta dalla tasfomaione χ. D oa in avanti estingeemo il dominio alle tasfomaioni lineai, ovveo qelle espimibili nella segente foma: Ovveo, in foma matiiale: t t t p Rp t È faile vedee he, nel aso di tasfomaione lineae, la matie jaobiana A oinide on la matie R. Osseviamo qindi he, in geneale, na tasfomaione lineae non è onsevativa di lnghee, aee e volmi. Appnti di Disegno Tenio Indstiale
5 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Tasfomaione lineae. Esempio. Effetti della tasfomaione lineae indiata qi di segito. Linea ontina (bl) e linea a tatti (ossa) appesentano la figa ispettivamente pima e dopo la tasfomaione Appnti di Disegno Tenio Indstiale Cambiamento di sala. Una tasfomaione lineae in i sono ttti nlli gli elementi della matie R eetto qelli della diagonale pinipale, ed è nllo il vettoe t è n ambiamento di sala. s s s I oeffiienti s, s ed s appesentano il ambiamento di sala lngo le dieioni, e ispettivamente.
6 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Cambiamento di sala. Esempio... Effetti del ambiamento di sala. Linea ontina (bl) e linea a tatti (ossa) appesentano la figa ispettivamente pima e dopo la tasfomaione. Appnti di Disegno Tenio Indstiale Taslaione. Una tasfomaione lineae in i la matie R è identia, è na taslaione. I oeffiienti, ed appesentano il la taslaione lngo le dieioni, e ispettivamente.
7 Taslaione. Esempio Effetti di na taslaione. Linea ontina (bl) e linea a tatti (ossa) appesentano la figa ispettivamente pima e dopo la tasfomaione.. Appnti di Disegno Tenio Indstiale Rotaione attono ad n asse oodinato (). Consideiamo, dappima, na otaione attono all asse Z he pota il pnto P sl pnto Q. Osseviamo he le oodinate del pnto Q possono espimesi in fnione delle oodinate del pnto P nel modo he sege: Q Q Ros ( θ φ ) Rsin( θ φ) Appliando le fomle di addiione di seno e oseno otteniamo: Q Q qindi: R R [ os( θ ) os( φ) sin( θ ) sin( φ )] [ sin( θ ) os( φ) os( θ ) sin( φ )] Q Q P P os os ( θ ) P sin( θ ) ( θ ) sin( θ ) P ma: Ros Rsin ( φ ) ( φ ) P P Appnti di Disegno Tenio Indstiale 9
8 Rotaione attono ad n asse oodinato (). Petanto otteniamo, in foma matiiale, la segente espessione. os sin ( θ ) sin( θ ) ( θ ) os( θ ) In maniea analoga si iavano le espessioni eqivalenti pe otaioni attono agli assi e. Rotaione attono all asse : os sin ( θ ) sin( θ ) ( ) ( ) θ os θ Rotaione attono all asse : os sin ( θ ) sin( θ ) ( ) ( ) θ os θ Appnti di Disegno Tenio Indstiale Rotaione attono ad n asse geneio (). L opeaione di otaione attono ad n asse geneio è iondotta alla otaione attono ad n asse oodinato (in qesto aso l asse ). Spponiamo di vole esegie na otaione di angolo β attono all asse di vesoe. Poediamo nel segente modo: ) esegiamo na otaione attono all asse di n angolo θ; ) esegiamo na otaione attono all asse di n angolo (φ - π/); ) a qesto pnto l asse tasfomato oinide on l asse. Esegiamo qindi na otaione di n angolo β attono a tasfomato; ) esegiamo a itoso le de otaioni peedenti Appnti di Disegno Tenio Indstiale
9 9 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Rotaione attono ad n asse geneio (). Si dimosta he la matie di tasfomaione è la segente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s dove, e sono le omponenti del vesoe, mente: ( ) ( ) β β sin os s Appnti di Disegno Tenio Indstiale Non ommtatività delle otaioni. L opeaione di otaione pò essee appliata in seqena, ottenendo osì na omposiione di tasfomaioni. Detta omposiione non è ommtativa, ovveo, in geneale islta: A B B A R R R R ) Rotaione di attono all asse ) Rotaione di attono all asse ) Rotaione di attono all asse ) Rotaione di attono all asse
10 Alte onsideaioni slle otaioni. Abbiamo visto he na otaione pò espimesi attaveso la segente elaione: p Rp Rislta he: se la tasfomaione assoiata alla elaione di i sopa è na otaione, alloa la matie R è otogonale. Vievesa: se R è na matie otogonale, alloa la tasfomaione ad essa assoiata è na otaione, na iflessione o na omposiione di qeste de tasfomaioni. Rislta inolte he il nmeo di paameti indipendenti di na matie otogonale NN è pai a N(N-)/. Nello spaio tidimensionale dnqe na geneia otaione è definita da paameti indipendenti. Vedasi pe onfonto la fomla pe la otaione attono ad n asse geneio. Qi i paameti sono: s,,, e. Tttavia s e sono fnione dell angolo di otaione β; mente, e sono fnione degli angoli θ e φ. Appnti di Disegno Tenio Indstiale Coodinate omogenee. Un geneio pnto dello spaio (,,) pò essee appesentato in oodinate omogenee da na qatena di valoi (,,,) o, eqivalentemente, da n qalsiasi so mltiplo (w,w,w,w), on w. Pe w il pnto in oodinate omogenee appesenta n pnto impopio. Pnto popio dello spaio Rappesentaione in oodinate atesiane p (,, ) Pnto impopio dello spaio Rappesentaione in oodinate atesiane NON RAPPRESENTABILE Rappesentaione in oodinate omogenee p p (,,,) ( w, w, w, w) Rappesentaione in oodinate omogenee p (,,,) Rappesenta la dieione definita dai oseni diettoi, e Appnti di Disegno Tenio Indstiale
11 Coodinate omogenee. Esempio. Esempio. I segenti pnti dati in oodinate omogenee (,,, ) (,,, ) ( /,,,/ ) oispondono al segente nio pnto in oodinate atesiane: ( /,/,/) Appnti di Disegno Tenio Indstiale Tasfomaioni in oodinate omogenee. Le oodinate omogenee onsentono di sivee le tasfomaioni lineai in foma ompatta. Abbiamo visto he in oodinate atesiane na geneia tasfomaione lineae viene sitta nel segente modo: p Rp t In oodinate omogenee tale tasfomaione si semplifia nel modo he sege: p Rp Dnqe in oodinate omogenee è possibile appesentae, pe meo di na sola matie, otaioni, taslaioni e ambiamenti di sala. Appnti di Disegno Tenio Indstiale
12 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Taslaione e ambiamento di sala in oodinate omogenee. In oodinate omogenee è faile vedee he na taslaione assme la segente foma: Mente pe il ambiamento di sala si ha: s s s Appnti di Disegno Tenio Indstiale 9 Rotaione in oodinate omogenee. In oodinate omogenee na otaione si espime nel segente modo: Essendo gli ij i oeffiienti di na matie di otaione ome peedentemente visto.
13 Eseiio. Deteminae l espessione in oodinate atesiane dei segenti pnti dati in oodinate omogenee: p p p p Rislta: p p p p (,,, ) (,,,) (,,, ) (,,,) ( /,,/ ) ( /,,/ ) (,,) (,, ) Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio. Deteminae il pnto impopio assoiato alla dieione definita dai segenti de pnti: p p (,, ) (,,) Rislta: (,,) p Da i: p p p, p p p p (,,, ) Nomaliiamo (endiamo il vettoe di lnghea nitaia): p p (,,, ) Appnti di Disegno Tenio Indstiale
14 Eseiio. Deteminae la vaiaione di volme nel pnto p (,,) assoiata alla segente tasfomaione: χ : ) Deteminiamo la matie jaobiana: ) Caloliamo la matie jaobiana nel pnto p: A A (,,) ) Caloliamo il deteminante della matie jaobiana nel pnto p : [ ] det A (,, ) Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio (). Deteminae la matie di tasfomaione, in oodinate omogenee, assoiata alla segente seqena di tasfomaioni: ) Rotaione di attono all asse ; ) Cambiamento di sala di te nità in dieione ; ) Taslaione di nità in dieione e di nità in dieione. Pima tasfomaione. Rislta: os sin R ( θ ) sin( θ ) ( θ ) os( θ ) / / / / Appnti di Disegno Tenio Indstiale
15 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio (). Pima tasfomaione. Rislta: ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / os sin sin os θ θ θ θ R Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio (). Seonda tasfomaione. Abbiamo: R
16 Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio (). Tea tasfomaione. Abbiamo: R Appnti di Disegno Tenio Indstiale Eseiio (). Le divese tasfomaioni possono omposi e dae la tasfomaione omplessiva: / / / / R R R R Riodiamo he in geneale non vale la popietà ommtativa. Dnqe la seqena delle tasfomaioni non pò essee vaiata.
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23(5$725,',))(5(1=,$/,9(7725,$/,/,1($5,'(/35,0225',1(
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